Určte viazané extrémy funkcie /
1. f (x, y) = xy na množine zadanej rovnicou x2
+ y2
-- 1 = 0.
2. f (x, y, z) = xyz na množine zadanej rovnicami x + y + z -- 5 = 0axy + yz+ zx -- 8 = 0.
3. f (x, y, z) = x -- 2y + z na množine zadanej rovnicou x2
+ y2
+ z2
-- 1 = 0.
Riešenia:
Všeobecne, ak hľadáme extrémy funkcie f (x,y) na množine zadanej rovnicou g(x,y) = 0,
definujeme funkciu L(x,y, A) := f (x, y) + Xg(x,y) a riešime sústavu rovníc
d
-=^= = o, d
-^í=0, 9(l,y) = o.
öx öy
XI- Máme L(x,y, A) := xy + A(x2
+ y2
-- 1) a riešime sústavu rovníc
dL{x
^X)
=y + 2Xx = 0, dL{x
^X)
=x + 2Xy = 0, x2
+ y2
= l.
ox oy
Má štyri riešenia, (xi,yi,Ai) = (73,75,^), (^2,y2,A2) = (75, 75, ^ (^3,y3,A3) =
("73' 73' 2)' (x
4,y4, A4) = (7^, 7j, g)Hodnoty
funkcie / v týchto bodoch sú f(x\,yi) = f(x2,y2) = \ (maximum), ,f(x3,y3) =
f (x4,y4) = =Y (minimum).
Jfc2. Máme L(x,y, z, X\, A2) := xyz + Ai(x + y + z -- 5) + A2(xy+ yz + zx -- 8) a riešime
sústavu rovníc
dL(x,y,z,X1,X2) , \ , \ f , \ n <9L(x,y, Ai, A2)
= yz + Ai + A2(y + z) = 0, = xz + Ai + X2{x + z) = 0,
dL(x,y,Xi,X2) . .
= xy + Ai + A2(x + y) = U, x + y + z = 5, xy + yz + zx = 8.
öz
Odčítaním prvej rovnice od druhej, druhej od tretej a tretej od prvej dostaneme tri nové
rovnice: [x -- y)(A2 + z) = 0, (y -- z)(A2 + x) = 0, (z -- x)(A2 + y) = 0. Z toho x = y
alebo y = z alebo z = x.
Ak x = y, potom zo štvrtej a piatej rovnice dostaneme 2x + z = 5 a x2
+ 2x(5 -- 2x) = 8,
riešenia sú teda (xi,yi, z\) = (2, 2,1) a (x2,y2, z2) = (|, |, |).
Zo symetrie potom ďalšie riešenia sú (x3,y3,z3) = (1, 2, 2), (x4,y4, z4) = (|, |, |), (x5,y5, z5)
(2,1,2) a (x6,y6,z6) = (f,f,f)Hodnoty
funkcie / v týchto bodoch sú /(xi,yi,zi) = /(x3,y3,z3) = f(x5,y5,z5) = 4
(minimum), /(x2,y2,z2) = /(x4,y4,z4) = /(x6,y6,z6) = ^ = 4 ^ (maximum).
Jfc3. Máme L(x, y, z, X) := x -- 2y + z + A(x2
+ y2
+ z2
-- 1) a riešime sústavu rovníc
<9L(x,y,z, A) , <9L(x,y,z,A)
v
' y
' ' = l + 2Ax = 0, --v
' y
' ' = - 2 + 2Ay = 0,<9x ' dy
l + 2Az = 0, x2
+ y2
+ z2
= l.
dL(x,y,z,X) _ O A _ _ n 2 , 2 , 2
<9z
Z toho (x, y, z) = (^x,i,^x)ai ^2+^ + i^2 = 1. Takže Ai;2 = 1 a (x1,y1, zx) = (-^,1,-^)
a (x2,y2,z2) = ( | , - 1 , | ) .
Hodnoty funkcie / v týchto bodoch sú f(xi,yi,Z\) = --3 (minimum) a f(x2,3/2>2) = 3
(maximum).