12. BILINE RNE A KVADRATICKZ FORMY NAD PO OM R V tejto kapitole budeme pokraWova v t diu biline rnych a kvadratickbch foriem. Obmedz me sa v ak na biline rne a kvadratickR formy na vektorovbch priestoroch nad po om re lnych W sel. Tento zvl tny pr pad je z rove najd]le[itej z h adiska aplik ci line rnej algebry v geometrii a matematickej analbze. Ako pr klad toho si v poslednom paragrafe predvedieme vyu[itie re lnych kvadratickbch foriem pri h adan a klasi k cii extrRmov a sedlovbch bodov funkci viac premennbch. PoleR m charakteristiku1,teda charR 6= 2. To n mumo[ ujeplne vyu[i v etky vbsledky predch dzaj cejkapitoly. Mno[inare lnychW sel je v ak popri trukt re po a vybaven aj rel ciou usporiadania, ktor je vhodne zladen so sW tan m a n soben m na R. Navy e, pre a 2 R plat a 0 pr ve vtedy, keS existuje nejakR b 2 R takR, [e a = b2 . Pr ve t to vlastnos n m umo[n hlb ie objasni a jemnej ie klasi kova trukt ru biline rnych a kvadratickbch foriem nad R. 12.1. Signat ra Nech A 2 Rnn je symetrick matica. Pod a vety 11.3.5 A je kongruentn s nejakou diagon lnou maticou B 2 Rnn. Potom A a B maj rovnak hodnos hA = hB, ktor sa zrejme rovn poWtu nenulovbchprvkov na diagon lematice B.Poprihodnosti s v ak i poWty kladnbch a z pornbch prvkov na diagon le matice B invariantmi, spoloWnbmi pre navz jom kongruentnR matice. Pre ubovo n diagon lnu maticu A 2 Rnn polo[me A = s+;s,;s0; kde s+ je poWet kladnbch,s, poWet z pornbcha s0 poWet nulovbchprvkov na diagon le matice A. Usporiadan trojicu A = s+;s,;s0 nazbvame signat rou matice A. V imnite si, [e tri zlo[ky signat ry A nie s nez vislR. Plat toti[ s+ + s, = hA a s+ + s, + s0 = n; to znamen , [e pri znalosti rozmeru n a hodnosti hA je signat ra jednoznaWne urWen u[ jednbm z W sel s+, s,. Z tohto d]vodu niektor autori de nuj signat ru len ako poWet s+. Teraz u[ m][eme sformulova tvrdenie o invariantnosti signat ry presnej ie. 12.1.1. Veta. Sylvestrov z kon zotrvaWnosti Nech A; B 2 Rnn s diagon lne matice. Potom A B A = B: D]kaz. Nech A B. OznaWme h = hA = hB hodnos oboch mat c a k, l poWty kladnbch diagon lnych prvkov v maticiach A resp. B. Potom A = k;h,k;n,h a B = l;h , l;n , h, tak[e staW dok za rovnos k = l. KeS[e poradie prvkov 1 2 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA na diagon le mo[no prehadzova pri zachovan vz ahu kongruencie, m][eme si dovoli predpoklada , [e na e matice maj tvar A = diaga1;:::;ak;,ak+1;:::;,ah;0;:::;0; B = diagb1;:::;bl;,bl+1;:::;,bh;0;:::;0; kde ai 0, bi 0 pre i h. KeS[e A B, existuje regul rna matica P 2 Rnn tak , [e B = PT AP. Jej st pce tvoria b zu = v1;:::;vn vektorovRho priestoru Rn. Potom A ja maticou kvadratickej formy qx = xT Ax na Rn v b ze ", zatia Wo B je jej maticou v b ze pozri vetu 11.3.3. OznaWme S = e1;:::;ek ; T = vl+1;:::;vn line rne podpriestory v Rn. Pre ka[db nenulovb vektor x = x1e1 + ::: + xkek 2 S plat qx = xT Ax = a1x2 1 + ::: + akx2 k 0: Podobne, pre ka[db vektor y = yl+1vl+1 + ::: + ynvn 2 T plat qy = yT B y = ,bl+1y2 l+1 ,::: ,bhy2 h 0: Z toho vyplbva, [e S T = f0g, teda dimS + T = dimS + dimT = k + n ,l: KeS[e S + T Rn, zrejme dimS + T n. Z nerovnosti k + n , l n okam[ite vyplbva k l. Zo symetrie vz ahu kongruencie dost vame tie[ l k. Pr ve dok zan veta umo[ uje korektne roz ri de n ciu signat ry z diagon lnych mat c na v etky symetrickR matice, a taktie[ na symetrickR biline rne a kvadratickR formy. Signat rou symetrickej matice A 2 Rnn, oznaWenie A, rozumieme signat ru ubovo nej s ou kongruentnej diagon lnej matice B 2 Rnn. Signat rou symetrickej biline rnej formy F : V2 ! R na koneWnorozmernom re lnom vektorovom priestore V, oznaWenie F, rozumiemesignat rujej matice vzh adomna ubovo n b zu vo V . KoneWne signat rou kvadratickej formy q: V ! R na koneWnorozmernom vektorovom priestore nad R, oznaWenie q, rozumieme signat ru jej pol rnej formy. V imnite si, [e pre symetrick bilne rnu aj pre kvadratick formu sa pr slu n sig- nat ra rovn signat re nejakej jej diagon lnej matice. Sylvestrov z kon zotrvaWnosti spolu s vetou 11.3.4 n m zaruWuj , [e ubovo nRdve diagon lne matice zodpovedaj ce, danej forme vzh adom na r]zne b zy, v ktorbch m t to forma diagon lnu maticu, maj rovnak signat ru. Ka[d re lnu symetrick maticu A 2 Rnn mo[no upravi na s ou kongruentn diagon lnu maticu. T zasa mo[no zmenou poradia prvkov na diagon le upravi na s ou kongruentn maticu tvaru diagd1;:::;dk;,dk+1;:::;,dk+l;0;:::;0| z m kr t ; kde A = k;l;m a di 0 pre i k + l. Ak teraz pre ka[dR i k + l vyn sobime i-ty st pec aj riadok skal rom 1= pdi, vyjde n m matica v blokovo diagon lnom tvare A diagIk;,Il;0m;m: 12. BILINE RNE A KVADRATICKZ FORMY NAD PO OM R 3 Spojen m tejto vahy so Sylvestrovbm z konom dost vame 12.1.2. Veta. Nech A; B 2 Rnn s ubovo nR symetrickR matice. Potom A B , A = B: 12.1.3. D]sledok. Nech V je vektorovb priestor nad R koneWnej dimenzie n. Potom a ka[d symetrick biline rna forma F : V2 ! R m vhodnej b ze priestoru V blokovo diagon lnu maticu tvaru F = diagIk;,Il;0m;m; kde F = k;l;m; b ka[d kvadratick forma q: V ! R m vo vhodnej b ze priestoru V diago- n lny tvar qx = x2 1 + :::+ x2 k ,x2 k+1 ,::: ,x2 k+l; kde q = k;l;n ,k ,l a x = x1;:::;xnT. Pre porovnanie si e te uvedieme p r pozn mok o symetrickbch biline rnych a kvadratickbch form ch na vektorovbch priestoroch nad po om C v etkbch komplex- nbch W sel a po om Q v etkbch racion lnych W sel. KeS[e charC = charQ = 1 6= 2, ka[d symetrick maticu A typu n n nad jednbm i druhbm po om mo[no upravi na s ou kongruentn diagon lnu maticu A diagd1;:::;dh;0;:::;0; kde h = hA a dj 6= 0 pre j h. V komplexnom pr pade si ka[db z prvkov dj m][eme vyjadri v goniometrickom tvare dj = rjcos j + isin j; kde rj = jdjj 0 a 0 j 2. Ak pre ka[dR j h vyn sob me j-ty st pec i riadok skal rom cj = 1 prj cos j 2 ,isin j 2 ; pre ktorb plat c2 jdj = 1, dostaneme A diagIh;0m;m; kde m = n,h. Z toho vid me, [e nad po om C sa niW podobnR rozdeleniu nenulovbch prvkov na kladnR a z pornR nekon v etky nenulovR prvky na diagon le s rovno- cennR a mo[no ich nahradi jednotkou. Jedinbm invariantom, ktorb jednoznaWne urWuje kongruenciu symetrickbch mat c ako aj kanonickb tvar mat c symetrickbch biline rnych i kvadratickbch foriem nad C , je ich hodnos , ktor tak plne preber lohu signat ry v re lnom pr pade. Nasleduj ce tvrdenie je upresnen m a zhrnut m na ich vah. 4 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA 12.1.4. Tvrdenie. a Nech A; B 2 C nn s symetrickR matice. Potom A B pr ve vtedy, keS hA = hB. b Nech V je koneWnorozmernb vektorovb priestor nad C , a F : V 2 ! C je symet- rick biline rna forma. Potom F m vzh adom na nejak b zu priestoru V maticu v blokovo diagon lnom tvare F = diagIh;0m;m, kde h = hF a m = dimV ,h. Kbm situ cia nad C je podstatne jednoduch ia ne[ nad R a dok zali sme ju plne pop sa , nad Q si tak ahko poradi nevieme. Z kladnb problRm tkvie v tom, [e nie v etky kladnR racion lne W sla maj racion lne druhR odmocniny. Tak u[ pre matice rozmeru 1 1 m me napr. 2 6 1 v d]sledku iracionality W sla p 2. Aby to v ak nebolo takR jednoduchR, v rozmere 2 2 napr. plat 2 0 0 2 1 0 0 1 6 2 0 0 1 : PresvedWte sa o tom! SystematickRmu t diu kongruencie racion lnychsymetrickbch mat c, ktorR u[ nie je Wiste z le[itos ou line rnej algebry ale aj te rie W sel, sa v tomto kurze viac venova nebudeme. 12.2. De nitnos Nech V je vektorovb priestor nad po om R. Kvadratick forma q: V ! R sa nazbva a kladne de nitn , ak qx 0 pre ka[dR 0 6= x 2 V ; b kladne semide nitn , ak qx 0 pre ka[dR x 2 V; c z porne de nitn , ak qx 0 pre ka[dR 0 6= x 2 V; d z porne semide nitn , ak qx 0 pre ka[dR x 2 V; e inde nitn , ak existuj x;y 2 V takR, [e qx 0 qy. Rovnak klasi k ciu zav dzame aj pre symetrickR biline rne formy F : V 2 ! R F m pr slu n vlastnos de nitnosti pr ve vtedy, keS ou indukovan kvadratick forma qx = Fx;x, m t to vlastnos . Podobne, symetrick matica A 2 Rnn m pr slu n vlastnos de nitnosti pr ve vtedy, keS t to vlastnos m kvadratick forma qx = xT Ax na priestore Rn. Na zaWiatok zaznamen me nieko ko jednoduchbch pozorovan : ab, cd, no ka[d z podmienok a, c, e vyluWuje zvy nR dve. Dokonca e vyluWuje ka[d z podmienok b, d. Podmienky b, d sa vz jomne nevyluWuj , no jedin kvadra- tick forma,ktor je z rove kladne aj z porne semide nitn ,je forma identicky rovn nule na V . V dimenzii n = 1 je to v ak jedin kladne alebo z porne semide nitn forma. V dimenzii n = 1 takisto neexistuj nijakR inde nitnR formy. Nasleduj ceoWividnR tvrdenie poskytuje plnbpopisde nitnostiaj regularitykvad- ratickbch foriem a z rove aj symetrickbch biline rnychforiem a symetrickbchmat c v jazyku ich signat ry. 12.2.1.Tvrdenie. Nech V je n-rozmerbvektorovb priestor nad po om R a q: V ! R je kvadratick forma so signat rou q = s+;s,;s0. Potom a q je kladne de nitn pr ve vtedy, keS q = n;0;0; b q je kladne semide nitn pr ve vtedy, keS q = hq;0;n ,hq; c q je z porne de nitn pr ve vtedy, keS q = 0;n;0; d q je z porne semide nitn pr ve vtedy, keS q = 0;hq;n ,hq; e q je inde nitn pr ve vtedy, keS s+ 1 a s, 1; f q je regul rna pr ve vtedy, keS s0 = 0. 12. BILINE RNE A KVADRATICKZ FORMY NAD PO OM R 5 Pas a predch dzj ceho tvrdenia v spojen s d]sledkom 12.1.3 okam[ite d va 12.2.2. D]sledok. Symetrick matica A 2 Rnn je kladne de nitn pr ve vtedy, keS existuje regul rna matica P 2 Rnn tak , [e A = PT P: Tvrdenie 12.2.1 n m spolu s algoritmom z d]kazu vety 11.3.5 pr padne Lagrangeo- vou met dou d va priamy n vod na zistenie charakteru de nitnosti nejakej formy Wi matice. Tak napr klad kvadratick forma z pr kladov 11.3.1, 11.3.6 m signat ru 2;2;0, teda je inde nitn .Kvadratick forma z pr kladu11.3.2 m signat ru2;0;0, Wi[e je kladne de nitn . Niekedy v ak m][e by u[itoWnR, ak dok [eme urWi charakter de nitnosti nejakej symetrickej matice a tbm p dom aj ou urWenej kvadratickej Wi biline rnej formy priamo, t.j. bez jej predch dzaj cej pravy na s ou kongruentnb diagon lny tvar. Za tbm Welom najprv zavedieme ist modi k ciu prav typu 1 z d]kazu vety 11.3.5 nazveme ich pravami typu 1+ Nech i n je najmen index takb, [e aii 6= 0. Potom postupne pre ka[dR j n takR, [e j i a aij = aji 6= 0, pripoW tame k j-temu st pcu matice, ,aij aii -n sobok i-teho st pca a v takto z skanej matici pripoW tame , ,aji aii -n so- bok i-teho riadku k j-temuriadku. Inak povedanR, pomocou diagon lnehoprvku aii 6= 0 vynulujeme v etky nenulovR prvky i-teho riadku aj st pca, ktorR le[ia napravo resp. nadol od prvku aii. Uvedomme si, [e matica prechodu, ktor vznikne vykonan m ESO, zodpovedaj cich nejakbm prav m typu 1+ na jednotkovej matici, je v[dy horn trojuholn kov matica s jednotkami na diagon le. Navy e, s Win dvoch mat c takRhoto tvaru m tie[ takbto tvar presvedWte sa o tom. Ak A = aijnn je matica nad ubovo nbm po om K a 1 k n, tak pre potreby zvy ku tohto paragrafu Ak oznaWuje maticu tvoren avbm hornbm rohom rozmeru k k matice A. Teda A1 = a11; A2 = a11 a12 a21 a22 ; :::; An = A: 12.2.3. Veta. Jacobi Nech K je ubovo nR pole a 0 6= A 2 Knn je symetrick matica hodnosti h. Potom nasleduj ce podmienky s ekvivalentnR: i matica Ah je regul rna a maticu A mo[no upravi na s ou kongruentnb dia- gon lny tvar vbluWne pomocou prav typu 1+ ; ii jAkj 6= 0 pre ka[dR 1 k h, a plat A diag jA1j; jA2j jA1j;::: ; jAhj jAh,1j;0;:::;0 ; iii jAkj 6= 0 pre ka[dR 1 k h; iv jAkj 6= 0 pre ka[dR 1 k h a maticu A mo[no upravi na s ou kongruentnb diagon lny tvar diag jA1j; jA2j jA1j;::: ; jAhj jAh,1j;0;:::;0 vbluWne pomocou prav typu 1+ . 6 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA D]kaz. iii: Nech plat i. Pod a pozn mky, predch dzaj cej dokazovan vetu existuje horn trojuholn kov matica P 2 Knn s jednotkami na diagon le tak , [e matica B = PT AP je v diagon lnom tvare. Zrejme i ka[d z mat c Pk, 1 k n, tvoren avbm hornbm rohom rozmeru kk matice P, je v takomto tvare. OznaWme B = diagb1;:::;bn. Prenech vame Witate ovi, aby sa s m presvedWil, [e potom pre ka[dR k n plat Bk = diagb1;:::;bk = PT k Ak Pk: Determinant ka[dej z mat c Pk je s Win jej diagon lnych prvkov, Wi[e jPkj = 1. Preto jBkj = b1 :::bk = jAkj pre ka[dR k n. KeS[e matica Ah je regul rna, plat jAhj = jBhj = b1 :::bh 6= 0; teda bk 6= 0 pre v etky k h. Z jednotlivbch rovnost jA1j = b1, jA2j = b1b2, ::: , jAhj = b1b2 :::bh u[ priamo vyplbva nenulovos v etkbch minorov jAkj pre k h, ako aj rovnosti b1 = jA1j, b2 = jA2j=jA1j, ::: , bh = jAhj=jAh,1j. KeS[e hB = hA = h, pre h k n plat bk = 0 . iiiii plat trivi lne. iiiiv: Nech plat iii. Dok [eme, [e maticu A mo[no upravi na diagon lny tvar A diag jA1j; jA2j jA1j;::: ; jAhj jAh,1j;0;:::;0 len pomocou prav typu 1+ . Nako ko plat a11 = jA1j 6= 0, pomocou a11 mo[no vynulova v etky ostatnR prvky prvRho riadku aj st pca matice A.KeS[e le[ia napravo resp. nadol od a11, ide o pravu typu 1+ . Dostaneme tak maticu v blokovo diagon l- nom tvare A diag a11;C1 ; kde C1 = , c1 ij je matica rozmeru n,1n,1 nad K. Vzh adom na charakter vykonanbch st pcovbch a riadkovbch prav plat A2 = a11 a12 a21 a22 a11 0 0 c1 11 ; a taktie[ jA2j = a11c1 11 , Wi[e c1 11 = jA2j a11 = jA2j jA1j 6= 0: Pomocou prvku c1 11 6= 0 mo[no teraz vynulova v etky ostatnR prvky prvRho riad- ku aj st pca matice C1 . OpT ide o pravu typu 1+ na matici diag a11;C1 . Dostaneme tak maticu v blokovo diagon lnom tvare A diag , a11;C1 diag jA1j; jA2j jA1j;C2 ; 12. BILINE RNE A KVADRATICKZ FORMY NAD PO OM R 7 kde C2 = , c2 ij 2 Kn,2n,2 . Rovnakou vahou ako v predo lom pr pade dospe- jeme k z veru, [e c2 11 = jA3j jA2j 6= 0: Takto m][eme pokraWova tak dlho, a[ kbm nedospejeme k blokovo diagon lnemu tvaru A diag jA1j; jA2j jA1j;::: ; jAhj jAh,1j;Ch ; kde Ch 2 Kn,hn,h . Vzh adom nato, [e obe matice maj hodnos h, pokia h n matica Ch je identicky nulov . ivi je opT triv lne. 12.2.4. Veta. Sylvestrovo kritRrium Nech A 2 Rnn je symetrick matica. Potom a A je kladne de nitn pr ve vtedy, keS jAkj 0 pre v etky 1 k n; b A je z porne de nitn pr ve vtedy, keS ,1kjAkj 0 pre v etky 1 k n. D]kaz. a Nech A je kladne de nitn . Pod a d]sledku 12.2.2 existuje regul rna ma- tica P 2 Rnn, tak , [e A = PT P. KeS[e jPj 6= 0, odtia u[ priamo vyplbva jAj = jPTjjPj = jPj2 0: Pre ka[dR 1 k n oznaWme Sk = e1;:::;ek line rny podpriestor v Rn genero- vanb prvbmi k vektormi kanonickej b zy " a qk = q Sk z [enie kvadratickej formy qx = xT Ax na podpriestor Sk. Zrejme ka[dR qk je kladne de nitn kvadratick forma, ktor m v b ze e1;:::;ek podpriestoru Sk maticu Ak. Tak[e ka[d z mat c Ak, 1 k n, je kladne de nitn . Pod a prvej Wasti d]kazu z toho vyplbva jAkj 0. Nech naopak v etky minory jAkj, 1 k n, s kladnR. Potom hA = n a pod a Jacobiho vety plat A diag jA1j; jA2j jA1j;::: ; jAnj jAn,1j : KeS[e v etky diagon lne prvky v poslednej matici s kladnR, A je kladne de nitn . b vyplbva z a na z klade faktu, [e A je z porne de nitn pr ve vtedy, keS ,A je kladne de nitn , a rovnosti j,Akj = ,1kjAkj splnenej pre v etky k n. 12.3. ExtrRmy funkci viac premennbch V tomto paragrafe si predvedieme, ako n m Werstvo nadobunutR poznatky o kvad- ratickbch form ch m][u pom]c pri t diu funkci viac premennbch, presnej ie pri h adan extrRmov a sedlovbch bodov takbchto funkci a v eobecnej ie pri klasi k cii ich stacion rnych bodov. Najprv si zopakujme, ako si poW name v pr pade funkcie jednej premennej. Pre jednoduchos sa obmedz me len na "dostatoWne hladkR funkcie. Re lnu funkciu jednej premennej f: A ! R de novan na nejakej otvorenej mno- [ine1 A R nazveme pre Wely tohto paragrafu dostatoWne hladkou, ak f m na celej mno[ine A koneWn a spojit prv i druh deriv ciu. Z matematickej analbzy 1Mno[ina A Rsa nazbva otvoren , ak pre ka[dR a 2 A existuje " 0 takR, [e celb otvorenb interval a , ";a +" je obsiahnutb v mno[ine A. 8 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA si pripome me si, [e pre tak to funkciu f m me v ka[dom bode a 2 A k dispoz cii Taylorov rozvoj fx = fa + f0ax ,a + 1 2f00ax ,a2 + xx ,a2 pre x z istRho okolia2 N A bodu a, priWom funkcia : N ! R je spojit a vyhovuje podmienke a = 0, teda absol tna hodnota zvy ku xx , a2 je v dos malom okol M N bodu a v porovnan s ostatnbmi Wlenmi uvedenRho rozvoja zanedbate ne mal . Pre x z tohto malRho okolia bodu a teda m][eme p sa fx fa + f0ax ,a + 1 2f00ax ,a2 Ak f0a 6= 0, tak line rny Wlen f0ax , a men v bode a znamienko a v dosta- toWne malom okol bodu a preva[uje nad kvadratickbm Wlenom 1 2 f00ax,a2 . Preto dostatoWne hladk funkcia dokonca u[ funkcia s koneWnou a spojitou prvou deriv - ciou m][e nadob da na otvorenej mno[ine extrRmy len bodoch a, pre ktorR plat f0a = 0; hovor me im stacion rne alebo tie[ kritickR body funkcie f. Ak a 2 A je stacion rny bod, tak uvedenb Taylorov rozvoj m v tomto bode tvar fx = fa + 1 2f00ax ,a2 + xx ,a2 fa + 1 2f00ax ,a2 pre x 2 M. Ak f00a 0, tak fa fx pre v etky x 6= a z nejakRho okolia L M bodu a, teda f m v bode a ostrR lok lne minimum. Ak f00a 0, tak fa fx pre v etky x 6= a z nejakRho okolia L M bodu a, teda f m v bode a ostrR lok lne maximum. Ak f00a = 0, tak v bode a sa mo[e dia v podstate "Woko vek , presnej ie, len na z klade prvej a druhej deriv cie nevieme urWi , Wi f m v bode a extrRm, ani charakter pr padnRho extrRmu. Ak f m aj deriv cie vy ch r dov, ich znalos n m m][e pom]c . No tbm sa u[ zaobera nebudeme. Podobne si budeme poW na aj pri sk man funkci viac premennbch. Namiesto "obyWajnej deriv cie v ak mus me uva[ova deriv cie pod a r]znych premennbch funkcie f hovor me im parci lne deriv cie. Pre Witate a, ktorb sa s parci lnymi de- riv ciami dosia nestretol, poznamen vame, [e parci lnu deriv ciu @f=@xi funkcie f pod a premennej xi dostaneme tak, [e f jednoducho derivujeme pod a xi ako funkciu jednej premennej, priWom v etky ostatnR premennR pova[ujeme za kon tanty. Druh parci lnu deriv ciu funkcie f, najprv pod a premennej xj a potom pod a premennej xi, znaW me @2 f=@xi@xj. Namiesto @2 f=@xi@xi p eme @2 f=@x2 i . Pre jednoduchos sa opT obmedz me len na "dostatoWne hladkR funkcie. Re lnu funkciu n premennbch de novan na otvorenej mno[ine3 A Rn nazveme pre Wely tohto paragrafu dostatoWne hladkou, ak f m na celej mno[ine A koneWnR a spojitR v etky parci lne deriv cie prvRho i druhRho r du. 2Mno[ina N Rsa nazbva okol m bodu a 2 R, ak existuje " 0 takR, [e a ,";a + " N. 3Mno[ina A Rn sa nazbva otvoren , ak pre ka[dR a 2 A existuje " 0 takR, [e cel otvoren gu a Ba;" = fx 2 Rn; x2 1 + :::+ x2 n "2g je obsiahnut v mno[ine A. 12. BILINE RNE A KVADRATICKZ FORMY NAD PO OM R 9 Nech teda f: A ! R je dostatoWne hladk funkcia de novan na otvorenej mno[ine A Rn a a 2 A. Prvou tot lnou deriv ciou alebo tie[ gradientom funkcie f v bode a nazbvame vektor f0a = gradfa = @fa @x1 ;:::; @fa @xn ; ktorRho zlo[ky tvoria prvR parci lne deriv cie funkcie f v bode a. Druhou tot lnou deriv ciou funkcie f v bode a nazbvame maticu f00a = @2 fa @xi@xj nn ; tvoren v etkbmi druhbmi parci lnymi deriv ciami funkcie f v bode a. V diferenci l- nom poWte funkci viac premennbch sa dokazuje, [e zo spojitosti druhbch parci lnych deriv ci vyplbva @2 fx @xi@xj = @2 fx @xj@xi pre v etky i;j n a x 2 A. To znamen , [e druh deriv cia f00a dostatoWne hladkej funkcie f je symetrick matica, teda je maticou kvadratickej formy qv = v fa vT = v @2 fa @xi@xj vT na riadkovom vektorovom priestore Rn vzh adom na kanonick b zu "n . Uk [eme si, [e pr ve signat ra druhej deriv cie f00a rozhoduj cim a v pr pade jej regularity dokonca jednoznaWnbm sp]sobom urWuje chovanie funkcie v jej kritickbch bodoch. Podobne ako v pr pade jednej premennej, aj dostatoWne hladk funkciu viac pre- mennbch mo[no v ka[dom bode4 a = a1;:::;an 2 A p sa v tvare Taylorovho rozvoja fx = fa+f0ax,aT + 1 2 x,af00ax,aT +x,axx,aT pre x = x1;:::;xn z istRho okolia5 N A bodu a, kde x = , ijx nn je matica, ktorej zlo[ky tvoria hodnoty spojitbch funkci ij : N ! R v bode x. Tieto funkcie navy e vyhovuj podmienke ija = 0, teda absol tna hodnota zvy ku x,axx,aT je v dos malom okol M N bodu a v porovnan s ostatnbmi Wlenmi uvedenRho rozvoja zanedbate ne mal . Pre x z tohto malRho okolia bodu a teda m][eme p sa fx fa + f0a x ,aT + 1 2 x ,af00a x ,aT: Ak @fa @xi 6= 0, tak zlo[ka @fa @xi xi , ai line rneho Wlena f0a x , aT men v bode a znamienko a v dostatoWne malom okol bodu a takRto zlo[ky preva[uj nad 4V imnite si, [e, tak ako je to zvykom v matematickej analbze, prvky priestoru Rn zapisujeme ako riadkovR vektory. 5Mno[ina N Rn sa nazbva okol m bodu a 2 R, ak existuje " 0 takR, [e Ba;" N. 10 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA kvadratickbm Wlenom 1 2 x , a f00a x , aT. Preto dostatoWne hladk funkcia dokonca u[ funkcia s koneWnbmi a spojitbmi prvbmi parci lnymi deriv ciami m][e na otvorenej mno[ine nadob da extrRmy len v bodoch a, pre ktorR plat f0a = 0, t.j. v etky parci lne deriv cie @f=@xi v bode a sa rovnaj nule. Takbmto bodom hovor me stacion rne alebo tie[ kritickR body funkcie f. Ak a 2 A je stacion rny bod, tak uvedenb Taylorov rozvoj m v tomto bode tvar fx = fa + 1 2 x ,af00a x ,aT + x ,axx ,aT fa + 1 2 x ,af00a x ,aT pre v etky x z okolia M bodu a. Ak matica f00a je kladne de nitn , tak pre v etky x 6= az nejakRho okolia L M bodu a plat x,af00ax,aT 0 a fa fx, teda f m v bode a ostrR lok lne minimum. Ak matica f00a je z porne de nitn , tak pre v etky x 6= a z nejakRho okolia L M bodu a plat x,af00ax ,aT 0 a fa fx, teda f m v bode a ostrR lok lne maximum. Ak matica f00a je inde nitn , tak existuj vektory u, v a W slo " 0 takR, [e uf00auT 0 vfavT , obe seWky X = fa+tu; jtj "g, Y = fa+tv; jtj "g s celR obsiahnutR v okol M a pre v etky body x 2 X, y 2 Y r]zne od a plat fx fa fy. Hovor me, [e f m v bode a sedlo. Tento pr pad nem][e nasta pre funkcie jednej premennej. Zrejme v sedlovom bode funkcia nenadob da extrRm. Ak matica f00a je nenulov ,singul rnaa semide nitn ,tak n Witate asi oWak va, [e f v bode a nadobudne neostrR lok lne minimum pre kladne semide nitn maticu alebo neostrR lok lne maximum pre z porne semide nitn maticu. No nie v[dy je tomu tak. Podobne ako v pr pade nulovej druhej deriv cie u funkci jednej premennej, ak matica f00a je singul rnaa kladne alebo z porne semide nitn ,tak bez oh adu nato, Wi je nulov alebo nie, v bode a sa m][e udia prakticky "Woko vek . Funkcia v tomto bode m][e, ale nemus ma extrRm alebo sedlo. NieWo v ak predsa len m][eme poveda : ak uveden matica je nenulov a kladne semide nitn , tak f nem v bode a ostrR ani neostrR lok lne maximum; ak je nenulov a z porne semide nitn , tak f nem v bode a ostrR ani neostrR lok lne minimum. Ak f m aj deriv cie vy ch r dov, tak na ich z klade Wasto m][eme poveda o nieWo viac. Tieto ot zky v ak presahuj r mec n ho vodnRho kurzu line rnej algebry a geometrie. Pr padnbch z ujemcov o ich podrobnej ie t diumodkazujeme na nejak uWebnicu diferenci lneho poWtu funkci viac premennbch. 12.3.1. Pr klad. KopWeky a jamky Presk mame funkciu f : R2 ! R, dan pred- pisom fx;y = sin x 2 sin y 2 . Jej prvR parci lne deriv cie s @f @x = 2 cos x 2 sin y 2 ; @f @y = 2 sin x 2 cos y 2 : KeS[e sinusa kosinusnejakRko W sla sa s Wasne nem][u rovna nule,x;y je stacion r- nym bodom funkcie f pr ve vtedy, keS cos x 2 = cos y 2 = 0 alebo sin x 2 = sin y 2 = 0. 12. BILINE RNE A KVADRATICKZ FORMY NAD PO OM R 11 z = fx;y = sin x 2 sin y 2 Teda stacion rnymi bodmi funkcie f s pr ve v etky mre[ovR body roviny tvaru m;n, kde m, n s celR W sla rovnakej parity t.j. m ,n je p rne W slo. VypoW tame i druhR parci lne deriv cie @2 f @x2 = @2 f @y2 = ,2 4 sin x 2 sin y 2 ; @2 f @x@y = @2 f @y@x = 2 4 cos x 2 cos y 2 : Vid me, [e funkcia f je dostatoWne hladk na celej rovine R2 . Jej druh deriv cia v stacion rnych bodoch m tvar f00m;n = 2 4 ,sin m 2 sin n 2 cos m 2 cos n 2 cos m 2 cos n 2 ,sin m 2 sin n 2 : Pre m = 2k, n = 2l obe p rne m me f00m;n = 2 4 0 ,1m+n 2 ,1m+n 2 0 1 0 0 ,1 : V ka[dom z tbchto bodoch je matica inde nitn , teda funkcia f m v bodoch tvaru 2k;2l, kde k;l 2 Z, sedl . Hodnota funkcie vo v etkbch sedlovbch bodoch je 0. Pre m = 2k +1, n = 2l + 1 obe nep rne m me f00m;n = 2 4 ,1m+n 2 0 0 ,1m+n 2 ,1k+l+1 1 0 0 1 : T to matica je z porne de nitn , ak k+l je p rne W slo, a kladne de nitn pre nep rne k +l. Funkcia f teda nadob da ostrR lok lne maxim v bodoch 2k +1;2l +1, kde k, l s celR W sla a k + l je p rne. Hodnota v etkbch tbchto max m je 1. V bodoch 2k + 1;2l + 1, kde k;l 2 Za k + l je nep rne W slo, nadob da f ostrR lok lne minim , ktorbch hodnota je v[dy ,1. Na obr zku je graf funkcie f na Wasti de niWnRho oboru h0;4ih0;4i. Vidno na om maxim v bodoch 1;1, 3;3, minim v bodoch 1;3, 3;1 a sedlo v bode 2;2. 12 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA Nako ko v etky typy kritickbch bodov, ktorbch charakter mo[no urWi na z klade druhej deriv cie funkcie, sa n m podarilo ilustrova na jedinom pr klade, v Sal ch uk [kach sa zameriame na funkcie so singul rnymi semide nitnbmi druhbmi deri- v ciami v kritickbch bodoch. KeS[e v takom pr pade n m toho na a te ria mnoho nepovie, zvol me si funkcie, pri ktorbch n m charakter kritickbch bodov bude jasnb z n zoru, ako napokon aj v prvom pr klade. Najprv jeden pr klad, kde v etko dopadne pod a oWak vania. 12.3.2. Pr klad. Vlnitb plech Je dan funkcia g: R2 ! R, kde gx;y = cosx. Jej prvR parci lne deriv cie s @g @x = ,sinx; @g @y = 0: Stacion rne body funkcie g teda vytv raj systRm ekvidistantnbch rovnobe[nbchpria- mok s rovnicami x = k, kde k je ubovo nR celR W slo. DruhR parci lne deriv cie funkcie g s @2 g @x2 = ,2 cosx; @2 g @y2 = @2 g @x@y = @2 g @y@x = 0; teda funkcia g je dostatoWne hladk . Druh deriv cia v stacion rnych bodoch teda vyzer takto g00k;y = ,2 cosk 0 0 0 = ,2 ,1k 0 0 0 : Pre k p rne dost vame g00k;y ,1 0 0 0 ; Wo je z porne semide nitn singul rna matica. Podobne, pre k nep rne m me g00k;y 1 0 0 0 ; Wo je kladne semide nitn singul rna matica. V takom pr pade n m na a te ria neposkytuje nijakR z very. Z grafu funkcie na Wasti h,3 2 ; 3 2 ih0;2i de niWnRho oboru a z periodiWnosti funkcie cosx v ak mo[no us di , [e pre p rne k 2 Znadob da funkcia g na priamkach x = k neostrR lok lne maximum hodnoty 1 a pre nep rne k 2 Znadob da g na priamkach x = k neostrR lok lne minimum hodnoty ,1. z = gx;y = cosx 1 12. BILINE RNE A KVADRATICKZ FORMY NAD PO OM R 13 Na z ver si predvedieme, Wo v etko sa v kritickom bode m][e e te sta . 12.3.3. Pr klad. Kreslo, sie a sedlo Uva[ujme re lne funkcie dvoch premennbch h1x;y = x2 +y3 ; h2x;y = x2 +y4 ; h3x;y = x2 ,y4 : ahko mo[no nahliadnu , [e v etky maj jedinb a ten istb stacion rny bod 0;0, v ktorom nadob daj t ist hodnotu 0. Taktie[ maj v tomto bode rovnak druh deriv ciu h00 1 0;0 = h00 2 0;0 = h00 3 0;0 = 2 0 0 0 ; presvedWte sa o tom sami. Tak[e uveden matica je nenulov , singul rna a kladne semide nitn . Z obr zkov grafov funkci v istbch okoliach bodu 0;0 v ak vidno, [e 1 h1 nem v bode 0;0 extrRm ani sedlo v tomto bode sa toti[ pret na krivka z = x2 , y = 0, pre ktor , je 0;0 bodom ostrRho lok lneho minima, s krivkou x = 0, z = y3 , ktor m v bode 0;0 in exnb bod; 2 h2 m v bode 0;0 ostrR lok lne minimum; 3 h3 m v bode 0;0 sedlo. z = h1x;y = x2 + y3 z = h2x;y = x2 + y4 z = h3x;y = x2 ,y4 8 z 1