Hodnocení EAlgebra 2 3.6.2004
Jméno:
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů.
Minimum je 25 bodů.
Na práci máte 90 minut.
1. (1 Okřát 1 bod -- správně 1 bod, chybně --1, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku),
zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano -- ne Je-li m liché složené číslo, a E Z takové, že (^) = 1, pak kongruence
x2
= a (mod m) je řešitelná.
(b) ano -- ne Existuje nekonečně mnoho prvočísel tvaru 6fc + 3.
(c) ano -- ne Je-li celé číslo g primitivním kořenem modulo m E N, pak je také primitivním
kořenem modulo libovolné d E N, které je dělitelem m.
(d) ano -- ne Lineární kongruence ax = b (mod m), kde a, b G Z, m G N, nemá řešení modulo
m, je-li a záporné.
(e) ano -- ne Relace dělitelnosti je na množině celých čísel reflexivní.
(f) ano -- ne Diofantická rovnice xn
+ yn
= zn
s neznámými x, y, z G N nemá pro parametr
n G N, n > 2 žádné řešení.
(g) ano -- ne Pro všechna n G N platí ip(2n) = <p{n).
(h) ano -- ne Libovolná polynomiální kongruence f (x) = 0 (mod m), kde m G N, má nejvýše
st(/) řešení modulo m.
(i) ano -- ne Je-li n prvočíslo, pak (n -- 1)! = --1 (mod n).
(j) ano -- ne Binomická kongruence xn
= a (mod p), kde a, n E N a p je prvočíslo splňující
(n, p) = 1 má jediné řešení modulo p.
2. (8 bodů) V oboru přirozených čísel řešte rovnici:
2x2
+x
~2
- 2x2
~4
= 992
3. (8 bodů) Když na Sokolském sletu vytvořili cvičenci sedmistupy, zbývali 4 navíc, při cvičení v
kruzích o i l lidech přebýval 1 a při tvorbě pyramid (na každou je potřeba 13 lidí), jich 7 jen
přihlíželo. Kolik cvičenců se vystoupení zúčastnilo, když jich bylo určitě méně než 1000?
4. (8 bodů) Určete, pro která n E N je číslo 5ra
+ 6ra
dělitelné 31.
5. (8 bodů) Řešte kongruenci x3
+ x2
+ x + l = 0 (mod 432
).
6. (8 bodů) Definujte pojem ,,prvočíslo" a zformulujte další
(a) dostatečnou, ale ne nutnou
(b) nutnou, ale ne dostatečnou
(c) nutnou a dostatečnou
podmínku pro to, aby přirozené číslo bylo prvočíslem.