1
Prostorové modelování
a základy geostatistiky
Petr Dobrovolný
Obsah přednášky
1. Prostorové a kartografické modelování
2. Kartografický model a základní členění modelů
3. Mapová algebra -modelování s rastrovými daty
4. Úvod do geostatistiky
5. Statistický popis prostorového uspořádání
objektů (bodů, linií, ploch)
6. Přehled metod interpolace
Základní literatura
BORROUGH, P.A., McDONNELL, R.,A (1988):
Principles of Geographical Information Systems.
Oxford University Press, Oxford, 333s.
DeMERS, N.M. (2002): GIS Modelling in Raster.
Wiley & Sons. New York, 203 s.
TOMLIN, D. (1990): Geographic Information
Systems and Cartographic Modelling. Prentice
Hall, New Jersey.
LEE, J., WONG, D.W.S. (2001): Statistical
Analysis with ArcView GIS, J. Willey & Sons,
New York, 192 s.
Metodologie zpracování prostorových dat, která
používá map jako proměnných a prostorových
operací jako konstruktorů (operátorů)
v algebraických výrazech.
Kartografické modelování
Modelování není ovládání SW (znalost práce s textovým
editorem nezaručuje znalost pasní dobrých románů).
Význam modelování v GIS
Kartografické modelování je základním nástrojem
analýzy v GIS. Nástroji GIS je vytvářen model
reálného světa. Nad tímto modelem je vytvářen další
(formální) model, který popisuje, předpovídá,
simuluje, syntetizuje či analyzuje procesy a jevy ­
kartografický model.
REALITA
DATOVY MODEL
DATOVÁ STRUKTURA
STRUKTURA DATOVÉHO SOUBORU
Kartografické
modelování
Jednotlivé
úrovně
abstrakce
reality
1. Co má být výstupem modelu (co modeluji ­ chci
popsat daný stav, nebo něco předpovědět, nebo
najít vhodné řešení z několika možných)
2. Jakých datových zdrojů bude zapotřebí - vrstvy
a vazby mezi nimi
3. Způsob prezentace reálného světa (prostorové
informace) v modelu ­ jakým datovým modelem
budou objekty a vztahy mezi nimi
prezentovány.
4. Jakých nástrojů použijeme
Modelování je proces, který vyžaduje porozumění
a vyjasnění následujících kroků:

2
V závislosti na zvolených kritériích existuje několik
způsobů klasifikací modelů v GIS, neexistuje
jednotná terminologie, mezi dvěma kategoriemi
modelů často neexistuje striktní hranice ale
postupný přechod.
Základní dělení kartografických modelů
3 základní kritéria třídění (DeMers, 2002):
1. Dělení modelů na základě účelu použití
2. Dělení modelů na základě použité
metodologie a technik
3. Dělení modelů na základě použité logiky
1. Dělení modelů podle účelu použití
1.1 Modely deskriptivní - účelem je popsat
současné procesy a funkce složek v systému
(krajiny, dopravního systému, ekosystému, ...)
1.2 Modely preskriptivní - účelem je predikovat
možné budoucí stavy systému.
Deskriptivní modely
ˇ Jedná se o modely pasivní. Hlavním úkolem je popis jednotlivých
složek studovaného území, jejich současného stavu. Odpovídají tedy
především na otázku: Co je tady? (támhle).
ˇ Snaží se kvantifikovat současný stav ­ např. geometrické vztahy
objektů na mapě či mapách. Od jednoduchého měření (vzdálenost,
plocha, obvod, ...) až po komplexní integrující charakteristiky (tvar,
izolovanost, struktura, hierarchie).
ˇ Tyto modely umožňují především zjišťovat strukturní vztahy
(pattern), porovnávat je mezi dvěma mapami či územími.
ˇ Deskriptivní modely mohou být charakterizovány také jako
syntetické. Postihují vztahy mezi jednotlivými vrstvami
ˇ Dekonstruktivní modely ­ pro testování sensitivity či
významnosti jednotlivých složek v modelu lze jednu každou složku
z modelu odstranit a studovat její vliv na fungování celku.
Preskriptivní modely
ˇ Lze je charakterizovat jako aktivní. Řeší odpověď na otázku
,,Co by mělo být?" ­ typický příklad: optimální lokalizace objektu.
ˇ Možná předpověď vzniká na základě důkladné deskripce
ˇ Dvojí charakter výstupu z modelu:
A. nejlepší (jedno) řešení na základě stanovených kritérií
B. variantní řešení (několik) které vyhovují zadaným
kritériím.
ˇ Umožňují analyzovat dynamiku procesů.
Dále je lze dělit na modely
ˇ holistické ­ modelují proces jako celek
ˇ atomistické- model ,,vrstev" ­ četnější
2. Dělení modelů podle použité metodologie
2.1 Modely stochastické ­ založené na
pravděpodobnostní statistice (např. regresní
model)
2.2 Deterministické ­ založené jasně
definovaných vztazích příčiny a následku (např.
odtokový model, model predikce znečištění,
modely erozní - USLE)
3. Dělení modelů podle použité logiky
3.1 Induktivní metody ­ konstrukce obecného
modelu z jednotlivých tématik, běžně využívají
empirických vztahů.
3.2 Deduktivní metody ­ od obecných pravidel
ke specifickému, algoritmické

3
Kartografické modelování představuje typický
analytický nástroj GIS.
Problémy spojené s využíváním analytických
nástrojů:
ˇ Uživatel velmi často porovnává neporovnatelné
(porovnávání nominálních a ordinálních dat). Př.:
Numerické hodnoty reprezentující nominální
kategorie (např. landuse) jsou děleny či násobeny
ordinálními, intervalovými či poměrovými daty a ve
výsledku nedávají žádný význam.
ˇ Zaměňuje příčinu a následek
ˇ Nepokouší se testovat alternativní způsoby
ˇ Nedostatečná znalost o podstatě, způsobu sběru či
způsobu organizace dat v databázi
Základní druhy prostorových údajů podle
použité škály hodnot:
NOMINÁLNÍ - jména, kvalitativní, disjunktní (nepřekrývají
se), lze s nimi provádět pouze některé logické operace
(porovnávání, existence či neexistence)
ORDINÁLNÍ - údaje, jež lze seřadit podle určitého kritéria. Je
známé jejich pořadí, nikoli však rozdíl (rozdíl mezi dvěma
určitými kategoriemi nemusí být stejný jako rozdíl mezi
jinými dvěma kategoriemi).
INTERVALOVÁ - lze je také odečítat, zjišťovat rozdíly, mají
pevnou stupnici. Obsahují nulu, která je "uměle" vytvořena v
dané stupnici a nachází se "uprostřed".
POMĚROVÁ - umožňují provádět i operaci dělení. Nula zde
vyjadřuje neexistenci dat. Jsou jednostranně omezena.
Proč modelovat s rastrovými daty?
ˇ Je řada věcí, které lze modelovat vhodněji
s použitím vektorových dat (síťové analýzy) a
naopak (modelování spojitých polí ­ povrchů,
difúzní modely)
ˇ Používané algoritmy na řešení problémů
v prostředí ,,vektorovém" a ,,rastrovém" se často
značně liší.
ˇ Důvody historické (průhlednost a jednoduchost
prvních nástrojů) a pragmatické (cena a dostupnost)
ˇ Doména environmentálního modelování (na rozdíl
od modelů technických - doména CAD systémů).
Proč modelovat s rastrovými daty?
ˇ Větší šíře rastrových nástrojů
ˇ Možnost prezentace diskrétních i spojitých
prostorových informací
ˇ Možnost definování vztahů sousednosti
ˇ Využitelnost principů mapové algebry pro
kartografické modelování, jednoduchost řady
algoritmů
ˇ Výrazně rostoucí podíl prostorových dat
získávaných metodou DPZ a jejich rastrová povaha
ˇ Kompatibilita s obdobnými datovými zdroji
ˇ Jednoduchý sběr dat
ˇ Vhodné pro kombinování více vrstev ­
mapová algebra, snadné překrývání
ˇ Jednoduchost operací, jednoduchost
datové struktury (matice)
ˇ Vhodné pro analýzy souvislých povrchů
ˇ Rychlé polohové dotazování
Nevýhody
Výhody
ˇ Velká paměťová náročnost
ˇ Omezená geometrická přesnost daná
rozlišením (velikostí buňky)
ˇ Nižší vizuální kvalita
ˇ Nevhodnost pro síťové analýzy
Rastrový datový model
- viz. základní přednáška
Přesnost a kvalitu zobrazení reality za pomoci
rastrového modelu ovlivňují tyto faktory:
ˇ Rozměr buňky (,,prostorové rozlišení" v DPZ)
ˇ Způsob přiřazení hodnoty atributu buňce
ˇ Počet úrovní použitých pro zaznamenání hodnot
atributu (,,radiometrické rozlišení" v DPZ)

4
Ad 1) Menší rozměr buňky znamená přesnější
geometrii, avšak geometricky narůstající paměťový
prostor, (vzrůst počtu tzv. smíšených pixelů v DPZ)
Ad 2) Hodnoty atributu v buňce mohou být určeny
několika způsoby:
ˇ Bodová hodnota zaznamenaná kdekoliv v buňce
ˇ Aritmetický průměr několika bodových měření
ˇ Vážený aritmetický průměr (váha ­ např. plocha
či počet bodů s určitou hodnotou)
ˇ Minimální či maximální hodnota atributu v ploše
ˇ Hodnota s nejvyšší vahou
ˇ Výsledek interpolačního algoritmu
Ad 3) Používané hloubky rozlišení (počet stavů
použitých k popisu změn v chování atributu):
Binární rastr (0,1), integer, floating point (real)
Zdroje rastrových dat:
ˇ primární (obrazová data DPZ)
ˇ sekundární
ˇ metody interpolace bodových měření (GPS)
ˇ metody rasterizace vektorových dat
ˇ skenování analogových dat
Prezentace základních druhů objektů
v rastrovém datovém modelu
ˇ body
ˇ linie
ˇ polygony
ˇ povrchy
Mapová algebra
Rastr je analogií matice a MA je
analogií maticového počtu.
Rastr využívá modelu vrstev.
Jednotlivé vrstvy (vstupní rastry,
gridy) jsou pomocí operátorů,
funkcí, výrazů či iterací
kombinovány do výstupního rastru
(většinou).
Nová_Mapa = f(Vstupní_Mapa1,Vstupní_Mapa2,...)
Soubor metod analýzy prostorových dat
uchovávaných v rastrovém datovém modelu. Používá
map jako proměnných a prostorových operací jako
operátorů v algebraických výrazech.
ˇ MA tvoří podstatnou část prostorových analýz
v GIS a je také základem řady metod zpracování
obrazu v DPZ
ˇ Jsou definovány obecné principy MA, neexistuje
norma, nejednotná terminologie a nejednotná
syntaxe v závislosti na implementaci v konkrétním
systému.
ˇ Řada funkčně shodných prostorových operací
vystupuje pod jiným označením v různých
systémech).
ˇ Základní myšlenky formuloval Tomlin (1990).
Mapová algebra ­ obecný princip
GRID ­ podtřída třídy Object. Je to objekt,
který v ArcView uchovává data v rastrovém
formátu. Vhodný pro prezentaci spojité
prostorové informace. Skládá se z buněk (cell).
Nově vytvořený grid je soubor dočasný. Je na
uživateli, zda ho uloží trvale na disk
Fyzicky je na disku Grid uložen jako složka se
jménem, které zadal uživatel. K přenosu jinam
je třeba mít i složku s názvem INFO.
Mapová Algebra v prostředí ArcView
Extenze Spatial Analyst, GRID object
Možné formy použití MA
(uživatelská rozhraní)
1. Prostorové dotazování (Map query) ­
výsledkem je tzv. bitová mapa nominálních
hodnot (0 ­ nesplňuje, 1 ­ splňuje podmínku
prostorového dotazu)
2. Mapový kalkulátor - Sestavování výrazů
mapové algebry pomocí funkcí a operátorů
3. Skriptovací jazyk AVENUE - Sekvence výrazů,
algoritmus, program
4. Grafické modelování - (Model Builder, PCI
Modeller), nástroje využívající makrojazyka a
grafických prvků vývojových diagramů

5
Prostorové dotazování (Map query) Mapový kalkulátor ­ základní nástroj
mapové algebry
AVENUE Script
theView = av.GetProject.FindDoc("View1")
theSrcName = Grid.MakeSrcName( "c:\uran\grid\dem_h" )
if (theSrcName = NIL) then
MsgBox.Error("Chybí jmeno", "Chyba")
return NIL
end
theGrid = Grid.Make(theSrcName)
theGTheme = GTheme.Make( theGrid )
theView.AddTheme( theGTheme )
theGTheme.SetVisible(true)
theView.Invalidate
Grafické modelování - Model Builder
Požadavky na vstupní datové soubory
I nejjednodušší model často využívá více datových
vrstev majících různý původ, různou projekci,
velikost buňky atd.
Pokud používaný modelovací nástroj neřeší sám
problém unifikace vstupních dat (např. sčítat dva
různé rastry s různým rozsahem či s různou
velikostí buňky), je nutné ji provést předem.
Tento úkol může zahrnovat dvě činnosti:
1. změnu projekce
2. převzorkování (unifikaci velikosti
buňky a výpočet nových hodnot každé
buňky)
Ad 1 ­ musí být známy převodní vztahy
(transformační rovnice ­ např. TRANSMAP)
Ad 2 ­ nejpoužívanější způsoby převzorkování:
ˇ interpolace metodou nejbližšího souseda
ˇ bilineární interpolace
ˇ kubická konvoluce

6
a. Nejbližší soused ­ jediný možný způsob
převzorkování použitelný na nominální
(kategorická, kvalitativní) data, jeho použití na
data kvantitativní nedává nejlepší výsledky. Je
založen na prostém posouvání hodnot do pozice
nejbližší buňky, ne na interpolaci
b. Bilineární interpolace ­ hodnota nové buňky je
vypočtena jako vážený průměr čtyř nejbližších
buněk původních
c. Kubická konvoluce ­ hodnota nové buňky je
vypočtena jako vážený průměr šestnácti
nejbližších buněk původních
Základní způsoby převzorkování
ˇ Pokud systém dokáže spojit dva rozdílné rastry ­
má někde nastaven defaultní způsob
převzorkování.
ˇ Jak je řešen problém okrajů rastru při
převzorkování?
ˇ Je zachován typ dat? (integer vs. Floating point)
ˇ Převzorkováním se mění statistické
charakteristiky, nezachovává se minimální a
maximální hodnota v gridu
Praktické poznámky k předzpracování dat
Základní nástroje (objekty) pro manipulaci
s prostorovými daty v mapové algebře
Operátory: aritmetické, relační, boleovské,
kombinatorní, logické, akumulační, přiřazovací
Funkce: aritmetické, logické, trigonometrické,
logaritmické
Třídy funkcí v mapové algebře:
ˇ lokální
ˇ fokální
ˇ zonální
ˇ globální
Základní třídy funkcí (operací) v mapové algebře
ˇ lokální (point)
ˇ fokální (neighborhood)
ˇ zonální (area)
ˇ globální (map)
LOKÁLNÍ OPERACE LOKÁLNÍ (BODOVÉ) OPERACE
Nová hodnota buňky je počítána pouze z jedné
buňky určitou matematickou operací či jako
kombinace několika odpovídajících buněk z jiných
vrstev.
Dělení podle počtu vstupních gridů
ˇ Unární operace (vytvoření, přidání konstanty)
ˇ Binární operace (porovnávání)
ˇ Operace s více vstupy (hledání min, max, ...)

7
FOKÁLNÍ OPEARACE
FOKÁLNÍ OPEARACE
(neighborhood analysis, filtrace)
ˇ Výstupní hodnota buňky je počítána jako jistá
operace s touto buňkou a s buňkami jejího okolí.
ˇ Velikost a tvar okolí lze definovat. Velikost je
udávána v jednotkách použitého zobrazení nebo
v počtu buněk (je udávána lichým číslem).
ˇ Problém okrajů zpracovávaného gridu (zmenšení o
polovinu okénka ­1, replikace vstupních hodnot či
replikace výsledků)
ˇ Fokální funkce mají velký význam pro zpracování
obrazu (filtrace obrazu). Použití v kartografickém
modelování: úprava spojitých polí (shlazování DEM)
ˇ pravoúhelník
ˇ kružnice
ˇ mezikruží
ˇ výseč
ˇ nepravidelné okolí
Typy okolí:
ˇ ,,fokální" statistika
ˇ nízkofrekvenční filtrace
ˇ vysokofrekvenční filtrace
ˇ způsoby definování filtrovacího okna a jeho tvary
ˇ filtrace pod maskou (podle zadaného atributu)
Fokální funkce
ˇ simulování šíření požáru na napě landuse
ˇ odstranění ,,šumu"
ˇ úprava výsledků klasifikace (potlačení
malých plošek
Příklady využití fokálních funkcí:
SUM 110
AVERAGE 12,22
MAXIMUM 30
MINIMUM 0
MEDIAN 10
MAJORITY 10
MINORITY 30
DIVERSITY 5
RANGE 30
Fokální statistika
BLOKOVÉ OPERACE
Jistou variantou
fokálních funkcí jsou
tzv. blokové funkce.
Mají tyto odlišnosti:
ˇ Na rozdíl od předchozího případu je bloková
statistika a blokové funkce počítána ne pro každou
buňku, ale pro blok.
ˇ U blokových funkcí se okolí nepřekrývá ale pokládá
se na grid jako ,,dlaždice"
ˇ Výsledná hodnota je přiřazena k bloku
definovanému jako minimální pravoúhleník, do
kterého se vejde ve funkci použité okolí
ZONÁLNÍ OPERACE
ˇ Vedle jednoho či několika vstupních gridů je
v zonálních operacích použit také grid, který
definuje tzv. zóny ­ plochy se stejnou
hodnotou gridu.
ˇ Zóna je použita na místo okolí ve fokálních
funkcích, jinak je princip stejný.
ˇ Výstupní grid je funkcí hodnot buněk všech
vstupních gridů a také jejich asociace s jinými
buňkami dané zóny.
ˇ Zónou může být kategorie landuse, parcela, ...

8
ZONÁLNÍ OPERACE
ˇ ZONÁLNÍ STATISTIKA - základní průměrová
statistika (průměr, sd, max, min, diverzita, modus,
medián, ...)
ˇ ZONÁLNÍ GEOMETRIE - počítají se geometrické
atributy zóny v rámci vstupního gridu - plocha,
obvod (perimetr), centroid
ˇ KONTINGENČNÍ TABULKY (CROSSTABULATION) -
matice ukazující možné kombinace buněk dvou
vstupních gridů.
(Zóny prvního gridu tvoří řádky matice, zóny druhého
vstupního gridu potom sloupce matice.
Např. ­ dvě mapy landuse z různého období - matice ukazuje,
která kategorie se změnila na jinou kategorii, nebo - landuse
a nadmořská výška - zastoupení tříd landuse v určitých
výškových stupních).
Základní skupiny zonálních operací
Podle použité metody může být výstupem
zonálních funkcí:
1. tabulka
2. Histogram (pro každou zónu)
Ekvivalenty v menu Spatial Analyst:
ˇ Tabulate Areas
ˇ Histogram by Zones
ˇ Výpočet ploch jednotlivých kategorií
landuse v rámci každého povodí (= zóny)
ˇ Identifikování ohrožených (atd.) parcel (=
zón) v rámci zpracovaného území
ˇ Vyplnění lokálních depresí (,,bezodtokých
oblastí") ve spojitém povrchu (např. DEM)
Příklady použití zonálních funkcí:
GLOBÁLNÍ OPERACE
Nová mapa vznikne transformací, jejíž rovnice
byla sestavena na základě hodnot všech buněk
rastru (např. polynomická transformace,
definování obalových zón, Thiessenovy
polygony, ...)
Oblasti využití
ˇ Hledání optimální trasy
ˇ Morfometrická analýza
ˇ Hydrologické modelování
GLOBÁLNÍ OPERACE Výpočet euklidovské vzdálenosti:
Na vstupu je grid, který obsahuje jednu nebo několik buněk
nenulových ­ tzv. zdrojové buňky, od kterých se počítá např.
vzdálenost.
Určování příslušnosti (alokace)