Kmity HRW kap. 16 Obsah • Základní veličiny charakterizující harmonické kmity • Kinematický a dynamický popis harmonických kmitů • Energie harmonického oscilátoru • Tlumené mechanické kmity • Nucené mechanické kmity Definice Mechanický kmitavý pohyb je pohyb, který je prostorově omezený, tělesa se pohybují jen v okolí jisté rovnovážné polohy. Kmitání není omezeno jen na hmotné objekty. Obecně je kmitání (oscilace) časová změna nějaké fyzikální veličiny vykazující opakování (např. oscilace napětí, proudu, náboje v obvodech se střídavým proudem, oscilace teploty kolem určité průměrné denní hodnoty, atd.) Kmitající systém se nazývá oscilátor. Klasifikace kmitavých pohybů obecné (neperiodické) periodické v(/) = y(r+nr) 2T T = perioda T = nej kratší časový úsek, za který se f —> stav systému začíná opakovat [s] 7 Kmity - příklady Těleso na pružině Torzní kmity Fyzické kyvadlo sss/ys/;A>///ss/s/s/M Země Těleso na pružině Kmity nosníku i ^ i Kmity automobilu s vadnými tlumiči Elektrický kmitavý obvod /=£] ++ Kmity atomů v molekule v Kmity mostu účinkem periodických nárazů Kmity periodické - harmonické Harmonické kmity Harmonické kmity jsou zvláštní prípad periodického kmitavého pohybu. K popisu využijeme některou z těchto funkcí: případně (za určitých předpokladů) jejich kombinaci e j{cDt+(P) =cos(^ř + ^)+ jsm(cDt + (p) y(ť) = ym - sm(o)t + L Hooků výsledná síla je úměrná výchylce ástice z rovnovážné polohy a ntovaná proti výchylce zrychlení je úměrné výchylce a míří proti ní Volné harmonické kmity bez tření A- v v r = t/4 t = t/2 r =37/4 r = t perioda +-vm amplituda Volné harmonické kmity ŕ = 0 I 4íH - 4- I -;■ i "T" I v r = t/4 t = t/2 t = 37/4 v perioda r [T] = s = doba, za kterou se uskuteční jeden úplný kmit = nejkratší doba, za kterou se výchylka a rychlost (nebo jiné fyzikální veličiny popisující systém) vrátí na původní hodnoty frekvence/ [/] = Hz = s-1 = počet kmitů za jednu sekundu i f = - 1 hertz = 1 Hz = 1 kmit za sekundu ^ls"1 cas f závislost výchylky na čase Volné harmonické kmity - model MODEL: pohyb po kružnici Harmonický pohyb lze modelovat jako průmět rovnoměrného kruhového pohybu do libovolného pevného směru. y Modelujeme kmity podél osy x mezi xm a -xm Časová závislost polohy bodu P - průmět polohy P' do osy x ,{> x(t) — Xm COS (bjt + ip) X O i +4- a-(ŕ) X m 0 m 1 ^_1_ T r* 1 i čas t Částice rotuje úhlovou rychlostí co, za dobu ř urazí úhlovou dráhu (= úhel o velikosti) t + cp) V čase t = t0 = 0 s dostaneme výchylku: x(t0 = o s) = xm cos((u • o + qj) = xm cos(^) v r. Harmonické kmity - kinematický popis Kinematické veličiny - popis harmonického pohybu Výchylka: x(t) = xm cos(&> t + cp) Rychlost: v(t) = — = -coxm sin(cot + cp) dt Zrychlení: a\f) = —T = -(D xmcos dt , {cot + cp) i— x(t) cas t Vztah mezi zrychlením a výchylkou typický pro harmonický pohyb Harmonické kmity - kinematický popis Odtud plyne základní diferenciální rovnice volných harmonických kmitů d X n r\ -- + CÚ X = 0 dŕ lineární obyčejná diferenciální rovnice 2. řádu, s konstantními koeficienty Systémy, jejichž chování lze popsat rovnicí tohoto typu, se nazývají lineární harmonické oscilátory Př.1: Rovnice harmonického kmitání má tvar y = 5,0.10"3 sin (to) yje v metrech, řv sekundách Určete: a) amplitudu výchylky, b) frekvenci kmitání, c) dobu od počátečního okamžiku, za kterou kmitající těleso dosáhne výchylky -5 mm. a) ym = 5.103 m b) f= col2n=4nl2n=2 Hz c) -5.103 = 5.103 sin(4^) sin(4/rr) = -1 => 4/rr= 3/2 n => t =3/8 s Dynamický popis harmonického pohybu Příčinou harmonického kmitání mechanického oscilátoru je síla, která je přímo úměrná výchylce oscilátoru z rovnovážné polohy a stále směřuje do rovnovážné polohy (sila pružnosti, elastická sila). Hookuv zákon: F--k x k-tuhost pružiny, [k] = Nnr1 x - výchylka z rovnovážné polohy, [x] = m bez trení 2. Newtonův pohybový zákon (pohybová rovnice) \ ma = F =í> ma — —kx Dynamický popis harmonického pohybu Převedeme všechny členy rovnice na pravou stranu: d2x ma — —kx Vydělíme hmotností m m- dt kx=0 d x k „ —^- +—^ = 0 dt m Pohybová rovnice vlastních kmitů Rovnice je formálně shodná s diferenciální rovnicí harmonického pohybu Srovnáním: 2^7 2 co =—, k-m co m úhlová frekvence vlastních kmitů je plně určena vlastnostmi soustavy, tj. hmotností oscilátoru a tuhostí vazby Dynamický popis harmonického pohybu Řešení pohybové rovnice Obecné řešení pohybové rovnice co = určeno parametry kmitající soustavy oftstaolyxm a cp určíme z počátečních podmínek Počáteční podmínky: x(0) = Xq vx(0) = Vq, Xm COS (p = Xq ■ujxm sin (p v0x Časté zvláštní případy: 1. vx(0) = 0 - co xm sin cp = 0 => cp = 0; = x\m cos (u;£), xm — x0 2. x(0) = 0 xTOcos<^ = 0^> =--; x(ť) = xm sin (utf) , ujxm ^ v0 Dynamický popis harmonického pohybu Pozn.: Vliv konstantní síly na harmonický oscilátor Zavesením závaží o hmotnosti m se pružina protáhne o délku yr V rovnovážné poloze platí G = 0 tj. pro velikosti sil G = Fp => mg = kyr >r mg Při vychýlení závaží ve svislém směru se poruší rovnováha sil (síla pružnosti se změní) Fv=G-Fp=mg-k(yr + y') = = mg- k(mg/k) - ky' = - ky' - výsledná elastická síla způsobí harmonické kmity závaží závaží kmitá kolem nové rovnovážné polohy HRW16.15C Uvažme kmitání automobilu ve svislém směru. Lze uvažovat, jako by vozidlo bylo umístěno na čtyřech stejných pružinách. U jistého vozidla nastavíme tuhost těchto pružin tak, aby frekvence kmitání činila 3,00 Hz. a) Jaká je tuhost pružin, předpokládáme-li hmotnost vozidla 1 450 kg a rovnoměrné rozložení váhy? b) Ve vozidle jede 5 osob. Jejich průměrná hmotnost je 73 kg a váhaje opět rozložena rovnoměrně. Jaká je frekvence kmitání každé pružiny? [a) k= 1,29.105 N.rrv1 ; b) r=2,68 Hz] 16.15 C - Návod k řešení M= 1450kg;/=3Hz;£=? a) Každá pružina představuje samostatný kmitající systém; hmotnost připadající na 1 pružinu je m = Ml A Pro kmitající systém platí: 2.N.Z.: F = ma x = xm cos(cot) Hook.z.: F = -kx a = = -oŕx dt 2 2 M 2 M 2 - kx = -mco x => k -—co - — (2m) 4 4 b) M! = 5x73 kg;/'=? Zatížení každé pružiny se zvýší nam' = M/4 + M/4 - = -m ď1 x ^ k = ^ Jr^X (27z/")2 / = 1 4£ 2n\M+Mx H RW 16.27 27U. Na píst, který harmonicky kmitá ve svislem směru, položíme závaží, (a) Je-li perioda kmitů pístu LO sf při jakč amplitudě se závaží oddelí od pístu? (b) Je-li amplituda kmitů pístu 5,0 cm, jaká může být nej vetší frekvence, pro kterou zůstává závaží nepřetržité v kontaktu s pístem? [a)xm>25 cm ; b) f = 2,2 Hz] 16.27 - Návod k řešení Harmonické kmity => x = xm cos(cot); T = 1 s; závaží se oddělí od pístu pro amplitudu xm = ? a) Závaží se oddělí, když v amplitudě bude hodnota zrychlení větší než g x-xm cos(cot) d 2 x a = —- = -co2xm cos(ú)t) => amplituda zrychlení am = co2xm dt 8 8T co = 2tt/T, g CO 47T' b)xm = 5cm;fmax = l ~ X m 4n■ x Energie harmonických kmitů Uvažujme o hmotném bodu B o hmotnosti m kmitajícím na pružině, jejíž tuhost je k. Elastická sila je F = — k .x Tento kmitající hmotný bod má: © kinetickou energii t? 1 2 t, = — m v . B B' I---1 4---i-r J- —J potenciálni energii = — /c x 2 9 Počáteční podmínky: x (0) = 0; v (0) = xm Energie harmonických kmitů Poznámka: Odvození vztahu pro potenciální energii kmitavého pohybu Změna potenciální energie je rovna práci vnější síly, která způsobí protažení pružiny pružnosti 1 vnijsL Ax *-> X- X- AEn = En - En = W = Fdx = \kxdx- p Pi p\ j j kx 2 x* 1 1 1 = — kxl — kx ; pro x = 0 dostáváme E„ (x) = — kx' 2 2 p 2 Energie harmonických kmitů Rovnice harmonických kmitů pak je: x = xm • sin( cot), kde co = m Rychlost v = x = coxm cos(újí) E, = — mv2 = — mco2x2 cos2 (cot) k 2 2 Dosadíme /: = Zľ = — £x2 = — mco2x2 sin2(&>ŕ) p 2 2 v ) Celková mechanická energie hmotného boduje E = — mcD2xm2 (cos2 (&>ŕ) + sin2 i .1 i e nezávislá na čase E = -mo xm = -kxm 2 2 ~ zákon zachování mechanické energie Př.9: Pomocí obrázku určete, kolikrát během jedné periody kinetická a potenciální energie dosáhnou svého maxima a kolikrát svého minima. Je možné, aby se celková energie rovnala pouze okamžité hodnotě energie kinetické, resp. okamžité hodnotě energie potenciální? V případě, že je to možné, určete, v jaké poloze se v takové situaci nachází kmitající těleso. Průběh energie mechanického oscilátoru. výchylka x H RW 16.50 50U. Na pružine tuhosti 500 Nm visí teleso o hmotnosti 4,0 kg+ Přímo zespodu je do telesa vstřelena kulka hmotnosti 50 g+ Kulka vnikne do telesa rychlostí I50nvs_1 a uvízne v nčm+ (a) Určete amplitudu takto vyvolaného harmonického pohybu, (b) Jakou část mechanické energie kmitajícího systému představuje původní kinetická energie kulky? [a)ym=16,7cm;b)E,= 81 Ec] 16.50 - Návod k řešení Těleso na pružině visí v rovnovážné poloze. Při nárazu střely platí ZZH. Vyvolané harmonické kmity => x = xm sin(cot). Rychlost vx po nárazu představuje amplitudu rychlosti harmonických kmitů, a) v0 = 150m/s; M -A kg; m = 50 g; k = 500 N/m; xT - ? 'm m vn ZZH : mv0 = (M + m)v, => vl =--— (M +m) dx 1—Ä—1 x = xm s'm(cot): v = — = coxm cos(fttf) => ú9xm = vl dt 2.N.Z.: F = (M+m)a x = xm sin(cot) d 2 x Hook.z.: F - -kx a = —- = -co2x _ vi _ mvo dt x — — i k -kx - -(M + m)oj2x =^> co = co ^(m + M)k (M + m) b) Kinetická energie střely Ek; celková energie kmitajícího systému E 1 2 _ \ , _ 2 Ek m + M c 0 2 0 2 £_ m Tlumené kmity Reálné oscilátory během kmitání průběžně ztrácejí svou energii kmitu snižování amplitudy kmitů až do jejich úplného zániku. Příčina tlumení - různé odporové (tlumící) síly, např. odpor prostředí, tření, nebo vyzařování elektromagnetické energie (elektrické kmity). pevný nosník pružnost, k setrvačnost, m V. píst tlumení, h Tlumené kmity Mechanické tlumící síly - závislé na rychlosti kmitu Tlumící síla míří vždy proti směru rychlosti kmitů Fflum = - bv b je koeficient odporu prostředí (jednotka: 1 kg.s 1). Pohybová rovnice pruž + ^tlum — ma j -. dx d jc -kx-b— = m—— dt dt Po malé úpravě pohybová rovnice vlastních tlumených kmitu d x _ dx 9 „ —- + 25 — + co x = 0 dt dt Lineární diferenciální rovnicí 2. řádu s konstantními koeficienty, s nulovou pravou stranou 8 = — je konstanta útlumu, co = i— je úhlová frekvence vlastních 2/77 m netlumených kmitů oscilátoru Tlumené kmity Řešení hledáme ve tvaru: x = C eÁt C je konstanta a Ä je kořenem tzv charakteristické rovnice (dostaneme dosazením předpokládaného řešení do pohybové rovnice) Á2 +2ÔÁ+C02 = 0 Kořeny charakteristické rovnice: \2 =-S±^S2-cd2 Tři různé situace: a) Pro 5 > co (tzv. silný útlum ) dostaneme dva různé reálné kořeny (záporné). b) Pro S = co (tzv. kritické tlumení) dostaneme jeden dvojnásobný kořen reálný. c) Pro S < co (tzv. slabý útlum) dostaneme dva komplexně sdružené kořeny. Tlumené kmity a) Silné tlumení 5 > co Řešení rovnice (okamžitá výchylka): x b) Kritické tlumení 5 = co Řešení rovnice (okamžitá výchylka): x Časový průběh okamžité výchylky z °| a) ' rovnovážné polohy V obou případech je výsledný pohyb aperiodický, oscilátor se z počáteční výchylky asymptoticky přibližuje k rovnovážné poloze. V případě kritického tlumení je toto přiblížení k rovnováze rychlejší, což je (i přes větší hodnotu výchylky z rovnovážného stavu) výhodnější, pokud chceme kmity tlumit (např. stavby vs. zemětřesení). xm e -st Tlumené kmity c) Slabé tlumení Řešení pohybové rovnice: x = xme ^ ^ cos(^/^~*~*Po) Kmity jsou periodické, s amplitudou, která s časem exponenciálně klesá: x. m {')= m -btlilm) Úhlová frekvence tlumených kmitů cotl je vždy menší než úhlová frekvence co netlumených kmitů téhož oscilátoru: b m Ani Časový průběh slabě tlumených kmitu 8 tlumení) - harmonická budící síla F(t) = Fm cos (wbt) Po zapnutí budící síly: pohyb je superpozicí (vlastních) tlumených kmitů a nucených kmitů. Po dostatečně dlouhé době: tlumené kmity vymizí a systém přejde do ustáleného stavu (nezávisí na počátečních podmínkách), tj. vykonává pouze nucené kmity. Jaká je jejich amplituda a fázový posun vůči budící síle? ? ? x(t) = Xtn COS (oj^t + (f) Nucené kmity Nucené kmity Řešení pohybové rovnice nucených kmitů ve stacionárním, tj. ustáleném stavu (po utlumení vlastních kmitů) Amplituda stacionárnjeh kmitů závisí na amplitudě budící síly Velikost amplitudy je tím větší, čím menší je rozdíl co1 —col (tj. úhlová frekvence budící síly blízká úhlové frekvenci vlastních kmitů) a čím menší je S (slabé tlumení) Maximum amplitudy (amplitudová rezonance) nastane pro: úhlová frekvence nucených kmitů v ustáleném stavu je stejná jako u budící síly *F vyjadřuje fázové zpoždění nucených kmitů za budící silou 28 q\ tgx¥ = (cob)rez=^2-2s: 2 2 co -coh -Amplituda i fáze jsou funkcemi budící frekvence. - Fáze nezávisí na amplitudě budící síly. Nucené kmity - rezonance K velkému zesílení (rezonanci) amplitudy kmitů dochází pro 8 « co a ©b ~ co (slabé tlumení & frekvence budící síly je rovna frekvenci vlastních kmitů oscilátoru) U = 50g-s~ (nejmenší t umení V— h = 7Q g-s-J b= 140gs" i 1 1 1 1 0.6 0.8 1,0 1,2 1,4 Amplituda výchylky nucených kmitu při rezonanci Odchylka od rovnosti úhlových frekvencí je způsobena tím, že v praxi máme vždy tlumení 0 Nucené kmity - rezonance http://www.aldebaran.cz/animace/ Žádoucí rezonance - rezonanční elektrické obvody