11. BILINE RNE A KVADRATICKZ FORMY
V predch dzaj cej kapitole sme sa stretli s multiline rnymi zobrazeniami, ktorbch
pr kladmi boli pr ve determinanty. V tejto kapitole podrobnej ie presk mame tzv. bi-
line rne zobrazenia, ktorR s zrejme najjednoduch m netrivi lnym pr padom takbch-
to zobrazen . Z nich sa s stred me hlavne na biline rne formy, t.j. na biline rne
zobrazenia s hodnotami v pr slu nom poli. Od biline rnych foriem je u[ len krok
k tzv. kvadratickbm form m. Tbmto krokom, pr sne vzatR, vyst pime zo sveta ob-
jektov line rnych t.j. "prvRho stup a  a dostaneme sa do sveta objektov kvadrat-
ickbch t.j. "druhRho stup a . Zatia sa v ak s stred me len na algebraick str nku
celej veci. GeometrickR aspekty biline rnych a kvadratickbch foriem presk mame a[
nesk]r, keS si na tento Wel zadov [ime aj Sal ie WinnR n stroje.
V celej kapitole K oznaWuje nejakR pevnR no inak ubovo nR pole. Ak sa o tom oso-
bitne nezmienime, pod vektorovbm priestorom budeme rozumie vektorovb priestor
nad po om K. VTW ina vbsledkov tejto kapitoly v ak plat len za dodatoWnej pod-
mienky, [e charakteristika n ho po a K sa nerovn dvom. Na rozdiel od kapitol 8
a 10, kde n m tento predpoklad sl [il len na zjednodu enie formul ci niektorbch
de n ci , tvrden a d]kazov, v tejto kapitole u[ hr podstatn lohu.
11.1. Biline rne zobrazenia a biline rne formy
Nech U, V, W s vektorovR priestory nad po om K. Hovor me, [e F : U V ! W je
biline rne zobrazenie, ak pre v etky x;x1;x2 2 U, y;y1;y2 2 V a c1;c2 2 K plat
Fx;c1y1 + c2y2 = c1Fx;y1 + c2Fx;y2;
Fc1x1 + c2x2;y = c1Fx1;y+ c2Fx2;y:
Inak povedanR, zobrazenie F : UV ! W je biline rne pr ve vtedy, keS pre ubovo nR
pevnR x 2 U je priraden m y 7! Fx;y de novanR line rne zobrazenie V ! W a
pre ubovo nR pevnR y 2 V je priraden m x 7! Fx;y de novanR line rne zobrazenie
U ! W.
11.1.1. Pr klad. a Pr klad 6.1.4 vlastne hovor , [e pre pevnR m, n, p je predpisom
FA;B = AB danR biline rne zobrazenie KmnKnp ! Kmp. Teda n sobenie
je biline rne zobrazenie medzi vektorovbmi priestormi mat c pr slu nbch rozmerov.
b Pre ubovo nR vektorovR priestory U, V je predpisom F';x = 'x de novanR
biline rne zobrazenie LV;U  V ! U. To znamen , [e na dosadenie argumentu
do funkcie sa mo[no d va ako na biline rne zobrazenie na pr slu nbch vektorovbch
priestoroch pozri paragraf 6.5. Najd]le[itej m pr padom takRhoto biline rneho zob-
razenia je tzv. dualita V V ! K.
c Pre ubovo nR vektorovR priestory U, V, W je predpisom F'; = '  de no-
vanR biline rne zobrazenie LV;U  LW;V  ! LW;U. Teda kompoz ciu mo[no
ch pa ako biline rne zobrazenie na uvedenbch vektorovbch priestoroch line rnych
zobrazen .
1
2 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Pod biline rnou formou na vektorovbch priestoroch U, V rozumieme ubovo nR
biline rne zobrazenie F : U V ! K.
Nech U, V s koneWnorozmernR vektorovR priestory s b zami = u1;:::;um
resp. = v1;:::;vn. Potom pre ubovo n maticu A = aij 2 Kmn je predpisom
Fx;y = xT Ay =
mX
i=1
nX
j=1
aijxiyj;
kde x = x1;:::;xmT, y = y1;:::;ynT s s radnice vektorov x 2 U, y 2 V
v pr slu nbch b zach, de novan biline rna forma F : U  V ! K presvedWte sa
o tom. Uk [eme, [e tie[ naopak, ka[d biline rna forma na vektorovbch priestoroch
U, V m uvedenb tvar pre jednoznaWne urWen maticu A 2 Kmn.
Maticou biline rnej formy F : U  V ! K vzh adom na b zy , nazbvame
maticu
F ; =
,Fui;vj
 2 Kmn;
ktor je tvoren hodnotami formy F na dvojiciach vektorov b z , .
11.1.2. Tvrdenie. Nech U, V s koneWnorozmernR vektorovR priestory s b zami ,
resp. a F : U V ! K je biline rna forma. Potom pre v etky x 2 U, y 2 V plat
Fx;y = xT  F ; y
a A = F ; je jedin matica s touto vlastnos ou.
D]kaz. Nech x = x1;:::;xmT, y = y1;:::;ynT s s radnice vektorov
x 2 U, y 2 V v pr slu nbch b zach = u1;:::;um, = v1;:::;vn. S pou[it m
bilinearity F dost vame
Fx;y = Fx1u1 + :::+ xmum; y1v1 +::: +ynvn
=
mX
i=1
nX
j=1
xiyjFui;vj = xT  F ; y :
Zost va uk za , [e pre ubovo n maticu A = aij 2 Kmn plat
,8x 2 U
,8y 2 V
,Fx;y = xT Ay
  A = F ; :
Za uvedenRho predpokladu vo bou x = ui, y = vj dost vame
Fui;vj = uiT Avj = eT
i Aej = aij:
Teda peci lne ka[d biline rna forma F : Km  Kn ! K na st pcovbch vek-
torovbch priestoroch Km, Kn m tvar
Fx;y = xT Ay =
mX
i=1
nX
j=1
aijxiyj;
kde A = F "m;"n je matica formy F vzh adom na kanonickR b zy "m
, "n
.
Teraz presk mame ako z vis matica biline rnej formy F : U V ! K na b zach
priestorov U, V, presnej ie, ako sa men v z vislosti od zmien tbchto b z.
11. BILINE RNE A KVADRATICKZ FORMY 3
11.1.3. Tvrdenie. Nech V1, V2 s koneWnorozmernR vektorovR priestory nad po om
K, 1, 1 s dve b zy priestoru V1, 2, 2 s dve b zy priestoru V2 a F : V1 V2 ! K
je biline rna forma. Potom
F 1; 2 = P 1; 1 T  F 1; 2 P 2; 2 :
D]kaz. OznaWme A = F 1; 2 , B = F 1; 2 matice formy F v pr slu nbch b zach.
Pre ubovo nR vektory x 2 V1, y 2 V2 plat
xT
1
B y 2 = Fx;y = xT
1
Ay 2
=
,P 1; 1 x 1
T
A
,P 2; 2 y 2

= xT
1

,P 1; 1 T AP 2; 2
y 2 :
Po[adovan rovnos
B = P 1; 1 T AP 2; 2
vyplbva z jednoznaWnosti matice biline rnej formy F vzh adom na b zy 1, 2 dok -
zanej v tvrden 11.1.2.
11.1.4. Pr klad. Nech F : Km Kn ! K je biline rna forma a , s nejakR b zy
priestorov Km, resp. Kn. OznaWme A = F ; , M = F "m;"n matice formy F
vzh adom na b zy , , resp. vzh adom na kanonickR b zy "m
, "n
. Pod a pr ve
dok zanRho tvrdenia platia rovnosti
A =
,P"m;
T
M P"n; = T M  ;
M =
,P ;"m
T
AP ;"n =
, ,1T
A ,1;
umo[ uj ce po stoto[nen ka[dej b zy s maticou tvorenou jej st pcami priamy
vbpoWet jednej z mat c A, M na z klade znalosti pr slu nbch b z a druhej z nich.
Tvrdenie 11.1.3 a pr klad 11.1.4 n s priamo nab daj k porovnaniu s vetou 7.6.1 a
pr kladom 7.6.2. Anal gia s line rnymi zobrazeniami a ich maticami v ak siaha e te
Salej a zah a aj vety 7.6.3 a 7.6.4.
11.1.5. Tvrdenie. Nech U je m-rozmernb a V je n-rozmernb vektorovb priestor
nad po om K. Potom pre ubovo nR matice A; B 2 Kmn nasleduj ce podmienky s
ekvivalentnR:
i A, B s maticami tej istej biline rnej formy F : UV ! K vzh adom na nejakR
dve mo[no no nie nutne r]zne dvojice b z priestorov U, V ;
ii existuj regul rne matice P 2 Kmm, Q 2 Knn takR, [e B = P AQ;
iii hA = hB.
D]kaz. Pod a tvrdenia 7.2.4 je tvorcov matica regul rna pr ve vtedy, keS k nej
transponovan matica je regul rna. Ekvivalencia i,ii je tak priamym d]sledkom
tvrden 11.1.3 a 7.5.3. Ekvivalencia ii,iii je u[ obsiahnut v tvrden 7.6.3.
Na z klade uvedenRho tvrdenia mo[no korektne de nova hodnos hF biline rnej
formy F na koneWnorozmernbchvektorovbch priestorochako hodnos jej matice vzh a-
dom na ubovo n dvojicu b z. Je toti[ zrejmR, [e t to hodnota na vo be pr slu nbch
b z nez vis .
4 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
11.1.6. D]sledok. Pre ka[d biline rnu formu F : U V ! K na koneWnorozmer-
nbch vektorovbch priestoroch nad po om K mo[no zvoli b zu priestoru U a b zu
priestoru V tak, [e F m vzh adom na b zy , maticu v blokovom tvare
F ; =
 Ih 0h;n,h
0m,h;h 0m,h;n,h

;
kde m = dimU, n = dimV a h = hF.
Ot zkou, ako mo[no k danej biline rnej forme F n js takR b zy , , sa tu
nebudeme zaobera . Pre zvedavRho Witate a pod vame struWnb n vod v cviWeniach.
Za istbch okolnost sa s ou v ak e te stretneme. No v tejto chv li obr time svoju
pozornos trochu inbm smerom.
Ak F : UV ! K je ubovo n biline rna forma, tak pre ka[dR y 2 V je predpisom
'yx = Fx;y de novanb line rny funkcion l 'y: U ! K, t.j. prvok du lu U =
LU;K vektorovRho priestoru U pozri paragraf 6.5. Ak polo[ me Fy = 'y, je
tbm de novanR zobrazenie F: V ! U. Bude n s zauj ma , pre akR F m ka[db
line rny funkcion l ' 2 U tvar ' = Fy pre nejakR, pr padne pre jedinR y 2 V .
11.1.7. Veta. a Nech U, V s vektorovR priestory a F : U V ! K je biline rna
forma. Potom F: V ! U je line rne zobrazenie.
b Ak U, V s koneWnorozmernR, tak hF = hF. V d]sledku toho F je
injekt vne pr ve vtedy, keS hF = dimV , a F je surjekt vne pr ve vtedy, keS
hF = dimU.
D]kaz. S vyu[it m linearity F v druhej zlo[ke mo[no podmienku a overi priamym
vbpoWtom, ktorb prenech vame ako cviWenie Witate ovi.
b Polo[me dimV = n, zvo me nejakR b zy , priestorov U, resp. V a oznaWme
A = F ; maticu formy F vzh adom na ne. Potom
KerF =
y 2 V; 8x 2 UxT Ay = 0
= fy 2 V ; Ay = 0g;
lebo pre ubovo nR y 2 V je predpisom x 7! xT Ay urWenR line rne zobrazenie
U ! K, ktorR m vzh adom na b zy v U a 1 v K maticou yT  AT, a matica
line rneho zobrazenia v danbch b zach je urWen jednoznaWne. KeS[e y 7! y je
line rny izomor zmus V ! Kn, z tvrdenia 9.2.2 vyplbva
dimKerF = dimRA = n,hA = n ,hF:
Pod a vety 6.2.3 o dimenzii jadra a obrazu z toho dost vame
hF = dimImF = n,dimKerF = hF:
Zvy ok je u[ trivi lnym d]sledkom tejto rovnosti, vety 6.2.2 a tvrdenia 6.5.3.
11.1.8. D]sledok. Nech U, V s koneWnorozmernR vektorovR priestory rovnakej di-
menzie. Potom pre ubovo n biline rnuformu F : UV ! K nasleduj ce podmienky
s ekvivalentnR:
i F: V ! U je line rny izomor zmus;
ii hF = dimV;
iii pre ubovo nR pre nejakR b zy , priestorov U, resp. V je F ; regul rna
matica.
Biline rna forma F : U  V ! K sa nazbva regul rna, ak sp a niektor a teda
v etky z podmienokposlednRhod]sledku;v opaWnompr padesa F nazbva singul rna.
11. BILINE RNE A KVADRATICKZ FORMY 5
11.2. SymetrickR biline rne formy a kvadratickR formy
V tomto paragrafe sa budeme zaobera vbluWne biline rnymi formami, v ktorbch prv
aj druh premenn prebieha ten istb vektorovb priestor V , t.j. biline rnymi formami
tvaru F : V  V ! K. Budeme ich nazbva biline rnymi formami na vektorovom
priestore V.
Biline rna forma F : V2
! K sa nazbva symetrick , ak pre v etky x;y 2 V plat
Fx;y = Fy;x:
Pre istotu e te pripom name, [e biline rna forma F : V2
! K sa nazbva antisymet-
rick pozri paragraf 10.1, ak pre v etky x;y 2 V plat
Fx;y = ,Fy;x:
11.2.1.Tvrdenie. Nech F je biline rna forma na vektorovom priestore V nad po om
K a charK 6= 2. Potom F mo[no rozlo[i na s Wet
F = F0 +F1
pre jednoznaWne urWenR biline rne formy F0, F1 na V , priWom F0 je symetrick a F1
je antisymetrick .
D]kaz. KeS[e charK 6= 2, v K plat 2 = 1+1 6= 0, teda existuje prvok 1
2
= 2,1 2 K.
Pre v etky x;y 2 V polo[me
F0x;y = 1
2
,Fx;y+ Fy;x;
F1x;y = 1
2
,Fx;y,Fy;x:
Jednoduchbmi priamymi vbpoWtami, ktorR prenech vame Witate ovi, mo[no overi , [e
F0 aj F1 s biline rne formy na V. Na prvb poh ad vidno, [e F0 je symetrick , F1 je
antisymetrick a pre v etky x;y 2 V plat
Fx;y = F0x;y+ F1x;y:
Zost va overi jednoznaWnos F0 a F1. Keby F = G0 + G1 bol druhb takb rozklad,
tak zo symetrie F0, G0 a z antisymetrie F1, G1 by vyplbvalo
F0x;y,F1x;y = F0y;x+F1y;x
= G0y;x+ G1y;x = G0x;y,G1x;y
pre v etky x;y 2 V. Rovnosti
F0x;y+ F1x;y = G0x;y+ G1x;y;
F0x;y,F1x;y = G0x;y,G1x;y
u[ maj za zrejmb n sledok F0x;y = G0x;y a F1x;y = G1x;y.
6 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Ak F je biline rna forma na koneWnorozmernom vektorovom priestore V s b zou
= u1;:::;un, tak pod maticou formy F vzh adom na t to b zu budeme rozumie
jej maticu vzh adom na dvojicu b z , ; znaW me ju F . Teda
F = F ; =
,Fui;uj

nn:
Toto obmedzenie v porovnan so v eobecnou de n ciou z predo lRho paragrafu je pri-
rodzenR naopak, znaWne umelo by p]sobilo vyjadrova s radnice prvej a druhej
premennej v F, hoci le[ia v tom istom priestore V , vzh adom na r]zne b zy. Matice
biline rnych foriem na vektorovom priestore V vzh adom na dvojice r]znych b z ,
vo V preto odteraz vyl Wime z Sal ch vah. Jedna z vbhod takRhoto pr stupu
spoW va v nasleduj com zrejmom tvrden , ktorR by v ak bez spom nanRho obmedzenia
neplatilo.
Pripome me, [e tvorcov matica A = aijnn sa nazbva symetrick , ak A = AT,
t.j. ak pre v etky i;j  n plat aij = aji; podobne, A sa nazbva antisymetrick , ak
A = ,AT, t.j. ak pre v etky i;j  n plat aij = ,aji.
11.2.2. Tvrdenie. Nech je ubovo n b za koneWnorozmernRho vektorovRho prie-
storu V a F : V2
! K je biline rna forma na V. Potom
a F je symetrick pr ve vtedy, keS jej matica F je symetrick ;
b F je antisymetrick pr ve vtedy, keS jej matica F je antisymetrick .
N sobenie v poli mo[no ch pa ako biline rnuformu F : K2
! K, kde Fa;b = ab
pre a;b 2 K. Stoto[nen m prvej a druhej premennej dost vame zobrazenie q: K ! K,
kde qa = Fa;a = a2
, t.j. "a-kvadr t . Zov eobecnen m tohto postupu dospejeme
k pojmu kvadratickej formy.
Zobrazenie q: V ! K vektorovRho priestoru V do po a K sa nazbva kvadratick
forma na V, ak existuje biline rna forma F : V2
! K tak , [e pre v etky x 2 V plat
qx = Fx;x:
Hovor me tie[, [e biline rna forma F indukuje kvadratick formu q.
Vo v eobecnosti existuje k danej kvadratickej forme q: V ! K mnoho biline rnych
foriem F : V 2
! K, pre ktorR plat uveden rovnos . Ak je toti[ F : V2
! K nejak
biline rna forma a G: V2
! K je ubovo n antisymetrick biline rna forma, tak,
aspo pokia charK 6= 2,
Fx;x = Fx;x+ Gx;x;
lebo zrejme Gx;x = 0. peci lne v oznaWen tvrdenia 11.2.1 plat
Fx;x = F0x;x:
To n s priv dza na my lienku pok si sa odstr ni spom nan nejednoznaWnos doda-
toWnou po[iadavkou symetrie pr slu nej biline rnej formy.
Pol rnou formou kvadratickej formy q: V ! K nazbvame symetrick biline rnu
formu F : V2
! K, ktor indukuje formu q.
11. BILINE RNE A KVADRATICKZ FORMY 7
11.2.3. Tvrdenie. Nech q je kvadratick forma na vektorovom priestore V nad
po om K, priWom charK 6= 2. Potom existuje jedin symetrick biline rna forma
F : V 2
! K tak , [e
qx = Fx;x
pre v etky x 2 V.
D]kaz. Ak F je ubovo n biline rna forma na V , ktor indukuje q, tak z tvrde-
nia 11.2.1 a pred chv ou uWinenej pozn mky vyplbva, [e h adan pol rna forma ku q
je dan vz ahom F0x;y = 1
2
Fx;y+ Fy;x.
Po[adovan jednoznaWnos pol rnej formy je bezprostrednbm d]sledkom nasledu-
j ceho tvrdenia, ktorR n m poskytuje Sal iu cenn inform ciu o vz ahu medzi ou a
indukovanou kvadratickou formou.
11.2.4. Tvrdenie. Nech charK 6= 2, q: V ! K je kvadratick forma a F : V2
! K
je jej pol rna forma. Potom pre ubovo nR x;y 2 V plat
Fx;y = 1
2
,qx +y,qx ,qy

= 1
2
,qx + qy ,qx,y
= 1
4
,qx +y,qx,y
D]kaz. Najprv si uvedomme, [e charK 6= 2 m za d]sledok 4 = 2  2 6= 0. Ka[d
z rovnost
Fx;y = 1
2
,Fx+ y;x+y,Fx;x,Fy;y
= 1
2
,Fx;x+ Fy;y,Fx,y;x,y
= 1
4
,Fx+ y;x+y,Fx,y;x,y
mo[no teraz na z klade bilinearity formy F overi priamym vbpoWtom, ktorb prene-
ch vame Witate ovi.
UvedenR rovnosti n m tak d vaj k dispoz cii hneS tri r]zne formuly, z ktorbch
ka[d umo[ uje zrekon truova pol rnu formu na z klade znalosti jej kvadratickej
formy.E te si v imnite, [e tieto rovnostis len jednoduchbmzov eobecnen mzn mych
vzorcov
ab = 1
2
,a +b2
,a2
,b2
= 1
2
,a2
+ b2
,a ,b2
 = 1
4
,a + b2
,a ,b2

platnbch pre ubovo nR a;b 2 K.
8 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Maticou kvadratickej formy q: V ! K na koneWnorozmernomvektorovom priestore
V nad po om charakteristiky r]znej od dvoch vzh adom na b zu nazbvame maticu
jej pol rnej formy vzh adom na t to b zu a znaW me ju q . Matica q je touto po-
[iadavkou jednoznaWne urWen a je to v[dy symetrick matica. Hodnos ou kvadratickej
formy potom nazbvame hodnos jej matice vzh adom na ak ko vek b zu a znaW me
ju hq. Zrejme hodnos hq nez vis od vo by b zy a rovn sa hodnosti hF pr -
slu nej pol rnej formy. Kvadratick forma sa nazbva regul rna, resp. singul rna, ak
m pr slu n vlastnos jej pol rna forma.
Pozn mka. Upozor ujeme, [e ani jeden z vbsledkov uv dzanbch v tvrdeniach 11.2.1 a
11.2.3 t.j. ani existencia ani jednoznaWnos  nie je splnenb vo vektorovbch priestoroch
nad po om charakteristiky 2. Dokonca jednu a t ist symetrick biline rnu, resp.
kvadratick formu mo[no zada maticami r]znej hodnosti. Pr klady mo[no n js
v cviWeniach. V pr padetvrdenia 11.2.4 ned vaj uvedenR vzorce nad po om K charak-
teristiky 2 v]bec [iadny zmysel.
11.3. Diagonaliz cia kvadratickbch foriem
Ak F : V 2
! K je ubovo n biline rna forma na koneWnorozmernom vektorovom
priestore V a A = aijnn je jej matica vzh adom na nejak b zu priestoru V ,
tak pre indukovan kvadratick formu q: V ! K a v etky x 2 V plat
qx = Fx;x = xT Ax =
nX
i=1
nX
j=1
aijxixj;
kde x = x1;:::;xnT s pr slu nR s radnice. Ak F je navy e symetrick , t.j. ak
A je priamo matica formy q v b ze , tak uvedenb vbraz mo[no Salej upravi na tvar
qx =
nX
i=1
aiix2
i + 2
X
1i jn
aijxixj:
V tomto paragrafe si uk [eme, [e vo bou vhodnej b zy, t.j. zaveden m "novbch s rad-
n c , sa mo[no zbavi v etkbch sW tancov aijxixj obsahuj cich zmie anR Wleny a upra-
vi tak celb vbraz na diagon lny tvar
qx =
nX
i=1
aiix2
i:
Pr slu nb vbpoWet mo[no uskutoWni pomocou tzv. Lagrangeovej met dy, ktor
po[ va dva typy prav: jednak met du doplnenia na tvorec, zn mu u[ zo strednej
koly, jednak substit ciu
xixj = 1
4xi + xj2
, 1
4xi ,xj2
;
ku ktorej sa mus me uchbli zaka[dbm, keS pre i 6= j je aij 6= 0, ale aii = ajj = 0. Ako
naznaWuje posledn identita, Lagrangeova met da funguje len pre polia charakteris-
tiky r]znej od dvoch. Bez Sal ieho koment ra si celb postup ozrejm me na pr klade.
11. BILINE RNE A KVADRATICKZ FORMY 9
11.3.1. Pr klad. Kvadratick forma q: R4
! R je pre x = x1;x2;x3;x4T 2 R4
dan predpisom
qx = ,2x2
2 + x1x2 + 2x2x3 ,3x3x4 = xT 
0
B@
0 1=2 0 0
1=2 ,2 1 0
0 1 0 ,3=2
0 0 ,3=2 0
1
CAx:
V etky zmie anR Wleny obsahuj ce x2 pripoj me k Wlenu ,2x2
2 a dopln me na tvorec:
qx = ,2

x2
2 , 1
2x1x2 ,x2x3

,3x3x4
= ,2

x2 , 1
4x1 , 1
2x3

2
, 1
16x2
1 , 1
4x2
3 , 1
4x1x3

,3x3x4
= ,1
8x1 ,4x2 + 2x32
+ 1
8x2
1 + 1
2x2
3 + 1
2x1x3 ,3x3x4 :
Teraz pripoj me zmie anR Wleny obsahuj ce x1 k Wlenu 1
8
x2
1 a dopln me na tvorec.
Dostaneme
qx = ,1
8x1 ,4x2 + 2x32
+ 1
8x2
1 + 4x2
3 + 4x1x3 ,3x3x4
= ,1
8x1 ,4x2 + 2x32
+ 1
8x1 + 2x32
,3x3x4 :
Po pou[it spom nanej substit cie koneWne m me
qx = ,1
8x1 ,4x2 + 2x32
+ 1
8x1 + 2x32
, 3
4x3 + x42
+ 3
4x3 ,x42
:
Ak si na R4
zavedieme novR s radnice y = y1;y2;y3;y4T, kde
y1 = x1 ,4x2 + 2x3
y2 = x1 + 2x3
y3 = x3 + x4
y4 = x3 ,x4;
tak p]vodn kvadratick forma q v nich nadobudne diagon lny tvar
qx = q0y = ,1
8y2
1 + 1
8y2
2 , 3
4y2
3 + 3
4y2
4 :
Pritom matica
Q =
0
B@
1 ,4 2 0
1 0 2 0
0 0 1 1
0 0 1 ,1
1
CA;
ktor zabezpeWuje zmenu s radn c y = Qx je maticou prechodu z kanonickej b zy "
do takej b zy priestoru R4
, v ktorej pre v etky x 2 R4
plat x = y = Qx. To
znamen , [e Q = P ;" = ,1. Teda = Q,1, presnej ie, h adan b za je tvoren
st pcami matice
Q,1 =
0
B@
0 1 ,1 ,1
,1=4 1=4 0 0
0 0 1=2 1=2
0 0 1=2 ,1=2
1
CA:
10 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
11.3.2. Pr klad. E te si v imnime ve k mieru nejednoznaWnosti diagon lneho tvaru
a pr slu nej transform cie s radn c. Napr. kvadratick formu
qx;y = 10x2
+ 5y2
,2xy
na R2
mo[no pri troche postrehu jednoducho upravi na diagon lny tvar
qx;y = x2
+4y2
+ 4xy + 9x2
+ y2
,6xy = x + 2y2
+ 3x ,y2
;
zatia Wo pri d]slednom dodr[iavan predch dzaj ceho receptu dostaneme
qx = 10

x2
, 1
5xy

+ 5y2
= 10

x , 1
10y

2
, 1
100y2

+ 5y2
= 1
1010x ,y2
+ 49
10y2
:
Podobne, ako sme sa pri rie en s stav line rnych rovn c vyhli manipul cii s pre-
mennbmi a cel lohu sme previedli na pravu istej matice pomocou element rnych
riadkovbch oper cii, aj teraz bude na im cie om upravi dan kvadratick Wi symet-
rick biline rnuformuna diagon lnytvar a z rove n js pr slu n b zu len vhodnbmi
pravami jej matice. Najprv si v ak ujasn me, ako vplbva zmena b zy na maticu bi-
line rnej resp. kvadratickej formy na koneWnorozmerom priestore V. Ako peci lny
pr pad tvrdenia 11.1.3 okam[ite dost vame
11.3.3.Tvrdenie. Nech , s dve b zy koneWnorozmernRhovektorovRho priestoru
V a F : V 2
! K je biline rna forma na V . Potom pre matice A = F , B = F
formy F v tbchto b zach plat
B = P ; T AP ; :
tvorcovR matice A; B 2 Knn sa nazbvaj kongruentnR, oznaWenie A  B, ak
existuje regul rna matica P 2 Knn tak , [e
B = PT AP:
Zrejme kongruentnR matice maj rovnak hodnos . Pitate by si mal taktie[ s m
overi , [e pre ubovo nR matice A; B; C 2 Knn plat
A  A;
A  B  B  A;
A  B & B  C  A  C:
Inak povedanR, vz ah kongruencie je re ex vny, symetrickb a tranzit vny, t.j. je vz a-
hom ekvivalencie na mno[ine Knn.
Ualej n s bude zauj ma len kongruencia symetrickbch mat c; v celej v eobecnosti
sa preto tbmto vz ahom viac zaobera nebudeme.
Jednoducho mo[no nahliadnu pr padne overi  platnos implik cie
A  B & B = BT  A = AT;
t.j. ak je jedna z dvoch kongruentnbch mat c symetrick , tak je symetrick aj druh
z nich.
KeS[e ka[d regul rna matica jej maticou prechodu medzi vhodnou dvojicou b z,
tvrdenie 11.3.3 m za bezprostrednb d]sledok nasleduj cu vetu.
11. BILINE RNE A KVADRATICKZ FORMY 11
11.3.4.Veta. Nech V je n-rozmernbvektorovb priestor nad po om K charakteristiky
6= 2. Potom pre ubovo nR symetrickR matice A; B 2 Knn nasleduj ce podmienky
s ekvivalentnR:
i A, B s maticami tej istej symetrickej biline rnej formy F : V  V ! K
vzh adom na nejakR dve mo[no no nie nutne r]zne b zy priestoru V ;
ii A, B s maticami tej istej kvadratickej formy q: V ! K vzh adom na nejakR
dve mo[no no nie nutne r]zne b zy priestoru V;
iii A  B.
Poznamenajme, [e ekvivalencia i,iii plat aj nad po ami charakteristiky 2.
KoneWne m][eme systematicky prist pi k ot zke diagonaliz cie symetrickbch bi-
line rnych resp. kvadratickbch foriem. Obe zredukujeme na pravy pr slu nej symet-
rickej matice na diagon lnu maticu pomocou prav zachov vaj cich kongruenciu.
Najprv si v imnime, Wo to vlastne znamen , [e matice A; B 2 Knn s kongru-
entnR prostredn ctvom regul rnej matice P 2 Knn. Maticu P mo[no upravi na
jednotkov maticu In pomocou element rnych st pcovbch prav, ktorbm zodpoved
rozklad matice P na s Win element rnych mat c
P = E1 ::: Ek:
Potom
B = PT AP = E1 ::: EkT AE1 ::: Ek
= ET
k ::: ET
1 AE1 ::: Ek
Nech teraz C 2 Knn je ubovo n matica a E 2 Knn je element rna matica,
zodpovedaj ca nejakej ESO. Uvedomme si, v akom vz ahu je matica ET  C  E
k p]vodnej matici C. Samozrejme, [e s kongruentnR, no nielen to. Matica ET toti[
zodpoved "rovnakej ERO, ako bola ESO reprezentovan maticou E. Presnej ie,
a ak E zodpovedala vbmene i-teho a j-teho st pca, tak ET zodpoved vbmene
i-teho a j-teho riadku;
b ak E zodpovedala vyn sobeniu i-teho st pca nenulovbm skal rom c 2 K, tak
ET zodpoved vyn sobeniu i-teho riadku tbm istbm skal rom c;
c ak E zodpovedala pripoW taniu c-n sobku i-teho st pca k j-temu st pcu, tak ET
zodpoved pripoW taniu c-n sobku i-teho riadku k j-temu riadku.
Matica ET C E teda vznikne z matice C pomocou dvojice symetricky zdru[enbch
element rnych prav jednej ESO a jednej ERO. Navy e, keS[e vSaka asociat vnosti
n sobenia plat ET  C  E = ET  C  E, je jedno, v akom porad obe pravy
vykon me.
aprava symetrickej matice A 2 Knn na s ou kongruentn diagon lnu maticu
B 2 Knn sa teda realizuje v koneWnej postupnosti krokov, z ktorbch ka[db pozost va
z jednej ESO a s ou symetricky zdru[enej ERO. Postupnos ou len pr slu nbch ESO
vykonanbch na jednotkovej matici In z skame tie[ pr slu n maticu prechodu P tak ,
[e plat B = PT AP. Celb postup mo[no struWne zachyti pomocou schRmy
A ESO
,,,,!ERO
B
In
ESO
,,,,! P
12 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Ak teda A bola maticou nejakej symetrickej biline rnej formy, pr padne kvadratickej
formy v b ze , tak B je maticou tejto formy v b ze =  P t.j. P = P .
peci lne, ak A je maticou pr slu nej formy na st pcovom vektorovom priestore Kn
v kanonickej b ze = "n
, tak = P, t.j. vektory novej b zy s priamo st pce
matice P.
Zost va dok za , [e uvedenb postup v[dy vedie k cie u.
11.3.5. Veta. Nech charK 6= 2 a V je koneWnorozmernb vektorovb priestor nad
po om K. Potom
a ka[d symetrick matica A 2 Knn je kongruentn s nejakou diagon lnoumati-
cou;
b ka[d symetrick biline rna forma F : V 2
! K m vo vhodnej b ze priestoru
V diagon lnu maticu;
c ka[d kvadratick forma q: V ! K m vo vhodnej b ze priestoru V diagon lnu
maticu.
D]kaz. StaW dok za len tvrdenie a, tvrdenia b, c s u[ jeho bezprostrednbmi
d]sledkami. Pop eme algoritmus, ktorb n m hovor , akR ESO a ERO treba postupne
aplikova na maticu A. V celom postupe sa pou[ vaj dva typy prav:
1 Nech i  n je najmen index takb, [e aii 6= 0. Potom postupne pre ka[dR
j  n takR, [e j 6= i a aij = aji 6= 0, pripoW tame k j-temu st pcu matice,,aij
aii
-n sobok i-teho st pca a v takto z skanej matici pripoW tame
,,aji
aii
-n so-
bok i-teho riadku k j-temuriadku. Inak povedanR, pomocou diagon lnehoprvku
aii 6= 0 vynulujeme v etky ostatnR nenulovR prvky i-teho riadku aj st pca.
2 Nech pre ka[dR i  n plat : ak aii 6= 0, tak aij = aji = 0 pre ka[dR j 6= i. Nech
k  n je najmen index takb, [e akk = 0, ale k-ty riadok nie je identicky nulovb.
Nech Salej j  n je najmen index takb, [e akj = ajk 6= 0. Potom ku k-temu
st pcu matice pripoW tame jej j-ty st pec a ku k-temu riadku takto z skanej
matice pripoW tame jej j-ty riadok. Vbsledn matica m na mieste k;k prvok
akj + ajk = 2ajk 6= 0.
apravy typu 1 maj prednos , t.j. vykon vame ich tak dlho, ako je to len mo[nR
alebo kbm nez skame diagon lnumaticu. V opaWnompr padeaplikujeme jednu pravu
typu 2. Po nej nikdy nedostaneme diagon lnu maticu a v[dy mo[no aplikova
pravu typu 1. Takto postupujeme, kbm sa to len d . Ak u[ nemo[no aplikova
[iadnu z prav 1, 2, znamen to, [e sme dospeli k diagon lnej matici. KeS[e po
ka[dej prave typu 1 pribudn aspo dva nulovR prvky mimo diagon ly a pr padnR
nenulovR prvky mimo diagon ly, ktorR pribudli v d]sledku nej alebo jednej pravy
typu 2, bud vynulovanR Sal mi pravami typu 1, celb postup nevyhnutne skonW
po koneWnom poWte krokov.
Okrem prav 1, 2 mo[no pou[i Sal ie dva typy prav, bez ktorbch sa s ce
mo[no zaob s , no s ich pomocou mo[no docieli "kraj tvar diagon lnej matice
formy pr padne matice prechodu.
3 Vbmena i-teho a j-teho st pca matice a vz pTt aj jej i-teho a j-teho riadku.
4 Vyn sobenie i-teho st pca a vz pTt aj i-teho riadku matice ubovo nbm nenu-
lovbm skal rom c 2 K diagon lny prvok aii sa tbm zmen na c2
aii.
11. BILINE RNE A KVADRATICKZ FORMY 13
Vbznam prav 3 a 4 je jasnb: 3 zodpoved z mene poradia s radn c xi $ xj
a 4 substit cii xi=c miesto xi. Pitate by si mal s m premyslie , ako zodpoved
prava typu 1 doplneniu na tvorec a prava typu 2 spolu s n slednou pravou
typu 1 substit cii s Wtu tvorcov miesto xixj. Aby sme mu u ahWli premb anie,
uprav me pr ve op sanou met dou maticu kvadratickej formy z pr kladu 11.3.1 na
s ou kongruentnb diagon lny tvar a z rove n jdeme pr slu n b zu.
11.3.6. Pr klad. Budeme upravova symetrick maticu
A =
0
B@
0 1=2 0 0
1=2 ,2 1 0
0 1 0 ,3=2
0 0 ,3=2 0
1
CA 2 R44
na s ou kongruentnb diagon lny tvar. ZaWneme pravami typu 1. Najprv vynulu-
jeme pomocou prvku a22 = ,2zvy nR nenulovRprvky druhRhost pca a riadku.Za tbm
Welom pripoW tame 1
4
-n sobok druhRho st pca k prvRmu st pcu a vz pTt vykon me
rovnak oper ciu s riadkami.PotompripoW tame 1
2
-n sobokdruhRhost pca k tretiemu
st pcu a to istR urob me s riadkami. Postupne dostaneme
A 
0
B@
1=8 0 1=4 0
0 ,2 1 0
1=4 1 0 ,3=2
0 0 ,3=2 0
1
CA 
0
B@
1=8 0 1=4 0
0 ,2 0 0
1=4 0 1=2 ,3=2
0 0 ,3=2 0
1
CA:
Vykonan m pr slu nbch ESO na jednotkovej matici dostaneme
I4 =
0
B@
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
CAo
0
B@
1 0 0 0
1=4 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
CAo
0
B@
1 0 0 0
1=4 1 1=2 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
CA;
priWom znakom o oznaWujeme st pcov ekvivalenciu mat c. Ualej vynulujeme pomocou
prvku a11 = 1
8
zvy nR nenulovR prvky prvRho st pca a riadku, t.j. odpoW tame dvo-
jn sobok prvRho st pca od tretieho a to istR urob me s riadkami. Pr slu n st pcov
oper ciu vykon me aj na matici z skanej z I4. Vyjd n m matice
A 
0
B@
1=8 0 0 0
0 ,2 0 0
0 0 0 ,3=2
0 0 ,3=2 0
1
CA a I4 o
0
B@
1 0 ,2 0
1=4 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
CA:
KeS[e pravu typu 1 nemo[no viac aplikova , pou[ijeme pravu typu 2. PripoW -
tame tvrtb st pec k tretiemu a to istR aj pre riadky. Potom u[ opT m][eme pou[i
pravu typu 1. OdpoW tame 1
2
-n sobok tretieho st pca od tvrtRho a to istR urob me
14 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
s riadkami. Po vykonan pr slu nbch ESO na matici z skanej z I4 dostaneme vbsledok
A 
0
B@
1=8 0 0 0
0 ,2 0 0
0 0 ,3 ,3=2
0 0 ,3=2 0
1
CA
0
B@
1=8 0 0 0
0 ,2 0 0
0 0 ,3 0
0 0 0 3=4
1
CA= B;
I4 o
0
B@
1 0 ,2 0
1=4 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 1
1
CAo
0
B@
1 0 ,2 1
1=4 1 0 0
0 0 1 ,1=2
0 0 1 1=2
1
CA = P:
Vid me, [e napriek pornej snahe prid [a sa maticovbch prav zodpovedaj cich
pravam kvadratickej formy z pr kladu 11.3.1, n m obe matice vy li mierne odli nR.
apln zhodu mo[no dosiahnu pr ve "kozmetickbmi pravami 3 a 4. Najprv pre-
hod me prvb a druhb prvok na diagon le. Tomu zodpoved vbmena prvRho a druhRho
st pca v matici prechodu P. Potom vyn sob me prvb diagon lny prvok skal rom
1
16
=
,,1
4
2
, tret skal rom 1
4
=
,1
2
2
a tvrtb skal rom 1 = ,12
. Tomu zodpoved
vyn sobenie prvRho st pca pr slu nej matice prechodu skal rom ,1
4
, tretieho skal rom
1
2
a tvrtRho skal rom ,1. Teda
A  B 
0
B@
,2 0 0 0
0 1=8 0 0
0 0 ,3 0
0 0 0 3=4
1
CA 
0
B@
,1=8 0 0 0
0 1=8 0 0
0 0 ,3=4 0
0 0 0 3=4
1
CA;
I4 oP o
0
B@
0 1 ,2 1
1 1=4 0 0
0 0 1 ,1=2
0 0 1 1=2
1
CAo
0
B@
0 1 ,1 ,1
,1=4 1=4 0 0
0 0 1=2 1=2
0 0 1=2 ,1=2
1
CA= Q,1:
"Na inec by asi dal prednos tvarom bez zlomkov a "s menej m nusmi
A 
0
B@
,2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 ,3 0
0 0 0 3
1
CA a I4 o
0
B@
0 4 ,2 2
1 1 0 0
0 0 1 ,1
0 0 1 1
1
CA:
Rozmyslite si, akbmi pravami ich mo[no z ska . KeS[e v ak inverznou maticou
k poslednej matici prechodu je matica
0
B@
,1=4 1 ,1=2 0
1=4 0 1=2 0
0 0 1=2 1=2
0 0 ,1=2 1=2
1
CA;
cenou za "peknb tvar diagon lnej matice formy a matice prechodu t.j. pr slu nej
b zy s zlomky a "viac m nusov v matici transform cie s radn c, Wo sa prejav vo
11. BILINE RNE A KVADRATICKZ FORMY 15
vn tri z tvoriek v algebraickom vyjadren p]vodnej formy:
qx = ,2x2
2 + x1x2 + 2x2x3 ,3x3x4
= ,1
8x1 ,4x2 + 2x32
+ 1
8x1 + 2x32
, 3
4x3 + x42
+ 3
4x3 ,x42
= ,2

,1
4x1 + x2 , 1
2x3

2
+ 2
1
4x1 + 1
2x3

2
,3
1
2x3 + 1
2x4

2
+ 3

,1
2x3 + 1
2x4

2
:
Je u[ len ot zkou vkusu, Womu d me prednos .
Pre pouWenie si v imnite, [e v pr pade, ak je matica formy v diagon lnom tvare,
mo[no st pce matice prechodu "beztrestne n sobi skal rom ,1. Vyn sobenie ska-
l rom ,12
= 1 sa toti[ na diagon le neprejav .
Celkom na z ver e te poznamenajme, [e ka[d kvadratick forma na riadkovom
vektorovom priestore Kn m tvar
qx = xAxT
pre nejak maticu A 2 Knn. Diagonaliz cia symetrickej matice takejto formy ak
charK 6= 2 funguje rovnako ako v st pcovom priestore Kn, s jedinbm rozdielom, [e
pr slu n b zu, vzh adom na ktor m q diagon lnumaticu, dostaneme pomocou zod-
povedaj cich riadkovbch prav na jednotkovej matici; presnej ie, t to b za je tvoren
riadkami takto z skanej vbslednej matice prechodu.