Vlny - 3
Superpozice a interference vln.
Stojaté vlny. Zázněje – rázy.
Fourierova řada, Fourierova transformace.
Dopplerův jev.
Princip superpozice
Prostředím postupují současně
dvě (nebo více) různé vlny.
   kxtytxy m  sin,1      kxtytxy m sin,2
Dvě harmonické vlny o stejné amplitudě, stejné frekvenci a stejné vlnové délce
vzájemně fázově posunuté o  postupující ve stejném směru:
Výsledná vlna se vypočítá jako součet výchylek vstupních vln:
    











 
2
1
sin
2
1
cos2sinsin21 kxtykxtykxtyyyy mmm
(užije se vzorec pro součet dvou funkcí sinus)
2
cos
2
sin2sinsin




Vzniká sinusová vlna stejné frekvence (stejné ) a vlnové délky (stejné k)
postupující ve směru původních vln
Amplituda výsledné vlny:
Závisí na vzájemném fázovém posuvu původních vln
Interference vln

2
1
cos2 mm yy 
Pro (vlny ve fázi) je mmm yyy 20cos2´ 
(maximální zesílení)
Pro (vlny v opačné fázi) je
0
2
cos2´ 

mm yy
(maximální zeslabení)
Konstruktivní interference
Destruktivní interference
,...2,1,0,2  mm
  ,...2,1,0,12  mm
Interference vln
Fázový rozdíl může vzniknout i tak, že se dvě vlny šíří po různě dlouhých drahách.
Příklad – dva bodové zdroje Z1, Z2 zvukového vlnění o vlnové délce  a frekvenci ,
které jsou ve fázi.
V bodě P dochází k interferenci vlnění
Platí

 L

2
Konstruktivní interference
,...2,1,0,2  mm  ,...2,1,0,  mmL 
L je dráhový rozdíl vln,  je jejich fázový rozdíl v bodě P
Destruktivní interference
  ,...2,1,0,12  mm   ,...2,1,0,
2
12  mmL

Interference vln
L
Interference vln
      2sin2cos2,   tkxytxy m
0  
POZNÁMKA !!
Aby interference vlnění byla pozorovatelná, je nutné, aby rozdíl fází interferujících
vlnění byl v každém bodě interferenčního pole konstantní, na čase nezávislý.
Vlnění, která tuto podmínku splňují, nazýváme koherentní.
Dojde-li k interferenci aniž dojde k odchylce od přímočarého šíření vlnění
(v homogenním a izotropním prostředí), pak takový jev nazýváme
jevem ryze interferenčním (světlo – interference na tenké vrstvě)
Poznámka 2:
Dojde –li (v prostředí homogenním a izotropním) k interferenci v prostoru
přímočarému šíření vlnění nepřístupném (v tzv. geometrickém stínu), nazýváme
takový jev jevem ohybovým (difrakčním) (světlo – průchod štěrbinou).
Interference vln
Stojaté vlny
     
   tkxytkxy
txytxytxy
mm  

sinsin
,,, 21
    tkxytxy m cossin2, 
Stojaté vlny
     
   tkxytkxy
txytxytxy
mm  

sinsin
,,, 21
    tkxytxy m cossin2, 
Amplituda výchylky
bodu se souřadnicí x
Všechny body prostředí kmitají
se stejnou úhlovou frekvencí 
2
cos
2
sin2sinsin




Stojaté vlny
Odvození:
Užijeme
  tkxtkx
tkxtkxtkxtkx


cossin2cossin2
2
cos
2
sin2



     
   tkxytkxy
txytxytxy
mm  

sinsin
,,, 21
Stojaté vlny
Všechny částice prostředí kmitají se stejnou fází  t
ale s různou amplitudou výchylky, která závisí na x-ové souřadnici kmitající částice
  kxyxA m sin2 sin(kx) = 0 → uzly
sin(kx) = 1 → kmitny
    kmitny
4
12
4
12
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1













































nx
n
n
n
k
n
xnkx
n
Místa se stále nulovou výchylkou – uzly. Jejich souřadnice xn určíme následovně:
Místa, která kmitají s
maximální amplitudou
2ym - kmitny
Stojaté vlny
𝑘𝑥 = 𝑛𝜋 ⟹ 𝑥 =
𝑛𝜋
𝑘
=
𝑛𝜋
2𝜋
𝜆
→ 𝑥 𝑛= 𝑛
𝜆
2
𝑛 = 0, 1, 2, 3 uzly
Vznik stojaté vlny odrazem
- pevný konec - uzel odražená
vlna má opačnou
fázi
- volný konec - kmitna odražená
vlna má stejnou
fázi
Stojaté vlny
Skládání kmitů - rázy
Prostředím postupují současně dvě zvukové vlny, které mají různou frekvenci f1
a f2. V místě pozorovatele (detektoru) se skládají výchylky/kmity – důsledek
dvou postupných vln, které dospěly do bodu se souřadnicí x.
Hledáme výslednou výchylku:
𝑦 𝑡 = 𝑦1 𝑡 + 𝑦2 𝑡
𝑦1 𝑡 = 𝑦 𝑚 sin(𝜔1 𝑡) 𝑦2 𝑡 = 𝑦 𝑚 sin(𝜔2 𝑡)
V případě, že frekvence f1 a f2 jsou různé, ale blízké, tj. f1 ≠ f2 ale f1 → f2 (mají
„skoro“ stejnou hodnotu, neliší se o víc než 20 Hz) může dojít ke vzniku rázů –
slyšíme zesilování a zeslabování výsledného signálu.
𝑦 𝑡 = 𝑦1 𝑡 + 𝑦2 𝑡 = 𝑦 𝑚 (sin(𝜔1 𝑡) + sin(𝜔2 𝑡))
𝑦 𝑡 = 2𝑦 𝑚cos
𝜔1 − 𝜔2
2
𝑡 sin
𝜔1 + 𝜔2
2
𝑡
R S
Skládání kmitů - rázy
𝑦 𝑡 = 2𝑦 𝑚cos
𝜔1 − 𝜔2
2
𝑡 sin
𝜔1 + 𝜔2
2
𝑡
R S
S= 1  2)/2
2= 2f2
1= 2f1
R= 1  2)/2
fS = f1  f2)/2 = 1/TS
fR = f1  f2)/2 = 1/TR
TR
TS
Frekvence výsledného
signálu fS:
Amplituda výsledného
signálu kolísá s frekvencí fR:
Za dobu jedné periody TR slyšíme 2x nejsilnější
signál → počet rázů:
N = 2fR = f1  f2)
Fourierova transformace
Joseph Fourier (1768-1830)
Francouzský matematik, který přišel na to, že jakýkoli impuls může být složen ze sinusových a kosinusových impulsů.
Položil tak základy teorie trigonometrických řad. Nezanedbatelný byl také jeho přínos k teorii funkcí reálné proměnné.
Studoval podrobně problémy matematické fyziky. V roce 1822 vytvořil matematickou teorii, která řešila diferenciální
rovnice. Théorie Analytique de la Chaleur (Analytic Theory of Heat).
Fourier věřil, že mu při nějaké nemoci pomůže bylinkový zábal a takto zabalen spadl dolů ze schodů a zabil se...
Princip superpozice
Princip superpozice
 tn
n
y
n


sin
11

T 2
Fourierova analýza
Vlnu libovolného tvaru lze vyjádřit
ve tvaru součtu velkého počtu
sinusových vln.
Potřebujeme najít vhodnou kombinaci
jejich amplitud a frekvencí. Potom
dovedeme namodelovat libovolný
časový průběh. Čím větší bude počet
harmonických funkcí v modelu, tím
přesnější výsledek dostaneme.
Modelovaný časový průběh
Výsledek modelu tvořeného
součtem 6 sinusových průběhů
6 harmonických (sinusových)
funkcí využitých pro model
Princip superpozice
Fourierova analýza
Fourierova řada a transformace
řada: na konečném intervalu (sumace)
transformace: v neomezeném prostředí (integrace)
( ) e
( ) e
n
n
i t
n
n
ik x
n
n
f t c
f x c




 ( )
( ) 3
[ ( ) ] 3
( ) ( )e
( ) ( )e
( , ) ( )e
( , ) ( )e
( , ) ( )e
i t
ik x
i k x t
i t
i t
t c d
x c k dk
t x c k dk d
t c k d k d
t c k d k




  

 
 









 


 











k x
k x k
x
x
Fourierova transformace je složení
obecné vlny z rovinných vln
Fourierova řada je
složení konečného
pulsu ze sinů a
kosinů
Princip superpozice
xixeix
sincos 
Mocninné řady funkcí e, sin, cos 
• Dopplerův jev
• využití v praxi
• rázová vlna
Christian Andreas Doppler (1803-1853)
Rakouský matematik a fyzik, část svého krátkého života strávil jako profesor ČVUT v Praze, později přednášel na
Vídeňské polytechnice. Ve známost vešel především objevem změny frekvence vlnění při vzájemném pohybu zdroje
a pozorovatele (Dopplerův princip). Publikoval také práce o elektřině a magnetismu, zabýval se časovou proměnností
magnetické deklinace, napsal několik článků z optiky a astronomie.
Dopplerův jev
zdroj i pozorovatel v klidu
Dopplerův jev

v
T
ff 
1
0
f – detekovaná frekvence
f0 –frekvence zdroje
v – rychlost zvuku
pozorovatel se hýbe

Dopplerův jev

Dvv
f


v
vv
ff D
 0
Dv Dv
f – detekovaná frekvence
f0 –frekvence zdroje
v – rychlost zvuku
vD – rychlost detektoru
zdroj se hýbe
Dopplerův jev
zv
𝑓 =
𝑣
𝜆´
=
𝑣
𝑣 ∓ 𝑣𝑧 𝑇
⟹ 𝑓 = 𝑓0
𝑣
𝑣 ∓ 𝑣𝑧
f – detekovaná frekvence
f0 –frekvence zdroje
v – rychlost zvuku
vz – rychlost zdroje
zdroj i pozorovatel se hýbe
Dopplerův jev
zv
Dv Dv
𝑓 =
𝑣 ± 𝑣 𝐷
𝑣 ∓ 𝑣𝑧 𝑇
⟹ 𝑓 = 𝑓0
𝑣 ± 𝑣 𝐷
𝑣 ∓ 𝑣𝑧
f – detekovaná frekvence
f0 –frekvence zdroje
v – rychlost zvuku
vD – rychlost detektoru
vZ – rychlost zdroje
využití v praxi
• měření rychlosti radarem
• echokardiografie
• určování vzdáleností v
astronomii
University of Yale
Dopplerův jev
Rázová vlna
A
C
B
/2
Dopplerův jev
vvz 
vvz 
zz v
v
tv
vt
AB
AC

2
sin

Zv
(Machův úhel)
Machův kužel
v .. rychlost zvuku
vZ .. rychlost zdroje
Podzvuková a nadzvuková
rychlost střely.
Dopplerův jev
Rázová vlna
v
vZ
= Machovo číslo
Stíhačka F/A-18C Hornet při překročení zvukové bariery
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:FA-8_Hornet_breaking_sound_barrier_%287_July_1999%29.jpg