Základy matematiky a statistiky pro humanitní obory 1 Vojtěch Kovář Fakulta informatiky, Masarykova univerzita Botanická 68a, 60200 Brno, Czech Republic xkovar3@f i . mími . cz část 1 VojtĚch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 část 1 1/14 Obsah přednášky Obsah přednášky Informace o předmětu Motivace Principy matematiky Vojtčch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 cast 1 2/14 Informace o predmetu Informace o předmětu Informace o predmetu ► Obsah predmetu ► průřez vysokoškolskou matematikou ► forma srozumitelná studentům s humanitním zaměřením (lingvistika) ► Ukončení předmětu ► zkouška formou 2 písemek ► vnitrosemestrální písemka 6.11. —> 25 bodů ► zkoušková písemka —> 75 bodů ► úspěšné ukončení —> alespoň 60 bodů z písemek ► Odpadající přednášky ► 9.10., 20.11. (reading week) VojtĚch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 část 1 3/14 Informace o předmětu Obsah předmětu Obsah předmětu ► Okruhy ► matematická logika, důkazy, indukce ► základy teorie množin, čísla, relace, funkce ► ekvivalence, uspořádání ► kombinatorika, popisná statistika Vojtčch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 cast 1 4/14 Informace o předmětu Obsah předmětu Obsah předmětu ► Zdroje informací ► slidy a příklady ve studijních materiálech ► studijní text k předmětu ► literatura na stránce předmětu (přesahuje rámec předmětu) ► osobní konzultace (naživo i on-line) ► přednášky na YouTube z minulých semestrů littps://youtu"be.com/playlist?list=PLifvlilSiiliUAkVIH2Hub4EfKGrEQEjfH4d ► diskusní fórum - současné i z časů lockdownu https://is.mmii.cz/autii/ discussion/predmetove/pliil/podzim2020/PLIH004/?fal!ulta=1421;obdobi=7923;predinet = 129BBB9 VojtĚch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 část 1 5/14 Motivace Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou Rozdíl mezi SŠ a VŠ matematikou ► Středoškolská matematika ► = počty s čísly: ► —> kolik budu platit v obchodě (sčítání) ► —> jaké daně budu mít (zlomky, procenta) ► —> proč, proč? (matice, integrály) ► Vysokoškolská matematika ► = umění abstrakce -+- přemýšlení v obecnostech ► —> zásobárna abstraktních pojmů ► —> přesné definice ► —> spolehlivé vyvozování závěrů (důkazy) ► —> základ pro všechny technické obory Vojtčch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 cast 1 6/14 Proč potřebují lingvisté matematiku? ► Počítačová lingvistika ► zpracování jazyka na počítačích ► potřeba solupracovat s technicky zaměřenými lidmi ► —> pochopit jejich způsob myšlení ► počítačové modely jazyka jsou založeny na matematických faktech ► Abstraktní myšlení ► schopnost rozumově uchopit složité pojmy ► —> snazší pochopení lingvistických modelů ► schopnost zobecňovat ► schopnost rozkládat složité problémy na jednodušší ► —> nejsou tak důležité vědomosti samotné jako dovednosti, kterým se při jejich vstřebávání naučíte VojtĚch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 část 1 7/14 Principy matematiky Principy vysokoškolské matematiky Principy vysokoškolské matematiky ► Středoškolská matematika ► návody, jak něco spočítat ► Vysokoškolská matematika ► soubor poznatků o abstraktních pojmech ► styl definice - věta - důkaz : ► definice = vymezení pojmu ► "celé čľslo x je sudé, pokud existuje takové celé y, ze y * 2 = x" ► věta = formulace poznatku o definovaných pojmech ► " 10 je sudé číslo" ► důkaz = ověření pravdivosti věty krok za krokem ► 10 = 5*2 (zákl. aritmetika) ► tedy existuje takové celé y, že y * 2 = x (y = 5) ► tedy 10 je sudé Vojtčch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 cast 1 8/14 Principy matematiky Typy důkazů Typy důkazů ► Přímý důkaz ► použitím definic a známých faktů přímo odvodíme znění věty ► Důkaz sporem ► předpokládáme, že věta neplatí (platí její negace) ► použitím definic a známých faktů odvodíme spor ► (např. 1 = 0 nebo neplatnost některého z předpokladů) ► Důkaz indukcí ► dokazujeme něco pro posloupnost objektů ► příště Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 část 1 9/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázky důkazů ► Mějme definováno (znáte ze SS) ► celá čísla (1, 2, 3, 0, -1, -2, ...) ► sčítání, odčítání, násobenia dělení na celých číslech ► dělitele (x je dělitelem a, pokud existuje takové celé y, že y * x = a) ► racionální čísla (r/s taková, že r a s jsou celá a nemají společného dělitele jiného než 1 a -1) ► druhou mocninu (a2 = a * a) ► druhou odmocninu [y/ä = n, pokud n * n = a) Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 cast 1 10/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ► Věta ► pro libovolná celá x,y platí, že ► pokud 2 * x2 = y2, pak y je sudé Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 část 1 11/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ► Pokud 2 * x2 = y2, pak y je sudé ► Důkaz (sporem) ► předpokládejme, že y je liché ► tedy existuje celé k tak, že y = 2k + 1 ► dosazením do původní věty dostáváme: ► 2x2 = (2fc + l)(2fc + l) ► dále roznásobíme závorku: ► 2x2 =4/f2 + 4/í + l ► vytkneme 2 z části pravé strany: ► 2x2 = 2 * {2k2 + 2k) + 1 ► odečtením výrazu 2 * (2k2 -+- 2k) a vytknutím 2 z levé strany dostaneme: ► 2*(x2-(2/í2 + 2/í)) = 1 ► tedy 1 je sudé číslo, což je spor. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 cast 1 12/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ► Věta ► \/2 není racionální číslo. Vojtěch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 část 1 13/14 Principy matematiky Ukázky důkazů Ukázka důkazu ► Důkaz (sporem) ► předpokládejme, že \[2 je racionální číslo. ► tedy \/2 = r/s, kde ras jsou celá a nemají společného dělitele ► úpravou dostaneme: \/2*s = r ► 2 * s2 = r2 ► tedy r je sudé, tj. r = 2 * c pro nějaké celé c ► nahrazením dostaneme: 2*s2 = 2*c*2*c ► s2 = 2 * c2 ► tedy s je také sudé ► r i s jsou sudá, tedy mají společného dělitele 2, což je spor s předpokladem. Vojtčch Kovář (Fl MU Brno) PLINDD4 cast 1 14/14