1
MATEMATICKÝ APARÁT:
VEKTORY, SOUŘADNÉ SYSTÉMY,
PRŮBĚH FUNKCE,
DERIVACE, INTEGRÁLY,
KOMPLEXNÍ ČÍSLA.
2
1. Vektory ve fyzice
1.1 Základní pojmy
Vektory jsou fyzikální veličiny, které jsou charakterizovány
 velikostí (v příslušných fyzikálních jednotkách),
 orientovaným směrem v prostoru.
Příklady vektorů: rychlost, zrychlení, síla, intenzita
elektrického pole.
Nulový vektor (symbol 0⃗ ) je vektor, jehož velikost se
rovná nule. Nulový vektor nemá směr.
Geometrický obraz vektoru
Velikost libovolného vektoru a

označujeme a nebo a

.
Jednotkový vektor 0
a

ve směru vektoru a

je vektor, který má
stejný směr a orientaci jako vektor a

, a jeho velikost
se rovná jedné
a
a
a


0
.
3
1.2 Sčítání (skládání) vektorů
Sčítat můžeme pouze vektory stejného druhu,
21 aaa

 .
Vektory se společným působištěm sčítáme geometricky.
Určení součtu výpočtem:
cos2 21
2
2
2
1
2
aaaaa  (kosinová věta),
 +  = π, cos = −cos
cos2 21
2
2
2
1 aaaaa  (velikost výslednice),
 sinsin 1
1
a
a
 (sinová věta, směr výslednice).
Platí zákon komutativní,
abba

 .
Platí zákon asociativní,
)()( cbacbacba

 .
Sčítání vektorů
4
1.3 Odčítání vektorů
Vektorem opačným k vektoru b

rozumíme vektor b

 , který má stejnou velikost
a opačný směr.
Rozdíl dba

 dvou vektorů určíme jako součet vektoru a

s vektorem b

 ,
)( bad

 .
Odčítání vektorů
5
1.4 Násobení vektoru skalárem
Násobení vektoru a

skalárem k:
akb

 ,
akb  .
Je-li k kladné, má vektor b

stejný směr jako vektor a

.
Je-li k záporné, má vektor b

opačný směr než vektor a

.
Pokud vektor a

dělíme skalárem 0k , výsledkem je
násobení vektoru převrácenou hodnotou
k
1
.
Příklady
Vektor )1,2,3( =a

násobíme skalárem k = 2, výsledkem je vektor )2,4,6( =b

.
Vektor )4,0,2(=c

násobíme skalárem k = −
1
2
, výsledkem je vektor )2,0,1( =d

.
6
1.5 Analytické vyjádření vektorů
Leží-li obrazy tří vektorů a

, 1a

, 2a

v jedné rovině, říkáme, že tyto vektory jsou
komplanární. Platí
2211 aaa

  .
Vektor 11a

 je složkou vektoru a

ve směru daném
směrem vektoru 1a

, vektor 22a

 je složkou ve
směru vektoru 2a

.
1a

, 2a

– bázové (základní) vektory.
1, 2 – souřadnice vektoru a

.
Rozklad vektoru do dvou směrů
Libovolný vektor a

v prostoru můžeme vyjádřit pomocí nekomplanárních základních
vektorů 1a

, 2a

, 3a

,
332211 aaaa

  .
7
Rozklad libovolného vektoru a

v ortogonálním pravotočivém systému jednotkových
vektorů kji

,, , které určují směry os x, y, z:
zyx aaa=a

 .
Vektory zyx aaa

,, jsou složkami vektoru a

v
daném systému kji

,,
iaa xx

 , jaa yy

 , kaa zz

 .
Veličiny ax, ay, az jsou souřadnicemi vektoru a

kajaiaa zyx

 .
Pro velikost vektoru a

platí
222
zyx aaaa  .
Směrové úhly , ,  vektoru a

určíme z rovnic
a
a=
a
a
=
a
a= zyx
 cos,cos,cos .
Pro směrové kosiny platí
1coscoscos 222
  .
Složky vektoru v pravoúhlé
souřadnicové soustavě
8
Jsou-li vektory stejného druhu zadány v analytickém tvaru, zjistíme jejich součet (rozdíl)
pomocí součtu (rozdílu) příslušných souřadnic.
Příklady
Při skládání dvou sil
kjiFFFkFjFiFF zyxzyx

 23)1,2,3(),,( 1111111 ,
kjiFFFkFjFiFF zyxzyx

402)4,0,2(),,( 2222222  ,
je výsledná síla
)5,2,1()41,02,23(),,( 21212121  zzyyxx FFFFFFFFF

nebo
kjikjikFFjFFiFFF zzyyxx

52)41()02()23()()()( 212121 
Rozdíl dvou vektorů
)3,2,5()41,02,23(),,( 21212121  zzyyxx FFFFFFFFF

nebo
kjikFFjFFiFFFFF zzyyxx

325)()()( 21212121  .
Velikost vektoru
38)3()2(5|| 222222
 zyx FFFFF

9
Při násobení vektoru skalárem násobíme skalárem jednotlivé souřadnice daného
vektoru.
Příklad
Při určování hybnosti tělesa o hmotnosti m = 3, které se pohybuje rychlostí
kjivvvkvjvivv zyxzyx

254)2,5,4(),,(  ,
je výsledná hybnost
)6,15,12(61512),,(  kjimvmvmvkmvjmvimvvmp zyxzyx

.
10
1.6 Skalární součin dvou vektorů
Skalární součin vektorů a

a b

je definován vztahem
cosba=ba

 ,
kde a, b jsou velikosti vektorů a

, b

,  je úhel jimi sevřený.
Skalární součin se označuje násobící tečkou mezi vektory.
Výsledkem skalárního součinu je skalární veličina.
Mezní případy:
 vektory mají stejný směr ( = 0) − maximální hodnota,
 vektory jsou na sebe kolmé ( =
2
π
) − nulová hodnota.
Skalární součiny jednotkových vektorů jsou
1 kkjjii

,
0 ik=kj=ji

.
11
Platí zákon komutativní,
ab=ba

 .
Platí zákon distributivní,
cabac+ba

 )( .
Pro vektory a

, b

v analytickém tvaru
,
,
kbjbibb
kajaiaa
zyx
zyx




je jejich skalární součin roven
zzyyxxzyxzyx bababa=kbjbib.kajaiaba  )()(

.
Příklad
Vektor )1,2,3( =a

násobíme vektorem )2,4,0( =b

, výsledkem skalárního součinu je
skalární veličina
10280)2()1(4203)240()123(  kjikji=ba

.
12
Pro kosinus úhlu, který svírají vektory a

, b

, platí
222222
cos
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
ab
ba







Příklad
Vypočítáme, jaký úhel svírají vektory jia

 a kjib

22  .
Velikosti vektorů
20)1(1 222222
 zyx aaaa
392)2(1 222222
 zyx bbbb
302120)2()1(11)22()0(  kjikji=ba

7071,0
2
1
32
3
cos 




ab
ba


Vektory a

, b

svírají úhel
4

nebo 45°.
13
1.7 Vektorový součin dvou vektorů
Výsledkem vektorového součinu ba=c

 je vektor, který má tyto vlastnosti:
1. Jeho velikost je sinba=c ,
kde  je úhel sevřený vektory ba

, .
Velikost vektorového součinu se číselně rovná plošnému
obsahu rovnoběžníku sestrojeného z obou vektorů.
2. Je kolmý k rovině určené vektory ba

, .
3. Jeho orientace je dána pravidlem pravotočivého šroubu (vývrtky):
Vektor c

míří na tu stranu, na kterou by postupoval pravotočivý šroub při otáčení od
vektoru a

k vektoru b

ve směru menšího úhlu mezi oběma vektory.
14
Další možnost je použít pravidlo pravé ruky:
Ohnuté prsty pravé ruky postupují od vektoru a

k vektoru b

ve směru menšího úhlu
mezi oběma vektory, palec pak ukazuje orientaci vektoru c

.
Nebo:
Jsou-li vektory a

a b

znázorněny ukazovákem a prostředníkem pravé ruky, pak
vektor c

má směr palce.
15
Mezní případy:
 vektory ba

, jsou navzájem kolmé ( =
2

) − maximální velikost vektoru c

,
 vektory mají stejný směr a orientaci ( = 0) − nulový vektor c

.
Pro vektorové součiny jednotkových vektorů kji

,, platí
0=kk=jj=ii

 ,
j=iki=kjk=ji

 ,, .
Neplatí zákon komutativní
ab=ba

 ,
Platí zákon distributivní
ca+bac+ba

 )( .
16
Jsou-li vektory ba

, zadány v analytickém tvaru, platí
.)()()(
)()(
kbaba+jbaba+ibaba
kbjbibkajaiaba
xyyxzxxzyzzy
zyxzyx




Tento výraz můžeme zapsat ve tvaru determinantu
bbb
aaa
kji
ba
zyx
zyx


 .
Poznámka: Dělení vektoru vektorem není definováno, proto nesmíme vektorové rovnice
krátit vektorem.
17
2. Souřadné systémy a polohový vektor
2.1 Určení polohy v rovině
a) Kartézská soustava souřadnic, např. x, y (obr. a)
b) Polární souřadnice r,  (obr. b)
с) Polohový vektor r

(obr. c)
Polohový vektor r

definujeme jako vektor, jehož počátek je v počátku souřadné soustavy
a jeho koncový bod je v místě, kde se nachází bod, jehož polohu určujeme.
Souřadnice polohového vektoru jsou shodné se souřadnicemi daného bodu.
18
Určení polohy v prostoru
a) Kartézské souřadnice x, y, z (obr. a)
b) Polohový vektor r

(obr. b)
c) Válcové souřadnice , , z (obr. c)
d) Kulové souřadnice r, , θ (obr. d)
V pravoúhlém souřadnicovém
systému s jednotkovými
vektory i

, j

, k

ve směru
souřadnicových os je poloha
bodu M o souřadnicích x, y, z
dána polohovým vektorem
kzjyixr

 ,
jehož velikost je
zyxr = 222
 .
19
3. Funkce
Zobrazení (předpis), který každému prvku (např. číslo) z jedné množiny (definiční obor)
přiřadí jednoznačně jeden prvek (číslo, vektor) z druhé množiny (obor hodnot).
Zadání funkce:
 Explicitní: )(xfy 
 Implicitní: 0),( yxF
 Parametrické: )(1 tfx  , )(2 tfy 
 Grafické
Příklady
Explicitní: 𝑦 = 𝑥2
+ 2𝑥 + 1
Implicitní: 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
Parametrické: 𝑥 = sin 𝑡, 𝑦 = cos 𝑡
20
3.1 Průběh funkce
Vyšetřit průběh funkce znamená nakreslit graf této funkce jen ze znalosti jejího předpisu
y = f (x). Ze zadaného předpisu funkce zjistíme co nejvíce o chování dané funkce,
popíšeme a propočítáme různé její vlastnosti.
Postup vyšetřování průběhu funkce
 Definiční obor a obor hodnot funkce a její omezenost.
 Průsečíky se souřadnými osami a intervaly, kde je funkce kladná a záporná.
 Symetrie a periodičnost funkce, parita (sudá, lichá, ani jedno, obojí).
Sudost f (−x) = f (x) – graf funkce je osově souměrný podle osy y.
Lichost f (−x) = −f (x) – funkce je středově souměrná podle počátku souřadnicového
systému.
Ani sudá, ani lichá – žádná symetrie.
Periodičnost f (x + P) = f (x).
 Monotónnost (rostoucí, klesající) a extrémy (minima a maxima, lokální, globální) –
pomocí první derivace.
 Konvexnost, konkávnost a inflexní body – pomocí druhé derivace.
 Asymptoty se směrnicí a bez směrnice – pomocí limit.
21
3.2 Lineární funkce
baxy 
Rostoucí Klesající Konstantní
22
3.3 Exponenciální funkce
Exponenciální funkcí (exponenciálou) je každá funkce
tvaru x
ay  , kde 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1.
Číslo a je tzv. základ, x je exponent.
Zvláštní význam má exponenciální funkce
o přirozeném základu e = 2,71828 18284 … (Eulerovo
číslo): bx
ay e , )exp(bxay 
23
3.4 Mocninné funkce
r
axy 
Mocninná funkce s lichým r Mocninná funkce se sudým r
24
3.5 Polynomické funkce
01
1
1 ... axaxaxay n
n
n
n  

25
3.6 Logaritmické funkce
Logaritmická funkce je matematická funkce, která je inverzní k exponenciální funkci.
Logaritmus kladného reálného čísla x při základu a (𝑎 ∈ ℝ+
\{1}) je takové reálné číslo
𝑦 = log 𝑎 𝑥, pro které platí 𝑎 𝑦
= 𝑥. V tomto vztahu a označuje základ logaritmu.
Dekadický logaritmus o základu 10: 𝑦 = log 𝑥, 𝑦 = lg 𝑥.
Přirozený logaritmus o základu e = 2,71828 18284 … (Eulerovo číslo): 𝑦 = ln 𝑥.
26
Vlastnosti logaritmů
𝑎log 𝑎 𝑥
= log 𝑎 𝑎 𝑥
= 𝑥
log 𝑏 𝑏 = 1
log 𝑏1 = 0
log 𝑏( 𝑎𝑐) = log 𝑏 𝑎 + log 𝑏 𝑐 (Logaritmus součinu je součet logaritmů)
log 𝑏
𝑎
𝑐
= log 𝑏 𝑎 − log 𝑏 𝑐 (Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů)
log 𝑏 𝑎 𝑟
= 𝑟log 𝑏 𝑎, tzn. log 𝑏 √ 𝑎
𝑛
=
1
𝑛
log 𝑏 𝑎 (Logaritmus mocniny je násobek logaritmu)
log(𝑏 𝑟) 𝑎 =
1
𝑟
log 𝑏 𝑎 =
log 𝑏 𝑎
𝑟
, tzn. log √ 𝑏
𝑛 𝑎 = 𝑛log 𝑏 𝑎 ⟹ log(𝑏 𝑟) 𝑎 𝑛
=
𝑛
𝑟
log 𝑏 𝑎
log 𝑎 𝑥 =
log 𝑏 𝑥
log 𝑏 𝑎
= log 𝑎 𝑏 log 𝑏 𝑥 nebo log 𝑎 𝑥 =
log 𝑥
log 𝑎
=
ln 𝑥
ln 𝑎
log 𝑏 𝑎 =
1
log 𝑎 𝑏
27
3.7 Goniometrické funkce
Sinus: xy sin
Kosinus: xy cos
Tangens: xy tg , xy tan ,
x
x
x
cos
sin
tg 
Kotangens: xy cotg , xy cot
Tabulkové hodnoty
x 0° 30°,
6
π
45°,
4
π
60°,
3
π
90°,
2
π
sin x 0
2
1
2
2
2
3
1
cos x 1
2
3
2
2
2
1
0
tg x 0
3
3
1 3 –
cotg x – 3 1
3
3
0
28
Grafy f(x) = sin(x) a f(x) = cos(x)
lichá
  xx sinsin 
sudá
  xx coscos 
xx cos
2
sin 




 

29
Grafy f(x) = tg(x) a f(x) = cotg(x)
30
Jednotková kružnice
sin 𝛼 =
protilehlá odvěsna
přepona
=
𝑎
1
= 𝑎
y-ová souřadnice bodu A
cos 𝛼 =
přilehlá odvěsna
přepona
=
𝑏
1
= 𝑏
x-ová souřadnice bodu A
Kvadrant I. II. III. IV.
sin α + + – –
cos α + – – +
Příklady goniometrických funkcí ve fyzice:
   txx sinm
   txx cosm
31
Vybrané vzorce z oblasti goniometrie
sin2
𝛼 + cos2
𝛼 = 1
cotg 𝛼 =
1
tg 𝛼
sin ( 𝛼 ± 𝛽) = sin α cos β ± cos α sin β
cos ( 𝛼 ± 𝛽) = cos 𝛼 cos β ∓ sin α sin β
sin 𝛼 + sin 𝛽 = 2 sin (
𝛼 + 𝛽
2
) cos (
𝛼 − 𝛽
2
)
sin 𝛼 − sin 𝛽 = 2 cos (
𝛼 + 𝛽
2
) sin (
𝛼 − 𝛽
2
)
cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos (
𝛼 + 𝛽
2
) cos (
𝛼 − 𝛽
2
)
cos 𝛼 − cos 𝛽 = −2 sin (
𝛼 + 𝛽
2
) sin (
𝛼 − 𝛽
2
)
32
4. Derivace funkce
4.1 Problém tečny a definice derivace
Derivaci funkce lze definovat jako změnu (růst nebo pokles) grafu funkce, a to za
předpokladu možnosti nekonečně malých změn.
Derivování je proces výpočtu derivace zadané funkce.
Fyzikální význam derivace
Derivace vyjadřuje, jak závisí změna jedné veličiny (závislá veličina) na veličině druhé
(nezávislá veličina).
Pokud se jedná o funkci času, pak vyjadřuje „rychlost“ změny dané veličiny (např.
rychlost v vyjadřuje „rychlost“ změny polohy, zrychlení a vyjadřuje „rychlost“ změny
rychlosti).
33
Na obrázku je graf funkce, která má v bodě x hodnotu f(x) a v bodě x+Δx má hodnotu
f(x+Δx). Body jsou vyznačeny jako A a B (obr. a). Spojnice obou bodů tvoří sečnu křivky.
Její směrnici (sklon) lze vyjádřit jako poměr změny hodnoty funkce ke změně argumentu,
tzn.
𝑓( 𝑥+Δ𝑥)−𝑓(𝑥)
(𝑥+Δ𝑥)−(𝑥)
=
𝑓( 𝑥+Δ𝑥)−𝑓(𝑥)
Δ𝑥
(poměr přírůstků).
Pokud budeme body A a B přibližovat (obr. b), tj. zmenšovat diferenci Δx až k nule, přejde
sečna nakonec v tečnu (obr. c). Tečna svírá úhel s osou x a tangens tohoto úhlu nazýváme
směrnicí tečny. Derivaci funkce v bodě lze s dostatečnou přesností aproximovat touto
směrnicí tečny.
34
Poznámka: Je-li v bodě dotyku křivka rostoucí, bude její derivace >0 a je-li klesající,
bude derivace <0. Pokud křivka v bodě dotyku dosahuje maxima nebo minima a tečna je
tedy rovnoběžná s osou x, bude derivace rovna nule.
35
Geometrický význam derivace
Derivace funkce v bodě x je
směrnice tečny ke grafu funkce
v bodě [ 𝑥, 𝑓(𝑥)]. Tečnu lze popsat
pomocí obecné rovnice přímky
𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞.
Pro výpočet derivace je potřeba
zjistit jak rychle se mění graf
funkce v bodě dotyku. Za tímto
účelem vypočítáme směrnici tečny,
která se rovná tangens uhlu α:
𝑘 = tg 𝛼 =
Δ𝑓
Δ𝑥
=
𝑓( 𝑥+Δ𝑥)−𝑓(𝑥)
Δ𝑥
,
tj. změna hodnoty funkce Δf v poměru ke změně argumentu Δx pro velmi malé změny
argumentu.
Derivaci lze také zapsat jako
𝑓′
= lim
∆𝑥→0
Δ𝑓
Δ𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓( 𝑥+Δ𝑥)−𝑓(𝑥)
Δ𝑥
=
d𝑓
d𝑥
.
36
Způsoby zápisu derivace
 matematika: yfxyxf  ,),(),(
 fyzika:
x
y
d
d
, pro derivaci podle času se používá také symbol tečky, např.
t
x
x
d
d
 .
Diferenciál funkce vyjadřuje závislost změny hodnoty funkce na malé změně jejího
argumentu. Tuto závislost aproximuje jako přímou úměrnost v okolí zvoleného bodu.
Diferenciál dy funkce y = f (x) v bodě x při změně argumentu dx je součin
d𝑦 = 𝑓′( 𝑥)d𝑥.
Derivace vyšších řádů
funkce →1. derivace → 2. derivace → atd.
Zápis 2. derivace: )(
d
d
2
2
xfy
x
y
 , pro funkce času, např. x = x(t), lze x .
37
4.2 Derivace elementárních funkcí
.konsty 0
d
d

x
y
xy  1
d
d

x
y
n
xy  1
d
d 
 n
nx
x
y
xy sin x
x
y
cos
d
d

xy cos x
x
y
sin
d
d

x
y e x
x
y
e
d
d

xy ln
xx
y 1
d
d

38
4.3 Základní pravidla pro počítání s derivacemi
vuvu  )( ,
vuvu  )( ,
vuvuvu  )( ,
2
v
vuvu
v
u 








, pro v ≠ 0,
ucuc  )( , kde c je konstanta.
Derivace složené funkce )]([ xfy  , tj. )(ufy  a )(xu  :
)()( xufy  .
39
4.4 Parciální derivace: pro funkce více proměnných
),,,( tzyxfu  .
Pak derivace
x
u


,
y
u


,
z
u


,
t
u


provádíme tak, že derivujeme funkci vždy podle příslušné proměnné (x, y, z nebo t),
k ostatním proměnným se přitom chováme jako ke konstantám.
40
Příklad 1
Vypočítáme derivaci následujících funkcí:
a) 𝑦 = 5 ⟹ 𝑦′
= 0
b) 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥 + 3 ⟹ 𝑓′( 𝑥) = 2𝑥 + 1
c) 𝑓( 𝑡) = 2 sin 𝑡 ⟹ 𝑓′( 𝑡) = 2 cos 𝑡
d) 𝑓( 𝑧) = cos 𝑧 + 1 ⟹ 𝑓′( 𝑧) = − sin 𝑧
e) 𝑦( 𝑡) = sin 𝑡 + cos 𝑡 ⟹ 𝑦′( 𝑡) = cos 𝑡 − sin 𝑡
f) 𝑦 = 𝑒2𝑥
⟹ 𝑦′
= ( 𝑒2𝑥)′(2𝑥)′
= 𝑒2𝑥
∙ 2 = 2𝑒2𝑥
g) 𝑦( 𝑥) = ln( 𝑥2
+ 1) ⟹ 𝑦′( 𝑥) = (ln( 𝑥2
+ 1))′( 𝑥2
+ 1)′
=
1
( 𝑥2+1)
(2𝑥)
41
h) 𝑦( 𝑥) =
𝑥2+2𝑥+1
𝑥+2
⟹ 𝑦′( 𝑥) =
(𝑥2+2𝑥+1)′( 𝑥+2)−(𝑥2+2𝑥+1)( 𝑥+2)′
( 𝑥+2)2 =
=
(2𝑥 + 2)( 𝑥 + 2) − ( 𝑥2
+ 2𝑥 + 1)(1)
( 𝑥 + 2)2
=
=
2𝑥2
+ 2𝑥 + 4𝑥 + 4 − 𝑥2
− 2𝑥 − 1
( 𝑥 + 2)2
=
𝑥2
+ 4𝑥 + 3
( 𝑥 + 2)2
i) 𝑓( 𝑥) = 𝑒 𝑥
sin 𝑥 ⟹ 𝑓′( 𝑥) = ( 𝑒 𝑥)′
sin 𝑥 + 𝑒 𝑥(sin 𝑥)′
=
= 𝑒 𝑥
sin 𝑥 + 𝑒 𝑥
cos 𝑥 = 𝑒 𝑥
(sin 𝑥 + cos 𝑥)
j) 𝑦( 𝑡) = ln 𝑡 cos 𝑡 ⟹ 𝑦′( 𝑡) = (ln 𝑡)′
cos 𝑡 + ln 𝑡 (cos 𝑡)′
=
1
𝑡
cos 𝑡 + ln 𝑡 (− sin 𝑡) =
=
cos 𝑡
𝑡
− ln 𝑡 sin 𝑡
42
Příklad 2
Určete první a druhé derivace funkcí:
a) 𝑦 = 3 ⟹
d𝑦
d𝑥
= 0,
d2 𝑦
d𝑥2 = 0
b) 𝑦( 𝑥) = 2𝑥3
− 4𝑥2
− 𝑥 + 5
d𝑦
d𝑥
= 2 ∙ 3𝑥2
− 4 ∙ 2𝑥 − 1 + 0 = 6𝑥2
− 8𝑥 − 1,
d2
𝑦
d𝑥2
= 6 ∙ 2𝑥 − 8 − 0 = 12𝑥 − 8
c) 𝑓( 𝑡) = 3 sin 𝑡
d𝑓
d𝑡
= 3 cos 𝑡,
d2 𝑓
d𝑡2 = 3 ∙ (− sin 𝑡) = −3 sin 𝑡
43
d) 𝑓( 𝑥) = sin(2𝑥)
d𝑓
d𝑥
= (sin 2𝑥)′
∙ (2𝑥)′
= cos 2𝑥 ∙ 2 = 2 cos 2𝑥,
d2
𝑓
d𝑥2
= (2cos 2𝑥)′
∙ (2𝑥)′
= −2 sin 2𝑥 ∙ 2 = −4 sin 2𝑥
e) 𝑢(𝑥) = 𝑒3𝑥
+ 𝑒−𝑥
− 𝑒2
d𝑢
d𝑥
= ( 𝑒3𝑥)′
∙ (3𝑥)′
+ ( 𝑒−𝑥)′
∙ (−𝑥)′
− ( 𝑒2)′
= 𝑒3𝑥
∙ 3 + 𝑒−𝑥
∙ (−1) − 0 =
= 3𝑒3𝑥
− 𝑒−𝑥
d2
𝑢
d𝑥2
= (3𝑒3𝑥)′
∙ (3𝑥)′
−( 𝑒−𝑥)′
∙ (−𝑥)′
= 3𝑒3𝑥
∙ 3 − 𝑒−𝑥
∙ (−1) = 9𝑒3𝑥
+ 𝑒−𝑥
44
Příklad 3
Určete parciální derivace 1. řádu funkce f (x, y, z, t) podle jednotlivých proměnných.
𝑓 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 3𝑥2
− 2𝑦2
+ 4𝑥𝑦 − 5𝑦𝑧2
+ 𝑥𝑡2
− 𝑡 + 6
∂𝑓
∂𝑥
= 6𝑥 − 0 + 4𝑦 − 0 + 𝑡2
− 0 + 0 = 6𝑥 + 4𝑦 + 𝑡2
∂𝑓
∂𝑦
= 0 − 4𝑦 + 4𝑥 − 5𝑧2
+ 0 − 0 + 0 = −4𝑦 + 4𝑥 − 5𝑧2
∂𝑓
∂𝑧
= 0 − 0 + 0 − 10𝑦𝑧 + 0 − 0 + 0 = −10𝑦𝑧
∂𝑓
∂𝑡
= 0 − 0 + 0 − 0 + 2𝑥𝑡 − 1 + 0 = 2𝑥𝑡 − 1
45
4.5 Derivace vektorové funkce skalární proměnné podle skaláru
Vektory mohou být závislé na proměnných skalárních veličinách (čas, úhel, souřadnice
bodu atd.).
Například polohový vektor při pohybu hmotného bodu
po kružnici o poloměru r zapíšeme jako
jrirjyixr

 sincos  ,
kde  = (t) je úhlová souřadnice hmotného bodu
v polárních souřadnicích.
Uvedená vektorová funkce vyjadřuje závislost
polohového vektoru r

na úhlu , resp. na skalárním
argumentu t podle vztahu  = (t).
Je-li vektorová funkce )(tu

zadána pomocí souřadnic ux, uy, uz, tj. kujuiuu zyx

 a
souřadnice jsou funkcemi skalární proměnné t, je derivace
k
t
uj
t
u
i
t
u
t
u zyx

d
d
d
d
d
d
d
d
 .
46
4.6 Pravidla pro derivaci vektorových funkcí:
t
b
t
a
ba
t d
d
d
d
)(
d
d

 ,
t
a
ma
t
m
am
t d
d
d
d
)(
d
d


 ,
t
b
ab
t
a
ba
t d
d
d
d
)(
d
d


 ,
t
b
ab
t
a
ba
t d
d
d
d
)(
d
d


 .
47
5. Integrální počet
5.1 Základní pojmy a definice
Integrování funkce je proces opačný k derivování.
Primitivní funkce k dané funkci f (x) je taková funkce F(x), pro kterou platí ).()( xfxF 
Je to tedy funkce, jejíž derivací je funkce f (x).
Neurčitým integrálem funkce f (x) nazýváme výraz CxF )( , kde F(x) je primitivní
funkce k funkci f (x) a C je konstanta. Neurčitý integrál je tedy funkce
CxFxxf  )(d)( .
Neurčitý integrál úzce souvisí s derivací (pozor na konstantu).
Určitým integrálem funkce f (x) v mezích od a do b (uzavřený interval <a, b>) je číslo
)()(d)( aFbFxxf
b
a
 .
48
Geometrický význam určitého integrálu
Určitý integrál se číselně rovná plošnému obsahu určenému částí grafu funkce )(xfy 
v mezích od a do b a osou x.
Podle pořadí mezí se mění znaménko výsledku

a
b
b
a
xxfxxf .d)(d)(
49
5.2 Integrace elementárních funkcí
Cxx d
C
n
x
xx
n
n




 1
d
1
Cxxx  cosdsin
Cxxx  sindcos
Cx xx
 ede
Cxx
x
 ||lnd
1
50
5.3 Základní pravidla pro počítání s integrály
 xxfkxxfk d)(d)( , kde k je konstanta
  xvxuxvu dd)d( , kde u = u(x), v = v(x)
  xvxuxvu dd)d( , kde u = u(x), v = v(x)
Další metody integrace: per partes, substituce.
Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí.
∫ 𝑢 d𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 d𝑢
51
Příklad 1
Vypočítáme následující integrály:
a) ∫ 2 d𝑡 = 2𝑡 + 𝐶
b) ∫(3𝑡3
+ 2𝑡2
− 4𝑡 + 1)d𝑡 = ∫ 3𝑡3
d𝑡 + ∫ 2𝑡2
d𝑡 − ∫ 4𝑡d𝑡 + ∫ 1d𝑡 =
=
3𝑡4
4
+
2𝑡3
3
−
4𝑡2
2
+ 𝑡 + 𝐶 =
3
4
𝑡4
+
2
3
𝑡3
− 2𝑡2
+ 𝑡 + 𝐶
c) ∫ 5 sin 𝑥 d𝑥 = 5 ∫ sin 𝑥 d𝑥 = 5 (− cos 𝑥) + 𝐶 = −5 cos 𝑥 + 𝐶
d) ∫ cos 2𝑥 d𝑥 =
1
2
sin 2𝑥 + 𝐶
e) ∫( 𝑒 𝑥
− 1)d𝑥 = ∫ 𝑒 𝑥
d𝑥 − ∫ 1d𝑥 = 𝑒 𝑥
− 𝑥 + 𝐶
52
Příklad 2
Vypočítáme určitý integrál:
a) ∫
𝑥4
2
d𝑥 =
1
2
∫ 𝑥4
d𝑥 =
1
−1
1
−1
1
2
[
𝑥5
5
]
−1
1
=
1
2
∙
1
5
∙ (15
− (−1)5) =
1
10
∙ (1 + 1) =
2
10
=
1
5
b) ∫ √ 𝑥 d𝑥
4
1
= ∫ 𝑥
1
2
4
1
d𝑥 = [
𝑥
3
2
3
2
]
1
4
=
2
3
[𝑥
3
2]
1
4
=
2
3
(4
3
2 − 1
3
2) =
2
3
(√43 − √13) =
=
2
3
(√64 − √1) =
2
3
(8 − 1) =
2
3
∙ 7 =
14
3
c) ∫(3𝑡2
− 2𝑡 + 1)d𝑡 =
3
1
[
3𝑡3
3
−
2𝑡2
2
+ 𝑡]
1
3
= [ 𝑡3
− 𝑡2
+ 𝑡]1
3
=
= (33
− 32
+ 3 − 13
+ 12
− 1) = 27 − 9 + 3 − 1 + 1 − 1 = 20
53
d) ∫ cos 𝑥 d𝑥 =
𝜋
2
0
[sin 𝑥]0
𝜋
2
= sin
𝜋
2
− sin 0 = 1 − 0 = 1
e) ∫ (
1
𝑥
+ 2𝑒 𝑥) d𝑥 = ∫
1
𝑥
2
1
d𝑥 + ∫ 2𝑒 𝑥
d𝑥 = [ln| 𝑥|]1
2
+ [2𝑒 𝑥]1
2
=
2
1
2
1
= ln 2 − ln 1 + 2( 𝑒2
− 2𝑒1) = ln 2 + 2𝑒2
− 2𝑒 = 10,035
54
Příklad 3
Vypočítáme integrál
∫(−2𝑥 + 3) cos 3𝑥 d𝑥
Aplikujeme metodu per partes
∫ 𝑢 d𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 d𝑢
𝑢 = −2𝑥 + 3 d𝑣 = cos 3𝑥 d𝑥
d𝑢 = −2 d𝑥 𝑣 =
1
3
sin 3𝑥
∫(−2𝑥 + 3) cos 3𝑥 d𝑥 = (−2𝑥 + 3) ∙
1
3
sin 3𝑥 − ∫
1
3
sin 3𝑥 ∙ (−2) d𝑥 =
=
−2𝑥 + 3
3
∙ sin 3𝑥 +
2
3
∫ sin 3𝑥 d𝑥 =
=
−2𝑥 + 3
3
∙ sin 3𝑥 +
2
3
(−
1
3
cos 3𝑥) + 𝐶 =
=
−2𝑥 + 3
3
∙ sin 3𝑥 −
2
9
cos 3𝑥 + 𝐶
55
Příklad 4
Vypočítáme určitý integrál
∫
1
(5𝑥 + 1)3
d𝑥
1
0
Použijeme substituci
(5𝑥 + 1) = 𝑡
5d𝑥 = d𝑡 ⟹ d𝑥 =
d𝑡
5
Přepočítáme integrační meze
𝑡1 = 5 ∙ 0 + 1 = 1
𝑡2 = 5 ∙ 1 + 1 = 6
∫
1
(5𝑥 + 1)3
d𝑥 = ∫
1
𝑡3
6
1
d𝑡
5
1
0
=
1
5
∫ 𝑡−3
6
1
d𝑡 =
1
5
[
𝑡−2
−2
]
1
6
=
1
5
∙ (−
1
2
) [
1
𝑡2
]
1
6
=
= −
1
10
(
1
62
−
1
12
) = −
1
10
(
1
36
− 1) = −
1
10
∙
1 − 36
36
= −
1
10
∙ (−
35
36
) =
35
360
=
7
72
56
5.4 Integrace vektorové funkce skalární proměnné podle skaláru
Nechť )(tb

, )(ta

jsou vektorové funkce skalárního argumentu t definované v otevřeném
intervalu t. Jestliže pro všechna t tohoto intervalu platí
a
t
b 


d
d
,
říkáme, že funkce b

je v tomto intervalu primitivní funkcí k funkci a

.
Jestliže je )(tb

primitivní funkcí k funkci )(ta

, je k funkci )(ta

primitivní každá funkce
ctb

)( , kde c

je konstantní vektor. Platí totiž
t
b
cb
t d
d
)(
d
d


 .
Primitivní funkce k dané vektorové funkci a

(t) se nazývá jejím neurčitým integrálem
a označuje se  tta d)(

.
57
Pro ktajtaitata zyx

)()()()(  platí
  ttakttajttaitta zyx d)(d)(d)(d)(

.
Určitým integrálem vektorové funkce )(ta

v intervalu <t1, t2> je výraz
)()(d)( 12
2
1
tbtbtta
t
t

 ,
kde )(tb

je primitivní funkce k funkci )(ta

.
58
6. Komplexní čísla
Komplexní číslo je uspořádaná dvojice reálných čísel.
Algebraický tvar komplexního čísla
i21 aaa 
Pro imaginární jednotku platí
1i2

Někdy je označována imaginární jednotka jako j.
Části komplexního čísla:
 reálná – Re (a) = a1,
 imaginární – Im (a) = a2.
Reálná čísla jsou speciálním případem čísel komplexních.
59
6.1 Operace s komplexními čísly
Komplexní čísla násobíme jako dvojčleny s využitím vztahu 1i2
 .
Součet
i)()()i()i( 22112121 bababbaaba 
Rozdíl
i)()()i()i( 22112121 bababbaaba 
Součin
i)()()i()i( 122122112121 bababababbaaba 
Podíl (pro b ≠ 0)
2
2
2
1
21122211
2
2
2
1
2121
21
21 i)()()i()i(
i
i
bb
babababa
bb
bbaa
bb
aa
b
a









60
Komplexně sdružené číslo (označuje se symbolem * nebo pruhem)
i)i( 2121
*
aaaaaa 
Absolutní hodnota (modul)
*2
2
2
1 aaaaa  ,
tedy
*2
aaa  .
Absolutní hodnota je vždy nezáporné číslo.
Komplexní čísla nelze uspořádat, lze ale uspořádat jejich absolutní hodnoty.
Pravidla pro počítání s absolutní hodnotou:
baba  ,
b
a
b
a
 (pro b ≠ 0).
61
6.2 Grafické znázornění komplexních čísel
Komplexní číslo je možné znázornit jako bod v rovině (Gaussova rovina – reálná
a imaginární osa).
Komplexně sdružená čísla jsou osově souměrná podle reálné (vodorovné) osy.
Argument komplexního čísla
1
2
arctg
a
a
 .
62
6.3 Goniometrický a exponenciální tvar komplexního čísla
Goniometrický tvar
)sini(cos   aa .
Eulerův vztah

sinicosei
 .
Exponenciální tvar
i
eaa  .