Zadania:
1. Riešte DR y& - 4y^ + 5j/3
) - 4y" + 4y' = 4ex
+ 8x + 4.
2. Určte pc(f, g) a P/(/> g), ak je /(x) = x2
a g(:r) = 1 -- x2
a
Pc{f,g) = max |/(x) -0(2;)I a p/(/,#) = J \f{x) - g(x)\dx, kde a E R+.
xE[0,a\ g
3. Určte vnútro, uzáver a hranicu množiny A = {(x, y) : (x -- l)2
+ (y -- l)2
< 1} U {(x, y) :
x = y} v E2
.
Riešenia:
1.
Korene rovnice r5
-- 4r4
+ 5r3
-- 4r2
+ 4r = 0 sú 0,2,2,i,--i. Riešenie homog. DR je
J/o = c\ + C2e2a:
+ C3xe2a:
+ C4 cos x + C5 sin x. Partikulárně riešenia hľadáme v tvare y\ = dex
a j/2 = x(ax + 6), vyjde d = 2, a = 1,6 = 3.
Riešenie je y = j/o + J/i + J/2 = ci + C2e2a:
+ C3xe2x
+ C4 cos x + C5 sin x + 26^ + x2
+ 3x.
2.
\f(x) -- g{x)\ = 1 -- 2x2
ak x < -4? a |/(x) -- <?(:z)| = 2x2
-- 1 ak x > -4?.
o í 1, a < 1
Pc(f,g) = max |/(aľ)-0(:z)| = max |/(x)-^(x)| = max{l, |l-2a |} = <
xe[o,a] ^{0,} ^ 2a2
- 1, a > 1
1
Pi{f-,g) = I \f(x
) - g{x)\dx = J 1 - 2:r2
(ir + J 2x2
- \dx = §a3
- a + 2i/2. Alebo, pre
o 0 J_
V2
a -- |a3
.a < 77^ je P/(/, #) = J 1 - 2x2
dx
o
3.
A° = {(x,y) : (x-1)2
+ (y-l)2
<1},
Ä = A,
h(A) = {(x,y) : (x - l)2
+ (y - l)2
= 1} U {(x, y) :x = y}.