VLNĚNÍ - zvláštní druh pohybu, při kterém se přenášejí kmity. Prostředím postupuje pouze rozruch a spolu s ním energie kmitů. Částice prostředí zůstávají na místě a pouze kmitají kolem svých rovnovážných poloh. Kmity - periodicky se opakující změny stavu Šíření kmitů od místa svého vzniku do okolí - vzniká děj nazvaný vlnění Vlnění je děj závislý na čase, jehož podstatou je šíření periodických změn fyzikálních veličin (např. mechanických výchylek, nebo změn vektorů intenzity elektrické nebo magnetické složky elektromagnetického pole, apod.) Pulz: Východisko: napnuté vlákno; krajním bodem pohnu nahoru a poté zpět do rovnovážné polohy Vlny - základní popis Typická hmotná částice provazu se při průchodu pulzu pohybuje jednou nahoru a dolů. Vlna/pulz postupuje prostředím (fázovou) rychlostí v y Vlna: Východisko: napnuté vlákno; krajním bodem pohybuji harmonicky nahoru a dolů, vždy o stejnou vzdálenost od rovnovážné polohy Typická hmotná částice provazu se při průchodu vlny pohybuje nepřetržitě střídavě nahoru a dolů. -x Vlny - základní popis Př.: Síření podél osy x —> okamžitá výchylka bodu z rovnovážné polohy ve směru osy zje funkcí souřadnice x a času t —> výchylku označíme z(x,t) [nebo y(x,t),případně obecným výrazem u(x,t)] Proč POSTUPNÁ ? Rozruch (pulz/vlna) postupuje prostředím od místa vybuzení „do nekonečna" Proč PRICNA ? Částice prostředí kmitá kolmo, tj. pncne na směr šíření. Vlny - základní popis Př.: Šíření podél osy x —► okamžM výchylka bodu z rovnovážné polohy ve směru osy\ je funkcí souřadnice x a času t —► výchylku označíme u(x,t) Proč PODÉLNÁ ? Částice prostředí kmitá rovnoběžně se směrem šíření, tj. podél směru šíření. typická částice se pohybuje dopředu a dozadu -vzduch Pulz - popis výchylky Na vlákně se šíří pulz, zajíma nás výchylka (souřadnice y) jednotlivých částic vlákna (souřadnice x) v čase t, tj. y(x,ť) Zvolíme pomocnou souřadnou soustavu [£• y], ve které popíšeme tvar pulzu pomocí (nějaké/vhodné) funkce f v čase t0 = 0: Za čas t se bod posune o vzdálenost v t = £ v čase ŕ0 = 0 jc = £ + vr v čase ŕ = /(£) Předpoklad: souřadná soustava [£• v] se pohybuje podél vlákna stejnou rychlostí v, jakou se šíří pulz; tj. popis výchylky v soustavě [£• y] se nemění. Výchylka v jednotlivých částic vlákna (souřadnice x) v čase t je potom popsána pomocí této funkce f (x - vt) Vyjádříme souřadnici x: x = vt —► E,- x - vt y(x,t) = f(x-vt) -a Vlnová rovnice Okamžitou výchylku postupné vlny lze obecně popsat rovnicí: u(x, t) = f(x- vt) Provedeme druhou derivaci a) podle času a b) podle prostorové souřadnice —► Vlnová rovnice: v Řešení: d2u(x,t)_ 2dZu{x,t) 2 dt 2 = v dx 2 U (x,t) = f(x- vi)+ g{x + vi) vlna postupující zleva doprava vlna postupující zprava doleva v - fázová rychlost šíření vlny Harmonická postupná vlna Harmonická vlna: jednotlivé body vlákna (prostom) harmonicky kmitají, tj. jejich výchylku z rovnovážneho stavu popíšeme pomocí funkce sinus (nebo cosinus) y{*>ř) = y m m f sin co t -- +(p y m sm(o)t- kx + 9) CO POZOR! Toto k není tuhost Výchylku z rovnovážne polohy bodu se souřadnicí x lze popsat: y(f) = y m sin(® at+ platí: x = vřx0 ř^Q = x/vprobod x / t- — V ypieká hmotná částice provazu se při průchodu vlny pohybuje nepřetržitě střídavě nahoru a dolů. pricna Harmonická postupná vlna (x, t) = um sin co t~- V v; = um sm(a>t-kx + (p) 7 CD k = — v Obdobně pro podélnou vlnu: výchylku z rovnovážné polohy bodu se souřadnicí x lze popsat. _ ^ sjn^ Ař + ^7) typická částice se pohybuje dopředu a dozadu -vzduch Harmonická postupná vlna y (x, t) = vra ún(kx - cot + cp) Výchylka závisí na dvou proměnných - prostorové souřadnici a času. Pro zobrazení průchodu vlny prostředím tak máme dvě možnosti: 1. Zobrazení výchylky v prostoru v jednom časovém okamžiku A.. vlnová délka = nejkratší vzdálenost, mezi dvěma body se stejnou výchylkou v libovolném čase 2. Zobrazení výchylky jednoho bodu prostředí v čase a; _ _ (úhlová frekvence) T.. perioda = nejkratší čas, za který se výchylka daného bodu (stav systému) začne opakoyat Harmonická postupná vlna y (x, t) = ym ún(kx - cot + cp) Odvození vztahu pro úhlový vlnočet: k = — y(x, t) = ym sm(kx — cút + cp) = ym sm(k(x + Ä) — cút + cp) sin(/cx — (út + cp) = sin(/c(x + Ä) — cút + cp) 1-í-' ]-i-' J&C—jďt ±Jp^+ 2n =Joc + kA —Jeďt +^qŕ 2n 2n = kA -> k = A 2n Odvození vztahu mezi úhlovou frekvencí a periodou vlnění: co = — y(x, t) = ym sin(/cx — cút + cp) = ym sin(/cx — cú(t + T) + cp) sin(/cx — cút + cp) = sin(/cx — cú(t + T) + cp) 1-y-' 1-y-J J&C—jjóť + jp^— 2 71 = J&ť—jút— cúT +^cp^ 2n 2 71 = CúT -> cú = — Harmonická postupná vlna y (x, t) = ym sm(kx - wt + sin(cť) = sin(cť) — v v v Mění se rychlost šíření —► mění se úhel lomu; frekvence se zachovává —► mění se vlnová délka: V V x=rK=i v' > v -> X > A; v' < v -> X < A a > a Normála = kolmice k rozhraní v'< v —> ď < a Odraz a lom vlny Totálni odraz: může nastat v případě, že je v < vPokud vlnění dopadne na rozhraní pod úhlem větším nezje mezní úhel am, nedojde k lomu, ale pouze k odrazu. sm(am) sin(90°) . v v -=-;--> sinOm) = 1 — = — v v v v Pro úhel dopadu větší (nebo rovno) meznímu úhlu se vlna pouze odrazí -energie odražené vlny je stejná jako energie vlny dopadající - při totálním odrazu zvukové vlny se nezmění její hlasitost. Normála = kolmice k rozhraní Odraz a lom vlny Vlny dopadající kolmo na rozhraní: dochází k odrazu od rozhraní zpět a k průchodu vlny do prostředí za rozhraní. Pro v < v' (např. zvuková vlna prochází ze vzduchu do vody) se vlna odráží v protifázi - mluvíme o odrazu na pevném konci. Pro v > v' se vlna odráží ve fázi mluvíme o odrazu na volném konci. Vlna Vlna odražená dopadající v protifázi v < vr v > vr ve fázi Při odrazu i průchodu vlny se frekvence vlnění zachovává —► mění se vlnová délka: V ^Vlna prošlá V > V' -> A > X V < V' -> A < X Normála = kolmice k rozhraní Odraz vlny - okrajové podmínky Pokud postupná vlna dopadne na ohraničené prostředí, dochází k odrazu vlny. Vlna se odrazí ve fázi s dopadající vlnou (pň odrazu „na volném konci") nebo v protifázi (odraz „na pevném konci") odraz na pevném konci v protifázi odraz na volném konci ôy(x, t) = 0 x=0 dx ve fázi Energie a intenzita vlny Vlnivý pohyb přenáší energii. dE Výkon vlny (Tok energie plochou): dP = —— číselně je roven energii, kterou vlnění za 1 sekundu pronese pomyslnou plochou. Abychom mohli porovnávat množství energie přenášené různými vlnami, definujeme veličinu Intenzita vlnění / [/] = W.nr2 Intenzita vlnění I je číselně rovna energii, která za 1 sekundu v daném místě projde plochou jednotkové velikosti, nastavenou kolmo ke směru šíření vlnění. Vektor intenzity vlnění / má orientaci ve směru šíření vlny (paprsku). Výkon vlny (tok energie plochou) procházející plochou dS, jejíž normála svírá se směrem šíření vlnění úhel a potom vypočítáme podle vztahu: dP = I • dS = I • dS • cos a Energie a intenzita vlny Intenzita vlnění / - výpočet Kmitající částice o hmotnosti m má celkovou energii (viz. kmity - celková energie oscilátoru): 1 co - úhlová frekvence vlny mco 2 2 2 £" = — mco um = Ek + Ep Ujn- amplituda výchylky vlny > Objemová hustota energie, která je přenášena postupným vlněním E 1 /72 1 w = — =--co2u2 = — oco2u2 w - energie „uschovaná" v objemu 1 m3 y 2y m 2 Za 1 sekundu se energie presune o vzdálenost o velikosti \v\ (v je rychlost sireni vlnení). lm W f lm Energie a intenzita vlny Energie, která projde plochou 1 m2 za 1 sekundu lm lm ✓ ✓ y I / i ' i w P i i r i ✓ ✓ / ✓ ✓ í-1 ✓ ✓ ✓ lm -^r- Vzdálenost |i;| metrů urazí čelo vlny za 1 sekundu Energie, která za 1 sekundu projde pomyslnou plochou 1m2, postavenou kolmo na směr šíření vlnění = intenzita vlnění: / = w-v = -vpcd2u2m Střední výkon přenášený vlnou ve struně: Energie a intenzita vlny U kulových vln (od zdroje se šíří rozruch všemi směry v izotropním prostredí) klesá intenzita se čtvercem vzdálenosti rod zdroje kde Pz je výkon zdroje kulových vln. Vlna postupuje izotropním prostredím do všech směrů - ve vzdálenosti rod zdroje je vyzářená energie (celý výkon zdroje) „rozprostřena" do povrchu koule o poloměru r. Povrch koule: 5(r) = Aur2 Intenzita vlny ve vzdálenosti rod zdroje: /(r) = 5(r) Aur2 Výkon, který projde plochou S ve vzdálenosti rod bodového zdroje: P(r) = I(r) • 5 Intenzita zvuku a její hladiny Celková energie vlny závisí na amplitudě výchylky kmitajících částic prostredí. Amplitudy polohové výchylky zvukové vlny, kterou může zaznamenat lidské ucho, leží v rozmezí 1011 m (nejslabší slyšitelný zvuk) a 105 m (nejhlasitější snesitelný zvuk) —> 6 řádů = 106x. Intenzita zvuku - úměrná druhé mocnině amplitudy —> 12 řádů = 1012x. Zavedeme veličinu hladina intenzity zvuku /?: ;0 = (lOdB)logy- ^0 Kde dB je zkratka jednotky decibel, /je intenzita zvuku. Intenzita vzroste 10x —> hodnota p vzroste o 10 dB 70 je referenční hodnota intenzity, odpovídající nejnižší lidským uchem slyšitelné úrovni zvuku. (I0 = 1012 Wrrr2). Pro funkci logaritmus (log) platí: y = log x x = lQy ; např. y = log 100 = log 102= 2 x = W= 102 = 100 Intenzita zvuku a její hladiny y# = (10dB)log o (70= 10"12 Wm-2) Některé hladiny intenzity zvuku v dB: Práh slyšitelnosti, p = 0 dB (/ = i0 = 1012 Wm2) Ševelení listů p = 10 dB (/ = 10 11 Wm2) Běžný hovor p = 60 d B (/ = 106 Wm2) Rockový koncert p = 110 dB (/= 701 Wm2) Práh bolesti p = 120 dB (/ = 10° Wrrv2 = 1 Wm2) Proudový motor p = 130 dB (/ = 101 Wm2 = 10 Wm2) Hlasitost zvuku, kterou vnímáme, souvisí s hladinou intenzity zvuku. Princip superpozice Prostředím postupují současně dvě (nebo více) různé vlny. /(x, ř) = yi(x, ř) + V2(.v, f) U překrývajících se vln se výchylky algebraicky sčítají a vytvářejí jednu výslednou vlnu. Překrývající s e vln v s e při svém postupu navzájem neovlivňují. = 1 3 1 G 1 4 1 2 1 Ů 3 Ů 6 0 4 Ú 2 0 t Q 0.1 Interference vln Dvě harmonické vlny o stejné amplitudě, stejné frekvenci a stejné vlnové délce vzájemně fázově posunuté o cp postupující ve stejném směru: Ji (*> 0 = ym sin (^ř-^ y2 (x91) = ymsm(jt- 1fx+p) Výsledná vlna se vypotjtá jako součet výchylek ystupnící/ vln:_ \ 7 / I V \ ( i y = yx + y2 = ymsm(cot -kx)^)^ sm(cut -kx^^) = \ 2ymcos — (plsm\jDt-kx+ — (p J (užije se vzorec pro součet dvou funk . . a+p a-sin a + sin p = 2 sin-cos Vzniká sinusová vlna stejné frekvence (stejné cd) a vlnovp délky (stejné k) postupující ve směru původních vln Amplituda výsledné vlny: Závisí na vzájemném fázovém posuvu původních vln Interference vln Pro cp = 2ttra, m = (),± 1,±2,... (vlny ve fázi) je ym = 2ym cosO = 2ym (maximální zesílení) Konstruktivní interference 3*2 CM) Pro ^ = ;r {im +1), m = 0, +1, + 2, (vlny v opačné fázi) je y'= 2ym cos— = 0 (maximální zeslabení) Destruktivní interference v Interference vln Fázový rozdíl muže vzniknout i tak, že se dvě vlny šíří po různě dlouhých drahách Příklad - dva bodové zdroje Zr, Z2 zvukového vlnění o vlnové délce A a frekvenci co, které jsou ve fázi. V bodě P dochází k interferenci vlnění Platí q> AL 2n X AL\e dráhový rozdíl vln, q> je jejich fázový rozdíl v bodě P Konstruktivní interference

= n (2 m +1), m = 0, ± 1,± 2, AL = m/L, m = 0, ± 1,± 2,... AL = (2m + l)—, m = 0,±l,±2,. Interference vln Tabulka 17.1 Fázovú rozdíly a jim odpovídající druh interference'' FÁZOVÝ ROZDÍL FÁZOVÝ ROZDÍL DRÁHOVÝ ROZDÍL AMPLITUDA DRUH VE STUPNÍCH V RADIÁNECH VE VLN, DÉLKÁCH VÝSLEDNÉ VLNY INTERFERENCE 0 0 0 2_ľm úplně konstruktivní 120 2jt/3 0,33 částečná 1K0 ,T 0,50 (1 úplně destruktivní 24« 4:i/3 0,67 Vm částečná 36« 2:r 1,00 2vm úplně konstruktivní H65 15,1 2,40 0,60ým částečná y (x, i) — \2ym cos(p/2)] sin (kx— cot + cpj2)