Hamiltonův operátor (nabla) v kartézských souřadnicích:
=

x
,

y
,

z
f(r) - skalární pole (skalární veličina závislá na polohovém vektoru r = (x, y, z) )
F(r) - vektorové pole
Gradient
grad f  .f =
f
x
,
f
y
,
f
z
ˇ Gradient (derivace funkce f) má směr nejprudšího růstu funkce f. Skalární součin n. f (kde |n| = 1)
má význam derivace f ve směru n.
Divergence
div F  .F =
Fx
x
+
Fy
y
+
Fz
z
ˇ Příklad: Necht' F(r) je hustota toku kapaliny. Kolik kapaliny vyteče za jednotku času z nekonečně
malého kvádru se stranami dx, dy, dz (tj. jak vydatným zdrojem kapaliny je tento kvádřík)?
Oběma plochami rovnoběžnými s rovinou yz vyteče dohromady
dy.dz. Fx(x + dx) - Fx(x) = dy.dz.dx
Fx
x
=
Fx
x
dV
Analogické množství kapaliny vyteče ostatními čtyřmi plochami. Celková hmotnost vyteklé kapaliny
(za jednotku času):
Fx
x
+
Fy
y
+
Fz
z
dV = divF dV
ˇ div F = 0 - bezzřídlové pole (např. magnetická indukce)
div F > 0 -
"
zřídlo" (např. gravitační pole v místě hmotného bodu, el. pole v místě kladného náboje)
div F < 0 - např. elektrické pole v místě záporného náboje
ˇ Gaussova-Ostrogradského věta:
S
F(r).dS =
V
div F(r) dV
Rotace
rot F  × F =
Fz
y
-
Fy
z
,
Fx
z
-
Fz
x
,
Fy
x
-
Fx
y
ˇ Příklad: Pro rychlost hmotného elementu rotujícího tuhého tělesa platí v =  × r.
rot v = rot ( × r ) = rot (2r3 - 3r2, 3r1 - 1r3, 1r2 - 2r1) = (21, 22, 23), tj.  = 1
2 rot v
ˇ Stokesova věta:
l
F(r).dl =
S
rot F(r).dS
ˇ Platí:
rot gradf = 0
div rot F = 0
Laplaceův operátor
 . = 2
x2 + 2
y2 + 2
z2
f = div gradf
F = ( Fx, Fy, Fz)
ˇ Platí:
rot rot F = graddiv F - F
ˇ Laplacián v některých typech křivočarých souřadnic:
Polární: = 2
r2 + 1
r

r + 1
r2
2
2
Cylinrické: = 2
r2 + 1
r

r + 1
r2
2
2 + 2
z2
Sférické: = 2
r2 + 2
r

r + 1
r2
2
2 + cotg 
r2

 + 1
r2 sin2 
2
2
Kmenová funkce
Kdy k zadané funkci F(r) existuje fce f(r) taková, že F = gradf ? (f se nazývá kmenová funkce.)
Protože 2
f
xy = 2
f
yx , musí platit Fx
y =
Fy
x Analogické vztahy získáme pro ostatní kombinace souřadnic
a 3 získané podmínky můžeme zapsat rovnicí
rot F = 0,
která je nutnou a postačující podmínkou pro existenci kmenové funkce.
V tom případě platí pro libovolnou křivku C, která začíná v bodě r1 a končí v bodě r2
C
F.dr = f(r2) - f(r1)