Jar 2006
F2050 Elektřina a magnetismus
Podmienky absolvovania cvičenia:
6 správne vyriešených domácich úloh
min 2 body zo 4 bodovej písomky
Kontakt:
Jozef Ráheľ, tel. 54949 6747
rahel@mail.muni.cz
Štúdijné materiály:
http://www.physics.muni.cz/~otobrzo/
http://www.sci.muni.cz/~trunec/elmag/elektrina.html
Skalárne pole
,,Čísla" rozložené v priestore, napr. lokálna teplota, lokálna hustota náboja, lokálna merná
hmotnosť (hustota)
( ) ( )ruxxxuu == 321 ,,
Vektorové pole
,,Šípky"(vektory) rozložené v priestore, pričom každá ,,šípka" má vlastný smer aj veľkosť.
Príklady: Intenzita elektrického alebo magnetického poľa, rýchlosti v prúdiacej kvapaline...
( ) 321 erererrrr)r(aa )()()()(),(),( 321321 aaaaaa ++===
Príklad jenorozmerného vektorového poľa:
( ) 321 eee(t)aa )()()()(),(),( 321321 tatatatatata ++===
Sčítanie a odčítanie vektorov
Skalárny súčin dvoch vektorov:
(číslo)skalárba =++= 332211 bababa
Vektorový súčin dvoch vektorov
( ) ( ) ( ) vektoreee
eee
ba 321
321
=-+-+-==× 122113312332
321
321det babababababa
bbb
aaa
Derivovanie vektorových funkcií
( ) dt
d
dt
d
dt
d
dt
d cba
cba =
( ) ( )t
dt
d
dt
d
dt
d
funkciaskalárna
a
aa -+= 


( ) dt
d
dt
d
dt
d b
ab
a
ba +=
( ) dt
d
dt
d
dt
d b
ab
a
ba ×+×=×
( )[ ] ( )pravidloreťazové
a
a
dt
d
d
d
t
dt
d 

 =
Taylorov rozvoj vektorových funkcií: ( ) ( ) n
nn
dt
d
n
h
dt
dh
dt
d
htht
aaa
aa ...
!2 2
22
++++=+
Súradnicové sústavy (najpoužívanejšie)
Kartéziánska (pravouhlá)
(x, y, z)
Cylindrická
(r, , z)
Sférická
(r, , )
súradnicaSmerjednotkovýchvektorov
Prevody cylindrická-karteziánska Prevody sférická -karteziánska
Polohový vektor r
V karteziánskej sústave :
zyx eeer zyx ++= pričom pre veľkosť platí: 222
zyx ++=r
V cylindrickej sústave:
zr eer zr += pričom pre veľkosť platí: 22
zr +=r
Vo sférickej sústave:
rer r= pričom pre veľkosť platí: r=r
Prevodová tabuľka
Derivovanie polí v karteziánskych súradniciach
Hamiltonov (nabla) operátor 











=


+


+


=
zyxzyx
zyx ,,eee
GRADIENT
Skalárne pole:
( ) ( ) 











=
z
f
y
f
x
f
zyxff ,,,,grad r
Vyrobí zo skalárneho poľa f(r) vektorové pole. Udáva smer a veľkosť najväčšej
zmeny v skalárnom poli.
Vektorové pole:
( ) ( )




































=
z
V
y
V
x
V
z
V
y
V
x
V
z
V
y
V
x
V
zyx
zzz
yyy
xxx
,,grad VrV
DIVERGENCIA
z
F
y
FF zyx


+


+


=
x
FFdiv
Udáva ,,žriedlovosť" vektorového poľa.
ROTÁCIA








-




-




-


=






=×
y
F
x
F
x
F
z
F
z
F
y
F
FFF
zyx
xyzxyz
zyx
,,rot
zyx eee
FF
Udáva ,,vírovosť" vektorového poľa.
LAPLACIÁN
2
==
( ) 2
2
2
2
2
2
,,
z
U
y
U
x
U
zyxU


+


+


=
Operátor nabla v rôznych súradnicových systémoch
Karteziánske 











=


+


+


=
zyxzyx
zyx ,,eee
Cylindrické
zrr
zr


+


+


= eee


1
Sférické




+


+


=
sin
11
rrr
r eee
Diferenciálne vektorové operátory v karteziánskych, cylindrických a sférických
súradniciach
Príklady:
Úloha č. 1
Ukážte, že jednotkové vektory v cylindrickej súradnicovej sústave tvoria ortonormálny
systém.
Úloha č. 2
Jednotkové vektory v karteziánskom súr. Systéme sa nemenia v závislosti od pozície. To ale
neplatí pre krivočiare súradnicové systémy. Pre cylindrický súr. systém určite, čomu sa
rovnajú derivácie jednotlivých jednotkových vektorov podľa každej z priestorových súradníc.
Úloha č. 3
Ukážte rozkladom na jednotlivé parciálne derivácie, že v karteziánskom súradnicovom
systéme platí nasledujúca identita:
( ) ( ) fff uuu graddivdiv +=
pričom f označuje skalárne pole a u vektorové pole.
Úloha č. 4
Vyjadrite nabla-operátor v cylindrických súradniciach. Pomocou nájdeného tvaru operátora
určte grad f a div u .
Domáca úloha č.1
Zistite, či rovnaká identita ako v úlohe č.3 platí aj pre cylindrický súradnicový
systém.