18. VLASTNZ HODNOTY A VLASTNZ VEKTORY
Touto kapitolou zaW name najd]le[itej iu partiu n ho kurzu line rnej algebry a geo-
metrie. Jej strednR pojmy ako vlastn hodnota, vlastnb vektor a spektrum line r-
neho oper tora hraj k Wov lohu nielen v samotnej line rnej algebre, ale aj v jej
aplik ci ch Wi u[ v inbch oblastiach matematiky, vo fyzike, i v Sal ch discipl nach.
Po iestich kapitol ch, ktorR sa odohr vali nad po om R pr padne C , sa opT vra-
ciame k vektorovbm priestorom nad ubovo nbm po om K.
18.1. Matica line rneho oper tora a podobnos mat c
Pripome me,[e line rnym oper torom na vektorovom priestoreV alebo tie[ line rnou
transform ciou priestoru V nazbvame ubovo nR line rne zobrazenie ': V ! V . Ak
V je koneWnorozmernb,tak line rny oper tor ': V ! V je injekt vny pr ve vtedy, keS
je surjekt vny, Wo je ekvivalentnR s rovnos ou h' = dimV pozri d]sledok 6.2.4.
Maticou line rnej transform cie ': V ! V vzh adom na b zu = u1;:::;un
nazbvame maticu
' = ' ; =
,
'u1 ;:::;'un

2 Knn;
tvoren s radnicami obrazov 'uj vektorov uj b zy vzh adom na t ist b zu .
Jednbm z ved cich z merov tejto i nasleduj cich dvoch kapitol bude dosiahnu
vhodnou vo bou b zy Wo najjednoduch tvar matice A = ' line rneho ope-
r tora '. Poznamenajme, [e pokia by sme netrvali na prirodzenej po[iadavke vy-
jadrova s radnice vzorov aj obrazov vektorov x 2 V vzh adom na t ist b zu
priestoru V , lo by o peci lny pr pad vety 7.6.4: v[dy by sme mohli navy e jedno-
duchbm sp]sobom zvoli b zy , priestoru V tak, aby matica ' vzh adom na ne
mala blokovb tvar
' ; =

Ih 0h;n,h
0n,h;h 0n,h;n,h

;
kde h = h'. NieWo jednoduch ie si a[ko mo[no predstavi my by sme u[ tradiWne
boli spokojn s diagon lnou maticou A = ' . Zdanlivo nevinn po[iadavka =
v ak znaWne zu[uje mo[nosti na ej vo by, Wo ako uvid me dramaticky komplikuje
situ ciu.
Analogick lohu sme u[ rie ili v kapitole 11 pre symetrickR biline rne formy;
vtedy sa n m v ak podarilo uk za , [e a[ na pr pad pol charakteristiky 2 mo[no
vo bou vhodnej b zy v[dy dosiahnu diagon lny tvar matice pr slu nej formy. Po-
znamenajme u[ vopred, [e pre line rne oper tory sa n m niW podobnR nepodar .
Jednako presk mame trukt ru line rnych oper torov na koneWnorozmernbch vek-
torovbch priestoroch do takej miery, [e dok [eme charakterizova oper tory diagona-
lizovate nR vo vhodnej b ze ako aj identi kova ba WiastoWne tie[ odstr ni ale to
a[ v nasleduj cej kapitole prek [ky diagonalizovate nosti u tbch ostatnbch.
Na zaWiatok si uvedomme vz ah medzi maticami line rneho oper tora vzh adom
na r]zne b zy. Ako zvl tny pr pad vety 7.6.1 dost vame:
1
2 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
18.1.1. Veta. Nech ': V ! V je line rna transform cia koneWnorozmernRho vek-
torovRho priestoru V a , s jeho dve b zy. Potom
' = P ; ' P ; :
tvorcovRmatice A; B 2 Knn sa nazbvaj podobnR, oznaWenie A  B,ak existuje
regul rna matica P 2 Knn tak , [e plat
B = P,1 AP:
Zrejme podobnR matice maj rovnak hodnos . Pitate si iste s m bez a[kost over ,
[e pre ubovo nR matice A; B; C 2 Knn plat
A  A;
A  B  B  A;
A  B & B  C  A  C:
To znamen , [e vz ah podobnosti je re ex vny, symetrickb a tranzit vny, Wi[e je to
ekvivalencia na mno[ine Knn. Ekvivalencia podobnosti n m asi pripom na in ekvi-
valenciu na mno[ine Knn: toti[ kongruenciu mat c A  B, s ktorou ju v ak neslo-
bodno zamie a pozri paragraf 11.3.
KeS[e P ; = P,1
; a ka[d regul rna matica je maticou prechodu medzi vhodnou
dvojicou b z, nasleduj ca veta je bezprostrednbm d]sledokom vety 18.1.1.
18.1.2. Veta. Nech V je n-rozmernb vektorovb priestor nad po om K. Potom pre
ubovo nR matice A; B 2 Knn nasleduj ce podmienky s ekvivalentnR:
i A, B s maticami tej istej line rnej transform cie ': V ! V vzh adom na
nejakR dve mo[no no nie nutne r]zne b zy priestoru V ;
ii A  B.
Stopu matice A 2 Knn, oznaWenie trA z anglickRho trace, de nujeme ako s Wet
jej diagon lnych prvkov, t.j.
trA = a11 + ::: + ann =
nX
i=1
aii:
18.1.3. Tvrdenie. Nech A 2 Kmn, B 2 Knm. Potom
trA B = trB A:
D]kaz. OznaWme A  B = cijmm, B  A = djknn. Jednoduchbm vbpoWtom
dost vame
trA B =
mX
i=1
cii =
mX
i=1
nX
j=1
aijbji =
nX
j=1
mX
i=1
bjiaij =
nX
j=1
djj = trB A:
Vety 10.3.2 a 10.3.3 o determinante s Winu mat c a determinante inverznej matice,
resp. tvrdenie 18.1.3 maj nasleduj ci bezprostrednb
18.1.4. D]sledok. PodobnR matice maj rovnakb determinant aj stopu.
Hovor me, [e determinant a stopa s invariantmi podobnosti mat c. Ak teda matice
A; B 2 Knn maj r]zne determinanty alebo r]zne stopy priWom najmT t to druh
podmienku mo[no ve mi ahko nahliadnu , tak nem][u by podobnR. Na druhej
strane v ak ani rovnos determinantu a stopy e te nezaruWuje ich podobnos .
18. VLASTNZ HODNOTY A VLASTNZ VEKTORY 3
18.2. VlastnR hodnoty a vlastnR vektory
Line rny oper tor ': V ! V na koneWnorozmernom vektorovom priestore V sa
nazbva diagonalizovate nb, ak existuje nejak b za priestoru V , vzh adom na ktor
m ' diagon lnu maticu.
Nech teda ': V ! V je diagonalizovate nb line rny oper tor a = v1;:::;vn je
tak b za priestoru V , [e matica B = ' je diagon lna so skal rmi 1;:::;n 2 K
na diagon le. Potom pre b zickR vektory vi plat
'vi = ivi:
Ukazuje sa, [e tento vz ah medzi line rnym oper torom ' skal rom i a vektorom vi
m k Wovb vbznam.
Vopred zd]raz ujeme,[e nasleduj ce dve de n cie sa vz ahuj rovnako na koneWno-
i nekoneWnorozmernR vektorovR priestory.
Hovor me, [e skal r  2 K je vlastn alebo tie[ charakteristick hodnota line rneho
oper tora ': V ! V , ak existuje vektor 0 6= v 2 V , pre ktorb plat 'v = v. V pr -
pade vektorovbch priestorov nad W selnbmi po ami, ako napr. R alebo C , zvykneme
hovori o vlastnom W sle line rneho oper tora.
Hovor me, [e 0 6= v 2 V je vlastnb alebo tie[ charakteristickb vektor line rneho
oper tora ': V ! V , ak existuje skal r  2 K, pre ktorb plat 'v = v. Ak V je
vektorovb priestor funkci , zvykneme hovori o vlastnej funkcii line rneho oper tora.
Obe uvedenR de n cie hovoria vlastne o tom istom. Ak  2 K je vlastn hodnota
oper tora ', tak ka[db nenulovb vektor v 2 V takb, [e 'v = v, je vlastnb vek-
tor oper tora '. Naopak, ak v 2 V je vlastnb vektor, tak skal r , pre ktorb plat
'v = v, je vlastn hodnota. Hovor me, [e v je vlastnb vektor prisl chaj ci k vlast-
nej hodnote , resp. [e  je vlastn hodnota prisl chaj ca k vlastnRmu vektoru v. E te
si v imnite, [e vlastn hodnota prisl chaj ca k danRmu vlastnRmu vektoru je urWen
jednoznaWne; na druhej strane, ako uvid me, k danej vlastnej hodnote m][e prisl cha
viacero, dokonca line rne nez vislbch vektorov.
Vlastnou charakteristickou hodnotou vlastnbm W slom, resp. vlastnbm charak-
teristickbm vektorom tvorcovej matice A 2 Knn nazbvame vlastn hodnotu, resp.
vlastnb vektor line rneho oper tora Kn ! Kn danRho predpisom x 7! Ax. Vlastn
hodnota  2 K a k nej prisl chaj ci vlastnb vektor 0 6= v 2 Kn matice A s tak
zviazanR vz ahom Av = v.
Z tvrdenia 18.1.2 vyplbva, [e vlastnR hodnoty podobnbch mat c s vlastnbmi hod-
notami toho istRho line rneho oper tora, preto
18.2.1. Tvrdenie. PodobnR matice maj rovnakR vlastnR hodnoty.
Jednorozmernb podpriestor v generovanb vlastnbm vektorom v line rneho oper -
tora je peci lnym pr padom tzv. invariantnRho podpriestoru. Hovor me, [e line rny
podpriestor S vektorovRho priestoru V je invariantnbm podpriestorom line rneho ope-
r tora ': V ! V , ak plat 'S  S, t.j. 'x 2 S pre ka[dR x 2 S. Ak line rny
oper tor ' je xovanb kontextom, hovor me jednoducho o invariantnom podpriestore.
Trivi lny podpriestor f0g a nevlastnb podpriestor V s v[dy invariantnR. Zrejme
jednorozmernb podpriestor v je invariantnb pr ve vtedy, keS v je vlastnb vektor
pr slu nRho oper tora. JednorozmernR podpriestory generovanR vlastnbmi vektormi
line rneho oper tora s teda pr kladmi netrivi lnych, a ak dimV 1, tak i vlastnbch
invariantnbch podpriestorov.
4 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Ak S je invariantnb podpriestor line rnej transform cie ': V ! V , tak z [enie
' na S je opT line rnou transform ciou '  S: S ! S na vektorovom priestore S.
Ak = u1;:::;uk;uk+1;:::;un je b za priestoru V tak , [e jej prvbch k vektorov
tvor b zu invariantnRho podpriestoru S, tak matica ' v tejto b ze m blokovb tvar
A = ' =

A1 M
0n,k;k A2

;
kde A1 2 Kkk je matica line rnej transform cie 'S: S ! S v b ze u1;:::;uk a
M 2 Kkn,k, A2 2 Kn,kn,k
.
Ak V = S T je dokonca priamym s Wtom invariantnbch podpriestorov S, T, tak
V m b zu = u1;:::;uk;uk+1;:::;un, ktorej prvbch k vektorov tvor b zu S a
zvy nbch n,k vektorov tvor b zu T. Vzh adom na tak to b zu m matica ' blokovo
diagon lny tvar
A = ' =

A1 0k;n,k
0n,k;k A2

= diagA1;A2;
kde A1 2 Kkk je matica line rnej transform cie ' S: S ! S v b ze u1;:::;uk
a A2 2 Kn,kn,k
je matica line rnej transform cie '  T : T ! T v b ze
uk+1;:::;un. Toto pozorovanie mo[no zrejmbm sp]sobom zov eobecni na priamy
s Wet ubovo nRho koneWnRho poWtu invariantnbch podpriestorov. Detaily prenech -
vame na samostatnR premyslenie Witate ovi.
Z vykonanbch vah priamo vyplbva nasleduj ca charakteriz cia diagonalizovate -
nbch line rnych oper torov.
18.2.2. Veta. Nech ' je line rny oper tor na koneWnorozmernom vektorovom prie-
store V . Potom nasleduj ce podmienky s ekvivalentnR:
i ' je diagonalizovate nb;
ii existuje b za priestoru V pozost vaj ca z vlastnbch vektorov oper tora ';
ii V je priamym s Wtom jednorozmernbch invariantnbch podpriestorov line rneho
oper tora '.
Samozrejme, matica oper tora ' v b ze vlastnbch vektorov = v1;:::;vn m
tvar ' = diag1;:::;n, kde i je vlastnR hodnota prisl chaj ca k vlastnRmu
vektoru vi.
PodWiarkujeme, [e nasleduj ce tvrdenie plat aj bez predpokladu koneWnorozmer-
nosti priestoru V .
18.2.3. Tvrdenie. Nech 1;:::;k s navz jom r]zne vlastnR hodnoty line rneho
oper tora ': V ! V . Potom k nim prisl chaj ce vlastnR vektory v1;:::;vk s
line rne nez vislR.
D]kaz. Predpokladajme, [e v1;:::;vk s line rne z vislR. Potom existuje j  k takR,
[e vektor vj je line rnou kombin ciou predch dzaj cich; zvo me najmen ie takR j.
KeS[e v1 6= 0, j  2 a [iaden z vektorov v1;:::;vj,1 nie je line rnou kombin ciou
predch dzaj cich, s to line rne nez vislR vektory. Pre nejakR skal ry c1;:::;cj,1
plat vj = c1v1 + ::: + cj,1vj,1. Nako ko vj 6= 0, aspo jeden z tbchto skal rov je
6= 0. Vektor 'vj si vyjadr me dvoma sp]sobmi:
'vj = c1'v1 + ::: + cj,1'vj,1 = c11v1 + ::: + cj,1j,1vj,1;
'vj = jvj = jc1v1 + ::: + cj,1vj,1 = c1jv1 + + cj,1jvj,1:
18. VLASTNZ HODNOTY A VLASTNZ VEKTORY 5
V d]sledku toho
c11 ,jv1 + ::: + cj,1j,1 ,jvj,1 = 0;
a keS[e i 6= j pre v etky i  j ,1, aspo jeden z koe cientov cii ,j je r]zny
od nuly. To je v ak spor s nez vislo ou vektorov v1;:::;vj,1.
Pr ve dok zanR tvrdenie spolu s vetou 18.2.2 maj za bezprostrednb d]sledok prv
Was nasleduj ceho tvrdenia.
18.2.4. Tvrdenie. Nech ' je line rny oper tor na n-rozmernom vektorovom prie-
store V . Ak ' m n navz jom r]znych vlastnbch hodn]t 1;:::;n, tak je ' je dia-
gonalizovate nb v b ze im prisl chaj cich vlastnbch vektorov. Navy e ka[db vlastnb
vektor vi prisl chaj ci k vlastnej hodnote i je urWenb jednoznaWne a[ na skal rny
n sobok.
D]kaz. Zost va overi z vereWn podmienku jednoznaWnosti. Nech teda j  n a w je
tie[ vlastnb vektor prisl chaj ci k vlastnej hodnote j. KeS[e v1;:::;vn tvoria b zu
V , w =
Pn
i=1 civi pre nejakR koe cienty ci 2 K. Dok [eme, [e w = cjvj. V opaWnom
pr pade by aj w,cjvj 6= 0 bol vlastnbm vektorom oper tora ' prisl chaj cim k j.
Pod a predch dzaj ceho tvrdenia s vektory w,cjvj, a vi, i 6= j, line rne nez vislR.
To je v ak spor so skutoWnos ou, [e
w ,cjvj =
X
i6=j
civi
je line rnou kombin ciou ostatnbch vektorov.
18.3. Charakteristickb polyn m
V tomto paragrafe si predvedieme, ako mo[no k danej tvorcovej matici A 2 Knn
n js jej vlastnR hodnoty a k nim prisl chaj ce vlastnR vektory. Reprezent cia line-
rneho oper tora na koneWnorozmernom vektorovom priestore pomocou jeho matice
v nejakej dokonca ubovo nej b ze n m potom umo[n vyrie i analogick lohu aj
pre .
Maticu A,xI nazbvame charakteristickou maticou matice A 2 Knn; jej charak-
teristickbm polyn mom nazbvame determinant charakteristickej matice, t.j. polyn m
chAx = detA ,xIn =
a11 ,x a12 ::: a1n
a21 a22 ,x ::: a2n
...
... ... ...
an1 an2 ::: ann ,x
v premennej x s koe cientmi z po a K, t.j. chAx 2 K x . Charakteristickb polyn m
je zrejme polyn m stup a n s koe cientom ,1n pri najvy ej mocnine xn. Charak-
teristickou rovnicou matice A nazbvame rovnicu chAx = 0, t.j.
detA ,xIn = 0:
Niektor autori de nuj charakteristick maticu ako xI ,A a charakteristickb poly-
n m ako detxI , A, Wi[e ako ,1n kr t "n charakteristickb polyn m zrejme
ide o nepodstatnb rozdiel.
Vbznam pr ve de novanbch pojmov je danb nasleduj cou vetou.
6 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
18.3.1. Veta. Nech A 2 Knn. Potom skal r  2 K je vlastnou hodotou matice A
pr ve vtedy, keS
detA ,In = 0;
t.j. pr ve vtedy, keS  vyhovuje charakteristickej rovnici matice A.
D]kaz. Skal r  2 K je vlastnou hodnotou matice A pr ve vtedy, keS A  v = v
pre nejakb vektor 0 6= v 2 Kn, Wi[e pr ve vtedy, keS homogRnna s stava line rnych
rovn c A ,I v = 0 m aspo jedno nenulovR rie enie v 2 Kn. To nastane pr ve
vtedy, keS matica A,I je singul rna, t.j. detA ,I = 0.
Zopakujme si e te raz, Wo sme sa nauWili v tomto d]kaze a nie je zahrnutR v znen
vety: vlastnR vektory tvorcovej matice A prisl chaj ce k jej vlastnej hodnote  s
pr ve v etky nenulovR rie enia homogRnnej s stavy s maticou A, I; pritom pr ve
singularita uvedenej matice zaruWuje ich existenciu.
18.3.2. Veta. Nech A; B 2 Knn. Ak A  B, tak chA = chB; inbmi slovami,
podobnR matice maj rovnakb charakteristickb polyn m.
D]kaz. Nech A, B s podobnR a P je regul rna matica tak , [e B = P,1  A P.
KeS[e aj xI = P,1  xI  P, s pou[it m rovnost pre determinant s Winu mat c a
determinant inverznej matice vety 10.3.2 a 10.3.3 dost vame
chBx = detB ,xI = det
,
P,1 AP ,P,1 xI P
= det
,
P,1 A ,xI P
= detP,1 detA ,xIdetP
= detA ,xI = chAx:
To znamen , [e i charakteristickb polyn m je invariantnom podobnosti mat c. T to
jeho vlastnos n m umo[ uje korektne zade nova aj charakteristickb polyn m ch'x
line rnej transform cie ' koneWnorozmernRho vektorovRho priestoru V ako charak-
teristickb polyn m matice tejto transform cie vzh adom na ubovo n b zu priestoru
V . VlastnR hodnoty takejto line rnej transform cie s potom toto[nR s vlastnbmi
hodnotami jej matice.
Tvrdenie 18.2.1 teraz priamo vyplbva z vety 18.3.2. Keby sme boli schopn na-
hliadnu , [e koe cienty u mocn n x0
resp. xn,1 v charakteristickom polyn me chAx
matice A 2 Knn s detA resp. ,1n,1 trA, Wi[e
chAx = detA,::: + ,1n,1a11 + ::: + annxn,1 + ,1nxn
Wo nie je a[ takR a[kR, mohli by sme okam[ite dosta aj d]sledok 18.1.4 z pr ve
dok zanej vety. Ani Witate , ktorb to nahliadnu nedok [e, si v ak nemus z fa . Tieto
vbsledky n m toti[ onedlho spadn do lona samy, ako ved aj ie plody n ho t dia.
18.4. Pr klady
Pok sme sa teraz na nieko kbch ve mi jednoduchbch pr kladoch v etky sa tbkaj
mat c najni[ ieho netrivi lneho rozmeru 2 2 ilustrova met du vbpoWtu vlastnbch
hodn]t  matice A rie en m jej charakteristickej rovnice chAx = 0 a n slednb
vbpoWet vlastnbch vektorov rie en m homogRnnych s stav so singul rnymi maticami
A,I. Z rove sa pri tom zozn mime s r]znymi mo[nos ami, ktorR m][u nasta , a
priprav me si tak p]du pre Sal ie vahy.
18. VLASTNZ HODNOTY A VLASTNZ VEKTORY 7
18.4.1.Pr klad. S mernos roviny pod a osi prech dzaj cejpoWiatkom a zvieraj cej
s osou x uhol je line rny oper tor S : R2
! R2
, ktorb m vzh adom na kanonick
b zu " = e1;e2 maticu
S =

cos2 sin2
sin2 ,cos2

pozri pr klad 6.4.4. Charakteristickb polyn m
detS ,xI2 = cos2 ,x sin2
sin2 ,cos2 ,x
= x2
,cos2
2 ,sin2
2 = x2
,1
m dva korene x1;2 = 1. K nim prisl chaj ce vlastnR vektory n jdeme rie en m
homogRnnych s stav s maticami
S ,I =

cos2 ,1 sin2
sin2 ,cos2 ,1



sin ,cos
0 0

;
resp.
S + I =

cos2 + 1 sin2
sin2 ,cos2 + 1



cos sin
0 0

:
Oba podpriestory rie en s jednorozmernR, generovanR vektormi cos ;sin T resp.
,sin ;cos T. To znamen , [e oper tor oper tor S m vzh adom na b zu tvoren
st pcami matice 
cos ,sin
sin cos

diagon lnu maticu diag1;,1. E te si v imnite, [e cos ;sin T je smerovb vektor
na ej osi s mernosti a ,sin ;cos T je smerovb vektor kolmice na u v poWiatku.
Uvedomte si, [e tento vbsledok sa presne zhoduje s geometrickbm n zorom.
18.4.2. Pr klad. OtoWenie roviny okolo poWiatku o uhol je line rny oper tor
R : R2
! R2
, ktorb m v kanonickej b ze " = e1;e2 maticu
R =

cos ,sin
sin cos

pozri pr klad 6.4.3. Charakteristickb polyn m
detR ,xI2 = cos ,x ,sin
sin cos ,x
= x2
,2xcos + cos2
+sin2
= x2
,2xcos + 1
m diskriminant D = 4cos2
, 4 = ,4sin2
. Okrem trivi lneho pr padu, keS
sin = 0, t.j. R = I2, ktorbm sa Salej nebudeme zaobera , je D 0, teda charak-
teristickb polyn m nem re lne korene. Preto ani R nem re lne vlastnR hodnoty a
nie je podobn so [iadnou diagon lnou maticou nad R.
8 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Na druhej strane, keS[e R  C , na R sa m][eme d va ako na komplexn
maticu z C 22
; ako tak urWuje vzh adom na kanonick b zu " = e1;e2 v C 2
line rny oper tor C 2
! C 2
. V poli C jej charakteristickb polyn m u[ m dva ko-
rene x1;2 = cos isin = ei , ktorbm zodpovedaj ce vlastnR vektory dostaneme
rie en m homogRnnych s stav s maticami
R ,ei
I =

,isin ,sin
sin ,isin



1 ,i
0 0

;
resp.
R ,e,i I =

isin ,sin
sin isin



1 i
0 0

:
Oba podpriestory rie en s jednorozmernR, generovanR vektormi 1;,iT resp. 1;iT.
To znamen , [e oper tor C 2
! C 2
danb predpisom x 7! R x m vzh adom na b zu
tvoren st pcami matice 
1 1
,i i

diagon lnu maticu diagei
;e,i .
18.4.3.Pr klad. Rovno ahlos v rovine so stredom v poWiatku a koe cientom podob-
nosti c 2 R je line rny oper tor R2
! R2
, ktorb m v kanonickej b ze " = e1;e2
diagon lnu maticu cI2 pozri pr klad 6.4.5. Jej charakteristickb polyn m
detcI2 ,xI2 = c ,x2
m jeden dvojn sobnb re lny kore x1;2 = c. Podpriestor rie en homogRnnej s stavy
s maticou cI2 ,cI2 = 02;2 je samozrejme celR R2
. To znamen , [e na a rovno ahlos
m v ubovo nej b ze priestoru R2
diagon lnumaticu cI2. VTW inou, pokia z nejakbch
d]vodov ned me prednos inej vo be, si v takom pr pade zvykneme vybra kanonick
b zu " = e1;e2.
18.4.4. Pr klad. Skosenie roviny v smere osi x s parametrom a 2 R je line rny
oper tor R2
! R2
s maticou 
1 0
a 1

vzh adom na kanonick b zu " = e1;e2 pozri pr klad 6.4.6. KeS[e pre a = 0 ide
o identickR zobrazenie, ktorR m v ubovo nej b ze maticu I2 Wo je peci lny pr pad
predo lRho pr kladu, budeme Salej predpoklada , [e a 6= 0. Charakteristickb polyn m
1 ,x 0
a 1 ,x = 1 ,x2
m jeden dvojn sobnb re lny kore x1;2 = 1. K nemu prisl chaj ce vlastnR vektory
n jdeme rie en m homogRnnej s stavy s maticou

0 0
a 0



1 0
0 0

:
Podpriestor rie en je jednorozmernb, generovanb vektorom e2 = 0;1T, preto skose-
nie v smere osi x s nenulovbm parametromnie je diagonalizovate nb line rnyoper tor.
18. VLASTNZ HODNOTY A VLASTNZ VEKTORY 9
18.4.5. Pr klad. Hyperbpolick rot cia MinkowskRho "Wasopriamky R1;1
o hyper-
bolickb uhol  2 R je line rny oper tor Rh : R2
! R2
, ktorb m v kanonickej b ze
" = e0;e1 maticu
Rh =

cosh sinh
sinh cosh

pozri paragraf 16.7. Charakteristickb polyn m
detRh ,xI2 = cosh ,x sinh
sinh cosh ,x
= x2
,2xcosh + cosh2
 ,sinh2
 = x2
,2xcosh + 1
m diskriminant D = 4cosh2
 ,4 = 4sinh2
  0 a dva re lne korene
x1;2 = cosh sinh = e :
Pre  = 0 je Rh = I2, tak[e ide o algebraicky i geometricky dvojn sobnR vlastnR
W slo e0
= 1. Pre  6= 0 dost vame dve jednoduchR vlastnR W sla. Pr slu nR vlastnR
vektory n jdeme rie en m homogRnnych s stav s maticami
Rh ,e I2 =

cosh ,e sinh
sinh cosh ,e

=

,sinh sinh
sinh ,sinh



1 ,1
0 0

;
resp.
Rh ,e, I2 =

cosh ,e, sinh
sinh cosh ,e,

=

sinh sinh
sinh sinh



1 1
0 0

:
Oba podpriestory rie en s jednorozmernR, generovanR vlastnbmi vektormi 1;1T,
resp. 1;,1T. V imnite si, [e ide o svetelnR vektory. V nimi tvorenej b ze, danej
st pcami matice 
1 1
1 ,1

;
m hyperbolick rot cia Rh diagon lnu maticu diage;e,.
18.5. Line rne oper tory na nekoneWnorozmernbch priestoroch
V tomto paragrafe ako napokon ani v celom kurze nie je na im cie om systematickR
t dium line rnych oper torov na nekoneWnorozmernbch priestoroch. Obmedz me sa
len na dva pouWnR pr klady, na ktorbch sa vbrazne prejavia rozdiely medzi koneWno-
a nekoneWnorozmernbm pr padom.
18.5.1. Pr klad. Symbolom C1
R sa zvykne oznaWova mno[ina v etkbch funkci
f : R ! R, ktorR maj na celom R spojitR deriv cie v etkbch r dov. Zrejme C1
Rje
line rny podpriestor re lneho vektorovRho priestoru CR v etkbch spojitbch funkci
R ! R s oper ciami de novanbmi po zlo[k ch pozri pr klady 4.1.3 a 6.1.8. Potom
pre ka[d funkciu f 2 C1
R aj jej deriv cia Df = f0 patr do C1
R, teda
10 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
D: C1
R ! C1
R je line rny oper tor. Podmienka Df = f pre jeho vlastn
hodnotu a pr slu n vlastn funkciu nie je niW inRho ne[ diferenci lna rovnica
f0x = fx;
ktor m pre ka[dR  rie enie
fx = f0ex :
To v ak v reWi tejto kapitoly znamen , [e ka[dR re lne W slo  je vlastnou hodnotou
oper tora D a prisl cha mu jednorozmernb vlastnb podpriestor generovanb funkciou
ex.
18.5.2. Pr klad. UrWitb integr l ch panb ako funkcia hornej medze, ktorb spojitej
funkcii f : ha;bi ! R prirad predpisom Fx =
R x
a ftdt jej primit vnu funkciu
If = F, de nuje line rny oper tor I: Cha;bi ! Cha;bi na vektorovom priestore
Cha;bi v etkbch spojitbch re lnych funkci na intervale ha;bi pozri pr klad 6.1.9.
Podmienka If = f pre jeho vlastn hodnotu a pr slu n vlastn funkciu m tvar
integr lnej rovnice Z x
a
ftdt = fx:
Ak  = 0, tak derivovan m oboch str n pod a x zist me, [e jedin spojit funkcia f,
ktor ju sp a, je identicky rovn nule. Teda 0 nie je vlastnR W slo oper tora I.
Nech teda  6= 0. KeS[e funkcia na pravej strane je diferencovate n , mus by
diferencovate n aj f, a po derivovan oboch str n pod a x dost vame diferenci lnu
rovnicu fx = f0x, Wi[e
f0x = 1

fx;
ktor , podobne ako v predch dzaj com pr klade, m rie enie
fx = fae
x,a
 :
Dosaden m x = a do p]vodnRho vz ahu dost vame
fa =
Z a
a
ftdt = 0;
teda fa = 0, Wo m opT za n sledok fx = 0 pre ka[dR x. Teda ani [iadne re lne
 6= 0 nie je vlastnbm W slom oper tora I.
PouWen pr kladom 18.4.2 by sme sa mohli pok a n js nejakR komplexnR vlastnR
W sla oper tora I. Ale u[ zbe[nb poh ad na pr ve vykonanR vahy n m uk [e, [e
re lnos skal ra  v nich nehrala podstatn lohu. Teda z rovnakbch d]vodov I nem
ani komplexnR vlastnR W sla.
Na druhej strane, line rny oper tor Ia : Cha;bi ! Cha;bi danb predpisom
Iafx = fa +
Z x
a
ftdt
pre f 2 Cha;bi, x 2 ha;bi m jedinR vlastnR W slo  = 1. V etky rie enia pr slu nej
integr lnej rovnice Iaf = f maj tvar
fx = faex,a :
To znamen , [e tvoria jednorozmernb vlastnb podpriestor generovanb vlastnou fun-
kciou ex,a. PresvedWte sa o tom.