Zadania:
1.   Nájdite rovnicu dotykovej roviny ku grafu funkcie f (x,y) = ln(7y2 — 3x) v bode [2,1,0].
2.   Rozhodnite, či výraz (3x2 + y2)dx + (2xy)dy + dz je diferenciálom nejakej funkcie a v prípade, že áno, určte túto funkciu.
3.  Určte Taylorov polynóm 6. stupňa so stredom v [0,0] pre funkciu f (x,y) = ex y2.
4.  Nájdite maximum funkcie f (x, y) = x2—xy+y2 na A AB C : x—y < l,x > —l,x+y < 1.
5.    Určte rovnicu dotyčnice v bode  [1,1] ku krivke určenej rovnicou x3y — y3x = 0 a rozhodnite, či krivka leží v okolí tohoto bodu pod alebo nad dotyčnicou.
Riešenia:
1- f x = Yy^äi = -3> fy = Ť^=k = 14' rovnica roviny je z = -3x + 14y - 8.
2.    Rozhodneme tak, že overíme, či platí fxy = fyx, fxz = fzx, fzy = fyz. Máme fx = 3x2 + y2, fy = 2xy, /z = la vyjde nám, že áno.
Určíme teda funkciu. fx(x,y,z) = 3x2 + y2 =>- f (x,y, z) = x3 + xy2 + c(y,z). Z toho máme fy(x,y,z) = 2xy + cy(y,z) = 2xy =^- cy(y,z) = 0 =^> c(y,z) = k(z) a f (x, y, z) = x3 + xy2 + k(z). Z toho máme fz(x, y, z) = k'(z) = 1 =>• k(z) = z + k\ a výsledná funkcia je f (x, y, z) = x3 + xy2 + z + k\.
3.  Vieme, že TP funkcie é" so stredom v [0, 0] je 1 + •Aj I q <aj I q t >Áj I « Cv teda TP funkcie ex  je 1 + x2 + \xA + j^x6 + • • •. Z toho /(x,y) = ex y2 = y2 + x2y2 + |x4y2 + • • •.
4.    Najskôr zistíme body, kde má funkcia nulové derivácie: fx(x,y) = 2x — y = 0 a fy(x,y) = —x + 2y = 0, je to len v bode [0,0]. Ostatné extrémy sú teda na hranici množiny.
Zistíme body, v ktorých sa nejaká vrstevnica dotýka hranice. Vrstevnice sú dané rovnicou x2 — xy + y2 — c = 0.    Z toho spočítame derivácie (ako pri implicitnej funkcii): / _ _ 2x~y  a x' — — -*+2v. Hranicu tvoria tri úsečky:
-x-\-2y                        2x—y
1. y = x - 1:    =^ y' = 1 a teda - _2a: ľ   =1     ^>     2x - y = x - 2y
x
To spolu s pôvodnou rovnicou, y = x — 1, dáva bod [|, ■   1]
L2'       2J-
-ic+2t/ = X -
2. x = —1:    =^ x' = 0 a teda — ^rr2 = 0      =^      x = 2y.   To spolu s pôvodnou rovnicou, x = — 1, dáva bod [— 1, — \}.
3.y=l-x:    => y' = -1 a teda - 2x~%y = -1     =^     2x - y =-x + 2y     =^     x = y. To spolu s pôvodnou rovnicou, y = 1 — x, dáva bod [|, |].
Okrem toho môže byť extrém aj v niektorom z vrcholov trojuholníka, t.j.   bodoch -1,-2], [—1,2], [1,0].  Teraz zistíme, v ktorom z týchto bodov nadobúda funkcia / na-
jväčšiu hodnotu:  /(0,0) = 0, f{\,-\) = f, /(-l,-±) = f, /(£,§) = \, /(-l, -2) = 3, /(-l, 2) = 7, /(1,0) = 1. Takže maximum je 7.
5. Spočítame deriváciu y' = — ^i^y2x = 1. Rovnica dotyčnice v bode [1,1] je teda y = x. Druhá derivácia vyjde nulová. Keď skúsime upraviť rovnicu x3y — y3x = 0 zo zadania, dostaneme:   xy(x2 — y2) = 0.   Z toho x = 0 alebo y = 0 alebo x = y alebo
x = —y. Čiže naša krivka sú vlastne štyri priamky: / \ Preto nemôže ležať ani pod, ani nad nájdenou dotyčnicou. (Dotyčnica ku priamke je samotná priamka.)