Kriging Geostatistika 73 KRIGING ­ geostatistické metody interpolace Krigování je základní geostatistickou metodou určování lokálního odhadu. Metoda se často označuje akronymem BLUE (Best Linear Unbiased Estimator ­ tedy nejlepší lineární nezkreslený odhad). Toto označení má vystihnout výchozí podmínky krigování: ˇ odhadovaná hodnota je vypočtena jako lineární kombinace vstupních hodnot: = = n i ii xzxz 1 0 )()(^ kde pro váhy platí = = n i i 1 1 ˇ nezkreslený (nestranný) odhad značí, že průměrná chyba tohoto odhadu je rovna nule 0)^( =- ii zz ˇ je minimalizován rozptyl odhadu .min)^( 2 =- ii zz Pokud prostorově závislá náhodná kolísání nejsou překryta nekorelovaným šumem, potom může být semivariogram využit k určení vah i potřebných pro interpolaci. Procedura je podobná jako v případě metody vážených klouzavých průměrů s tím rozdílem, že právě váhy jsou odhadnuty geostatistickými metodami. Váhy i jsou zvoleny tak, aby odhad )(^ 0xz byl nestranný a odhad rozptylu 2 e byl menší, než jakákoliv jiná lineární kombinace pozorovaných hodnot (minimální). Přitom pro minimální rozptyl hodnot )(^ 0xz platí výraz : = += n i iie xx 1 0 2 ),(^ kde: = =+ n i jjii xxxx 1 0 ),(),( pro všechna j. Hodnota ),( ji xx je semivariance proměnné z mezi body xi a xj. Hodnota ),( 0xxi je semivariance proměnné z mezi bodem xi a bodem x0, pro který je hodnota proměnné z zjišťována. Obě hodnoty lze získat z vhodného teoretického modelu semivariogramu. Hodnota je tzv. Lagrangeův multiplikátor, který zajišťuje požadavek minimalizace odchylek a zároveň podmínku, že suma vah je rovna jedné. Uvedená metoda se označuje jako základní (ordinary) kriging a je možné ji použít pro interpolaci v pravidelné mřížce hodnot, ke konstrukci map (např. izolinií). Kriging Geostatistika 74 PŘÍKLAD: Výpočet neznámé hodnoty v bodě metodou základního krigingu. Na základě změřených hodnot veličiny Z v pěti bodech (i=1,..., 5) (viz. obrázek) máme za úkol odhadnout hodnotu Z bodě (i=0) o souřadnicích (x=5, y=5) metodou krigingu. Obr. 1 Vstupní data pro lokální odhad metodou základního krigování (podtržená čísla značí hodnotu atributu v bodě) Na základě předem provedené strukturní analýzy použijeme sférický semivariogram. -+= 3 10 2 1 2 3 )( a h a h cch ........... pro ah 10)( cch += ........... pro ah > Parametry použitého teoretického semivariogramu jsou: c0 = 2,5 c1 = 7,5 a = 10,0 (dosah) Data v pěti měřených bodech mají následující souřadnice i x y z 1 2 2 3 2 3 7 4 3 9 9 2 4 6 5 4 5 5 3 6 Pokud budeme dále značít: A ­ matice semivariancí mezi všemi dvojicemi bodů b ­ vektor semivariancí mezi všemi body a bodem predikovaným ­ vektor vah jednotlivých bodů ­ tzv. Lagrangeův člen potom základní vztah pro odhad metodou krigování lze psát jako: Kriging Geostatistika 75 bA = Pro vlastní řešení je nutné vypočítat váhy , které musí splňovat podmínku 1= Uvedený základní vztah lze vyjádřit jako soustavu rovnic: = 1 . . . . . . *. 01...11 1... ... ... ... 1... 1... 0 20 10 2 1 21 22221 11211 nnnnnn n n V tomto zápisu poslední řádek a poslední sloupec v první matici a hodnota Lagrangeova členu jsou použity pro zajištění podmínky sumy vah 1= . Hodnota Lagrangeova multiplikátoru také slouží pro výpočet rozptylu odhadnuté hodnoty. Uvedená soustava rovnic nám poskytne hodnoty všech vah a hodnotu . V maticovém zápisu lze tedy psát: =- bA 1 Aby bylo možné vyčíslit hodnoty semivariancí, je v prvním kroku zapotřebí vytvořit matici vzdáleností mezi datovými body: i 1 2 3 4 5 1 0,000 5,099 9,899 5,000 3,162 2 5,099 0,000 6,325 3,606 4,472 3 9,899 6,325 0,000 5,000 7,211 4 5,000 3,606 5,000 0,000 2,236 5 3,162 4,472 7,211 2,236 0,000 Vektor vzdáleností mezi měřenými body a bodem predikovaným: i 0 1 4,234 2 2,828 3 5,657 4 1,000 5 2,000 Těchto vzdáleností využijeme k výpočtu semivariancí pro sférický model semivariogramu s výše uvedenými parametry c0 , c1 , a ­ tedy k sestavení matice A a vektoru b: Matice A: i 1 2 3 4 5 6 1 2,500 7,739 9,999 7,656 5,939 1,000 2 7,739 2,500 8,667 6,381 7,196 1,000 3 9,999 8,667 2,500 7,656 9,206 1,000 4 7,656 6,381 7,656 2,500 4,936 1,000 5 5,939 7,196 9,206 4,936 2,500 1,000 6 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 Ve výše uvedené matici má řádek navíc (i=6) zajistit podmínku, že váhy budou mít sumu rovnu jedné. Vektor b: Kriging Geostatistika 76 i 0 1 7,151 2 5,597 3 8,815 4 3,621 5 4,720 6 1,000 Inverzní matce A-1 : i 1 2 3 4 5 6 1 -,172 ,050 ,022 -,026 ,126 ,273 2 ,050 -,167 ,032 ,077 ,007 ,207 3 ,022 ,032 -,111 ,066 -,010 ,357 4 -,026 ,077 ,066 -,307 ,190 ,030 5 ,126 ,007 -,010 ,190 -,313 ,134 6 ,273 ,207 ,357 ,003 ,134 -6,873 Řešením výše uvedené soustavy rovnic lze pro jednotlivé vzdálenosti získat hodnoty vah : i 1 0,0175 2 0,2281 3 -0,0891 vypočtené hodnoty vah 4 0,6437 5 0,1998 6 0,1182 vypočtená hodnota Pro váhy i=1,...5 platí, že jejich suma se rovná jedné, v posledním řádku je hodnota Lagrangeova členu . Vzdálenosti měřených bodů od bodu predikovaného, již přísluší výše určené váhy: i 0 1 4,234 2 2,828 3 5,657 4 1,000 5 2,000 Potom odhad hodnoty Z v bodě (i=0) o souřadnicích (x=5, y=5): Z(xi=0) = 0,0175*3+0,2281*4-0,0891*2+0,6437*4+0,1998*6 = Z(xi=0) =4,560 Rozptyl odhadu: e 2 = [0,0175*7,151+0,2281*5,597-0,0891*8,815+0,6437*3621+0,1998*4,720]+ = e 2 = 3,890 + 0,1182 = e 2 = 4,008 Typy krigování Na rozdíl od deterministických metod interpolace nabízí metody krigingu vedle odhadů vlastní interpolované hodnoty také odhady pravděpodobnosti výskytu těchto hodnot a dále odhady chyb predikce. Pro charakterizování jednotlivých typů krigingu předpokládejme jednoduchý model: ( ) )()( iii xxxZ += kde Z(xi) je proměnná v bodě xi, která se skládá z deterministické hodnoty trendu (xi) a autokorelované náhodné proměnné (xi). Protože ve většině případů hodnotu trendu často pouze odhadujeme a neznáme ji přesně, je určitou chybou zatížena též náhodná složka. Pro tuto platí, že její průměrná chyba je rovna nule a autokorelace hodnot (xi) (xi+h) nezávisí na aktuální pozici, ale pouze na hodnotě vzdálenosti h. Kriging Geostatistika 77 Hodnota trendu může nabývat konstantní hodnoty ((xi)= . V závislosti na tom, zda hodnota představuje konstantu či zda data obsahují trendovou složku a v závislosti na tom, za hodnota představuje zámou hodnotu či zda ji odhadujeme definujeme různé metody (modely) krigování. Mezi základní metody krigování, kterými se provádí odhad na základě přímo naměřených hodnot patří především: ˇ základní (ordinary) krigování s bodovým odhadem ˇ základní (ordinary) krigování s blokovým odhadem ˇ jednoduché (simple) krigování ˇ univerzální krigování ˇ pravděpodobnostní krigování ˇ co-kriging ˇ lognormální krigování. Základní krigování (ordinary kriging) Obecný model základního krigování: ( ) )()( iii xxxZ += kde je neznámá hodnota trendu. Obr. 2 Princip základního krigování Jednoduché krigování (Simple kriging) Nejjednodušší variantou krigování je tzv. jednoduché krigování (simple kriging). K výpočtu je potřebná znalost průměrné hodnoty veličiny v poli () a dále předpoklad stacionarity. Obecný model jednoduchého krigování má opět tvar: ( ) )()( iii xxxZ += kde je známá konstanta. Obr. 3 Princip základního krigování Kriging Geostatistika 78 V tomto modelu, protože známe hodnotu , potom v bodech měření známe přesně také (x). V případě základního krigování jsou obě hodnoty odhadovány. Základní korigování tedy nabízí přesnější odhad autokorelace, předpoklad znalosti je však často nereálný. Často se však používá některá z běžných trendových funkcí, kterou se nejprve vyjádří rezidua. Trend reziduí se potom považuje za nulový a aplikuje se základní krigování. Univerzální krigování (Universal kriging) Obecný model univerzálního krigování má opět tvar: ( ) )()( iii xxxZ += kde (x) je deterministická funkce - např. polynom druhého stupně jako na přiloženém obrázku. Pokud odečteme hodnotu polynomu od originálních dat, dostaneme chybovou složku (x), která má charakter náhodné proměnné s průměrem rovným nule. Autokorelace je modelována právě z této náhodné proměnné. Jak je patrné z obrázku, univerzální kriging je v tomto případě analogií regresní závislosti. Na rozdíl od regrese, kde složku (x) považujeme za nekorelovanou, v případě krigování ji modelujeme jako složku autokorelovanou. Stejně jako v případě základního krigingu, vhodná dekompozice na obě výše uvedené složky ze samotných dat nelze provést (proto je třeba model ???). Univerzální kriging používá k popisu autokorelované náhodné složky semivariogramu nebo kovariance. Obr. 4 Princip univerzálního krigování Indikátorové krigování V řadě úloh nás nezajímá, zda je v daném místě nebo na dané ploše nejpravděpodobnější průměrná koncentrace 0,016 nebo 0,015, ale odhad pravděpodobnosti, s jakou je překročena limitní hodnota např. 0,012. Tyto úlohy řeší tzv. indikátorové krigování, které náleží do skupiny neparametrických geostatistických metod. Dále sem patří také soft kriging a pravděpodobnostní krigování. Pro tyto metody krigingu se zavádí pojem prahové hodnoty, kterou lze spojitou proměnnou převést na binární (viz. obr.) Indikátorové krigování předpokládá model ve tvaru: ( ) )( ii xxI += kde neznámá konstanta, (x) autokorelovaná náhodná proměnná a I(x) je buďto přímo zjištěná binární proměnná a nebo binární proměnná, kterou obdržíme ze spojitých dat prahováním. Jinak se model neliší od základního krigování. Protože indikátorová proměnná nabývá hodnot 0 nebo 1, potom interpolované hodnoty budou Kriging Geostatistika 79 nabývat hodnot od 0 do 1 a lze je interpretovat jako pravděpodobnost, že proměnná nabývá hodnoty 1. Pokud bylo pro vytvoření indikátorové proměnné použito postupu prahování, potom lze vytvořenou mapu interpretovat jako pravděpodobnost překročení prahové hodnoty. Obr. 5 Princip prahování hodnot proměnné Obr. 6 Princip indikátorového krigování Uvedený princip lze obecně rozšířit a použitím dvou více hodnot vytvořit např. dvě indikátorové proměnné (viz. dále - co-kriging). Pravděpodobnostní krigování (probalility kriging) Pravděpodobnostní krigování předpokládá model ve tvaru: ( ) )())(( 111 xcxZIxI +=>= ( ) )(22 xxZ += kde 1 a 2 jsou neznámé konstanty. I(x) je binární proměnná vytvořená indikátorovým prahováním (I(Z(x) > c1). V tomto případě dostáváme dvě náhodné chyby 1(x) a 2(x). Cíle pravděpodobnostního krigování jsou stejné jako u krigování indikátorového, jsou však dosaženy využitím konceptu co-krigingu. Na obrázku 7 má datový bod Z(u=9) hodnotu indikátorové proměnné I(u)=0 a bod Z(x=10) hodnotu I(x)=1. Pokud bychom chtěli predikovat hodnotu v polovině vzdálenosti mezi oběma body ­ na x-ové souřadnici 9,5, potom použitím modelu indikátorového krigování bychom obdrželi hodnotu 0,5. Z obrázku je však patrné, že datový bod Z(x) je nepatrně nad hodnotou prahu, naopak bod Z(u) je výrazně pod Kriging Geostatistika 80 prahovou hodnotou. Je tedy reálné předpokládat, že predikovaná proměnná v bodě 9,5 bude méně než 0,5. Obr. 7 Princip pravděpodobnostního krigování Pravděpodobnostní krigování se tedy snaží využít vedle indikátorové proměnné ještě další extra informace v původních datech. Nevýhodou pravděpodobnostního krigování je nutnost provádět odhady jako autokorelací pro jednotlivé proměnné, tak křížových korelací mezi mini. Dalšími odhady neznámých autokorelací se vnáší do výsledného modelu větší míra nejistoty. Nelineární kriging (log-normal) Pokud nemají vstupní data normální rozdělení, je nutné je před vlastní interpolací transformovat. Nejběžnější je transformace lognormální. Originální data jsou transformována na přirozený logaritmus o základu 10. Tedy modelování variogramu a interpolace probíhá s proměnou y(u): )(ln)( uzuy = Predikované hodnoty je poté nutno transformovat nazpět, což může působit problémy (viz. Borrough et. al. 1992) a jako alternativa se nabízí indikátorový kriging Pro některá FG data, která vykazují rozdělení s kladnou asymetrií, je však lognormální transformace výhodná (např. obsah chemických látek v půdě). Kriging s využitím externí informace K interpolaci kromě hodnot vlastní interpolované proměnné lze využít například: 1. vhodnou stratifikaci dat (stratifikovaný kriging) 2. hodnoty jiné proměnné, která koreluje s původní a kterou lze snadno měřit ve větším počtu bodů (např. výškové poměry) ­ co kriging 3. fyzikální či empiricky sestavený model, který podmiňuje rozložení hodnot studované proměnné Stratifikovaný kriging spočívá v rozdělení oblasti na subregiony. Předpokládá dostatečný počet bodů pro výpočet hodnot variogramu. Může dávat vhodnější odhady, je však nutné řešit oblasti na styku subregionů. Např. obsah znečišťujících látek podle oblastí zaplavovaných podél vodního roku s různou frekvencí. Co-kriging Máme dvě proměnné z1 a z2, které vykazují prostorovou korelaci. Pak lze využít hodnot proměnné z2, k interpolaci hodnot proměnné z1. Tento koncept je vhodný zvláště v případech, kdy je proměnná z2 snáze získatelná a rozšiřitelný i na více než dvě proměnné. Přitom pro přesnější odhady se používá jak autokorelace jednotlivých proměnných, tak vzájemné (cross) korelace všech použitých proměnných. Základní co-kriging využívá následujících modelů: Kriging Geostatistika 81 ( ) )(111 xxZ += ( ) )(222 xxZ += kde 1 a 2 jsou neznámé konstanty. Dále dostáváme dvě náhodné chyby 1(x) a 2(x). Základní co-kriging odhaduje hodnotu proměnné Z1(x0) stejně jako základní krigování, ovšem navíc využívá kovariance s hodnotu Z2(x). Obr. 8 Princip co-krigingu Z obrázku je patrné, že data Z1 a Z2 se jeví jako nekorelovaná. Dále pokud Z1 je pod průměrem 1 , potom Z2 je často nad průměrem 2 a naopak. Tedy Z1 a Z2 vykazují negativní cross korelaci. Vedle základního co-krigingu jsou dalšími variantami např. jednoduchý, univerzální, indikátorový či pravděpodobnostní co-kriging. Blokový odhad při základním krigování (Block kriging) Lokální (bodový) odhad metodou krigingu lze určitým způsobem vztáhnout k ploše či objemu v prostoru interpolovaných dat. Mnoho přírodních jevů vykazuje značnou variabilitu a výsledkem bodového odhadu může být mapa obsahující značný počet ostrých vrcholů a depresí. Tento efekt lze potlačit tak, že modifikujeme výše uvedené rovnice a odhadneme průměrnou hodnotu z(B) proměnné z pro jistou plochu či objem B (viz. obr). Tato modifikace je vhodná, pokud výsledkem interpolacemi být struktura pravidelných buněk (grid). Obr. 9 Princip blokového krigování Kriging Geostatistika 82 Průměrná hodnota z pro blok B = B Bplocha dxxz Bz _ )( )( bude odhadnuta z výrazu: = = n i ii xzBz 1 )()(^ Kde stejně jako u bodového odhadu je suma všech vah i rovna jedné. Minimální rozptyl nyní bude: = -+= n i ii BBBxB 1 2 ),(),()(^ a získáme ho, když = =+ n i jjii Bxxx 1 ),(),( pro všechna j. Rozptyly odhadů pro blokový kriging jsou daleko menší než pro bodový kriging. Výsledný interpolovaný povrch je obecně více shlazený a neobsahuje takové množství lokálních extrémů. Blokové korigování je aproximující metodou. Hodnocení a verifikace modelů Krigování jako interpolační metoda umožňuje pro každý interpolovaný bod odhadnout potenciální velikost chyby odhadu. Vedle map predikovaných hodnot tak lze především konstruovat mapy hodnot 2 e (rozptyl krigingu), které vypovídají o spolehlivosti interpolovaných hodnot. Tyto hodnoty se obvykle prezentují v podobě map druhé mocniny 2 e - tzv. směrodatné chyby (odchylky) krigingu (Standard error map), protože tyto mají stejné jednotky jako predikované hodnoty. V některých případech se stanovuje také tzv. přesnost (relativní chyba) odhadu: z k ^ 100 = Vyjdeme-li z výše uvedeného příkladu, kdy rozptyl odhadu je e 2 = 4,008. Potom směrodatná chyba krigingu bude e = 2,002. Budeme-li předpokládat, že chyby predikce mají normální rozdělení, potom 95% interval spolehlivosti predikovaných hodnot lze určit z následujícího vztahu: 2 0 96,1)( exZ kde Z(x0) je odhad hodnoty proměnné z v bodě x0 a e 2 je rozptyl odhadu. V našem případě tedy při opakovaném použití stejného modelu padne 95 % odhadovaných hodnot do intervalu (4,560 1,96*2,002) tj. (0,64;8,48) Konstrukce dalších dvou typů map, které nabízí např. ArcGIS a kterými lze zhodnotit kvalitu interpolace vychází následujícího obrázku. Kriging Geostatistika 83 Obr. 10 Princip konstrukce Probability map a Quantile map (vysvětlivky viz. text) Předpokládáme, že krigováním predikované hodnoty mají ve třech různých bodech normální rozdělení a nacházejí se ve středu každé křivky rozdělení. Chceme-li určit pravděpodobnost, že predikovaná hodnota bude větší než prahová hodnota - např. 1, potom na obrázku vlevo tuto pravděpodobnost představuje na jednotlivých křivkách část plochy vpravo od prahové hodnoty (černé plochy). Při konstantní prahové hodnotě se její pravděpodobnost výskytu pro jednotlivé body mění ­ tedy lze z ní vytvořit mapu pravděpodobností (probability map). Na obrázku vpravo je schematicky znázorněno, jakým způsobem určit kvantil s např. 5 procentní pravděpodobností výskytu. Tuto pravděpodobnost v tomto případě opět značí černá plocha vpravo od prahové hodnoty a hodnotu kvantitu odečteme na ose x. Při konstantní pravděpodobnosti se budou měnit hodnoty kvantilů a lze je opět prezentovat ve formě kvantilové mapy (quantile map). Validace a křížová validace predikovaných hodnot metodou krigingu Hodnocení přesnosti interpolace lze provádět také pomocí dále popsaných grafických nástrojů Křížová validace modelu - k vytvoření spojitého povrchu jsou použita všechna vstupní data v měřených bodech. Poté jsou jednotlivé body měření (červené) po jednom postupně vynechány ze vstupní množiny dat a ze zbývajících (modrých) je vypočtena hodnota v místě vynechaného bodu. Obr. 11Princip křížové validace modelu Statistické zhodnocení Procesem křížové validace obdržíme veličiny, které mají následující význam: )(^ ixZ je predikovaná hodnota pro daný bod xi, kterou obdržíme v procesu křížové validace Kriging Geostatistika 84 )(^ ix je směrodatná chyba predikce, tedy druhá odmocnina z výrazu pro rozptyl krigování: = += n i iie xx 1 0 2 ),(^ Pozorované a vypočtené hodnoty jsou následně porovnány dále uvedenými měrami: MPE ­ mean prediction error - průměr rozdílů měřených a předikovaných hodnot - hodnoty chyb odhadů by měly být nestranné ­ tedy jejich průměr by se měl rovnat nule. n xzxZ MPE n i ii= - = 1 ))()(^( RMSPE (root mean square prediction error) ­ druhá odmocnina průměrného čtverce vzdálenosti vypočtených hodnot (červené body) od teoretických (zelená přímka v grafech). Tato hodnota slouží k porovnání několika různých modelů. Čím menší je RMSPE, tím vhodnější je model (tím bližší jsou vypočtené hodnoty hodnotám měřeným). n xzxZ RMSPE n i ii= - = 1 2 ))()(^( ASE (average standard error) - průměrná směrodatná chyba n x ASE n i i= = 1 )(^ Výše uvedené nástroje umožňují posoudit vhodnost modelu a také porovnat více modelů vzájemně mezi sebou. MSPE (mean standardized prediction error) - průměrná standardizovaná chyba predikce ( ) n xxzxZ MSPE n i iii= - = 1 )(^/)()(^ RMSSPE (root mean square standardized prediction error) ( )[ ] n xxzxZ RMSSPE n i iii= - = 1 2 )(^/)()(^ Validace modelu - vstupní soubor měřených hodnot rozdělí na dvě části ­ data trénovací a testovací. Trénovací množina dat se použije pro odhad trendu a autokorelačního modelu. Pokud sestavený model vyhovuje trénovacím datům, je ověřen na datech testovacích. Pro oba zmíněné způsoby ověření vhodnosti modelu se využívá sady grafických nástrojů. Nejběžnějším je graf korelačního pole měřených a predikovaných hodnot. Obecnou vlastností krigingu jako interpolační metody je podhodnocení vysokých Kriging Geostatistika 85 hodnot a naopak nadhodnocení hodnot nízkých. Tato vlastnost se projeví menší hodnotou směrnice přímky proložené korelačním polem. Obr. 12 Korelační pole měřených a predikovaných hodnot Chybový graf (Error plot) ­ stejný jako předchozí, jsou však vynášeny hodnoty rozdílů mezi měřenými a predikovanými hodnotami Standardizovaný chybový graf (Standardized Error) ­ hodnoty rozdílů mezi měřenými a predikovanými hodnotami jsou děleny odhadnutou směrodatnou chybou krigování. V případě nulové autokorelace budou všechny predikované hodnoty stejné ­ budou odpovídat průměru a proložená přímka bude mít horizontální průběh. V případě prostorové autokorelace a vhodného modelu krigingu bude proložená přímka totožná s diagonálou a navíc body korelačního pole budou vykazovat malé odchylky od diagonálního směru. Q-Q graf ­znázorňuje graf kvantilů rozdílů mezi měřenými a predikovanými hodnotami dělenými odhadnutou směrodatnou chybou krigování a odpovídajících kvantilů normovaného normálního rozdělení. V případě, že odchylky měřených a odhadnutých hodnot mají normální rozdělení, potom se body v korelačním poli přimykají k přímce (viz. obr.) Obr. 13 Příklad Q-Q grafu Interpretace statistických charakteristik k hodnocení vhodnosti modelu: ˇ Požadavek nestrannosti odhadu ­ unbiased - průměrná chyba odhadu a standardizovaná průměrná chyba odhadu by se měly blížit k nule: MPE 0 MSPE 0 ˇ Požadavek minimálních chyb ­ aby predikované hodnoty byly co nejblíže hodnotám měřeným. Čím menší bude hodnota RMSPE, tím lepší model ­ tedy tuto podmínku lze použít k porovnání vhodnosti více modelů. RMSPE min. ˇ Požadavek vhodné variability předikovaných dat ­ variabilita předikovaných hodnot je určována z hodnot měřených. Je tedy důležité, aby i variabilita interpolací vypočtených hodnot byla vhodná: Kriging Geostatistika 86 ASE RMSPE ­ vhodný model (vhodná variabilita predikovaných hodnot) ASE > RMSPE ­ máš model nadhodnocuje variabilitu odhadnutých hodnot ASE < RMSPE ­ máš model podhodnocuje variabilitu odhadnutých hodnot V případě značného podílu šumové složky (např. v důsledku chyb v měření) či v případě značně komplexního povrchu nedává kriging lepší výsledky než jiné interpolátory. Na rozdíl o jiných metod kriging nabízí objektivní, a priori metodu odhadu vhodného okolí pro vlastní interpolaci. Řeší tedy otázku počtu bodů v okolí daného bodu, otázku velikosti a tvaru tohoto okolí. V případě existence bariér (náhlých skoků v hodnotách interpolovaného povrchu nedává kriging dobré výsledky a je nutné jej rozdělit na elementární části neobsahující bariéry.