15. OBJEM, ORIENT CIA A VEKTOROV SaPIN
Na e zavedenie determinantov v kapitole 10 sme motivovali vahami o n-rozmernom
objeme a orientovanom objeme v priestore Rn, a de n ciu determinantu sme potom
dostali prenesen m form lnych vlastnost orientovanRho objemu do st pcovbch vek-
torovbch priestorov Kn nad ubovo nbm po om K. Pr sne vzatR v ak vo vektorovbch
priestoroch, v ktorbch nevieme poveda , ani Wo je to d [ka vektora, ned va pojem
objemu ani orientovanRho objemu [iadny zmysel. Na druhej strane, vo vektorovom
priestore V so skal rnym s Winom mo[no pre ka[dR kladnR celR W slo k  dimV
zmysluplne de nova k-rozmernb objem ako aj orientovanb k-rozmernb objem k-
rozmernRho rovnobe[nostena
fa1u1 + + akuk; a1;:::;ak 2 h0;1ig
vytvorenRho vektormi u1;:::;uk 2 V o skutoWne k-rozmernb rovnobe[nosten ide
samozrejme len vtedy, keS vektory u1;:::;uk s line rne nez vislR, inak je to tvar
ni[ ej dimenzie. Pr ve de n cia takbchto objemov a vyjasnenie ich s visu s deter-
minantmi ako i s tzv. vektorovbm s Winom bude n pl ou tejto kapitoly. Objemami
zlo[itej ch tvarov sa tu zaobera nebudeme ich t dium je predmetom te rie miery
a integr lu, ktor vyu[ va viacerR podstatne hlb ie my lienky a n roWnej ie met dy,
ne[ s tie, s ktorbmi sme sa doposia zozn mili.
15.1. Objem
Pripome me si, ako poW tame plo nb obsah t.j. dvojrozmernb objem vol2u;v
rovnobe[n ka vytvorenRho vektormi u, v v R2
alebo v R3
oznaWenie vol je z an-
glickRho volume. Jeden z vektorov, dajme tomu v, rozlo[ me na s Wet dvoch zlo[iek
v = vS + v ,vS;
kde vS je kolmb priemet vektora v do podpriestoru S = u a zlo[ka v,vS je kolm
na u. Pr slu nb obsah potom dostaneme ako s Win d [ok
vol2u;v = kukkv ,vSk:
Zo zhodnosti trojuholn kov OBB0 a ACC0 toti[ vyplbva, [e rovnobe[n k OACB a
obd [nik OAC0B0 maj rovnakb obsah. Na obr zku vynech vame pky vektorov.
u
vv ,vS
O A
B CC0B0
1
2 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Podobne,trojrozmernbobjem rovnobe[nostenavytvorenRho vektormi u;v;w 2 R3
dostaneme ako s Win
vol3u;v;w = vol2u;vkw ,wT k
plo nRho obsahu vol2u;v a d [ky kw,wT k zlo[ky vektora w kolmej na podpriestor
T = u;v .
Pod a tejto schRmy budeme pokraWova aj do vy ch dimenzi . Inak povedanR, k-
rozmernb objem rovnobe[nostena vytvorenRho k vektormi z vektorovRho priestoru so
skal rnym s Winom V budeme de nova ako funkciu volk : Vk ! R rekurziou cez k.
Pre k = 1, u 2 V kladieme
vol1u = kuk;
t.j. jednorozmernb objem je jednoducho d [ka vektora. Ak k 1 a k ,1-rozmernb
objem volk,1 u[ m me de novanb, tak pre u1;:::;uk,1;uk 2 V polo[ me
volku1;:::;uk,1;uk = volk,1u1;:::;uk,1kuk ,prSukk;
kde prSuk je kolmb priemet vektora uk do podpriestoru S = u1;:::;uk,1 .
D]kaz nasleduj ceho jednoduchRho tvrdenia prenech vame ako cviWenie Witate ovi.
15.1.1. Tvrdenie. Nech V je vektorovb priestor so skal rnym s Winom a k  1.
Potom pre ubovo nR vektory u1;:::;uk 2 V plat :
a volku1;:::;uk  0, priWom rovnos nastane pr ve vtedy, keS u1;:::;uk s
line rne z vislR;
b u1;:::;uk s ortogon lne pr ve vtedy, keS volku1;:::;uk = ku1k:::kukk;
c ak u1;:::;uk s line rne nez vislR, tak
volku1;:::;uk = volkv1;:::;vk = kv1k:::kvkk;
kde vektory v1;:::;vk s z skanR z vektorov u1;:::;uk Gramovbm-Schmidto-
vbm ortogonalizaWnbm procesom pod a vety 13.4.5.
Pas c n m d va priamy n vod na vbpoWet objemu volku1;:::;uk. StaW utvori
Gramovu maticu Gu1;:::;uk a upravi ju pravami typu 1+
 na diagon lny
tvar. Ak sa n m to podar , tak na diagon le m me druhR mocniny noriem vektorov
v1;:::;vk staW teda zobra druh odmocninu ich s Winu. Ak sa n m to nepo-
dar , m][e to by len z toho d]vodu, [e vektory u1;:::;uk nie s line rne nez vislR
v takom pr pade je objem ich rovnobe[nostena 0. Objem volku1;:::;uk v ak
mo[no vyjadri aj bez Gramovho-Schmidtovho ortogonalizaWnRho procesu len pomo-
cou Gramovho determinantu.
15.1.2. Veta. Nech V je vektorovb priestor so skal rnym s Winom a k  1. Potom
pre ubovo nR vektory u1;:::;uk 2 V plat
volku1;:::;uk = jGu1;:::;ukj1=2
:
15. OBJEM, ORIENT CIA A VEKTOROV SaPIN 3
D]kaz. Ak vektory u1;:::;uk s line rne z vislR, tak potrebnb z ver vyplbva z pod-
mienky 15.1.1a a d]sledku 13.2.2. Ak s line rne nez vislR, tak pod a predo lej
vahy a vety 12.2.3 spolu s pozn mkou, ktor ju predch dza, existuje horn trojuhol-
n kov matica P 2 Rkk s jednotkami na diagon le, tak , [e
PT Gu1;:::;uk P = diag
,kv1k2
;:::;kvkk2
;
kde vektory v1;:::;vk s vbsledkom Gramovej-Schmidtovej ortogonaliz cie vektorov
u1;:::;uk. KeS[e jPj = jPT j = 1, priamym vbpoWtom s pou[it m 15.1.1c. dost -
vame
volku1;:::;uk2
= kv1k2
:::kvkk2
= diag
,kv1k2
;:::;kvkk2

= PT Gu1;:::;uk P = jGu1;:::;ukj:
Z mena poradia i-teho a j-teho vektora sa na Gramovej matici Gu1;:::;uk
prejav z menou i-teho a j-teho st pca a z rove i-teho a j-teho riadku teda jej
determinant, a preto ani objem volku1;:::;uk, sa tbm nezmen . Doteraz uva[ovanR
objemy volk teda mo[no pr vom nazva neorientovanbmi.
15.2. Orient cia
Sk]r ne[ sa zaWneme zaobera orientovanbm objemom v euklidovskom priestore, je
potrebnR najprv struWne pojedna o orient cii ako takej. Ukazuje sa, [e tento po-
zoruhodnb jav nez vis na skal rnom s Wine, ale mo[no sa s n m stretn v ubovo nom
koneWnorozmernom vektorovom priestore nad po om R.
Nech teda V je re lny vektorovb priestor koneWnej dimenzie n  1. Hovor me, [e
dve b zy , priestoru V s s hlasne orientovanR, ak matica prechodu P ; m
kladnb determinant.
KeS[e P ; = In, ka[d b za je s hlasne orientovan sama so sebou, t.j. vz ah
s hlasnej orient cie je re ex vny. Z rovnosti P ; = P,1
; zasa vyplbva symetria tohto
vz ahu. KoneWne z rovnosti P ; = P ; P ; vbplbva, [e vz ah s hlasnej orient cie
je tranzit vny. PodWiarknutR a zr tanR, vz ah s hlasnej orientovanosti je ekvivalenciou
na mno[ine v etkbch b z priestoru V. KeS[e ka[d matica prechodu je regul rna, jej
determinant m][e by len kladnb alebo z pornb. Tbm sa n m mno[ina v etkbch b z
priestoru V rozpadne na dve disjunktnR triedy, z ktorbch ka[d pozost va so s hlasne
orientovanbch b z, kbm dve b zy patriace do r]znych tried s orientovanR nes hlasne.
Orient cia koneWnorozmernRhore lnehovektorovRho priestoruV spoW va vo vbbere
jednej jeho b zy , ktor prehl sime za kladne orientovan , rovnako ako v etky b zy
orientovanR s hlasne s ou tieto tvoria jednu zo spom nanbch tried. Druh z tbchto
tried obsahuje b zy orientovanR nes hlasne s nazveme ich z porne orientovanR
b zy. Vektorovb priestor, v ktorom sme uskutoWnili vo bu nejakej kladne orientovanej
b zy nazveme orientovanb. Na koneWnorozmernom re lnom vektorovom priestore tak
mo[no zada dve r]zne, navz jom opaWnR orient cie.PriestorRn je prirodzenRoriento-
va tak, aby kanonick b za "n
mala kladn orient ciu; tejto orient cii Rn hovor me
kanonick . V abstraktnom n-rozmernom priestore, kde nem me [iadnu privilegovan
b zu, v ak aj t to pomoc pri vo be orient cie odpad nanajvb si m][eme hodi
mincou.
4 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Orientovate nos koneWnorozmernRho re lneho vektorovRho priestoru V sa zaklad
na tom, [e ka[d nadrovina vo V m "dve strany , t.j. del V na dva polpriestory,
priWom z jednRho do druhRho sa nemo[no dosta spojitbm pohybom bez toho, aby sme
pre ali deliacu nadrovinu. Navy e v euklidovskom priestore V nemo[no tvar le[iaci
v jednom z polpriestorov previes na jeho "zrkadlovb obraz , t.j. na tvar s n m
s merne zdru[enb pod a nadroviny, nijakbm zhodnbm zobrazen m, ktorR mo[no rea-
lizova spojitbm pohybom vo V.
Intuit vne zodpoved vo ba orient cie priestoru V, t.j. pririeknutie jednej z dvoch
mo[nbch orient ci nejakej jeho b ze = u1;:::;un, rozdeleniu V nadrovinou
u1;:::;un,1 na dva polpriestory a prehl seniu jednRho z nich za kladnb a druhRho
za z pornb polpriestor. Pod a toho, do ktorRho z nich smeruje vektor un, bude i
b za kladne alebo z porne orientovan . Ak napr. prehl sime b zu za kladne
orientovan , bude b za 0 = u1;:::;un,1;,un orientovan z porne.
Orient cia jednorozmernRho priestoru pomocou nejakRho vektora kladne oriento-
vanej b zy u 6= 0 teda zodpoved vyznaWeniu kladnRho smeru od poWiatku 0, t.j.
polpriamky fau;0 a 2 Rg. OpaWn polpriamka fau;0 a 2 Rg potom vyznaWuje
z pornb smer.
V dvojrozmernom priestore sa na zadanie orient cie vo bou kladne orientovanej
b zy u1;u2 mo[no d va aj ako na vyznaWenie kladnRho zmyslu ot Wania roviny
okolo poWiatku 0 od u1 k u2. Zmysel ot Wania od u2 k u1 je potom z pornb, Wo sa
intuit vne zhoduje s tbm, [e "opaWn b za u2;u1 k b ze u1;u2 zad va opaWn
orient ciu dvojrozmernRho priestoru.
Vo v eobecnom pr pade s b zy u1;:::;un a u 1;:::;u n, kde 2 Sn,
s hlasne orientovanR pr ve vtedy, keS je p rna permut cia dok [te.
V trojrozmernom priestore zadanie orient cie vo bou nejakej kladne orientovanej
b zy zodpoved napr. vbberu pravej alebo avej strany. Pri tom m][eme vyu[i
asymetriu na ej fyziol gie napr. a[ na celkom ojedinelR vbnimky maj udia srdce na
avej strane, vbrazn vTW ina popul cie s prav ci. Kladn orient ciu mo[no xova
napr. pravidlom pravej ruky: vystretb ukazov k, prostredn k zohnutb kolmo k dlani a
palec vztbWenb kolmo na ich rovinuv tomto porad  tvoria kladne orientovan "b zu .
Po stoto[nen vektorovRho priestoru R3
s trojrozmernbm fyzik lnym priestorom a
smerovRho vektora e1 osi x s ukazov kom, smerovRho vektora e2 osi y s prostred-
n kom a smerovRho vektora e3 osi z s palcom pravej ruky tak dost vame tzv. pravo-
toWiv s radn s stavu v R3
. Analogickbm sp]sobom dostaneme i avotoWiv s radn
s stavu, ak zad me kladn orient ciu v R3
pomocou zrejmRho pravidla avej ruky.
PravotoWiv s radn s stava
x
y
z
avotoWiv s radn s stava
x
y
z
15. OBJEM, ORIENT CIA A VEKTOROV SaPIN 5
V etky z kony klasickej fyziky s invariantnR voWi zrkadlovej re exii v priestore aj
v Wase, to znamen , [e ich matematick formul cia sa nezmen , ak v nich vystupuj ce
veliWiny vyjadrenR v jednej b ze vyjadr me vzh adom na s ou nes hlasne orientova-
n b zu. Vbnimkou s niektorR z kony tatistickej fyziky, menovite z kon rastu en-
tropie, ktorb neprip a obr tenie smeru plynutia Wasu. Ot zka, Wi existuj fyzik lne
z kony, ktorR nie s invariantnR voWi zrkadlovej re exii priestoru, bola na v eobecnR
prekvapenie zodpovedan kladne v druhej polovici 50. rokov 20. storoWia, keS sa ex-
periment lne potvrdilo, [e pri tzv. slabbch interakci ch sa nezachov va parita. Tento
vbsledok n m samozrejme nehovor , ktorej z dvoch mo[nbch orient ci priestoru by
sme mali da prednos , ale iba to, [e matematickb tvar istRho fyzik lneho z kona sa
m][e zmeni zmenou orient cie priestoru. Vo bou jednej z dvoch mo[nbch matema-
tickbch foriem tohto z kona teda m][eme xova orient ciu "n ho trojrozmernRho
fyzik lneho priestoru aj menej antropomorfnbm sp]sobom ne[ len niektorbm z pra-
vidiel pravej alebo avej ruky. Nesk]r sa zistilo, [e pri slabbch interakci ch doch dza
taktie[ k e te podstatne slab iemunaru eniuinvariancie voWi zrkadlovej re exii Wasu.
Pod a v s Wasnosti prevl daj cich kozmologickbch predst v pr ve naru eniu tzv.
kombinovanej parity CP vSaW me za to, [e vo ve mi ranom t diu vbvoja vesm ru
vzniklo nepatrne viac bary nov  a[kbch Wast c ako napr. prot ny a neutr ny ne[ ich
zrkadlovbch dvojn kov, tzv. antibary nov, tak[e postupne nedo lo k plnej anihil cii
v etkej hmoty s antihmotou presnej ie bary novs antibary nmina [iarenie, Wo teprv
umo[nilo vznik at mov, hviezd, planRt, a napokon i n s samotnbch.
15.3. Orientovanb objem
V na ich vah ch o orientovanom objeme sa v tomto paragrafe obmedz me len na
n-rozmernb orientovanb objem v n-rozmernom euklidovskom priestore.
Nech teda V je n-rozmernb euklidovskb priestor. Vyberme v om pevn ortonor-
m lnu b zu = u1;:::;un, ktor prehl sime za kladne orientovan . Pre ubovo n
usporiadan n-ticu x1;:::;xn 2 Vn de nujeme n-rozmernb orientovanb objem
rovnobe[nostena vytvorenRho vektormi x1;:::;xn ako determinant
volnx1;:::;xn =
hx1;u1i ::: hxn;u1i
...
... ...
hx1;uni ::: hxn;uni
matice
,hxj;uii
 =
,x1 ;:::;xn
 2 Rnn, ktorej st pce s tvorenR s radnicami
vektorov xj v b ze pozri tvrdenie 13.4.4a.
Orientovanb objem sme teda de novali ako istb determinant, priWom za jeho jed-
notku sme zvolili orientovanb objem n-rozmernej kocky vytvorenej vektormi kladne
orientovanej ortonorm lnej b zy . V euklidovskom priestore Rn so tandardnbm
skal rnym s Winom a kanonickou orient ciou, t.j. pri vo be = "n
, pre ubovo n
maticu A 2 Rnn plat
detA = volns1A;:::;snA;
teda, presne v zhode s kapitolou 10, detA je orientovanb n-rozmernb objem rovno-
be[nostena vytvorenRho st pcami matice A. Taktie[ naopak, v etky podstatnR vlast-
nosti orientovanRho n-rozmernRho objemu mo[no teraz odvodi ako bezprostrednR
6 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
d]sledky pr slu nbch vlastnost determinantu, tak[e nemus me Witate a unavova ich
vymen van m. Zost va sa presvedWi , [e
1 orientovanb objem nez vis od vbberu konkrRtnej kladne orientovanej ortonor-
m lnej b zy Wo prenech vame ako cviWenie Witate ovi;
2 medzi orientovanbm a neorientovanbm objemom naozaj je oWak van s vislos .
To sa udeje v nasleduj cej vete v jej znen i v celom jej d]kaze zvislR z tvorky j j
oznaWuj vbluWne absol tnu hodnotu, kbm determinant d]sledne znaW me det.
15.3.1. Veta. Nech V je orientovanb n-rozmernb euklidovskb priestor. Potom pre
ubovo nR vektory x1;:::;xn 2 V plat
volnx1;:::;xn = volnx1;:::;xn ;
priWom line rne nez vislR vektory x1;::::xn tvoria kladne orientovan b zu vo V
pr ve vtedy, keS volnx1;:::;xn 0.
D]kaz. Nech = u1;:::;un je kladne orientovan ortonorm lnab za vo V. OznaW-
me
X =
0
B@
hx1;u1i ::: hxn;u1i
... ... ...
hx1;uni ::: hxn;uni
1
CA:
Pod a na ej de n cie je volnx1;:::;xn = detX. Z tvrdenia 13.4.4b zase vyplbva
Gx1;:::;xn = XT X. Teda pod a vety 15.1.2 m me
volnx1;:::;xn =
p
detGx1;:::;xn =
q
detXT X
=
p
detXT detX = jdetXj = volnx1;:::;xn :
KeS[e st pce matice X s tvorenR s radnicami vektorov x1;:::;xn v b ze , ak s
tieto line rne nez vislR, tak X je z rove maticou prechodu z b zy x1;:::;xn do
b zy pozri paragraf 7.5. Teda b zy a x1;:::;xn s orientovanR s hlasne pr ve
vtedy, keS volnx1;:::;xn = detX 0.
15.3.2. D]sledok. Nech V je orientovanb n-rozmernb euklidovskb priestor. Potom
vektory x1;:::;xn 2 V s line rne nez vislR t.j. tvoria b zu priestoru V pr ve
vtedy, keS volnx1;:::;xn 6= 0.
Orientovanb objem volnx1;:::;xn sa zvykne nazbva aj vonkaj s Win vektorov
x1;:::;xn a v tejto s vislosti sa znaW x1 :::xn. V kurze fyziky sa vonkaj s Win
xyz v euklidovskom priestore R3
so tandardnbm skal rnym s Winom zav dza po-
mocou skal rneho a vektorovRho s Winu formulou
xyz = hxy;zi = x yz
a zvykne sa tie[ nazbva zmie anb s Win vektorov x, y, z. V nasleduj com paragrafe
si uk [eme, ako je tento s Win "zmie anb zo skal rneho a vektorovRho s Winu vo
v eobecnom n-rozmernomeuklidovskom priestore. Postupova v ak budeme opaWnbm
smerom orientovanb objem t.j. vonkaj s Win spolu so skal rnym s Winom n m
posl [ia ako vbchodisko na de n ciu vektorovRho s Winu.
15. OBJEM, ORIENT CIA A VEKTOROV SaPIN 7
15.4. Vektorovb s Win
Predpokladajme i naSalej, [e V je orientovanb euklidovskb priestor dimenzie n  2 a
= u1;:::;un je nejak jeho kladne orientovan ortonorm lna b za.
Nech 0  k  n a x1;:::;xk 2 V s pevne zvolenR vektory. Dosaden m na prvbch
k-miest orientovanRho objemu vonkaj ieho s Winu tieto vektory de nuj vz ahom
Fy1;:::;yn,k = volnx1;:::;xk;y1;:::;yn,k = x1 :::xky1 :::yn,k
n ,k-line rne alternuj ce zobrazenie F : Vn,k ! R. V pr pade k = n n m, samo-
zrejme, nezost va miesto na dosadzovanie ypsilonov, tak[e F prirodzene stoto[ ujeme
s hodnotou volnx1;:::;xn 2 R; touto ot zkou sme sa u[ zaoberali v predch dza-
j com paragrafe. V tomto paragrafe sa budeme zaobera pr padom k = n,1.
Pevne zvolenR vektory x1;:::;xn,1 de nuj vz ahom
y = volnx1;:::;xn,1;y = x1 :::xn,1y
line rny funkcion l : V ! R. Uvedomme si, [e skal rny s Win je regul rna symet-
rick biline rnaforma na V. Preto pod a d]sledku 11.1.8 m ka[db line rny funkcion l
': V ! R tvar 'y = hv;yi pre jednoznaWne urWenb vektor v 2 V. AplikovanR na
n konkrRtny pr pad to znamen , [e existuje jedinb vektor v 2 V takb, [e
y = volnx1;:::;xn,1;y = x1 :::xn,1y = hv;yi
pre v etky y 2 V. Tento jednoznaWne urWenb vektor nazbvame vektorovbm s Winom
pr padne tie[ ortokomplementom vektorov x1;:::;xn,1 a znaW me ho
v = x1 :::xn,1:
Z uvedenej defn cie priamo vyplbva, [e, rovnako ako orientovanb n-rozmernb objem,
ani vektorovb s Win nez vis na vbbere konkrRtnej kladne orientovanej ortonorm lnej
b zy vo V.
V dimenzii n = 2 ide len o un rnu jednomiestnu oper ciu V ! V z toho
d]vodu nehovor me o vektorovom s Wine ale vbluWne o ortokomplemente vektora x,
ktorb znaW me x? keS[e znak s Winu  nem me medzi Wo umiestni . V dimenzii
n = 3 ide o bin rnu dvojmiestnu oper ciu V V ! V vektorovRho s Winu, zn meho
z kurzov fyziky. No v dimenziin  4 je u[ n,1 2 a vektorovb s Win je n,1-miestna
oper cia na V.
Vz ah medzi skal rnym t.j. vn tornbm, vektorovbm a vonkaj m s Winom zachy-
t va nasleduj ca rovnos , platn pre ubovo nR x1;:::;xn,1;xn 2 V,
hx1 :::xn,1;xni = volnx1;:::;xn,1;xn = x1 :::xn,1xn:
P tan z ava doprava je to u[ uveden de n cia vektorovRho s Winu x1  :::  xn,1
prostredn ctvom orientovanRho objemu a skal rneho s Winu. M][eme ju v ak W ta aj
sprava do ava vtedy sa z nej st va de n cia vonkaj ieho s Winu orientovanRho ob-
jemu ako istej kompoz cie skal rneho a vektorovRho s Winu. Takto sa be[ne postupuje
v kurzoch fyziky, kde sa najprv zavedie skal rny a vektorovb s Win v dimenzii n = 3
geometrickbm sp]sobom a zmie anb t.j. vonkaj  s Win pr de na rad a[ po nich.
8 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Pok sme sa teraz vyjadri s radnice vektorovRho s Winu x1 :::xn,1 v b ze
pomocou s radn c jednotlivbch vektorov xj.
ZaWneme najjednoduch mpr padom n = 2. Ortokomplement x? vektora x je takb
vektor, [e
hx?;yi = vol2x;y = hx;u1i hy;u1i
hx;u2i hy;u2i
plat pre ka[dR y 2 V. Ak za y postupne dosad me hodnoty u1, u2, dostaneme
hx?;u1i = vol2x;u1 = hx;u1i 1
hx;u2i 0 = ,hx;u2i;
hx?;u2i = vol2x;u2 = hx;u1i 0
hx;u2i 1 = hx;u1i:
Ak oznaW me x = x1;x2T , kde x1 = hx;u1i, x2 = hx;u2i s s radnice vektora
x v b ze , tak pre s radnice vektora x? dostaneme
x? =
,x2
x1

:
Vektor x? teda m][eme zap sa v tvare
x? = ,x2u1 + x1u2 = x1 u1
x2 u2
= det
,x ; T ;
kde poslednb determinant treba ch pa ako spornb z pis predo lej line rnej kom-
bin cie, ktor je tak jeho Wiste form lnym Laplaceovbm rozvojom pod a druhRho
st pca.
Rovnako si budeme poW na pre ubovo nR n  3. Najprv polo[ me xij = hxj;uii
pre 1  i  n, 1  j  n , 1, a oznaW me X = xij 2 Rnn,1 maticu, ktorej
st pce tvoria s radnice vektorov xj v b ze . Vektorovb s Win x1 :::xn,1 je takb
vektor, [e
hx1 :::xn,1;yi = volnx1;:::;xn,1;y = det
,X;y 
plat pre ka[dR y 2 V. Ak za y postupne dosad me hodnoty ui, kde 1  i  n, pre
s radnice vektora x1 :::xn,1 v b ze dostaneme
hx1 :::xn,1;uii = volnx1;:::;xn,1;ui
= detX;ei = ,1n+ijXij;
kde matica Xi 2 Rn,1n,1
vznikne z matice X vynechan m i-teho riadku. Vektor
x1 :::xn,1 teda mo[no zap sa v tvare
x1 :::xn,1 =
nX
i=1
,1n+ijXijui
=
x11 ::: x1 n,1 u1
... ...
...
...
xn,1 n ::: xn,1 n,1 un,1
xn1 ::: xn n,1 un
= det
,X; T :
15. OBJEM, ORIENT CIA A VEKTOROV SaPIN 9
Pritom poslednb determinant treba ch pa najmT ako pom]cku na ahkR zapamTtanie
predo lej line rnej kombin cie, ktor z neho mo[no dosta form lnym Laplaceovbm
rozvojom pod a n-tRho st pca.
V trojrozmernom euklidovskom priestore R3
so tandardnbm skal rnym s Winom
sa vektory kladne orientovanej kanonickej b zy "3
niekedy zvykn znaWi e1 = i,
e2 = j, e3 = k. Vektorovb s Win vektorov x = x1;x2;x3T , y = y1;y2;y3T v tomto
pr pade nadob da zn my tvar
xy =
0
@
x2y3 ,x3y2
x3y1 ,x1y3
x1y2 ,x2y1
1
A=
x1 y1 i
x2 y2 j
x3 y3 k
;
priWom v pravotoWivom  avotoWivom s radnom systRme v R3
s jeho smer a orien-
t cia danR pravidlom pravej  avej ruky: ak polo[ me dla pr slu nej ruky v smere
vektora x tak, [e zohnutR prsty ukazuj v smere "krat ieho otoWenia vektora x do
vektora y okolo poWiatku, tak vztbWenb palec ukazuje v smere vektora xy.
V etky z kladnR vlastnosti oper cie vektorovRho s Winu Vn,1 ! V mo[no teraz
jednoducho odvodi na z klade jej de n cie, pr padne jej vz ahu k n-rozmernRmu
orientovanRmu objemu a reprezent cie v tvare uvedenRho form lneho determinantu.
15.4.1. Veta. Nech V je orientovanb euklidovskb priestor dimenzie n  2 a
x1;:::;xn,1 2 V. Potom
a vektorovb s Win je n ,1-line rne alternuj ce zobrazenie V n,1 ! V;
b vektory x1;:::;xn,1 s line rne z vislR pr ve vtedy, keS x1 :::xn,1 = 0;
c ak vektory x1;:::;xn,1 s line rne nez vislR, tak v = x1  :::  xn,1 je nor-
m lovb vektor nadroviny x1;:::;xn,1 a vektory x1;:::;xn,1;v tvoria kladne
orientovan b zu priestoru V;
d kx1 :::xn,1k = voln,1x1;:::;xn,1.
D]kaz. Nech = u1;:::;un je nejak kladne orientovan b za priestoru V. OznaW-
me X = xijnn,1, kde xij = hxj;uii. Potom v = x1 :::xn,1 = detX; T .
a je zrejmR z reprezent cie vektorovRho s Winu x1 :::xn,1 v tvare uvedenRho
form lneho determinantu.
b Uvedomme si, [e pod a d]sledku 11.1.8 je rovnos v = 0 ekvivalentn s pod-
mienkou 8y 2 Vhv;yi = 0. Pod a de n cie vektorovRho s Winu v ak plat
hv;yi = volnx1;:::;xn,1;y:
Z d]sledku 15.3.2 potom vyplbva, [e v = 0 pr ve vtedy, keS pre ka[dR y 2 V s
vektory x1;:::;xn,1;y line rne z vislR. KeS[e dimV n , 1, tento pr pad zrejme
nastane pr ve vtedy, keS u[ samotnR vektory x1;:::;xn,1 s line rne z vislR.
c Pod a 15.3.2 pre ubovo nR 1  j  n,1 plat
hv;xji = volnx1;:::;xj;:::;xn,1;xj = 0;
t.j. v ? xj. Navy e, ak x1;:::;xn,1 s line rne nez vislR, tak v 6= 0, teda v je
norm la nadroviny x1;:::;xn,1 .
10 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Dok [eme, [e b za = x1;:::;xn,1;v priestoru V je s hlasne orientovan s b -
zou . Uvedomme si, [e matica prechodu z b zy do b zy m tvar P ; =,X;v . Rozvojom jej determinantu pod a poslednRho st pca a s vyu[it m na ej
znalosti s radn c
v =
,,1n+1jX1j; :::; ,1n+njXnj
T
;
kde Xi vznikne z matice X vynechan m i-teho riadku, dost vame
P ; =
nX
i=1
,1n+ijXij,1n+ijXij =
nX
i=1
jXij2
= kvk2
0;
lebo v d]sledku b je v 6= 0. To v ak znamen , [e b zy , s s hlasne orientovanR.
d KeS[e v 2 x1;:::;xn,1
?, s vyu[it m de n cie vektorovRho s Winu,vety 15.3.1,
pr ve dok zanej druhej Wasti c a rekurz vnej de n cie k-rozmernRhoobjemu m][eme
p sa
kvk2
= hx1 :::xn,1;vi = volnx1;:::;xn,1;v
= volnx1;:::;xn,1;v = voln,1x1;:::;xn,1kvk:
Ak kvk = 0, tak pod a b s x1;:::;xn,1 line rne z vislR, preto na z klade tvrdenia
15.1.1a tie[ voln,1x1;:::;xn,1 = 0. V opaWnom pr pade po[adovan rovnos
dostaneme kr ten m oboch str n Wlenom kvk 6= 0.
Z Wasti d a vety 15.1.2 priamo dost vame nasleduj ci d]sledok.
15.4.2. D]sledok. a V dvojrozmernom orientovanom euklidovskom priestore V
pre ka[db vektor x 2 V plat kx?k = kxk.
b V trojrozmernom orientovanom euklidovskom priestore V pre v etky nenulovR
vektory x;y 2 V plat kxyk = kxkkyksin^x;y.
c Pre n  2 v n-rozmernom orientovanom euklidovskom priestore V pre v etky
x1;:::;xn,1 2 V plat kx1 :::xn,1k = jGx1;:::;xn,1j1=2
.