Své postupy i svá rozhodnutí zdůvodňujte!
1. (io bodů) Pro těleso K = Q(\/2, VŠ, VŠ, V?) popište Galoisovu grupu Ga\(K/Q). Kolik má těleso K kvadratických podtěles, tj. podtěles L s vlastností [L : Q] = 2?
2. (3 x io bodů) Jsou dány polynomy
Pro každé i = 1,2,3 popište rozkladové těleso K{ polynomu jeho Galoisovu grupu Gal(KifQ) a svaz všech podtěles tělesa K i.
3. (io bodů) Uvažme devadesáté první kruhové těleso K = Q(C), kde ( = cos ff+i sin ||.
Nechť a = C + C16 + C74 a 0 = C + C9 + C81-
(a) Určete každý ze stupňů rozšíření [K : Q(a)}, [K : Q(/3)], [K : Q(a) n Q(/3)], [tf:Q(a,č)].
(b) Rozhodněte, zda je Galoisova grupa G&\(K/Q(a) D <Q>(/3)) komutativní.
(c) Rozhodněte, zda je Galoisova grupa G&\(K/Q(a) n Q(/3)) cyklická.
4. (io bodů) Nechť (G, •) je Hausdorffovská topologická grupa, H C G její podgrupa, přičemž H je komutativní.
(a) Dokažte, že uzávěr H podgrupy H je také komutativní.
(b) Rozhodněte, zda toto tvrzení platí i bez předpokladu Hausdorffovskosti.
5. (io bodů) Nechť K = F2 (x) je těleso racionálních funkcí nad dvojprvkovým tělesem
(a) Dokažte, že pro libovolnou matici A = (ac bd) G GL2(F2) existuje automorfis-mus a a'- K —» K splňující podmínku cta(x) = ^fžjř|-
(b) Dokažte, že G = {aa', A G GL2(F2)} tvoří vzhledem ke skládání grupu, která je izomorfní s GL2(F2).
(c) Popište podtěleso L C K takové, že K jL je konečné normálni separabilní rozšíření s Galoisovou grupou G.
(d) Nalezněte vhodné P G K tak, aby L = F2(/3).
(e) Nakreslete svaz všech těles M, splňujících L C M C K, & vyznačte stupně rozšíření mezi každými zakreslenými tělesy, které jsou v inkluzi.
(Pro výpočet stupňů rozšíření můžete při řešení užít větu: Nechť F je těleso a t je transcendentní nad F. Necht f (t), g (t) jsou nenulové nesoudělné polynomy z F [t], z nichž je alespoň jeden nekonstantní. Pak platí [F (ť) : -^"(4^)] =
(a) h
(b) h
(c) h
x3 + 2;
x4 - 4x2 + 2;
x6+ 3.
F2.
max{deg/(í),deg^(í)}.)
Své postupy i svá rozhodnutí zdůvodňujte!
1. (io bodů) Nechť n > 3 je přirozené číslo. Nechť Dn značí grupu všech symetrií pravidelného n-úhelníka. Rozhodněte, zda je grupa Dn řešitelná.
2. (3 x io bodů) Jsou dány polynomy
Pro každé i = 1,2,3 popište rozkladové těleso Ki polynomu fa, jeho Galoisovu grupu Gal (.říj/Q) a svaz všech podtěles tělesa K i.
3. (io bodů) Nechť (G, •) je topologická grupa, H C G její podgrupa.
(a) Dokažte, že je-li H otevřená, pak je H též uzavřená.
(b) Udejte příklad topologické grupy (G, •) a její podgrupy H, která je uzavřená, ale není otevřená.
4. Nechť K = Q(C), kde ( = cos || + i sin ||, je šedesáté třetí kruhové těleso. Nechť
a = C + C8a/3 = C + C-8-
(a) Určete každý ze stupňů rozšíření [K : Q(a)}, [K : Q(/3)], [K : Q(a) D Q(P)], [K : Q(a,(3)}.
(b) Rozhodněte, zda je těleso Q(a) D Q(£) reálné, tj. platí Q(a) D Q(/3) C R
(a) fi
(b) h
(c) h
x4 + l;
x4 + 5x2 + 6;
x6 - 4.
Své postupy i svá rozhodnutí zdůvodňujte!
1. (io bodů) Nechť H značí grupu všech symetrií pravidelného čtyřstěnu a G značí grupu všech symetrií krychle. Pro každou z grup G, H rozhodněte, zda je řešitelná.
2. (3 x io bodů) Jsou dány polynomy
Pro každé i = 1, 2, 3 popište rozkladové těleso Ki polynomu /j nad Q, jeho Galoi-sovu grupu Gal(KifQ) a svaz všech podtěles tělesa Ki.
3. (io bodů) Nechť (G, •) je topologická grupa, H C G její podgrupa.
(a) Dokažte, že je-li H otevřená, pak je H též uzavřená.
(b) Udejte příklad topologické grupy (G, •) a její podgrupy H, která není ani uzavřená ani otevřená.
(c) Udejte příklad topologické grupy (G, •) a její podgrupy H, která je uzavřená, ale není otevřená.
(d) Udejte příklad topologické grupy (G, •) a její podgrupy H, která je uzavřená a současně otevřená.
4. Nechť K = <Q>(C), kde ( = cos || + i sin ||, je šedesáté třetí kruhové těleso. Nechť Li,...,La značí všechna (po dvou různá) podtělesa tělesa K, pro která [K : Lj] = 2 (pro každé i = 1,..., s).
(a) Určete počet s těchto těles.
(b) Kolik z podtěles L1;..., Ls je reálných, tj. pro kolik i = 1,..., s platí L, C R?
(c) Pro každé i = 1,..., s určete minimální polynom čísla ( nad tělesem Lj.
(d) Pro každé i = 1,..., s nalezněte vhodné číslo a, s vlastností     = Q(o;j).
(a) fi
(b) h
(c) h
x4 + l;
x4 + 7x2 + 12; x6 - 9.
Své postupy i svá rozhodnutí zdůvodňujte!
1. (10 bodů) Nechť
(a) Li = F2 (tj. těleso o 2 prvcích);
(b) L2 = F3 (tj. těleso o 3 prvcích);
(c) L3 = F4 (tj. těleso o 4 prvcích).
Pro každé i = 1, 2, 3 nechť Ki je rozkladové těleso polynomu x3 + x + 1 nad Li. Určete, kolik prvků má Gal(Ki/Li), a popište všechny prvky této Galoisovy grupy.
2. (io bodů) Jsou dány polynomy
(a) fl = x4-3x2 + 2;
(b) h = x6 - 4.
Pro každé i = 1, 2 popište rozkladové těleso Ki polynomu f i nad Q, jeho Galoisovu grupu Gal(Kj/Q) a svaz všech podtěles tělesa
3. (io bodů) Uvažme následující topologii na množině Z: množina X C Z je otevřená, právě když 0 ^ X nebo Z — X je konečná. Rozhodněte, zda vzhledem k této topologii tvoří (Z, +) topologickou grupu.
4. (io bodů) Nechť K = Q(C), kde ( = cos || + i sin ||, je šedesáté třetí kruhové těleso. Nechť Li,...,Ls značí všechna (po dvou různá) podtělesa tělesa K, pro která [K : Li] = 3 (pro každé i = 1,..., s).
(a) Určete počet s těchto těles.
(b) Kolik z podtěles L\,..., Ls je reálných, tj. pro kolik i = 1,..., s platí Lj C R?
(c) Pro alespoň jedno i G {1,..., s} určete minimální polynom čísla ( nad tělesem Li.
Své postupy i svá rozhodnutí zdůvodňujte!
1. (io bodů) Popište rozkladové těleso K polynomu f(x) = x4 — 2x2 — 2 nad Q, jeho Galoisovu grupu Gal(K/Q) a svaz všech podtěles tělesa K.
2. (io bodů) Nalezněte minimální polynom g(x) čísla 7 = 1 + \/2 + \/Ä nad Q. Popište rozkladové těleso L polynomu g(x) nad Q, jeho Galoisovu grupu Gal(L/Q) a svaz všech podtěles tělesa L.
3. (io bodů) Zvolte vhodně a napište explicitně nějaké konkrétní reálné číslo a a dokažte o něm, že Q(a)/Q je cyklické rozšíření stupně 7 (cyklické rozšíření je Galoisovo rozšíření s cyklickou Galoisovou grupou).
4. (io bodů) Uvažme následující dvě topologie na množině M: pro množinu X C R platí X G Ti, právě když je X prázdná nebo je sjednocením libovolného počtu polootevřených intervalů (zleva otevřených, zprava uzavřených), a platí pro ni X G T2, právě když 0 ^ X nebo W. — X je konečná. Pro každou z těchto topologií rozhodněte, zda vzhledem k ní tvoří (R, +) topologickou grupu.
5. (i6 bodů) Nechť K je 1729té kruhové těleso. Pro každou z následujících čtyř vlastností určete, kolik podtěles P tělesa K ji má a kolik z podtěles s touto vlastností je reálných (tj. je podtělesem R).
(a) [K : P]
(b) [K : P]
(c) [P : Q]
(d) [P : Q]
2.
3.
2.
3.