17. UNITÁRNE PRIESTORY V paragrafe 12.1 sme videli, že kanonický diagonálny tvar ľubovoľnej symetrickej bi- lineárnej formy na konečnorozmernom vektorovom priestore nad poľom C všetkých komplexných čísel je jednoznačne určený jej hodnosťou. Zavádzať pre takéto formy niečo na spôsob signatúry a hovoriť o ich defitnosti vôbec nemá zmysel. Táto jednodu- chosť v porovnaní s teóriou symetrických bilineárnych foriem na vektorových prie- storoch nad poľom R má za následok, že symetrická regulárna bilineárna forma na komplexnom vektorovom priestore nevytvára geometrickú štruktúru analogickú reál- nemu prípadu. Ukazuje sa však, že zdanlivo nepatrnou modifikáciou pojmu bilineárnej formy možno túto prekážku geometrizácie preklenúť. Kapitolu začneme štúdiom tzv. poldruhalineárnych foriem na komplexných vek- torových priestoroch. Pre takéto formy spĺňajúce istú mierne pozmenenú podmienku symetrie už možno prirodzene zaviesť pojmy signatúry a definitnosti a rozšíriť na ne platnosť tvrdení z kapitoly 12. Najdôležitejší bude pre nás opäť kladne definitný prípad, kedy hovoríme o (komplexnom) skalárnom súčine. Teória (konečnorozmer- ných) unitárnych priestorov, t. j. komplexných vektorových priestorov vybavených skalárnym súčinom, je natoľko priamočiarym zovšeobecnením teórie euklidovských priestorov, že väčšinu pojmov a výsledkov možno z jednej do druhej preniesť len s malými redakčnými úpravami. Preto miesto systematickej výstavby teórie unitár- nych priestorov iba stručne naznačíme, ako to možno urobiť. Záver kapitoly je venovaný stručnému náčrtu úlohy unitárnych priestorov v kvan- tovej mechanike. Tomu bude predchádzať krátke odbočenie do klasickej mechaniky a pojednanie o ťažkostiach, ktoré sa stavajú do cesty pokusom vytvoriť adekvátny fyzikálny obraz javov mikrosveta a matematický popis jeho zákonitostí. 17.1. Poldruhalineárne formy Začneme banálnym pozorovaním: Absolútna hodnota |x| reálneho čísla, čiže jeho vzdialenosť od počiatku, je so súčinom xy, t. j. s najzákladnejšou bilineárnou for- mou, zviazaná vzťahom |x|2 = xx. Taktiež absolútna hodnota |x| komplexného čísla má geometrický význam jeho vzdialenosti od počiatku, uvedený vzťah však platí v modifikovanej podobe |x|2 = xx. Ak teda chceme budovať geometriu umožňujúcu vyjadriť vzdialenosti pomocou vhodných komplexných analógov reálnych bilineárnych a kvadratických foriem, súčin xy bude treba nahradiť výrazom xy. Keďže y = y, a xy = xy pre x, y R, ide o prirodzené zovšeobecnenie reálneho prípadu. Poldruhalineárnou formou na komplexnom vektorovom priestore V nazývame zob- razenie F : V × V C také, že pre všetky x, y, z V , c C platí F(x + y, z) = F(x, z) + F(y, z), F(cx, z) = cF(x, z), F(x, y + z) = F(x, y) + F(x, z), F(x, cy) = cF(x, y). 1 2 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Hovoríme, že F je lineárne v prvej premennej a semilineárne v druhej premennej. Ak V je konečnorozmerný a = (u1, . . . , un) je jeho báza, tak maticu A = [F] = F(uj, uk) Cn×n , rovnako ako v reálnom prípade, nazývame maticou poldruhalineárnej formy F v báze . Potom pre ľubovoľné vektory x, y V so súradnicami (x) = (x1, . . . , xn)T , (y) = (y1, . . . , yn)T platí F(x, y) = (x)T A (y) = n j=1 n k=1 ajkxjyk, kde (y) = (y1, . . . , yk)T . Pritom A = (ajk)n×n = [F] je jediná matica s touto vlastnosťou. Ak = (v1, . . . , vn) je druhá báza priestoru V , tak matice A = [F], B = [F] sú zviazané vzťahom B = P T , A P ,, kde P , = (pjk) je matica komplexne združená k matici prechodu P, = (pjk). Z toho vyplýva, že A, B Cn×n sú maticami tej istej poldruhalineárnej formy vzhľadom na (možno) rôzne bázy , práve vtedy, keď B = P T A P pre ne- jakú regulárnu maticu P Cn×n , t. j. práve vtedy, keď existuje regulárna matica Q Cn×n taká, že B = Q A Q, kde Q = QT = Q T označuje maticu transponovanú a komplexne združenú k matici Q ­ hovoríme, že Q je hermitovsky združená alebo tiež adjungovaná matica k matici Q. Naozaj, ak položíme Q = P , tak Q = P T . V takom prípade hovoríme, že matice A, B Cn×n sú hermitovsky kongruentné a píšeme A B. Keďže pole C všetkých komplexných čísel je rozšírením poľa R všetkých reálnych čísel, každý vektorový priestor V nad poľom C možno zároveň považovať za vektorový priestor nad poľom R (pozri príklad 1.6.1). Tento vektorový priestor budeme značiť VR a nazývať reálnym zúžením alebo tiež zreálnením priestoru V . Každé zobrazenie F : V × V C určuje predpismi F0(x, y) = Re F(x, y), F1(x, y) = Im F(x, y), pre x, y V , dve zobrazenia F0 = Re F, F1 = Im F : V ×V R; potom, samozrejme, F(x, y) = F0(x, y) + iF1(x, y). Dôkaz nasledujúceho tvrdenia prenechávame ako jednoduché cvičenie čitateľovi. 17.1.1. Tvrdenie. Nech F : V × V C je ľubovoľné zobrazenie. Potom F je pol- druhalineárna forma práve vtedy, keď F0 = Re F, F1 = Im F sú bilineárne formy na reálnom vektorovom priestore VR a pre všetky x, y V platí F0(x, y) = F1(ix, y), F1(x, y) = F0(x, iy). To okrem iného znamená, že každá zo zložiek F0, F1 poldruhalineárnej formy F jednoznačne určuje druhú. 17. UNITÁRNE PRIESTORY 3 17.2. Hermitovské formy a hermitovské matice Hovoríme, že poldruhalineárna forma F na komplexnom vektorovom priestore V je hermitovská alebo tiež kososymetrická, ak pre všetky x, y V platí F(x, y) = F(y, x). Nasledujúce tvrdenie je bezprostredným dôsledkom našej definície. 17.2.1. Tvrdenie. Poldruhalineárna forma F : V × V C je hermitovská práve vtedy, keď jej zložky F0 = Re F, F1 = Im F spĺňajú podmienky F0(x, y) = F0(y, x), F1(x, y) = -F1(y, x) pre všetky x, y V . Podľa tvrdení 17.1.1 a 17.1.2 možno teda každú hermitovskú formu F : V ×V C rozložiť na súčet F = F0 + iF1 dvoch bilineárnych foriem F0, F1 : VR × VR R, z ktorých prvá je symetrická, druhá antisymetrická a platí F1(x, y) = F0(x, iy) alebo, čo vyjde vďaka (anti)symetrii narovnako, F0(x, y) = F1(ix, y). Štvorcová matica A Cn×n sa nazýva hermitovská alebo tiež kososymetrická, ak A = A , t. j. ajk = akj pre všetky j, k n. Špeciálne, ajj = ajj, čiže všetky diagonálne prvky hermitovskej matice sú reálne. Zrejme A je hermitovská práve vtedy, keď poldruhalineárna forma F(x, y) = xT Ay na (stĺpcovom) vektorovom priestore Cn je hermitovská. Ak F : V × V C je hermitovská forma, tak F(x, x) = F(x, x) pre každé x V , čiže všetky hodnoty F(x, x) sú reálne, teda má zmysel pýtať sa na ich znamienko. To nám v komplexnom prípade umožňuje zaviesť pre hermitovské formy a hermitovské matice všetky pojmy súvisiace s definitnosťou a so signatúrou rovnako, ako v reálnom prípade pre symetrické bilineárne formy a symetrické matice (pozri paragrafy 12.1 a 12.2). Navyše, v dôsledku antisymetrie formy F1 = Im F platí F(x, x) = F0(x, x), F1(x, x) = 0, takže na F(x, x) sa možno dívať ako na kvadratickú formu na reálnom vektorovom priestore VR. Signatúru hermitovskej matice A Cn×n , a tým aj hermitovskej formy F : V 2 C na konečnorozmernom vektorovom priestore V nad C, možno zistiť jej úpravou na diagonálny tvar podľa schémy A ESO ---- ERO B In ESO ---- P Na matici A teda vždy vykonáme jednu ERO a jej zodpovedajúcu ESO s komplexne združeným skalárom (teda výmene dvoch riadkov zodpovedá výmena príslušných stĺp- cov, avšak vynásobeniu j-teho riadku nenulovým skalárom c C zodpovedá vyná- sobenie j-teho stĺpca skalárom c a pripočítaniu c-násobku j-teho riadku ku k-temu 4 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA riadku zodpovedá pripočítanie c-násobku j-teho stĺpca ku k-temu stĺpcu). Na jed- notkovej matici vykonáme príslušnú ESO s pôvodným skalárom. (Porovnaj s podob- nou schémou z paragrafu 11.3). Potom A B = P T A P a stĺpce matice P tvoria bázu priestoru Cn , vzhľadom na ktorú má hermitovská forma xT A y diagonálnu (preto tiež nevyhnutne reálnu) maticu B. Ak A bola maticou hermitovskej formy F na n-rozmernom vektorovom priestore V v báze , tak diagonálna matica B je maticou formy F v báze = P , čiže P = P, je maticou prechodu z bázy do bázy . V podstate rovnako ako v paragrafe 11.3 sa dá dokázať, že uvedený postup vedie vždy k cieľu. Navyše možno dosiahnuť, aby matica B mala na diagonále len skaláry 1 a 0. Napriek istej nejednoznačnosti výsledných matíc B a P , i v tomto prípade platí Sylvestrov zákon zotrvačnosti, teda signatúra hermitovskej formy či matice je dobre definovaná a sú splnené jednoduché analógie výsledkov pre reálne symetrické bilineárne formy a matice z paragrafu 12.1. Detaily prenechávame na samostatné premyslenie čitateľovi. 17.3. Komplexný skalárny súčin a unitárne priestory Skalárnym alebo tiež vnútorným súčinom na komplexnom vektorovom priestore V nazývame ľubovoľnú kladne definitnú hermitovskú poldruhalineárnu formu na V ; jej hodnotu na vektoroch x, y V budeme značiť opäť x, y . Komplexný vektorový priestor V vybavený skalárnym súčinom nazývame unitárny priestor. Nezávisle na znalosti uvedených pojmov možno skalárny súčin na V definovať ako binárnu operáciu V × V C, ktorá každej dvojici (x, y) vektorov z V priradí kom- plexné číslo x, y také, že pre všetky x, y, x1, x2 V a ľubovoľné c C platí: x1 + x2, y = x1, y + x2, y (aditivita), cx, y = c x, y (homogenita), x, y = y, x (kosá symetria), x = 0 x, x > 0 (kladná definitnosť). Spojenie aditivity a homogenity skalárneho súčinu dáva jeho linearitu ako funkcie prvej premennej (pri pevnej druhej premennej). Vďaka kosej symetrii z toho vyplýva semilinearita skalárneho súčinu ako funkcie druhej premennej (pri pevnej prvej pre- mennej), t. j. rovnosti x, y1 + y2 = x, y2 + x, y2 , x, cy = c x, y , pre všetky x, y1, y2 V a c C. Rovnako z kosej symetrie vyplýva reálnosť výrazu x, x = x, x pre každé x V , čo teprv dáva zmysel podmienke kladnej definitnosti; z poldruhalinearity potom vyplýva jej nasledujúci podrobnejší rozpis x, x 0 & x, x = 0 x = 0 pre každé x V . 17. UNITÁRNE PRIESTORY 5 Ako sme naznačili predchádzajúcimi dvoma odstavcami, ktoré verne sledujú for- mulácie prvých dvoch odstavcov z paragrafu 13.1, teória konečnorozmerných uni- tárnych priestorov je pomerne priamočiarym zovšeobecnením teórie euklidovských priestorov. Väčšinu pojmov, ktoré sme definovali pre euklidovské priestory, možno za- viesť aj pre (konečnorozmerné) unitárne priestory a väčšinu výsledkov o euklidovských priestoroch možno s malými modifikáciami dokázať aj pre (konečnorozmerné) unitár- ne priestory. S istou dávkou zjednodušenia možno povedať, že jediný formálny rozdiel spočíva v tom, že v komplexnom prípade si musíme dávať pozor na poradie činiteľov v skalárnom súčine, občas nad niektoré skaláry primaľovať pruh a rozlišovať medzi c2 a |c|2 . Z toho dôvodu nebudeme čitateľa unavovať systematickým budovaním teórie unitárnych priestorov; miesto toho sa obmedzíme len na zopár základných pojmov a výsledkov, a kde to bude možné, odvoláme sa na zodpovedajúce analógie z eukli- dovských priestorov. Keďže 0 x, x R, dĺžku alebo tiež normu vektora x v unitárnom priestore V možno definovať ako nezáporné reálne číslo x = x, x . Zrejme x je norma na vektorovom priestore VR pochádzajúca od reálneho ska- lárneho súčinu x, y 0 = Re x, y , teda sú pre ňu splnené všetky tri definujúce podmienky (trojuholníková nerovnosť, pozitívna homogenita, oddeliteľnosť) z para- grafu 13.3. Navyše podmienka pozitívnej homogenity cx = |c| x platí pre všetky x V , c C (a nielen pre c R). Naozaj, cx 2 = cx, cx = cc x, x = |c| 2 x 2 . Pozornejší čitateľ možno v tejto chvíli pojal podozrenie, že poldruhalineárne formy, ako modifikácia bilineárnych foriem, boli vymyslené len nato, aby nám v práve vyko- nanom výpočte prešiel trik so skalárom c. Až na časticu " len" mu toto podozrenie nehodláme vyvracať. Z Cauchyho-Schwartzovej nerovnosti (tvrdenie 13.2.3) pre reálny skalárny súčin dostávame nerovnosť |Re u, v | u v , z ktorej už vyplýva trojuholníková nerov- nosť pre normu. S trochou úsilia však možno dokázať silnejší odhad. 17.3.1. Tvrdenie. (Cauchyho-Schwartzova nerovnosť) Nech V je unitárny priestor. Potom pre ľubovoľné vektory u, v V platí | u, v | u v , pričom rovnosť nastane práve vtedy, keď u, v sú lineárne závislé. Dôkaz. Označme si c = cos + i sin , kde u, v = | u, v | (cos + i sin ) je vyjad- renie čísla u, v C v goniometrickom tvare. Potom |c| = 1, c-1 = c a | u, v | = c-1 u, v = c u, v = u, cv = Re u, cv , 6 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA lebo ide o reálne číslo. Keďže Re u, v je kladne definitná bilineárna forma na VR, podľa reálnej verzie Cauchyho-Schwartzovej nerovnosti platí | u, v | = Re u, cv u cv = |c| u v = u v . Rovnosť nastane práve vtedy, keď vektory u, cv sú lineárne závislé nad R. Z toho zrejme vyplýva lineárna závislosť vektorov u, v nad C. Naopak, ak u, v sú lineárne závislé nad C, tak rovnosť | u, v | = u v možno jednoducho overiť priamym výpočtom. Pre nenulové vektory u, v V predstavuje výraz u, v / u v komplexné číslo s absolútnou hodnotou 1. Analógia s reálnym prípadom nás zvádza pokúsiť sa na jeho základe nejako zadefinovať uhol vektorov u, v. Núkajú sa nám tri možnosti: (1) Vychádzajúc z toho, že reálna časť Re u, v skalárneho súčinu u, v je skalár- nym súčinom na reálnom zúžení VR unitárneho priestoru V , ktorý plne určuje jeho normu, môžeme sa sústrediť len na ňu a ignorovať imaginárnu časť. V takom prípade = arccos Re u, v u v predstavuje uhol, ktorý zvierajú vektory u, v v priestore VR. (2) Uhol vektorov u, v môžeme definovať ako uhol priamok [u], [v], t. j. ako reálne číslo = arccos | u, v | u v . V reálnom prípade by také niečo zodpovedalo nahradeniu odchýlky vektorov (u, v) odchýlkou priamok ([u], [v]); to znamená, že medzi odchýlkami dvojíc (u, v) a (u, -v) by sme nerozlišovali a z pôvodných uhlov (u, v), (u, -v) by sme vybrali ten menší. (Nezabúdajme však, že priamky [u], [v] v komplexnom vektorovom priestore V sú z reálneho hľadiska dvojrozmerné, t. j. sú to vlastne roviny vo VR.) (3) Prostriedkami teórie funkcií komplexnej premennej možno definičný obor reálnej funkcie arccos, t. j. interval -1, 1 , rozšíriť na jednotkový kruh {c C; |c| 1} (dokonca na celú komplexnú rovinu C). Potom odchýlka (u, v) by bola kom- plexné číslo = arccos u, v u v také, že cos = ei + e-i 2 = u, v u v . Tento spôsob by bol, samozrejme, matematicky najčistejší, hoci z geometrického hľadiska pre nás zatiaľ nie príliš názorný. Navyše by si vyžadoval istú znalosť teórie funkcií komplexnej premennej, ktorú u čitateľa nepredpokladáme. My sa však nebudeme rozhodovať medzi uvedenými troma alternatívami, teda uhol dvoch nenulových vektorov v unitárnom priestore vôbec nebudeme skúmať ani definovať. Najdôležitejšou interpretácia výrazu u, v / u v v unitárnom priestore 17. UNITÁRNE PRIESTORY 7 je totiž jeho interpretácia v kvantovej mechanike. Tou však nie je kosínus uhla, ale ­ akokoľek čudne to znie ­ " amplitúda pravdepodobnosti". K tejto otázke sa vrátime až v záverečnom paragrafe 17.7. I keď na uhol dvoch vektorov v unitárnom priestore sme rezignovali, nemienime rezignovať na vzťah ortogonality (kolmosti) x y x, y = 0 pre vektory x, y V a operáciu ortokomplementu X = {y V ; ( x X)(x y)} množiny X V , ktoré majú rovnaké vlastnosti ako v reálnom prípade. Aj pojmy ortogonálnej či ortonormálnej množiny alebo usporiadanej k-tice vektorov, a najmä ortogonálnej a ortonormálnej bázy sú definované rovnako. Gramovým-Schmidtovým ortogonalizačným procesom ­ či už ho vykonáme podľa vety 13.4.5 alebo diagonalizáciou Gramovej matice G() = uj, uk nejakej bázy = (u1, . . . , un) priestoru V ­ možno dokázať, že konečnorozmerný unitárny priestor V má ortonormálnu bázu. Vzhľadom na takúto bázu = (v1, . . . , vn) nadobúda skalárny súčin na V tvar tzv. štandardného komplexného skalárneho súčinu na Cn , t. j. pre ľubovoľné vektory x, y V so súradnicami (x) = (x1, . . . , xn)T , (y) = (y1, . . . , yn)T platí x, y = (x)T (y) = n j=1 xjyj = n j=1 x, vj vj, y , keďže jednotlivé zložky súradníc vektorov x, y sú xj = x, vj , yj = y, vj . Špeciálne pre x = y dostávame Parsevalovu rovnosť x 2 = (x)T (x) = n j=1 |xj| 2 = n j=1 | x, vj | 2 (porovnaj s vetou 13.4.4). 17.4. Unitárne matice Unitárne matice sú komplexnou analógiou ortogonálnych matíc. Matica A Cn×n sa nazýva unitárna, ak platí A A = In, t. j. A-1 = A . Prvá podmienka je zrejme ekvivalentná s rovnosťou AT A = In, ktorá opäť hovorí, že stĺpce matice A tvoria ortonormálnu bázu unitárneho priestoru Cn so štandardným skalárnym súčinom. Potom rovnako A A = In, teda aj riadky matice A tvoria ortonormálnu bázu v Cn . Podobne ako ortogonálne matice, aj unitárne matice možno charakterizovať jednak ako matice prechodu medzi ortonormálnymi bázami v konečnorozmerných unitárnych priestoroch, jednak ako matice, násobenie ktorými zachováva štandardný skalárny súčin resp. dĺžku v Cn . Dôkaz nasledujúcej vety možno dostať nepatrnou modifikáciou dôkazu vety 13.5.1. 8 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 17.4.1. Veta. Nech V je n-rozmerný unitárny priestor, je ortonormálna a je ľubovoľná báza priestoru V . Potom báza je ortonormálna práve vtedy, keď matica prechodu P, z bázy do bázy je unitárna. 17.4.2. Veta. Nech Cn je stĺpcový unitárny priestor so štandardným skalárnym súči- nom a A Cn . Potom nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) A je unitárna matica; (ii) pre všetky x, y Cn platí A x, A y = x, y ; (iii) pre všetky x Cn platí A x = x . Dôkaz. Implikácie (i) (ii) a (ii) (i) možno dokázať (takmer) rovnako ako v dôkaze vety 13.5.2 a implikácia (ii) (iii) je opäť triviálna. Stačí teda dokázať (iii) (ii). Keďže x je zároveň norma na zreálnení unitárneho priestoru Cn pochádzajúca od reálneho skalárneho súčinu Re x, y , pre ľubovoľné x, y Cn platí Re x, y = 1 2 x + y 2 - x 2 - y 2 , a podľa tvrdenia 17.2.1 tiež Im x, y = Re x, iy . Teda z podmienky (iii) vyplýva Re A x, A y = 1 2 A x + A y 2 - A x 2 - A y 2 = 1 2 A (x + y) 2 - A x 2 - A y 2 = 1 2 x + y 2 - x 2 - y 2 = Re x, y . V dôsledku toho Im A x, A y = Re A x, i(A y) = Re A x, A (iy) = Re x, iy = Im x, y , teda A y, A y = x, y . Podrobnejší popis štruktúry unitárnych matíc opäť podáme len pre rády n 2. Unitárne matice rozmeru 1 × 1 zrejme splývajú s komplexnými číslami s absolútnou hodnotou 1. 17.4.3. Veta. Matica A C2×2 je unitárna práve vtedy, keď má tvar A = a b -bu au = ei cos ei sin - ei(-) sin ei(-) cos , kde čísla a, b, u C vyhovujú podmienkam |a|2 + |b|2 = |u| = 1, resp. , , , R sú ľubovoľné. Dôkaz. Priamym výpočtom sa možno presvedčiť, že každá matica v ľubovoľnom z uve- dených dvoch tvarov vyhovuje podmienke A A = I2, teda je unitárna. Nech naopak A = a b c d je unitárna. Potom matica A A = I2 má na mieste (1, 1) prvok |a|2 +|b|2 = 1. Označme u = det A. Ľahko možno overiť, že |u| = 1, preto 17. UNITÁRNE PRIESTORY 9 aj matice diag(1, u) a B = diag(1, u) A = a b cu du sú unitárne (pozri cvičenie ...). Potom det B = 1, preto B-1 = du -b -cu a a B = a cu b du . Keďže B-1 = B , porovnaním príslušných zložiek oboch matíc dostávame c = -bu, d = au. Ak čísla a, b, u zapíšeme v goniometrickom tvare a = |a| ei , b = |b| ei , u = ei , kde , , R, a uvedomíme si, že z podmienky |a|2 + |b|2 = 1 vyplýva existencia 0, /2 takého, že |a| = cos , |b| = sin , vidíme, že maticu A možno vyjadriť aj v druhom z uvedených tvarov. 17.5. Stavové priestory v klasickej mechanike Cieľom tohto paragrafu nie je systematický výklad klasickej mechaniky. Hodláme len zbežne zaviesť a motivovať pojem stavového priestoru a stručne naznačiť prednosti v ňom fungujúceho Hamiltonovho formalizmu. Hlavne nám však ide o vybudovanie aspoň akej-takej názornej predstavy, či aspoň analógie, o ktorú by sme sa mohli oprieť v poslednom paragrafe, kde sa chystáme zaviesť stavové priestory v kvantovej mechanike, čo je oblasť, kde naša intuícia z viacerých dôvodov zlyháva. Uvažujme hmotný bod pohybujúci sa vo fyzikálnom priestore, ktorý prostred- níctvom voľby nejakej pravouhlej súradnicovej sústavy zvykneme stotožňovať s eu- klidovským priestorom R3 . Priestorové súradnice (rádius-vektora) jeho polohy v čase t označme x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)). Jeho okamžitá rýchlosť v čase t je potom daná ako derivácia v(t) = dx dt = dx1 dt , dx2 dt , dx3 dt . Ak navyše poznáme jeho hmotnosť m, tak jeho pohybový stav v čase t je jednoznačne určený dvoma vektormi: polohovým vektorom x(t) a vektorom hybnosti p(t) = mv(t), t. j. jednotlivé zložky vj rýchlosti a pj hybnosti v smere súradných osí sú zviazané vzťahmi pj = mvj = m(dxj/ dt) pre j = 1, 2, 3. Inak povedané, okamžitý pohybový stav hmotnej častice je jednoznačne určený jediným v čase premenným vektorom (bodom) (x, p) v stavovom priestore R6 . Tento priestor chápeme ako priamy súčin R3 × R3 dvoch exemplárov euklidovského priestoru R3 (so štandardným skalárnym súčinom), z ktorých prvý slúži na zaznamenávanie polohy a druhý hybnosti. Kvôli jednoduchosti ďalej predpokladajme, že pohyb nášho hmotného bodu sa odohráva v tzv. konzervatívnom silovom poli, t. j. potenciálna energia U = U(x) hmotného bodu v ňom je iba funkciou jeho polohy x a nezávisí od času. Sila pôsobiaca na časticu v danom mieste teda je F = - gradU = - U x1 , U x2 , U x3 . S využitím Newtonovej pohybovej rovnice F = d(mv) dt = dp dt 10 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA dostávame dp dt = - gradU, dx dt = v = 1 m p. Celková energia hmotného bodu v danom mieste a čase je súčtom jeho kinetickej a potenciálnej energie H = 1 2 m v 2 + U(x) = 1 2m p 2 + U(x). Výraz H = H(x, p) nazývame Hamiltonovou funkciou príslušnej pohybujúcej sa sú- stavy. Jednoduchý výpočet dáva H xj = U xj = - dpj dt , H pj = 1 2m p 2 pj = 1 2m (p2 1 + p2 2 + p2 3) pj = 1 m pj = dxj dt , pre j = 1, 2, 3. Ak si ešte zavedieme skrátené označenie H x1 , H x2 , H x3 = H x , H p1 , H p2 , H p3 = H p , dostávame parciálne diferenciálne rovnice, popisujúce pohyb hmotného bodu, v tzv. Hamiltonovom tvare dx dt = H p , dp dt = - H x , ktorý vyniká mimoriadnou eleganciou, symetriou a jednoduchosťou. Podobne, okamžitý stav sústavy pohybujúcich sa n hmotných bodov je jedno- značne určený dvoma usporiadanými n-ticami: (x1, . . . , xn) ich polohových vektorov a (p1, . . . , pn) ich hybností, ktoré možno výhodne reprezentovať ako blokovú maticu (X, P ) = x1 p1 ... ... xn pn = x11 x12 x13 p11 p12 p13 ... ... ... ... ... ... xn1 xn2 xn3 pn1 pn2 pn3 Rn×6 , pričom jednotlivé zložky xij = xij(t) matice X = X(t), resp. pij = pij(t) mati- ce P = P (t) predstavujú j-tu súradnicu polohy resp. hybnosti i-tej častice a sú zviazané vzťahom pij = mi(dxij/ dt), kde mi je jej hmotnosť. Teda okamžitý pohy- bový stav sústavy n hmotných bodov sme zachytili ako jediný od času závislý bod či vektor (X, P ) v 6n-rozmernom stavovom priestore Rn×6 , chápanom ako priamy súčin 2n exemplárov euklidovského priestoru R3 , zodpovedajúcich zložkám matice (xi, pi) (R3 )n×2 , nazývaným tiež zovšeobecnené súradnice a zovšeobecnené hybnosti sústavy. 17. UNITÁRNE PRIESTORY 11 Celkom analogicky ako v prípade jedinej častice, i pre n hmotných bodov v konzer- vatívnom silovom poli (dokonca aj za podstatne všeobecnejších predpokladov) možno odvodiť, že ich pohyb sa riadi parciálnymi diferenciálnymi rovnicami dX dt = H P , dP dt = - H X . ktoré nazývame Hamiltonovými rovnicami. Uvedené výrazy označujú matice dX dt = dxij dt n×3 , H X = H xij n×3 , dP dt = dpij dt n×3 , H P = H pij n×3 , a H = H(X, P ) je opäť Hamiltonova funkcia, vyjadrujúca celkovú energiu sústavy. Jej explicitný tvar je H = n i=1 1 2mi pi 2 + n i=1 Ui(xi) + i