Vlny
HRW kap. 17–18
- zvláštní druh pohybu, při kterém se přenášejí kmity.
VLNĚNÍ
Prostředím postupuje pouze rozruch a spolu s ním energie kmitů.
Částice prostředí zůstávají na místě a pouze kmitají kolem
svých rovnovážných poloh.
Kmity - periodicky se opakující změny stavu
Šíření kmitů od místa svého vzniku do okolí - vzniká děj nazvaný vlnění
Vlnění je děj závislý na čase, jehož podstatou je
šíření periodických změn fyzikálních veličin
(např. mechanických výchylek, nebo změn vektorů intenzity elektrické nebo
magnetické složky elektromagnetického pole, apod.)
Vlny – základní popis
y
postupné, příčné
Pulz:
Vlna:
Vlna/pulz postupuje prostředím (fázovou) rychlostí Ԧ𝑣
Východisko:
napnuté vlákno;
krajním bodem
pohnu nahoru a poté
zpět do rovnovážné
polohy
Východisko:
napnuté vlákno;
krajním bodem
pohybuji harmonicky
nahoru a dolů, vždy
o stejnou vzdálenost
od rovnovážné
polohy
Vlny – základní popis
postupné, příčné
Proč POSTUPNÁ ?
Rozruch (pulz/vlna)
postupuje prostředím od
místa vybuzení
„do nekonečna“
Proč PŘÍČNÁ ?
Částice prostředí
kmitá kolmo, tj.
příčně
na směr šíření.
Př.: Šíření podél osy x → okamžitá výchylka bodu z
rovnovážné polohy ve směru osy z je funkcí souřadnice
x a času t → výchylku označíme z(x,t) [nebo
y(x,t),případně obecným výrazem u(x,t)]
postupná podélná
Vlny – základní popis
Proč PODÉLNÁ ?
Částice prostředí
kmitá rovnoběžně se
směrem šíření, tj.
podél
směru šíření.
Př.: Šíření podél osy x → okamžitá výchylka bodu
z rovnovážné polohy ve směru osy x je funkcí
souřadnice x a času t → výchylku označíme u(x,t)
y
Pulz – popis výchylky
 fy 

   
   vtxftxy
fy


,


Na vlákně se šíří pulz, zajímá
nás výchylka (souřadnice y)
jednotlivých částic vlákna
(souřadnice x) v čase t, tj.
y(x,t)
Zvolíme pomocnou
souřadnou soustavu [; y], ve
které popíšeme tvar pulzu
pomocí (nějaké/vhodné)
funkce f v čase t0 = 0:
y () = f ()
x =  v čase t0 = 0
Za čas t se bod posune o
vzdálenost v·t
x =  + v·t v čase t
Předpoklad: souřadná soustava [; y] se
pohybuje podél vlákna stejnou rychlostí v,
jakou se šíří pulz;
tj. popis výchylky v soustavě [; y] se nemění.
Vyjádříme souřadnici x:
x =  + v·t →  = x - v·t
Výchylka y jednotlivých částic vlákna (souřadnice x) v
čase t je potom popsána pomocí této funkce f(x – vt)
Vlnová rovnice
   
2
2
2
2
2
,,
x
txu
v
t
txu





     vtxgvtxftxu ,
Řešení:
vlna postupující zleva doprava vlna postupující zprava doleva
v - fázová rychlost šíření vlny
Vlnová rovnice:
)(),( vtxftxu Okamžitou výchylku postupné vlny lze obecně popsat rovnicí:
Provedeme druhou derivaci a) podle času a b) podle prostorové souřadnice →
Harmonická postupná vlna
       )(sinsin 0xmm ttytyty
 
 















kxty
v
x
tytxy
m
m
sin
sin,
v
k


příčná
tttt
xst


00
00 0bodpro0
v
x
tttt
xvxt
x
x


0
0 bodpro/
Harmonická vlna: jednotlivé body
vlákna (prostoru) harmonicky
kmitají, tj. jejich výchylku z
rovnovážného stavu popíšeme
pomocí funkce sinus (nebo
cosinus)
Výraz t = t – tx0 zahrnuje zpoždění, se kterým se vlnění rychlostí v rozšíří do bodu se souřadnicí x
Výchylku z rovnovážné polohy bodu se souřadnicí x lze popsat:
Krajní bod kmitá
„celou dobu“
Do bodu x se
kmity rychlostí v
dostanou až za
dobu tx0 →
platí: x = v·tx0
POZOR!
Toto k není tuhost
podélná
Harmonická postupná vlna
     tutu m sin
 
 















kxtu
v
x
tutxu
m
m
sin
sin,
v
k


Obdobně pro podélnou vlnu: výchylku z rovnovážné polohy bodu se souřadnicí x
lze popsat:
Harmonická postupná vlna
t = 0
x = 0
Výchylka závisí na dvou proměnných – prostorové
souřadnici a času. Pro zobrazení průchodu vlny
prostředím tak máme dvě možnosti:
1. Zobrazení výchylky v prostoru v jednom časovém okamžiku
2. Zobrazení výchylky jednoho bodu prostředí v čase
l .. vlnová délka = nejkratší vzdálenost, mezi dvěma body se stejnou
výchylkou v libovolném čase
T .. perioda = nejkratší čas, za který se výchylka daného bodu (stav
systému) začne opakovat
Harmonická postupná vlna
Odvození vztahu pro úhlový vlnočet: 𝑘 =
2𝜋
𝜆
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦 𝑚 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑 = 𝑦 𝑚 sin(𝑘(𝑥 + 𝜆) − 𝜔𝑡 + 𝜑)
sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑 = sin(𝑘(𝑥 + 𝜆) − 𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑 + 2𝜋 = 𝑘𝑥 + 𝑘𝜆 − 𝜔𝑡 + 𝜑
2𝜋 = 𝑘𝜆 → 𝑘 =
2𝜋
𝜆
Odvození vztahu mezi úhlovou frekvencí a periodou vlnění: 𝜔 =
2𝜋
𝑇
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦 𝑚 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑 = 𝑦 𝑚 sin(𝑘𝑥 − 𝜔(𝑡 + 𝑇) + 𝜑)
sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑 = sin(𝑘𝑥 − 𝜔(𝑡 + 𝑇) + 𝜑)
𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑 − 2𝜋 = 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 − 𝜔𝑇 + 𝜑
2𝜋 = 𝜔𝑇 → 𝜔 =
2𝜋
𝑇
Harmonická postupná vlna
Harmonická postupná vlna
Fyzikální význam veličin:
y, u - okamžitá výchylka z rovnovážné polohy bodu v prostoru, v němž se šíří
vlnění; jednotky [y] = [u] = m
ym, um - amplituda výchylky; jednotky [ym] = [um] = m
  tkx - okamžitá fáze vlny; φ – počáteční fáze.
 - úhlová frekvence kmitavého pohybu zdroje i všech bodů prostředí, v němž
se vlnění šíří – úhlová frekvence vlnění; jednotky [] = rad·s-1
f - frekvence vlnění; jednotky [f] = Hz = s-1
T
f

1
- perioda ; jednotky [T] = s
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢 𝑚 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦 𝑚 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑)
 ]  ] rad tkx
ω = 2πf
Příčná rychlost vlnění – jak rychle se mění velikost výchylky
daného bodu.t
txy
txvp



),(
),(
Pro: 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦 𝑚 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) → )cos(),( tkxytxv mp  
- prostý vlnočet, který určuje, kolik vln se vytvoří na úseku dlouhém 1metr.
l
1
l
2
k
- úhlový vlnočet, určuje, o kolik radiánů se změní fáze vlny na délce 1m
ve směru šíření vlny, jednotky [k] = rad·m-1
vf
f
k

l

l


22
k
v

 - disperzní vztah
Vzdálenost, kterou urazí vlnění za dobu jedné periody – vlnová délka
f
v
vT l
(vlnová délka = nejmenší vzdálenost dvou bodů, které kmitají ve stejné fázi)
Snímek struny, kterou se šíří sinusová vlna, v daném okamžiku t
l - vlnová délka, jednotky [l] = m
v - fázová rychlost šíření vlnění, jednotky [v] = ms-1
Harmonická postupná vlna
Rychlost šíření vln na struně a v plynu
Napětí struny – charakterizuje pružnost systému
Lineární hustota m = m/L – charakterizuje setrvačnost systému
[m]  kg m-1
[t]  N
[K]  Pa
r ..objemová hustota; [r]  kg m-3
HRW 17.7
Příčná rychlost:
t
txy
txvp



),(
),(
HRW 17.13Ú
(a) Napište rovnici příčné postupné sinusové vlny, šířící se
ve vlákně ve směru +x, má-li tato vlna vlnovou délku 10 cm,
frekvenci 400 Hz a amplitudu 2,0 cm. (b) jaká je největší
příčná rychlost částic vlákna? (c) Jaká je rychlost vlny?
a)
b)
c)
)20800sin(02.0),( xttxy  
t
txy
txvp



),(
),( -1-1
max ms3,50ms16  pv
1ms40
f
T
v l
l
Příklad 1.
a) Napište rovnici příčné postupné harmonické vlny šířící se
proti směru osy x.
b) Pro vlnu o amplitudě 4 mm, vlnové délce 0,5 m a frekvenci
6 Hz zapište vztah pro příčnou rychlost částic struny v závislosti
na x a t a určete maximální hodnotu příčné rychlosti.
b) v(t,x) = 0,15 cos(4x + 12t), vmax = 0,15 m.s-1