Zadania:
1. Nájdite všetky riešenia rovnice y1
(x2
+ 2x) = y(2x + 2) + 3x2
+ 6x.
2. Nájdite všetky riešenia rovnice y = xy' + (y')2
+ 2y' + 1.
3. Nájdite riešenie rovnice y' + 1 + ex
(x + y)2
= 0, spĺňajúce začiatočnú podmienku
1/(0) = \4.
Substitúciami transformujte rovnicu y' = x-tV
-n n a r o v n
i c u s o
separovateľnými
premennými.
Riešenia:
1.
y = k(x)(x2
+ 2x).
3In |x| -- | In |x2
+2x|+c.
Subst. y' = p1 y = xp + p2
+ 2p + 1, zder., p = p + xp' + 2pp' + 2p', 0 = p'(x + 2p + 2),
Pi = c, P2 = z
^ .
Výsledok: y\ = ex + c2
+ 2c + 1, y2 = ^f ˇ
3.
Subst. t = x + y, ť + e^ŕ2
= 0, / ^ = / ex
dx,
Podmienka: y(0) = -^J--, -- 0 = |, teda c = 1.
Výsledok: y = ^ - j - -- x.
4.
Subst. :r = tí +TO,y = v + n tak, aby 2m + n - 8 = 0 a m - 3 n - l l = 0. Z toho
9-U --
m = 5,n = -2. Máme ˇ?/ = ^ ^ , v' = -r^tr ˇ Subst. - = t, v' = t + ťtt, dostaneme' u-- 3D ' 1--3-- -u ' '-u
a) Lin. homog.: y1
[x2
+ 2x) = y(2x + 2), / f = / J j ^ d z , ...
b) Nehomog.: fc'(x2
+2x)2
= 3x2
+6x, fc' = ^ = f - f J č g , fc =
Výsledok: y = (3 In |x| - f In \x2
+ 2x| + c){x2
+ 2x).
2.
M -- ~T~i-- i to -- U.
1
ex
-\-c' *ˇ