20. JORDANOV KANONICKÝ TVAR V tejto kapitole si ukážeme, že i nediagonalizovateľné lineárne operátory či matice možno voľbou vhodnej bázy upraviť na tzv. Jordanov kanonický tvar, ktorý je -aspoň na pohľad - veľmi blízky diagonálnemu. Dôkaz tohto výsledku je však podstatne náročnejší než všetky dôkazy, s ktorými sme sa doteraz v tomto kurze stretli. Preto najprv iba sformulujeme príslušné vety a predvedieme, ako sa úprava na Jordanov kanonický tvar v niektorých jednoduchých prípadoch robí. S takýmito vedomosťami vystačíme vo väčšine prípadov. Jednako pre náročnejšieho čitateľa uvádzame úplný dôkaz, ktorý nám zaberie celé dva paragrafy 20.4 a 20.5. Na jeho základe potom popíšeme ďalšiu metódu úpravy matice na Jordanov kanonický tvar. S niektorými aplikáciami výsledkov o Jordanovom kanonickom tvare sa oboznámime až v dvoch nasledujúcich kapitolách. 20.1. Jordanov kanonický tvar matice Hovoríme, že matica A G KnXn je v Jordanovom kanonickom tvare, skrátene JKT, ak má blokovo diagonálny tvar A = diag( Jni (Ai),..., Jnk(Xk)), kde Jni (\i) sú Jordánové bunky rozmerov rii xrii prislúchajúce skalárom A^ G K (pozri príklad 19.1.3). Zrejme v takom prípade je n\ + . . . + n& = n a A má charakteristický polynóm det(A - xl) = (Ai - x)ni ... (A* - x)nk. Vidíme, že skalár A G K je vlastnou hodnotou matice A práve vtedy, keď sa nachádza v zozname Ai,. . . , A&. Keďže skaláry Ai,. . . , A& nemusia byť nevyhnutne rôzne, algebraická násobnost A vzhľadom na A je súčet veľkostí blokov s hodnotou A na diagonále, čiže ^A-=An*- Ako vyplýva z príkladu 19.1.3, každému bloku Jni(\i)} bez ohľadu na veľkosť n^, zodpovedá len jednorozmerný vlastný podpriestor - preto geometrická násobnost A vzhľadon na A je rovná počtu takýchto blokov, t. j. počtu prvkov množiny {i < k; \i = A}. Jordánovým kanonickým tvarom matice A G KnXn nazývame ľubovoľnú maticu J G LnXn v JKT, kde pole L je nejaké rozšírenie poľa K, podobnú (nad poľom L) s maticou A. Upraviť maticu A na Jordanov kanonický tvar znamená nájsť s ňou podobnú maticu J G LnXn v Jordanovom kanonickom tvare a regulárnu maticu P G LnXn takú, že J = P-1 A-P. Potom lineárny operátor x \—> A-x na (stĺpcovom) vektorovom priestore Ln má v báze tvorenej stĺpcami matice P maticu J v JKT. Kľúčové výsledky tejto kapitoly možno zhrnúť do nasledujúcich dvoch viet. 20.1.1. Veta. JVeci (p: V —> V je lineárny operátor na vektorovom priestore V konečnej dimenzie n nad poľom K. Ak (p má nad K spektrum algebraickej váhy n, tak existuje taká báza ß priestoru V, vzhľadom na ktorú má (p maticu (p)ß v Jordanovom kanonickom tvare. Pritom Jordanov kanonický tvar matice zobrazenia p je určený jednoznačne až na poradie Jordánových blokov. 1 2 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 20.1.2. Veta. Nech matica A G KnXn má nad poľom K spektrum algebraickej váhy n. Potom A je podobná s maticou J £ KnXn v Jordanovom kanonickom tvare. Pritom matica J je určená jednoznačne až na poradie Jordánových blokov. 20.1.3. Dôsledok. Nech matice A} B G KnXn majú v poli K spektrum algebraickej váhy n. Potom A ss B práve vtedy, keď A a B majú rovnaký Jordanov kanonický tvar. Všimnite si, že predpoklad o plnej algebraickej váhe spektra je splnený práve vtedy, keď K obsahuje rozkladové pole charakteristického polynomu lineárneho operátora - en-i i->- ... i->- e2 i->- e1 i->- 0, t. j. Jn ■ e\ = 0 (inak povedané, e\ je vlastný vektor matice «7n(A)), a Jn ■ ei = e{-\ pre 1 < i < n. Ak má teda lineárny operátor V mať v nejakej báze ß maticu v JKT ( — A^ idy =

5 ako funkcie jeho koeficientov zostavené pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia, delenia a mocnín s racionálnym exponentom.1 Ani pre polynomy stupňa 3 a 4, pre ktoré takéto vzorce existujú, však nie sú pre svoju ťažkopádnosť prakticky upotrebiteľné. Takže použiteľné explicitné vzorce máme k dispozícii len na riešenie rovníc stupňa 1 a 2. Tým vzrastá význam približných numerických metód výpočtu vlastných čísel a vektorov a JKT. Tieto otázky však už nie sú predmetom nášho kurzu. Momentálne nie je našim cieľom výpočtovo zvládnuť uvedenú problematiku v celej všeobecnosti, ale porozumieť jej základným súvislostiam. Keďže práve výsledky a metódy lineárnej algebry hrajú v modernej numerickej matematike významnú úlohu, je takéto prvotné porozumenie jedným z nevyhnutných predpokladov zvládnutia pokročilejších numerických metód. Jeden numerický aspekt výpočtu JKT však nemožno v tejto súvislosti nespomenúť. Numerické metódy väčšinou dávajú len približné výsledky s istou vopred zadanou presnosťou. Navyše často pracujú so vstupnými údajmi získanými meraním, teda už od začiatku zaťaženými určitými chybami. Na druhej strane, „takmer všetky" štvorcové matice nad C sú podobné s diagonálnymi.2 Pri hocako malej náhodnej zmene 1 Dôkaz neriešiteľnosti rovníc piateho a vyššieho stupňa pomocou radikálov je súčasťou tzv. Galoisovej teórie a patrí k vrcholným výkonom algebry 19. storočia. 2Presnejšie, topologická dimenzia množiny všetkých matíc A G <[2nXn ; ktoré nie sú podobné s dia- 4 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA prvkov sa takáto matica s pravdepodobnosťou hraničiacou s istotou stane podobnou diagonálnej. Teda matice s nediagonálnym JKT sú vlastne atypickými výnimkami s nekonečne málo pravdepodobným výskytom. To jednak činí numerický výpočet JKT značne chúlostivou záležitosťou, jednak navodzuje otázku, aký má vôbec význam zaoberať sa nediagonalizovateľnými maticami a lineárnymi operátormi. Dodajme teda, že na druhej strane typická matica A £ RW[x], kde D(f) = f (x) = ^ pre f (x) G IR^fx], na priestore všetkých reálnych polynómov stupňa < n má v báze ^n> = (1, x, x2 ... , xn) maticu {D\w ľ i 0 °\ 0 0 2 0 0 0 0 n Vo 0 0 0/ Z toho už možno pomerne ľahko nahliadnuť (prípadne dopočítať), že maticou operátora D v báze ( 1, x, 4r-.....4-r I je Jordánova bunka Jn+\ = «7n-|_i(0). 20.2. Príklady úpravy matíc na Jordanov kanonický tvar 20.2.1. Príklad. Uvažujme maticu f1 1 0 3 2 1 ~2\ -1 1 \3 0 4 0 3 -1 -4/ )4x4 Jej charakteristický polynóm det(A — xl) = x 2x2 + 1 = (x - l)2(a; + l)5 má dva korene x\^ = 1 a x-$^ = —1, oba dvojnásobné. Nájdeme k nim príslušné vlastné vektory. Podpriestor riešení homogénnej sústavy s maticou A-I /O 0 2 -2\ /l 0 0 -2\ 12 1 —1 1 f 0 1 0 1 10-1-1 ~ 0 0 1-1 \3 4 3 -5/ \0 0 0 0 / gonálnymi, je menšia než topologická dimenzia priestoru všetkých matíc C™ x n . Podobne, topologická dimenzia množiny všetkých matíc A G M™ Xn, ktoré nie sú podobné s diagonálnymi maticami z U1 xn , je menšia než topologická dimenzia priestoru všetkých matíc M™XTl. Pojem topologickej dimenzie je (zďaleka nie priamočiarym) zovšeobecnením dimenzie lineárnych a afmných podpriestorov nad M. 20. JORDANOV KANONICKÝ TVAR 5 je jednorozmerný, generovaný vlastným vektorom v\ = (2,—1,1,1) . Teda algebraicky dvojnásobné vlastné číslo 1 má geometrickú násobnost 1. Další vektor reťazca nájdeme ako nejaké riešenie x = V2 sústavy (A — I) ■ x = V\ úpravou jej rozšírenej matice /O 0 1 2 2 1 -2 -1 2\ -1 /l 0 0 0 1 0 -2 1 2 \ -2 1 0 \3 4 -1 3 -1 -5 1 1 ) 0 0 1 \0 0 0 -1 0 1 0 / teda napr. V2 = (2, —2,1, 0)T. Podpriestor riešení homogénnej sústavy s maticou A + I má dimenziu 2 (a taká je tiež geometrická násobnost algebraicky dvojnásobného vlastného čísla —1); jeho bázu tvoria vlastné vektory v% = (1, 0, —1, 0) , v^ = (1, 0, 0,1) . Teda A je podobná matici v JKT /2 0 2 1 4 1 "2^ -1 /l 0 1 0 1 0 0 1 0 1 \3 4 3 -1 -3/ 0 0 0 Vo 0 0 0 0 / diag(j2(l),-l,-l) í1 0 0 Vo 1 1 o o o o -1 o o o -1/ a príslušná Jordánova báza (í?i, V2} v^} v4) je tvorená stĺpcami matice prechodu -1 / 1 V 1 1 o 1 o -1 o 0 o 1/ Videli sme, že reťazce vektorov prislúchajúce rôznym vlastným číslam možno bez ťažkostí oddeliť. Preto odteraz sa sústredíme len na hľadanie a oddeľovanie reťazcov prislúchajúcich tomu istému vlastnému číslu a budeme sa zaoberať iba maticami s jednoprvkovým spektrom. 20.2.2. Príklad. Matica >3x3 má charakteristický polynóm det(A — xl) a jediné, algebraicky trojnásobné vlastné číslo £1,2,3 riešením homogénnej sústavy s maticou 0/ 0. Vlastné vektory nájdeme 6 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Podpriestor riešení je jednorozmerný, generovaný vektorom u = (1,2,1) , teda geometrická násobnost vlastného čísla 0 je 1. Hľadaná báza tak bude pozostávať z jediného reťazca prislúchajúceho vlastnému vektoru U\ = u. Vektor 1*2 nájdeme ako nejaké riešenie x = 1*2 sústavy A ■ x = U\ úpravou jej rozšírenej matice (A\Ul) takže môžeme položiť napr. 1*2 = ( — 1,-1, 0) . Podobne, tretí vektor 1*3 nášho reťazca nájdeme ako nejaké riešenie x = 1*3 sústavy A ■ x = U2 úpravou jej rozšírenej matice 2 1 0 1 3 1 1 2 1 0 1 1 1 0 -1 -1 0 1 -2 -1 0 0 0 0 (A\u2) 2 1 0 -1 3 1 1 -1 1 0 1 0 1 0 -1 0 1 -2 0 0 0 0 teda napr. 1*3 = (0,-1, 0) . To znamená, že A je podobná priamo s Jordánovou bunkou •MO) prostredníctvom matice prechodu 0 tvorenej vektormi Jordanovej bázy (1*1,1*2,1*3) ako stĺpcami. 20.2.3. Príklad. Matica )3x3 má charakteristický polynóm det(A - xl) = 27 - 21x + 9x2 (3-xf a algebraicky trojnásobné vlastné číslo £1,2,3 = 3. K nemu príslušné vlastné vektory nájdeme riešením homogénnej sústavy s maticou 5 10 -5\ íl 2 -1 A - 31 = í -2 -4 2 I ~ í 0 0 0 1 2 -1/ \0 0 0 Podpriestor riešení je dvojrozmerný, generovaný (napríklad) vektormi 1* = (2, —1, 0) , v = (1, 0,1) . Teda geometrická násobnost vlastného čísla 3 je 2, takže k nemu budú 20. JORDANOV KANONICKÝ TVAR 7 prislúchať dva reťazce dlžok 1 a 2. Keďže vopred nevieme, ku ktorému vlastnému vektoru v\ G [u, v] existuje vektor V2 taký, že v\ = (A — 31) ■ V2} musíme uvažovať ľubovoľnú lineárnu kombináciu v\ = au + bv = (2a + 6, —a, b) , pričom parametre a, b G IR budeme voliť tak, aby sústava (A — 31) • x = V\ mala nejaké riešenie x = V2-Úpravou jej rozšírenej matice dostaneme 1 2 -1 b 0 0 0 a-2b 0 0 0 0 Sústava má riešenie práve vtedy, keď a = 26; volíme napr. b = 1, a = 2. Tomu zodpovedá v\ = (5, —2,1) , V2 = (1,0,0) . Za v% možno zvoliť akýkoľvek vektor, ktorý spolu s v\ tvorí bázu vlastného podpriestoru 1Z(A — 31) = [w,rc]; vidíme, že vyhovujú obe volty Vs = u} resp. Vs = v. Vyberme si napr. druhú možnosť ^3 = (l,0,lf. Teda JKT matice A je diag(j2(3),3) a príslušná matica prechodu tvorená stĺpcami Jordanovej bázy (1^1,^25^3) vyzerá (napr.) takto / 5 11' P= -2 0 0 \ 1 0 1 20.2.4. Príklad. Matica /-4 -6 -19 -1\ 2 4 3 1 1 1 6 0 V 5 5 20 2 / >4x4 má charakteristický polynóm det(A — xl) = x lx3 + 24x2 - 32x + 16 = (x - 2)4 s jediným štvornásobným koreňom X1-4 = 2. Vlastné vektory nájdeme riešením homogénnej sústavy s maticou A -21 f-Q -6 -19 2 2 3 1 1 4 V 5 5 20 -1\ /l 10 4/5 \ 1 I [001 -1/5 0 I ~ I 0 0 o o o / Vo o o o / Podpriestor riešení je dvojrozmerný, generovaný vektormi u = (1,—1,0,0) , v = (4,0,—1,-5) ; všeobecné riešenie má tvar au + bv = (a + 46,—a,—6,—56) , kde a, 6 G IR. Vidíme, že hľadaná báza bude pozostávať z dvoch reťazcov, nepoznáme však PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA ich dĺžky - sú totiž dve možnosti zodpovedajúce rozkladom 4 = 1 + 3, resp. 4 = 2 + 2. Ďalšie vektory reťazcov získame riešením sústavy (A — 21) ■ x = au + bv s rozšírenou maticou /-6 -6 -19 2 2 3 1 1 1 4 0 V 5 5 20 0 1 + 46\_ —a -b -56 / /l 1 0 0 0 1 4/5 -1/5 0 0 0 o Vo o o o -4a/5 + 36/5\ a/5 - 26/5 0 0 / Ako vidno, sústava má riešenie pre ľubovoľné a, 6; môžeme teda voliť a = 1, 6 = 0, čomu zodpovedá prvý reťazec U\ = u = (1,—1,0,0) , U2 = (—4/5,0,1/5,0) , resp. a = 0, 6 = 1, čomu zodpovedá druhý reťazec V\ v2 = (3/5,0, -2/5, 0)T. JKT matice A teda je (4,0 , 1, -5) diag(J2(2),J2(2)) /2 1 0 0\ 0 2 0 0 0 0 2 1 Vo 0 0 2/ a príslušná Jordánova báza («i, u2} ^1, v2) je tvorená stĺpcami matice prechodu Z1 -1 -4/5 0 4 0 3/5 \ 0 0 1/5 -1 -2/5 V 0 0 -5 0 / 20.2.5. Príklad. Uvažujme maticu í° 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 V-i -2 -1 -1/ )4x4 Jej charakteristický polynóm det(A — xl) má jeden štvornásobný koreň £1-4 = 0. Vlastné vektory dostaneme ako riešenia homogénnej sústavy s maticou 0/ í1 ° l l\ 0 10 0 0 0 0 0 Vo o o 0/ Podpriestor riešení je dvojrozmerný, generovaný vektormi u = (1,0,—1,0) , v = (1, 0, 0, — 1) ; všeobecné riešenie má tvar au + bv = (a + 6, 0, —a, — 6) , kde a, 6 G IR. Takže hľadaná báza bude opäť pozostávať z dvoch reťazcov dĺžok 1 + 3 alebo 2 + 2. 20. JORDANOV KANONICKÝ TVAR 9 Ďalšie vektory reťazcov získame riešením sústavy Ax = au-\-bv úpravou jej rozšírenej matice / ° 1 0 0 a + b\ /l 0 1 1 -2a- b\ 1 0 1 1 0 0 10 0 a + b 1 1 1 1 —a 0 0 0 0 2a + b V-i -2 -1 -1 -b J \0 0 0 0 0 / Sústava má riešenie práve vtedy, keď 2a + b = 0. Z toho je jasné, že dĺžky hľadaných reťazcov budú 1 a 3. Zvolíme napr. a = — 1, b = 2. Dostaneme tak prvý vektor trojčlenného reťazca V\ = —u + 2v = (1,0,1, —2) . Druhý vektor zatiaľ ponecháme v tvare všeobecného riešenia V2 = x = (c + d,l,—c,—d) sústavy A ■ x = v\ a parametre c, d G IR budeme voliť tak, aby existovalo nejaké riešenie x = Vs sústavy A ■ x = V2- Úpravou jej rozšírenej matice dostaneme / ° 1 0 0 c + d\ /l 0 1 1 -2c-d \ 1 0 1 1 1 0 10 0 c + d 1 1 1 1 —c 0 0 0 0 l + 2c + d V-i -2 -1 -1 -d J \0 0 0 0 0 / Sústava má riešenie práve vtedy, keď l-\-2c-\-d = 0; zvolme napr. c = 0, d = —1. Tomu zodpovedá V2 = ( — 1,1,0,1) a (napr.) v% = (1,—1,0,0) . Jediný vektor druhého reťazca zvolíme tak, aby spolu s vektorom v\ tvorili bázu vlastného podpriestoru [u, v]; vyhovuje každý z vektorov u, v. Zvolme napr. v^ = u = (1,0, —1,0) . JKT matice A teda je diag(j3(0),0) /0 1 0 0\ 0 0 10 0 0 0 0 Vo o o o/ a príslušná matica prechodu, tvorená stĺpcami Jordanovej bázy (í?i, V2} v^} «4), vyzerá takto: / l -1 l l\ 0 1-10 10 0-1 V-2 1 0 0 / 20.3. Prípad viacnásobného komplexného vlastného čísla V predchádzajúcom paragrafe sme sa úmyselne vyhli tak komplexným maticiam, ako aj reálnym maticiam s komplexnými vlastnými číslami. Viedla nás k tomu skôr pohodlnosť, než nejaké zásadné dôvody. Jednoducho sme sa snažili sústrediť len na samotnú úpravu matice na JKT a nechceli si zbytočne komplikovať život z tohto hľadiska nepodstatnými detailmi komplexnej aritmetiky. Úprava komplexných matíc (v ktorých sú už zahrnuté i reálne matice s komplexnými vlastnými hodnotami) na JKT sa od reálneho prípadu nijako zásadne nelíši. Len výsledná Jordánova matica môže mať na diagonále komplexné vlastné hodnoty a taktiež v príslušnej Jordanovej báze sa môžu objaviť komplexné vektory. 10 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Z hľadiska aplikácií JKT najmä na riešenie diferenciálnych rovníc je však dôležité vedieť nahradiť komplexný JKT nejakej reálnej matice vhodným reálnym, kanonickým tvarom, podobným s pôvodnou maticou prostredníctvom reálnej matice prechodu. To možno dosiahnuť rozvinutím už známych metód z paragrafu 19.5. Z toho dôvodu si dovolíme celý postup len stručne opísať a overenie detailov prenechať čitateľovi. Ak A = a + i 6 je komplexné vlastné číslo matice A £ IRnXn, tak aj A = a — ib je jej vlastné číslo, pričom A a A majú rovnakú algebraickú i geometrickú násobnost. Ak navyše 7 = (m?i ,. . . , wm) je časť Jordanovej bázy prislúchajúca k A, zložená s reťazcov dĺžok mi +. . . + m; = m, tak 7 = (wJi,. . . , wm) je časť Jordanovej bázy prislúchajúca k A, zložená v zodpovedajúcom poradí z komplexne združených reťazcov rovnakých dĺžok. Z toho mimochodom vyplýva, že aj keby sme sa neusilovali o elimináciu komplexných čísel z JKT, možno vzťah medzi A a A a k nim príslušnými bázami výhodne využiť: stačí nájsť príslušnú časť Jordanovej bázy len pre jednu z vlastných hodnôt A, A - zodpovedajúcu časť bázy pre druhú vlastnú hodnotu už možno dostať čisté mechanicky „opruhovaním". Podčiarkujeme však, že také niečo funguje len pre reálne a nie všeobecne pre komplexné matice. Vráťme sa však k pôvodnej otázke. Pre m > 1 a a, 6 £ IR označme (a -b 1 0 0 0 b a 0 1 0 0 0 0 a -b 1 0 0 0 6a 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \0 0 0 0 0 0 0 a b 0 0 0 0 \ 0 0 0 0 0 0 -b 1 0 a 0 1 0 a -b 0 b a ) reálnu maticu rozmeru 2m x 2m, vytvorenú z m diagonálne umiestnených blokov a m 1 blokov I9 1 o o 1 vedľa nich. Matice tvaru J„ nazývame zovšeobecnenými Joráanovými bunkami. Práve zovšeobecnená Jordánova bunka Jmí a ~ ) je tou reálnou maticou, ktorou možno v komplexnom JKT reálnej matice A nahradiť dvojicu Jordánových blokov «7m(A), «7m(A) prislúchajúcich komplexne združeným vlastným číslam A = a + i6, A = a — ib s nenulovým b. Presnejšie, ak 7 = (i«i,. . . , wm) je reťazec (komplexných) vektorov zodpovedajúci v príslušnej Jordanovej báze bloku «7m(A), tak reálne vektory u1 = Rew1 = -(w1 + wi), v1 = -lmw1 = -(toi - u>i), u2 = Rew2 = -iw2 + w2), v2 = —Imw2 = -^:{w2 - w2)} Ur KewT -(wm +wm), v m -= -lmwm 2i (wr Wr 20. JORDANOV KANONICKÝ TVAR 11 tvoria úsek bázy («i, i?i, «2, ^2,. . . , um, vm) zodpovedajúci bloku «7m. Ak teda v komplexnom JKT «7 štvorcovej reálnej matice A necháme reálne Jordánové bloky a im zodpovedajúce reťazce Jordanovej bázy na pokoji, ďalej každú dvojicu Jordánových blokov «7m(A), «7m(A) prislúchajúcich komplexne združeným imaginárnym vlastným hodnotám A, A nahradíme blokom Jmí e m jak nim zodpovedajúce reťazce (iťi,. . . , wm)} (wJi,. . . , wm) Jordanovej bázy nahradíme úsekom (Reiťi, — Im«?i,. . . , Re wm, — Imwm)} získame tak zovšeobecnenú Jordánovu maticu «/' G IRnXn a reálnu maticu prechodu Q (ktorej stĺpce sú vektory novej bázy) takú, že «/' = Q L A Q. 20.3.1. Príklad. Reálna matica /5 -5 5 -4 4 "2\ 5 -5 7 -7 8 -4 5 -8 12 -12 13 -6 5 -9 12 -12 15 -7 5 -9 12 -15 20 -9 \5 -9 12 -16 20 -8/ má charakteristický polynóm det(A — x I) 12x5 + 63x4 - 184x3 + 315x2 - 300x + 125 = {x2 - 4x + 5)a s dvoma trojnásobnými komplexne združenými koreňmi £1,2,3 = 2 + i a £3,4,5 = £1,2,3 = 2 — i. Vlastný vektor prislúchajúci k vlastnému číslu 2 + i nájdeme ako riešenie homogénnej sústavy s maticou A — (2 + i)/. Podpriestor riešení je jednorozmerný, generovaný vektorom W\ = (3 + i, 5, 5, 5, 5, 5) . Vlastnej hodnote 2 + i tak zodpovedá jediný reťazec dĺžky 3. Další vektor reťazca nájdeme ako riešenie sústavy (A - (2 + i)/) • w2 =w1; vyhovuje w2 = (-16/5 - 12i/5, -5, -2 + i, 0, 0, 0)T. Konečne tretí vektor dostaneme ako riešenie sústavy (A — (2 + i)/) • «73 napr. w3 = (-8/25 + 44Í/25, 0, -16/5 - 12Í/5, -5, -2 + i, 0)T Komplexný JKT matice A teda je diag(J3(2 + i),J3(2-i)) w2; teda /2 + i 1 0 0 0 0 \ 0 2 + i 1 0 0 0 0 0 2 + i 0 0 0 0 0 0 2-i 1 0 0 0 0 0 2-i 1 V 0 0 0 0 0 2-i/ a stĺpce príslušnej (komplexnej) matice prechodu (ktorú nevypisujeme z typografických dôvodov) tvoria vektory Jordanovej bázy (i«i, w2} Ws}Wi}lĽ2}Ws). Zovšeobecnený reálny JKT matice A už z toho možno dostať okamžite: J' 1 2 ŕ 1 -1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 2 -1 1 0 0 0 1 2 0 1 0 Vo 0 0 0 0 0 0 2 1 -1 2 / 12 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA rovnako ako maticu prechodu /3 -1 -16/5 12/5 -8/25 -44/25 \ 5 0-50 0 0 5 0 -2 -1 -16/5 12/5 ^~50 0 0 -5 0 5 0 0 0-2 -1 \5 0 0 0 0 0 / tvorenú vektormi bázy (Re w\, — Im«?i, Re«?2, — Imií2, Re«?3, — Im W3). V prípade zložitejšej štruktúry reťazcov prislúchajúcich komplexným vlastným hodnotám sa však už situácia stáva dosť neprehľadnou. *20.4. Rozklad na koreňové podpriestory Nech V je vektorový priestor nad poľom K, (p: V —> V je lineárny operátor a A G A' je jeho vlastná hodnota. Hovoríme, že vektor v G V je koreňový vektor lineárneho operátora

V. Pre A; G N, A G Spec(/? označme Ker^ = Ker((^ - \)k = {veV;( r. Prirodzené číslo r = r\ nazývame rádom vlastnej hodnoty A lineárnej transformácie — X) (x) = 0, a následne (ip - \)k( — X) (y) pre nejaké y G V. Potom cp(x) = (cp- \ý+\y) + A(p - A)*(y) G Im* . To dokazuje invariantnost uvedených podpriestorov, špeciálne invariantnost podpriestorov Ker a = Ker^ a Im a = ImA- Keďže (

— A) (Ima) = Im a pre všetky A; G N, hodnosť lineárneho operátora ((p — A)r \ IniA : Im a ~~> ImA sa rovná dimenzii podpriestoru IniA- Preto podľa dôsledku 6.2.4 je to injektívny operátor a KerAnImA = Ker ((p - A)r fImA) = {0}. Nakoľko súčet dimenzií oboch podpriestorov je n, z toho plynie V = KerA © IniA- 20.4.2. Lema. Nech A ^ /i sú vlastné hodnoty lineárneho operátora (p. Potom (a) KerA je invariantný podpriestor operátora (p — /í; (b) lineárny operátor ((p — /i) f KerA : KerA —► KerA je bijektívny; (c) Ker a C Im,,. Dôkaz, (a) Nech u G KerA, t. j. (

— //)(«). Potom (ip-\ý(v) = (íp-X)k(íp-\ + \-n)(u) = ( 2 a predpokladajme, že tvrdenie platí pre lineárne operátory, ktorých spektrum má menej než k prvkov. Podľa lemy 2.4.1 možno V rozložiť na priamy súčet invariantných podpriestorov V = KerA, © lmXk . Na základe lemy 19.1.1 ľahko nahliadneme rovnosť Spec(<£> \ImAfc) = {Ai,. . . , \k-i}-Podľa indukčného predpokladu ImAfc možno rozložiť na priamy súčet koreňových podpriestorov operátora

V zrejme pozostáva z jedinej vlastnej hodnoty 0; spektrum posunutého operátora

Ker^,- sú nilpotentné. Na dovŕšenie dôkazu viet 20.1.1 a 20.1.2 o JKT tak v podstate stačí dokázať prvú z nich pre nilpotentné lineárne operátory. Ak sú totiž ß\,. . . , ßk Jordánové bázy nilpotentných operátorov (p\1}. . . }(p\k} t. j. operátor V je nilpotentný lineárny operátor rádu r. Potom existujú prirodzené čísla /i,. . . , lr také, že ^„=1 plp = n, a vektory upj G V rádu p také, že všetkých n vektorov ... i—> Lpp~ (u p j) i—s- Lpp~ (u p j) i—s- 0. Ak pre 1 < i < p položíme v1 ■ = ípp~t(upj), t. j. očíslujeme vektory sprava doľava, prejde tento reťazec na tvar lp : vp ■ i—> vp ■ i—> . . . i—> -i? - i—> -i? - i—> 0. Y PJ PJ P] P] Spojením jednotlivých reťazcov ßpj = (v-\-,. . . ,vp ■), dohromady dostaneme Jordánovu bázu ß = (ßrl, ■ ■ ■ ,ßrlr,ßr-\\, ■ ■ ■ ,ßr-llr_1,......,ß?l, ■ ■ ■ ,ß2l2,ß\\, ■ ■ ■ , ßlh) 16 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA operátora 9 \—> . . . \—> 9 \—> 9 \—S- 0 9 \—> 9 \—> . . . \—> 9 \—> 9 \—S- 0 • 1—5- ... 1—5- • I—> • I—> 0 tr_l 0 • h^ o • h^ o • h^ o • h^ o h kde znak • označuje jednotlivé bázické vektory a každá skupina je tvorená lp reťazcami dĺžky p, pre 1 < p < r. Čísla r, r — 1, . . . , 2, 1 v záhlaví označujú rády vektorov v príslušných stĺpcoch - budeme ich jednoducho nazývať číslami týchto stĺpcov. Napríklad zo schémy h 1—> u 1—> h 1—> t2 1—> ti 1—> 0 u5 1—> W4 1—> U3 1—> u2 1—> «1 1—> 0 V3 1—> V2 w2 X2 ž/2 1—> 1—> 1—> 1—> Vi x1 ž/l 1—> 1—> 1—> 1—> 1—> 0 0 0 0 0 možno vyčítať, že nilpotentný lineárny operátor

- d = . . . = cm = 0. Hovoríme, že vektory X\,. . . , xm tvoria bázu priestoru V vzhľadom na podpriestor S} ak sú lineárne nezávislé vzhľadom na S a V = S-\-[x\,. . . , xm\. Zrejme X\,. . . , xm G V sú lineárne nezávislé (tvoria bázu V) práve vtedy, keď sú lineárne nezávislé (tvoria bázu V) vzhľadom na podpriestor {0}. Jednoduchý dôkaz nasledujúcej lemy prenechávame ako cvičenie čitateľovi (porovnajte s dôkazmi viet 5.4.1 o dimenzii súčtu a prieniku podpriestorov a 6.2.3 o dimenzii jadra a obrazu). 20.5.2. Lema. Nech S C V je lineárny podpriestor G V. Potom nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) vektory X\,. . . , xm sú Hneme nezávislé vzhľadom na S; (n) pre ľubovoľnú bázu V\,. . . , Vk podpriestoru S vektory V\,. . . , Vk, X\,. . . , xm sú lineárne nezávislé; (iii) existuje báza í?i, . . . , v k podpriestoru S taká, že vektory v\,. . . , Vk} a?i,. . . , xm sú lineárne nezávislé. Na základe lemy 20.5.2 už ľahko odvodíme nasledujúce zovšeobecnenie vety AAA. 20.5.3. Lema. JVeci S C. V je lineárny podpriestor a vektory a?i,. . . ,xm G V sú lineárne nezávislé vzhľadom na podpriestor S. Potom existujú y\,. . . , y\ G V také, že l = dim V — dim S — m a vektory X\,. . . , xm, y\,. . . , y\ tvoria bázu priestoru V vzhľadom na S. Dôkaz. Stačí zvoliť ľubovoľnú bázu V\,. . . ,v^ podpriestoru S a lineárne nezávislý systém V\,. . . , Vk, a?i, • • • , xm doplniť vektormi y\,. . . ,y\ na bázu V. 20.5.4. Lema. JVeci S C T C V sú lineárne podpriestory také, že (Jc_1(S') C T. Potom pre lubovolne vektory X\,. . . , xrn G V lineárne nezávislé vzhľadom na T vektory (fi(xi),. . . , (fi(xm) sú lineárne nezávislé nad S. Dôkaz. Nech platí c\(p(x\) + • • • + cm(p(xm) = íp(c\Xi + . . . + cmxm) G S. Potom c\X\ + . . . cmxm G tp~1(S) C T & z nezávislosti vektorov X\,. . . ,xm nad T vyplýva c\ = . . . = cm = 0, teda Lp(x\),. . . , (p(xm) sú nezávislé nad S. Dôkaz tvrdenia 20.5.1. Operátor

p > 1. Predpokladajme, že sme už zostrojili všetky stĺpce schémy s číslami r, r —1,. . . ,p + 1 a vektory každého stĺpca q} kde r > q > p + 1, tvoria bázu priestoru Sq vzhľadom na jeho podpriestor Sq-\. Označme a?i,. . . }xm vektory stĺpca p + 1. Keďže x\,. . . ,xm sú nezávislé nad Sp = (p~1(Sp-i), podľa lemy 20.5.4 sú vektory (f(xi)}. . . , (fi(xm) G Sp nezávislé nad Sp-\. Podľa (dôkazu) lemy 20.5.3 ich možno vhodnými vektormi up\,. ..}upi £ Sp doplniť do bázy podpriestoru Sp vzhľadom na podpriestor Sp-\. Stĺpec p je potom tvorený vektormi tp(x\),..., (fi(xm)} upi}. . . , up\ . Na dokončenie dôkazu treba ešte overiť, že systém takto zostrojených vektorov vpi = íPP~t(upj)i 1 — P — r' ^ — J — lpi ^ — * — -P' naozaJ tvorí bázu priestoru V. Z konštrukcie vyplýva, že vektory v stĺpci 1 sú lineárne nezávislé. Nech teda 1 < P < f je najväčšie číslo také, že vektory v stĺpcoch 1,... ,p sú lineárne nezávislé. Stačí ukázať rovnosť p = r. V opačnom prípade by vektory v stĺpcoch 1,. . . , p, p+1 boli lineárne závislé. To by však znamenalo, že vektory v stĺpci p + 1 sú lineárne závislé vzhľadom na podpriestor Sp (podrobne si rozmyslite prečo). Ale to odporuje podmienkam našej konštrukcie. Teda všetky vektory „veľkej schémy" sú lineárne nezávislé. Konečne ukážeme, že zostrojené vektory generujú celé V. Na to stačí overiť, že ich počet, ktorý je zrejme ^„=1P^>, sa naozaj rovná n = dim V. Pri konštrukcii p-teho stĺpca sme k (,c-obrazom vektorov predošlého stĺpca vždy pridávali r lp = dim Sp — dim Sp-i — 2_, h i=p+l vektorov. Sčítaním uvedených rovností pre 1 < p < r dostaneme r r r r ^2 lp = ^2(dim Sp - dim Sp-!)-^2 ^2 ^ p=l p=l p=l i=p-{-l r i — l r = dim Sr — dim Sq — / / h = n — > (i —ľ) U, i=l p=l i=l teda YJp=iPh = n- Dokončenie dôkazu viet 20.1.1 a 20.1.2 si už vyžaduje len ukázať jednoznačnosť Jor-danovho kanonického tvaru. Predovšetkým spektrum {Ai,. . . , A&} lineárneho operátora

stĺpcov matice Cr podľa vety 4.4.4 tak, aby dopĺňali bázu podpriestoru 1Z\A t. j. stĺpce matice Cr_i, do bázy podpriestoru IZ(A^). (4) Keď už máme zostrojené stĺpce r, ...,p + 1, kde r > p > 1, pričom stĺpec p-\-1 je tvorený vektormi Xi,. . . , xm} tak p-ty stĺpec bude pozostávať z vektorov A\ ■ xi,. . . , A\ ■ xm, Upi,. ..}upip} pričom vektory upi,. . . }uplp získame tak, že bázu Cp-i podpriestoru 1Z{APX J rozšírenú o vektory A\ ■ Xi,. . . , A\ ■ xm (ktoré, podľa lemy 20.5.4 tvoria spolu lineárne nezávislý systém) doplníme do bázy podpriestoru IZ(A^) vhodnými stĺpcami matice Cp podľa vety AAA. (5) Vlastnej hodnote A potom zodpovedá Jordánova báza zložená z takto zostrojených reťazcov a matica v JKT diag(Jr(A),...,Jr(A),......,J1(A),...,J1(A)) s lp blokmi Jp(X). (6) Nakoniec zoradíme vektory Jordánových báz pre jednotlivé vlastné hodnoty pekne za sebou a príslušné JKT blokovo diagonálne. Tým získame výslednú Jordánovu bázu (maticu prechodu) a JKT pôvodnej matice A. Poznámka. 1. S trochou skúsenosti a šikovnosti možno obe metódy úpravy na JKT výhodne kombinovať a budovať reťazce Jordánových báz zároveň zľava i sprava. 2. Nad nekonečným poľom K (najmä v typických prípadoch polí R a C) možno nové vektory upi,. . . }upi v bodoch (3), (4) voliť v podstate náhodne. Treba si len vopred zistiť ich počet, t.j. lr = h(Br-i) — h(Br) a lp = h(Bp-i) — h(Bp) — m pre r > p > 1. Za predpokladu lp > 0 je totiž nekonečne málo pravdepodobné, že pri skutočne náhodnej volte lp vektorov z podpriestoru TZ\A^j budú vektory 20 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA lineárne závislé vzhladom na podpriestor 7Z(APX ). Problémom však môže byť zvoliť vektory upj „naozaj náhodne". Často práve v snahe o to - spolu s mimovolhou tendenciou voliť „čo najjednoduchšie" či „čo najkrajšie" vektory - môžeme nakoniec dostať vektory závislé nad 1Z\APX ). Podobne, ako je niekedy ťažké nakresliť „naozaj všeobecný" trojuholník. 20.6.1. Príklad. Matica /-5 3 1 -3 0 1 -4 4 1 -1 1 0 V-6 3 1 -1 6\ -5 3 4 4 2 1 -1 7/ >5 X5 má charakteristický polynóm det(A - xl) = 1 - 5x + 10x2 10x3 +5x4 (1-xf a jediné vlastné číslo xis = 1 s algebraickou násobnosťou 5. Postupne vypočítame mocniny matice A — /, ich redukované stupňovité tvary a bázy podpriestorov riešení sústav (A — I)p ■ x = 0: A-I f-6 -3 3 -1 1 1 -1 6\ -5 3 /l 0 0 0 1 0 0 1 0 -4 4 0 4 4 r^j 0 0 1 -4 0 -1 V-6 1 3 0 1 1 1 -1 6/ 0 0 0 Vo 0 0 0 0 0 0 / fundamentálny systém riešení tvoria dva lineárne nezávislé vlastné vektory, ktoré zapíšeme ako stĺpce matice /0 lx Druhá mocnina je (A-If /-12 0 4 0 -16 0 -4 0 V—12 0 Ci 4 1 3 -1 0 4 0 1 0 V 0 1/ -12 12 \ 4 -4 -16 16 -4 4 -12 12/ í1 ° 0 0 0 o o o Vo o -1/4 1 o o o o o o o o 0 o o o / s fundamentálnym systémom riešení tvoreným stĺpcami matice Co í° 1 1 0 -1 0 0 0 4 0 0 0 Vo 0 0 1 0 0 1/ 20. JORDANOV KANONICKÝ TVAR 21 Konečne (A — i")3 = 0 (takže B% = 0, C3 = J5), a ďalšie mocniny nemusíme počítat. Keďže máme dva lineárne nezávislé vlastné vektory, Jordánova báza bude mať dva reťazce. Dlhší z nich bude mať dlžku 3, teda ten kratší musí mať nutne dlžku 5 — 3 = 2. Počiatočný vektor dlhšieho reťazca zvolíme tak, aby dopĺňal stĺpce matice C2 na bázu priestoru IR5 = 1Z\(A — I)3)', vyhovuje napr. 1*3 = (1,0,0,0,0) . Druhý a tretí vektor reťazca potom sú 1*2 = (A — i") • 1*3 = (—6, —3, —4, —1, —6) T 1*1 (A-I)-u2 = (A- If ■ u3 = (-12,4, -16, -12) T Počiatočný vektor kratšieho reťazca vyberieme spomedzi stĺpcov matice C2 tak, aby dopĺňal stĺpce matice (Ci,«2) na bázu priestoru 1Z\(A — I)2). Vyhovuje druhý stĺpec V2 = (1, 0, 4, 0, 0) . Druhý vektor kratšieho reťazca potom je v\ = (A — I)-V2 = (-2,l,-4,-l,-2f. Lineárne nezávislé vektory Ui,V\ tvoria bázu vlastného podpriestoru 1Z{A — J), takže ďalej už nemusíme nič dopĺňať. Jordanov tvar matice A teda je diag(J3(l),J2(l)) /l 1 0 0 0\ 0 110 0 0 0 10 0 0 0 0 11 Vo o o o 1/ a stĺpce matice prechodu P tvoria vektory Jordanovej bázy ß = («1,1*2,1*3,^1,^2)5 t.j. /-12 -6 1 -2 1\ 4 -3 0 1 0 -16 -4 0 -4 4 -4 -1 0 -1 0 V-12 -6 0 -2 0/