Vlny - 3
Superpozice a interference vln.
Stojaté vlny. Zázněje – rázy.
Fourierova řada, Fourierova transformace.
Dopplerův jev.
Princip superpozice
Prostředím postupují současně
dvě (nebo více) různé vlny.
   kxtytxy m  sin,1      kxtytxy m sin,2
Dvě harmonické vlny o stejné amplitudě, stejné frekvenci a stejné vlnové délce
vzájemně fázově posunuté o  postupující ve stejném směru:
Výsledná vlna se vypočítá jako součet výchylek vstupních vln:
    











 
2
1
sin
2
1
cos2sinsin21 kxtykxtykxtyyyy mmm
(užije se vzorec pro součet dvou funkcí sinus)
2
cos
2
sin2sinsin




Vzniká sinusová vlna stejné frekvence (stejné ) a vlnové délky (stejné k)
postupující ve směru původních vln
Amplituda výsledné vlny:
Závisí na vzájemném fázovém posuvu původních vln
Interference vln

2
1
cos2 mm yy 
Pro (vlny ve fázi) je mmm yyy 20cos2´ 
(maximální zesílení)
Pro (vlny v opačné fázi) je
0
2
cos2´ 

mm yy
(maximální zeslabení)
Konstruktivní interference
Destruktivní interference
,...2,1,0,2  mm
  ,...2,1,0,12  mm
Interference vln
HRW 17.38
a) λ = 0,314 m
b) φ = 1,64 rad
c) ym = 2,2 mm
Návod: Odvodit obecnou rovnici pro
interferenci dvou vln, které jsou
navzájem posunuty o .
Výsledek porovnat se zadanou rovnicí.
Fázový rozdíl může vzniknout i tak, že se dvě vlny šíří po různě dlouhých drahách.
Příklad – dva bodové zdroje Z1, Z2 zvukového vlnění o vlnové délce  a frekvenci ,
které jsou ve fázi.
V bodě P dochází k interferenci vlnění
Platí

 L

2
Konstruktivní interference
,...2,1,0,2  mm  ,...2,1,0,  mmL 
L je dráhový rozdíl vln,  je jejich fázový rozdíl v bodě P
Destruktivní interference
  ,...2,1,0,12  mm   ,...2,1,0,
2
12  mmL

Interference vln
L
Interference vln
      2sin2cos2,   tkxytxy m
0  
2 identické harmonické vlny postupují souhlasným směrem
Návod:





6,128,0)4
2,126,0)3
9,0245,0)2
4,022,02,0)1
2Platí





L
L
2
9,0
cos
2
2,1
cos
2
6,1
cos
2
4,0
cos
2
cos:vlnyvýslednéAmplituda
,



 mm yy
HRW 18.24
r = 17,5 cmNávod: Na kruhové části trubice dojde k
dráhovému rozdílu L = /2 vůči signálu
postupujícímu rovnou částí trubice →
destruktivní interference → detektor
zachytí nejslabší signál
POZNÁMKA !!
Aby interference vlnění byla pozorovatelná, je nutné, aby rozdíl fází interferujících
vlnění byl v každém bodě interferenčního pole konstantní, na čase nezávislý.
Vlnění, která tuto podmínku splňují, nazýváme koherentní.
Dojde-li k interferenci aniž dojde k odchylce od přímočarého šíření vlnění
(v homogenním a izotropním prostředí), pak takový jev nazýváme
jevem ryze interferenčním (světlo – interference na tenké vrstvě)
Poznámka 2:
Dojde –li (v prostředí homogenním a izotropním) k interferenci v prostoru
přímočarému šíření vlnění nepřístupném (v tzv. geometrickém stínu), nazýváme
takový jev jevem ohybovým (difrakčním) (světlo – průchod štěrbinou).
Interference vln
Stojaté vlny
     
   tkxytkxy
txytxytxy
mm  

sinsin
,,, 21
    tkxytxy m cossin2, 
Stojaté vlny
     
   tkxytkxy
txytxytxy
mm  

sinsin
,,, 21
    tkxytxy m cossin2, 
Amplituda výchylky
bodu se souřadnicí x
Všechny body prostředí kmitají
se stejnou úhlovou frekvencí 
2
cos
2
sin2sinsin




Stojaté vlny
Odvození:
Užijeme
  tkxtkx
tkxtkxtkxtkx


cossin2cossin2
2
cos
2
sin2



     
   tkxytkxy
txytxytxy
mm  

sinsin
,,, 21
Stojaté vlny
Všechny částice prostředí kmitají se stejnou fází  t
ale s různou amplitudou výchylky, která závisí na x-ové souřadnici kmitající částice
  kxyxA m sin2 sin(kx) = 0 → uzly
sin(kx) = 1 → kmitny
    kmitny
4
12
4
12
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1













































nx
n
n
n
k
n
xnkx
n
Místa se stále nulovou výchylkou – uzly. Jejich souřadnice xn určíme následovně:
Místa, která kmitají s
maximální amplitudou
2ym - kmitny
Stojaté vlny
𝑘𝑥 = 𝑛𝜋 ⟹ 𝑥 =
𝑛𝜋
𝑘
=
𝑛𝜋
2𝜋
𝜆
→ 𝑥 𝑛= 𝑛
𝜆
2
𝑛 = 0, 1, 2, 3 uzly
Vznik stojaté vlny odrazem
- pevný konec - uzel odražená
vlna má opačnou
fázi
- volný konec - kmitna odražená
vlna má stejnou
fázi
Stojaté vlny
HRW 17.58
Návod: a) odvodit obecnou rovnici pro stojatou vlnu pro y‘ = y1 + y2,
kde y1 = ymsin(kx-t) a y2 = ymsin(kx+t). Z toho 2 ym = 0,5 cm.
Fázová rychlost vlny je v = /k.
b) Pro uzly platí: sin(kx) = 0 → kx = m; řešíme pro m = 0 a m = 1 → x
c) Příčná rychlost je změna výchylky y‘ v čase . Vyjádříme obecnou
rovnici a dosadíme hodnoty x a t ze zadání.
t
y

 '
a) ym = 0,25 cm; v = 1,2 m/s; b) x = 3 cm; c) vp = 0 m/s
Skládání kmitů - rázy
Prostředím postupují současně dvě zvukové vlny, které mají různou frekvenci f1
a f2. V místě pozorovatele (detektoru) se skládají výchylky/kmity – důsledek
dvou postupných vln, které dospěly do bodu se souřadnicí x.
Hledáme výslednou výchylku:
𝑦 𝑡 = 𝑦1 𝑡 + 𝑦2 𝑡
𝑦1 𝑡 = 𝑦 𝑚 sin(𝜔1 𝑡) 𝑦2 𝑡 = 𝑦 𝑚 sin(𝜔2 𝑡)
V případě, že frekvence f1 a f2 jsou různé, ale blízké, tj. f1 ≠ f2 ale f1 → f2 (mají
„skoro“ stejnou hodnotu, neliší se o víc než 20 Hz) může dojít ke vzniku rázů –
slyšíme zesilování a zeslabování výsledného signálu.
𝑦 𝑡 = 𝑦1 𝑡 + 𝑦2 𝑡 = 𝑦 𝑚 (sin(𝜔1 𝑡) + sin(𝜔2 𝑡))
𝑦 𝑡 = 2𝑦 𝑚cos
𝜔1 − 𝜔2
2
𝑡 sin
𝜔1 + 𝜔2
2
𝑡
R S
Skládání kmitů - rázy
𝑦 𝑡 = 2𝑦 𝑚cos
𝜔1 − 𝜔2
2
𝑡 sin
𝜔1 + 𝜔2
2
𝑡
R S
S= 1  2)/2
2= 2f2
1= 2f1
R= 1  2)/2
fS = f1  f2)/2 = 1/TS
fR = f1  f2)/2 = 1/TR
TR
TS
Frekvence výsledného
signálu fS:
Amplituda výsledného
signálu kolísá s frekvencí fR:
Za dobu jedné periody TR slyšíme 2x nejsilnější
signál → počet rázů:
N = 2fR = f1  f2)
Fourierova transformace
Joseph Fourier (1768-1830)
Francouzský matematik, který přišel na to, že jakýkoli impuls může být složen ze sinusových a kosinusových impulsů.
Položil tak základy teorie trigonometrických řad. Nezanedbatelný byl také jeho přínos k teorii funkcí reálné proměnné.
Studoval podrobně problémy matematické fyziky. V roce 1822 vytvořil matematickou teorii, která řešila diferenciální
rovnice. Théorie Analytique de la Chaleur (Analytic Theory of Heat).
Fourier věřil, že mu při nějaké nemoci pomůže bylinkový zábal a takto zabalen spadl dolů ze schodů a zabil se...
Princip superpozice
Princip superpozice
 tn
n
y
n


sin
11

T 2
Fourierova analýza
Vlnu libovolného tvaru lze vyjádřit
ve tvaru součtu velkého počtu
sinusových vln.
Potřebujeme najít vhodnou kombinaci
jejich amplitud a frekvencí. Potom
dovedeme namodelovat libovolný
časový průběh. Čím větší bude počet
harmonických funkcí v modelu, tím
přesnější výsledek dostaneme.
Modelovaný časový průběh
Výsledek modelu tvořeného
součtem 6 sinusových průběhů
6 harmonických (sinusových)
funkcí využitých pro model
Princip superpozice
Fourierova analýza
Fourierova řada a transformace
řada: na konečném intervalu (sumace)
transformace: v neomezeném prostředí (integrace)
( ) e
( ) e
n
n
i t
n
n
ik x
n
n
f t c
f x c




 ( )
( ) 3
[ ( ) ] 3
( ) ( )e
( ) ( )e
( , ) ( )e
( , ) ( )e
( , ) ( )e
i t
ik x
i k x t
i t
i t
t c d
x c k dk
t x c k dk d
t c k d k d
t c k d k




  

 
 









 


 











k x
k x k
x
x
Fourierova transformace je složení
obecné vlny z rovinných vln
Fourierova řada je
složení konečného
pulsu ze sinů a
kosinů
Princip superpozice
xixeix
sincos 
Mocninné řady funkcí e, sin, cos 
• Dopplerův jev
• využití v praxi
• rázová vlna
Christian Andreas Doppler (1803-1853)
Rakouský matematik a fyzik, část svého krátkého života strávil jako profesor ČVUT v Praze, později přednášel na
Vídeňské polytechnice. Ve známost vešel především objevem změny frekvence vlnění při vzájemném pohybu zdroje
a pozorovatele (Dopplerův princip). Publikoval také práce o elektřině a magnetismu, zabýval se časovou proměnností
magnetické deklinace, napsal několik článků z optiky a astronomie.
Dopplerův jev
zdroj i pozorovatel v klidu
Dopplerův jev

v
T
ff 
1
0
f – detekovaná frekvence
f0 –frekvence zdroje
v – rychlost zvuku
pozorovatel se hýbe

Dopplerův jev

Dvv
f


v
vv
ff D
 0
Dv Dv
f – detekovaná frekvence
f0 –frekvence zdroje
v – rychlost zvuku
vD – rychlost detektoru
zdroj se hýbe
Dopplerův jev
zv
𝑓 =
𝑣
𝜆´
=
𝑣
𝑣 ∓ 𝑣𝑧 𝑇
⟹ 𝑓 = 𝑓0
𝑣
𝑣 ∓ 𝑣𝑧
f – detekovaná frekvence
f0 –frekvence zdroje
v – rychlost zvuku
vz – rychlost zdroje
zdroj i pozorovatel se hýbe
Dopplerův jev
zv
Dv Dv
𝑓 =
𝑣 ± 𝑣 𝐷
𝑣 ∓ 𝑣𝑧 𝑇
⟹ 𝑓 = 𝑓0
𝑣 ± 𝑣 𝐷
𝑣 ∓ 𝑣𝑧
f – detekovaná frekvence
f0 –frekvence zdroje
v – rychlost zvuku
vD – rychlost detektoru
vZ – rychlost zdroje
využití v praxi
• měření rychlosti radarem
• echokardiografie
• určování vzdáleností v
astronomii
University of Yale
Dopplerův jev
HRW II – 18.79 Ú
Siréna vydávající zvuk frekvence 1 000 Hz se pohybuje směrem od nás ke
stěně skalního útesu rychlostí 10 m.s-1. Rychlost zvuku ve vzduchu je 330
m.s-1.
a) Jaká je frekvence zvuku, který slyšíme přímo od sirény?
b) Jaká je frekvence zvuku odraženého od útesu?
c) Jaká je frekvence záznějů (rázů)? Může lidské ucho tyto zázněje rozeznat
(jejich frekvence musí být nižší než 20 Hz)?
Návod k řešení:
a) Zdroj se pohybuje směrem od nás, my jsme v klidu, výsledná frekvence f1:
b) Siréna = zdroj se pohybuje směrem k útesu  na útes dopadají vlny s frekvencí f2
(přibližující se zdroj). Útes se nehýbe  odráží vlny s frekvencí f2 beze změny.
c) Zázněje vznikají, pokud k nám dospějí dvě vlny s různou, ale blízkou frekvencí.
Projevují se periodickým zesilováním/zeslabováním signálu. Počet záznějů (odvozeno v
rámci PC) vypočítáme jako rozdíl frekvencí obou dopadajících vln. Lidské ucho
registruje max. 20 zesílení/zeslabení za 1 sekundu. Vyšší počet změn už není schopno
vyhodnotit. V našem případě:
HzHz
vv
v
ff
z
971
340
330
100001 


HzHz
vv
v
ff
z
1031
320
330
100002 


rozeznatnelze6012  HzffN
Rázová vlna
A
C
B
/2
Dopplerův jev
vvz 
vvz 
zz v
v
tv
vt
AB
AC

2
sin

Zv
(Machův úhel)
Machův kužel
v .. rychlost zvuku
vZ .. rychlost zdroje
Podzvuková a nadzvuková
rychlost střely.
Dopplerův jev
Rázová vlna
v
vZ
= Machovo číslo
Stíhačka F/A-18C Hornet při překročení zvukové bariery
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:FA-8_Hornet_breaking_sound_barrier_%287_July_1999%29.jpg