Algebra 2
Jméno: ...
10.6.2005
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů.
Minimum je 25 bodů.
Na práci máte 90 minut.
Hodnocení E
1. (1 Okřát 1 bod -- správně 1 bod, chybně --1, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku),
zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano -- ne Mají-li dvě přirozená čísla stejnou poslední číslici, pak jejich desáté mocniny mají
stejné dvě poslední číslice dekadického zápisu.
(b) ano -- ne Mezi čísly 1 až 60 existuje Í/?(Í/?(60)) = 8 primitivních kořenů modulo 60.
(c) ano -- ne Diofantická rovnice x3
+ y3
= 9 nemá řešení v množině přirozených čísel.
(d) ano -- ne Lineární kongruence ax = b (mod m), kde a, b E Z, m E N, má vždy řešení modulo
m, platí-li a \ b.
(e) ano -- ne Binomická kongruence xn
= a (mod p), kde a, n E N a p je prvočíslo splňující
(n, p -- 1) = 1, má jediné řešení modulo p.
(f) ano -- ne Relace dělitelnosti je na množině přirozených čísel relací uspořádání.
(g) ano -- ne Zobrazení / : x --ˇ x3
je bijekcí na libovolné redukované soustavě zbytků modulo
31.
(h) ano -- ne Pro všechna lichá čísla n platí ip(2n) = <p{n).
(i) ano -- ne Je-li p prvočíslo, pak má libovolná polynomiální kongruence f(x) = 0 (mod p)
nejvýše st(/) řešení modulo m.
(j) ano -- ne Je-li n > 4 složené, pak n \ (n -- 1)!.
2. (8 bodů) Určete počet řešení kongruence x2
= 2541 (mod 4673), víte-li, že 4673 je prvočíslo.
3. (8 bodů) Pro číslo n = 1080 určete počet a součet jeho kladných dělitelů a rovněž počet přirozených
čísel x < n, pro která (x, n) = 1.
4. (8 bodů) Rozhodněte, pro která přirozená čísla n je číslo 22
dělitelné sedmi.
5. (8 bodů) Dokažte nebo vyvraťte tvrzení: ,,pro každé prvočíslo p ^ 5 platí, že alespoň jedno z čísel
p 4, p + 6 není prvočíslo."
6. (8 bodů) Řešte diofantickou rovnici 7x2
+ 25y + 13 = 0.