Algebra 2
Jméno: ...
27.5.2005
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů.
Minimum je 25 bodů.
Na práci máte 90 minut.
Hodnocení E
1. (1Okřát 1 bod -- správně 1 bod, chybně --1, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku),
zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano -- ne Lineární diofantická rovnice ax = b má pro libovolná a, b E Z splňující a \ b
nekonečně mnoho řešení.
(b) ano -- ne Kongruence ax2
= b (mod m), kde a, b, m E N, nemá řešení, pokud (a, m) \ b.
(c) ano -- ne Jsou-li p, q lichá prvočísla taková, že platí p = 1 (mod 4), pak (E
) = (-).
(d) ano -- ne Primitivní kořeny neexistují modulo žádné složené číslo větší než 4.
(e) ano -- ne Číslo 5 je jediným řešením rovnice <p(m) = 4.
(f) ano -- ne Pro každé x E E, n E N platí: [x + n] = [x] + n.
(g) ano -- ne Soustava kongruencí
CL\X = b\ (mod mi)
a2x = &2 (mod m2)
je řešitelná právě když (mi, m2) | (b\ -- 62)ˇ
(h) ano -- ne Pro Jacobiho symbol (|), kde 2 \ b, platí: je-li (|) = --1, pak kongruence x2
= a
(mod b) není řešitelná.
(i) ano -- ne Polynomiální kongruence f (x) = 0 (mod p), kde p je prvočíslo, má nejvýše st(/)
kořenů.
(j) ano -- ne Pro každé a, m E N, (a, m) = 1 je řád čísla a modulo m násobkem (p{m).
2. (8 bodů) Rozhodněte, které z následujících kongruencí (resp. soustav kongruencí) jsou řešitelné.
(a) X ': 1 (mod 3)
x = -- 1 (mod 9)
(b) Ax = 1 (mod 1234567891011)
(c) x = 3 (mod 29)
x = 5 (mod 47)
(d) x2
= 3 (mod 29)
x2
= 5 (mod 47)
(e) x2
= 5 (mod 29)
x2
= 3 (mod 47)
10
= 7 (mod 310
)(f) x
3. (8 bodů) Učitel matematiky se zmínil, že dnes mají narozeniny obě jeho děti. Když se ho žáci
zeptali na jejich věk, odpověděl hádankou: ,,Součet trojnásobku druhé mocniny dceřina věku a
sedminásobku součinu věků obou dětí je o 16 větší než šestinásobek druhé mocniny synova věku."
Určete věk obou dětí (všechny možnosti).
4. (8 bodů) Řešte rovnici Lp(pm) = '^(qm) (pro neznámé m G N a prvočísla p, q)
5. (8 bodů) Určete, pro která prvočísla p je řešitelná kongruence
x2
+ 2 = 0 (mod p).
Je těch prvočísel, pro která je kongruence řešitelná, konečně nebo nekonečně mnoho? Zdůvodněte.
6. (8 bodů) Určete, pro která n E N platí 6ra
-- 1 | 7n
-- 1.