33 5. Snímkové orientace a vztahy mezi souřadnicovými soustavami Fotogrammetrie řeší přepočet polohy jakéhokoliv bodu ze snímkových souřadnic do reálných souřadnic požadovaného systému. Před vlastní transformací souřadnic a následným vyhodnocováním LMS je nutné provést rekonstrukci polohy snímacího zařízení v době pořízení snímku ­ tzv. orientaci snímků. Pro měřické úkoly a pro následnou tvorbu map je nezbytné přesně znát polohu středu promítání vzhledem k rovině snímku (tzv. vnitřní orientaci) ale i polohu středu promítání k vnějším souřadnicím a orientaci osy záběru v prostoru (tzv. vnější orientaci). Tuto polohu definují prvky vnitřní a vnější orientace. Prvky vnitřní orientace Prvky vnitřní orientace přesně definují polohu středu promítání vzhledem k rovině snímku. Umožňují rekonstruovat svazek paprsků, který v okamžiku expozice vytvořil měřický snímek (obr. 5.1). Obr. 5.1 Prvky vnitřní orientace snímku K prvkům vnitřní orientace patří: ˇ konstanta komory f ­ určuje se s přesností na setiny mm. ˇ poloha hlavního snímkového bodu, který lze ztotožnit se středem snímku jako průsečíkem rámových značek (u správně seřízené komory) ˇ distorze objektivu - je udána výrobcem pro danou komoru či objektiv K určení prvků vnitřní orientace je potřebné znát konstantu komory (f) a souřadnice rámových značek. Tyto údaje lze získat většinou z tzv. kalibračního protokolu. Protože na každé fotografii se zobrazí také rámové značky, které jsou vyznačeny na rámu komory a ohnisková vzdálenost je vyznačena na kalibračním okraji fotografie, lze vnitřní orientaci přímo určit i ze samotné fotografie přesným změřením jejích rozměrů ­ je to však méně přesné, protože fotografie zvláště v pozitivu podléhá např. srážce papíru apod. Z laboratorních kalibračních měření či ze změřených vzdáleností rámových značek je přesně známa jejich vzdálenost nebo jejich snímkové souřadnice ­ tedy velikost fotografie. Z těchto souřadnic a z ohniskové vzdálenosti je poté možné přesně rekonstruovat polohu středu promítání. Prvky vnitřní orientace by měly být dopředu známy a umožňují rekonstruovat trs paprsků, který v okamžiku expozice vytvořil měřický snímek. Pro umístění trsu paprsků v prostoru definovanému vůči požadovanému geodetickému systému souřadnic je nutné znát ještě prvky tzv. vnější orientace. 34 Obr. 5.2 Příklad kalibračního protokolu s prvky vnitřní orientace Prvky vnější orientace Při leteckém snímkování je měřická komora umístěna na nosiči, který je v pohybu a je vystaven meteorologickým vlivům, není známo místo a směr pořízení snímku. Proto se definuje také tzv. vnější orientace pro každý snímek. Její prvky jsou většinou neznámé. Vnější orientace určuje polohu snímacího systému v reálných souřadnicích. K prvkům vnější orientace patří šest následujících hodnot (obr 5.3): ˇ tři souřadnice středu optického systému v dané souřadné soustavě ­ Xo, Yo, Zo ˇ tři úhly definující polohu osy záběru vůči souřadnicovým osám (směr osy záběru, sklon osy záběru a pootočení snímku - ,, ) V pozemní fotogrammetrii, u které je stanovisko pevné, jsou prvky vnější orientace bez potíží změřitelné. Při leteckém snímkování je letadlo během expozice snímku v pohybu a prvky vnější orientace se určují dodatečně. V současnosti se toto provádí nejčastěji pomocí tzv. vlícovacích bodů (GCP). V závislosti na konkrétních postupech orientace snímků je pro každý snímek zapotřebí mít jistý minimální počet bodů, u nichž je známa poloha alespoň rovinných souřadnic x, y či všech tří souřadnic x,y,z v požadovaném souřadném systému. Vlícovací body se zaměřují pomocí GPS v terénu a to buďto jako význačné body, přesně lokalizovatelné na snímku i v terénu, či jako body v terénu přímo vyznačené (signalizační kříž). Musí to být body na povrchu, ne komín na budově. Polohu vlícovacích bodů lze odečíst také jinými způsoby, například: z vektorové databáze (méně přesné ­ např. křížení komunikací) či z již transformovaného snímku. 35 Obr. 5.3 Prvky vnější orientace snímku Výrazný pokrok v určování prvků vnější orientace představují GPS. Pomocí GPS se určí souřadnice středu promítání. V současné době se přesnost určení polohy středu promítání pohybuje kolem 15 cm. Tři úhly rotace se určují z měření IMS (inertial measuring unit). Cílem je znát prvky vnější orientace v reálném čase. Obr. 5.4 Princip prostorového protínání zpět ­ space resection (a) a protínání vpřed- space intersection (b) Vnější orientace modelu za pomoci vlícovacích bodů je tedy založena nejprve na procesu prostorového protínání zpět (z vlícovacích bodů do modelu ­ obr. 5.4). Po vypočtení prvků vnější orientace a obnovení modelu je potom možno určovat polohu všech ostatních bodů prostorovým protínáním vpřed. Prvky vnější orientace se určují početně (analytické metody), lze je však určovat i empiricky. 36 Relativní a absolutní orientace Především u zpracování snímků analytickými postupy na stereoplotrech se určení prvků vnější orientace provádí ve dvou krocích. Relativní orientace ­orientace stereoskopického páru v přístroji tak, aby vytvořil stereomodel v relativních souřadnicích ­ libovolně prostorově orientovaný, bez vazby na geodetické souřadnice. Absolutní orientace ­ pootočení (rotace) a posun stereomodelu do geodetických souřadnic pomocí vlícovacích bodů. Vztahy mezi souřadnými soustavami Fotogrammetrie řeší převod snímkových souřadnic objektu (x', y`, z`) na souřadnice geodetické (X, Y, Z). Tento převod zahrnuje obecně tři dílčí úkoly: postupnou změnu orientace soustavy snímkových souřadnic (tzv. rotaci), poté posunutí (tzv. translaci) počátku soustavy snímkových souřadnic a potom změnu měřítka. Celou transformaci lze řešit postupně po krocích, které zahrnují převod snímku do ideální polohy (kolmý snímek), poté převod do soustavy modelových souřadnic a konečně převod souřadnic modelových na geodetické. Rotace Tři z šesti prvků vnější orientace (úhly ,, ) definují rozdíl v orientaci reálného souřadného systému X, Y, Z a prostorového snímkového souřadného systému x', y`, z`. Rotace jsou definovány jako kladné pokud jsou prováděny proti směru pohybu hodinových ručiček při pohledu z kladného směru každé z os. Pořadí rotací je dáno konvencemi ISPRS. Osa z je totožná s optickou osou (ohniskovou vzdáleností). Smyslem rotace je pootočení snímkového souřadného systému tak, aby tento byl rovnoběžný se souřadným systémem geodetickým. Souřadnice x, y, z jsou souřadnice rovnoběžné se reálným systémem X, Y, Z, které získáme rotací z původního systému snímkových souřadnic x', y', z'. Ve vztazích mezi těmito souřadnými soustavami je rotace vyjádřena tzv. rotační maticí M o rozměru 3 x 3: = 333231 232221 131211 mmm mmm mmm M Odvození rotační matice Rotace v trojrozměrném systému spočívá v trojím postupném pootočení vždy kolem jedné osy systému ­ nejprve se systém otočí o úhel - kolem osy x, poté o úhel kolem osy y a konečně o úhel kolem osy z (obr 5.5). Obr. 5.5 Postupná rotace trojrozměrného systému souřadnic o úhly - ,, 37 Tímto postupem se problém rotace v trojrozměrném prostoru rozdělí do tří kroků, které řeší pootočení ve dvojrozměrném prostoru. Primární je tedy pootočení kolem osy x o úhel (obr. 5.6): Obr. 5.6 Rotace 2D souřadného systému kolem osy x' o úhel Jak je patrné z obrázku, vztah mezi souřadnicemi libovolného bodu A v původní souřadné soustavě y', z` a nové soustavě y1, z1 pootočené o úhel lze vyjádřit následujícími třemi rovnicemi: '1 xx = sin'cos'1 zyy += cos'sin'1 zyz +-= a v maticovém zápisu potom: - = ' ' ' cossin0 sincos0 001 1 1 1 z y x z y x a nebo zkráceně = ' ' ' 1 1 1 z y x M z y x x Obr. 5.7 Rotace 2D souřadného systému kolem osy y1 o úhel Sekundární je rotace kolem osy y1 o úhel (obr. 5.7). Souřadnice bodu A v nyní již dvakrát rotovaném systému x2y2z2 budou: sincos 112 zxx += 12 yy = cossin 112 zxz +-= a v maticovém zápisu potom: 38 - = 1 1 1 2 2 2 cos0sin 010 sin0cos z y x z y x a nebo zkráceně = 1 1 1 2 2 2 z y x M z y x y Při rotaci kolem osy y1 budou osy y1 a y2 identické a tedy souřadnice y se nezmění. Ve třetím kroku dojde k pootočení kolem osy z2 o úhel , jak znázorňuje obr. 5.8. Obr. 5.8 Rotace 2D souřadného systému kolem osy z2 o úhel Souřadnice bodu A v již třikrát rotovaném systému x, y, z budou následující: sincos 22 yxx += cossin 22 yxy +-= 2zz = a analogicky předchozím případům: -= 2 2 2 100 0cossin 0sincos z y x z y x nebo = 2 2 2 z y x M z y x z Celý proces postupných rotací z původního systému souřadnic (x', y`, z`) do nového systému, který bude rovnoběžný se systémem geodetických souřadnic lze vyjádřit následovně: = = = ' ' ' 1 1 1 2 2 2 z y x MMM z y x MM z y x M z y x xyzyzz tedy = ' ' ' z y x M z y x a nebo zkráceně 'MXX = kde M se označuje jako rotační matice. Jednotlivé její prvky představují tzv. směrové cosiny rotace a jsou určeny z následujících vztahů: 39 m11 = cos() cos() m12 = - cos() sin() m13 = sin() m21 = cos() sin() + sin() sin() cos() m22 = cos() cos() ­ sin() sin() sin() m23 = -sin() cos() m31 = sin() sin() ­ cos() sin() cos() m32 = sin() cos() + cos() sin() sin() m33 = cos() cos() Rotační matice je maticí ortogonální, která má následující vlastnost T MM =-1 tedy inverzní matice se rovná matici transponované. Tato vlastnost je ve fotogrammetrii důležitá pro sestavení vztahu určujícího snímkové souřadnice bodu. x' = m11x + m12y + m13z XMX T =' a nebo y' = m21x+ m22y + m23z z' = m31x + m32y + m33z Podmínka kolinearity a rovnice kolinearity Vztah mezi snímkovými a geodetickými souřadnicemi lze s využitím rotační matice určit na základě podmínky kolinearity. Tato podmínka říká, že bod na zemském povrchu, obraz tohoto bodu na snímku a střed promítání leží na jedné přímce. Na obr. 5.3 jsou snímkové souřadnice libovolného bodu x'p, y`p. Optická osa je definovaná jako normála k rovině snímku. Snímkové souřadnice středu promítání jsou x`O, y`O, f. Geodetické souřadnice středu promítání jsou označeny XO, YO, ZO. Dále jako vektor a definujeme vektor ze středu promítání O do bodu p (na snímku) a vektor A potom jako vektor z bodu O do bodu P (na zemském povrchu). Podmínku kolinearity, kterou tyto vektory splňují můžeme vyjádřit následujícím způsobem: Aka = kde k je celočíselný násobek vyjadřující měřítkové číslo. Vektor a lze vyjádřit pomocí následujících souřadnic: - - - = f yy xx a op op ' ' Obdobně můžeme vyjádřit skutečné souřadnice vektoru A: - - - = op op op ZZ YY XX A Nyní můžeme vyjádřit vztah mezi snímkovými souřadnicemi libovolného bodu a skutečnými (geodetickými) souřadnicemi tohoto bodu s pomocí rotační matice M. Tedy snímek v libovolné poloze převedeme na snímek, jehož souřadný systém je rovnoběžný s požadovaným výsledným geodetickým systémem. Podmínku kolinearity potom můžeme vyjádřit takto: AMka = tj.maticově: 40 - - - = - - - 0 0 0 0 ' 0 ' ZZ YY XX Mk f yy xx p p p p p Uvedený vztah lze vyjádřit jako soustavu tří rovnic: [ ])()()( 131211 '' OPOPOPop ZZmYYmXXmkxx -+-+-=- [ ])()()( 232221 '' OPOPOPop ZZmYYmXXmkyy -+-+-=- [ ])()()( 333231 OPOPOP ZZmYYmXXmkf -+-+-=- Podělíme-li první a druhou rovnici rovnicí třetí, obdržíme tzv. rovnice kolinearity: )()()( )()()( 333231 131211'' OPOPOP OPOPOP op ZZmYYmXXm ZZmYYmXXm fxx -+-+- -+-+- -= )()()( )()()( 333231 232221'' OPOPOP OPOPOP op ZZmYYmXXm ZZmYYmXXm fyy -+-+- -+-+- -= Tyto rovnice platí pro libovolný bod na snímku a definují vztah mezi jeho snímkovými a skutečnými souřadnicemi. Analogicky lze tento vztah vyjádřit inverzně také pro určení skutečných souřadnic bodu následovně: ( ) )()()( )()()( 33 '' 32 '' 31 13 '' 12 '' 11 fmyymxxm fmyymxxm ZZXX OPOP OPOP OPop -+-+- -+-+- -+= ( ) )()()( )()()( 33 '' 32 '' 31 23 '' 22 '' 21 fmyymxxm fmyymxxm ZZYY OPOP OPOP OPop -+-+- -+-+- -+= Kolineárních rovnic je ve fotogrammetrii možné využít k určování prvků vnější orientace a dále především k transformaci souřadnic každého bodu na snímku do nové polohy vyjádřené v geodetickém souřadném systému ­ tedy např. k tvorbě ortofoto. Způsoby určení prvků vnější orientace Pokud nejsou dopředu známy prvky vnější orientace, jsou určovány pomocí lícovacích bodů (GCP) Jejich dostatečný počet a kvalita je problémem řady fotogrammetrických prací. V závislosti na počtu zpracovávaných snímků (jeden snímek či stereopár) a s tím souvisejícím potřebném počtu lícovacích bodů lze k fotogrammetrickým pracem využít následujících řešení, která využívají výše odvozených kolineárních rovnic: ˇ zpětné promítání (space resection) ­ určení prvků vnější orientace samostatně pro jeden snímek ˇ prostorové protínání vpřed (space forward intersection) ­ určení prvků vnější orientace společně pro dvojici překrývajících se snímků ˇ blokové vyrovnání (bunde block adjustment) ­ určení prvků vnější orientace bloku snímků metodami aerotriangulace Podstata jednotlivých metod je objasněna dále. Ve fotogrammetrii existuje několik postupů k určení šesti neznámých prvků vnější orientace (Xo, Yo, Zo, ,, ). Tyto postupy lze podle Pavelky (1998) rozdělit na: 41 1) Početní - skládá se ze dvou kroků. Nejprve se provede relativní orientace, jejímž základem je změření tzv. vertikálních paralax na min. pěti bodech ve vyhodnocovacím přístroji. Poté následuje výpočet šesti neznámých prvků a tzv. absolutní orientace 2) Analytické ­ využívá se přímého vztahu mezi snímkovými a geodetickými souřadnicemi (základem je změření snímkových souřadnic). 3) Empirické ­ relativní orientace založená na postupném ,,ručním" odstraňování vertikálních paralax na orientačních bodech a následná absolutní orientace (posun, otočení a určení měřítka).