21. POLYNOMICKÉ INVARIANTY PODOBNOSTI MATÍC V tejto kapitole najprv prirodzene rozšírime oblasť pôsobnosti polynomických funkcií aj na maticové resp. operátorové argumenty. To nám umožní dokázať kľúčovú vlastnosť charakteristického polynomu, známu pod názvom Cayleyho-Hamiltonova veta, a zaviesť ďalší dôležitý polynomický invariant podobnosti matíc - tzv. minimálny polynóm. V druhej polovici sa informatívne oboznámime s dvoma typmi sústav polynómov, z ktorých každá úplným a jednoznačným spôsobom charakterizuje triedu všetkých matíc daného lineárneho operátora resp. triedu všetkých matíc podobných s danou štvorcovou maticou. Na ich základe potom zostrojíme dva nové typy kanonických tvarov matíc lineárnych operátorov, ktorých určenie si - na rozdiel od Jordanovho kanonického tvaru - nevyžaduje znalosť spektra a nevybočuje z pôvodného poľa. Vopred prezraďme aspoň ich názvy: pôjde o tzv. sústavu elementárnych deliteíov a sústavu invariantných faktorov, ku ktorým prislúcha tzv. primárny kanonický tvar resp. racionálny kanonický tvar matice. 21.1. Polynomické maticové funkcie Každý polynóm f (x) = cq + c\x + ... + cmxm = YľíĹo CiX% na(^ P°l'om K prirodzene definuje (rovnako značenú) funkciu /: K —► K danú dosadením hodnoty a E K za premennú x, t. j. f (a) = cq + Ci<2+ ... + cmam = YľíĹo c^a% ■ Tak ^° yšak môžeme do polynomu f (x) dosadiť za premennú x ľubovoľnú štvorcovú maticu A E KnXn. Tým dostaneme polynomickú maticovú funkciu f: KnXn —► KnXn danú predpisom m f (A) = cqI + ClA + ... + cmAm = J2 ^A%- i=0 Podobne definuje polynóm f (x) funkciu /: C(V,V) —► C(V,V) na vektorovom priestore C(V, V) všetkých lineárnych operátorov ip: V —► V. Stačí položiť m f (ip) = Co idv +CHP + ... + cm(pm = ^2 cnp%, i=0 kde (p1 je ž-ta iterácia operátora ip, t.j. ip° = kly, (p1 = (p, (p2 = (p o ip, at ď. Kedze v centre našej našej pozornosti zostávajú i naďalej konečnorozmerné vektorové priestory, obmedzíme sa na štúdium maticových funkcií, ktoré sú o niečo názornejšie, a uspokojíme sa s poznámkou, že príslušné výsledky možno na operátorové funkcie jednoducho preniesť na základe vzájomne jednoznačnej korešpondencie medzi operátormi ip E C(V,V) a maticami A E KnXn (danej volbou vhodnej bázy n-rozmerného priestoru V). Naše štúdium polynomických maticových funkcií začneme niekoľkými jednoduchými pozorovaniami, ktoré navyše plne oprávňujú takýto prístup. 1 2 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 21.1.1. Tvrdenie. Nech f (x) E K[x], A, P E KnXn, pričom P je regulárna. Potom f(P-A-P-1)=P-f(A)-P-1. Dôkaz. Stačí si uvedomiť, že (P-A- P"1)2 =P A P1 P A P1 =P A2 P1, pričom tento vzťah možno zrejmým spôsobom zovšeobecniť aj na vyššie mocniny. Dokončenie dôkazu už možno prenechať čitateľovi. 21.1.2. Dôsledok. Nech f (x) E K [x], A, B E KnXn. Potom A^B ^ f(A)nf(B). Taktiež jednoduchý dôkaz nasledujúcej lemy prenechávame ako cvičenie čitateľovi. 21.1.3. Lema. Nech f (x) E K [x], Aľ E KniXni, ... , Ak E KnkXnk. Potom /(diag(Ai,..., Ak)) = diag(/(Ai),..., f(Ak)). Teraz už môžeme uviesť nasledujúci efektný výsledok. 21.1.4. Veta. (Cayley-Hamilton) Pre ľubovoľnú maticu A E KnXn platí chA(A) = 0, t. j. matica A vyhovuje svojej charakteristickej rovnici. V dôkaze využijeme poznatky o Jordanovom kanonickom tvare z predchádzajúcej kapitoly. Nech L je konečné rozšírenie poľa K, v ktorom má A spektrum plnej algebraickej váhy n. Označme J = diag(«7ni(Ai),... , Jnk(Xk)) E LnXn Jordanov kanonický tvar matice A a P E LnXn regulárnu maticu, ktorej stĺpce tvoria vektory príslušnej Jor-danovej bázy. Potom A = P ■ J ■ P-1, cIia(x) = chj(x) a podľa tvrdenia 21.1.1 chA(A) = ch,(A) = P • ch,(J) • P"1. Stačí teda dokázať rovnosť chj(J) = 0 pre matice v JKT. Z tvrdenia 19.1.1 vyplýva chj (x) = chJx (x)... chJk (x) = (Ai - x)ni ... (Afc - x)nk, kde Ji = Jm(K) Pre 1 < i < k. Teda podľa lemy 21.1.3 je chj(J) blokovo diagonálna matica s diagonálnymi blokmi ch,(J,) = (AiJni - J,)ni • • • (Afc/n, - Ji)nk pre 1 < i < k. V ž-tom bloku sa ako i-ty činiteľ nachádza mocnina (Aj Jni — Ji)ni = 0 nilpotentnej matice AjJni — Ji = — Jni(0) rádu rii (pozri začiatok paragrafu 20.5). Preto každý blok i celý výraz chj(J) sú nevyhnutne nulové matice. Caylyeho-Hamiltonovu vetu možno využiť na výpočet mocnín štvorcových matíc. 21. POLYNOMICK INVARIANTY PODOBNOSTI MATC 3 21.1.5. Príklad. Matica /I 1 0\ A= 0 2-2 gE3x3 má charakteristický polynom ch^a;) = det(A — xl) = 8 — 7x + 3x2 — x3. Preto A3 = 8/-7A + 3A2, A4 = 8A - 7A2 + 3A3 = 8A - 7A2 + 24/ - 21A + 9A2 = 24/ - 13A+2A2, A5 = 24A - 13A2 + 2A3 = 24A - 13A2 + 16/ - UA + 6A2 = 16/+10A-7A2, atď. Všetky vyššie mocniny matice A teda možno vyjadriť pomocou jej nultej, prvej a druhej mocniny, presnejšie, ako hodnoty vhodných polynómov nanajvýš druhého stupňa pre maticu A. V prípade, že poznáme JKT matice A E KnXn a príslušnú maticu prechodu, máme k dispozícii ešte efektívnejší spôsob výpočtu hodnôt f (A) pre polynomy f (x) = Y!íĹocíx% G K\x\- Ak J = diag(Jni(Ai),..., Jnfc(Afc)) je JKT matice A a P je príslušná matica prechodu, t. j. A = P ■ J ■ P-1, tak podľa tvrdenia 21.1.1 a lemy 21.1.3 platí f (A) = P ■ f (J) •P~1=P- diag(/(Jni(Ai)),. • •, /(J„fc(Afc))) • P"1. Preto sa stačí naučiť počítať hodnoty polynómov pre Jordánové bunky Jn(A). Samozrejme, začneme polynómami xm. Na výpočet mocniny Jn(X)m sa nám zíde nasledujúca maticová verzia binomickej vety, ktorú možno dokázať indukciou rovnako ako binomickú vetu v príslušnom poli. Hovoríme, že matice A, B E KnXn komutujú, ak A B = B A. 21.1.6. Lema. Nech matice A, B E KnXn komutujú. Potom pre ľubovoľné m E N platí m ' m [A + B)m = J2( ■ )Am-%B í=0 Ak si ešte uvedomíme, že Jn(A) = A/n + Jn(0) = A/n + Jn, pričom (A/n) • A = AA = A • (A/n), teda matica A/n komutuje s každou maticou A E KnXn, okamžite z toho dostávame m—i -j% T1 4 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Mocniny nilpotentej matice Jn už vypočítame ľahko na základe vzťahov 0, pre 1 < i < m, e-i+m, pre m < i < n. Takže pre m > n je J™ = 0, a pre 0 < m < n je to bloková matica Tm ■ p 0 n—mm or o mn—m Po dosadení do binomickej vety a sčítaní všetkých členov dostávame hľadaný vzorec. 21.1.7. Lema. Pre ľubovoľné m, n E N, n > 1, X E K platí ÍX Jn(xy m fm\-\m—l 0 xm ••• Ľ) A—+i\ m ^ Am—n+2 n—21 V 0 0 ... Am pričom pre j > m definitoricky kladieme (m)Am_J = 0. Pre polynóm f (x) = Y^Lo0^1 e K[x] definujeme jeho formálnu p-tu deriváciu ako polynóm m—p f M (x) =Sž2i{i-ľ)...{i-p+ľ)clxx-p = J2 l=p í=0 j + pV- í_ pre i = 1 samozrejme píšeme f^(x) = f (x). Pre K = M. formálna derivácia splýva s obvyklou deriváciou f(p\x) = dpf(x)/dxp, definovanou pomocou známej limity. Všimnime si, že prvky matice Jn(X)m možno vyjadriť aj pomocou formálnych derivácií polynomu f (x) = xm v bode x = A: ™\Xm-j = Ifü)(A). Z toho a lineárnosti operátora derivácie už priamo vyplýva nasledujúci všeobecný vzorec. 21.1.8. Veta. Nech f (x) E K[x] je ľubovoľný polynóm, X E K a 1 < n EN. Potom f f (X) ±f'(\) ... J^Iyŕn-1)W\ /(A) ••• (^2)l/(n-2)(A) f(JnW) V 0 0 /(A) / Keby sa niekomu zdal tento vzorec príliš komplikovaný, snáď ho uteší, ak mu pripomenieme, že „typická" štvorcová matica nad E či C je podobná s diagonálnou. Pre A = P • diag(Ai,..., An) • P1, máme f (A) = P ■ dmg(f(X1),..., f(Xn)) ■ P1, Sú DcLStcL. 21. POLYNOMICK INVARIANTY PODOBNOSTI MATC 5 21.2. Minimálny polynom Charakteristický polynom štvorcovej matice A nie je nevyhnutne polynómom najnižšieho možného stupňa, ktorý anuluje maticu A. Napríklad charakteristický polynom matice J = diag(Jm(A), Jn(A)) v JKT je zrejme (A — x)m+n. Avšak už polynóm f (x) = (A - x)max(ro-n) ju anuluje, t. j. platí f (J) = 0. Minimálnym polynómom matice A G KnXn nazývame polynóm nad K najnižšieho možného stupňa, ktorý anuluje maticu A a je navyše normovaný (t. j. rôzny od 0 a s koeficientom 1 pri najvyššej mocnine x). Keďže napríklad ( — l)n cíia(x) je normovaný polynóm anulujúci maticu A G KnXn, minimálny polynóm matice A určite existuje a má stupeň < n. Taktiež ľahko na-hliadneme, že je určený jednoznačne. Keby totiž f (x), g (x) boli dva rôzne minimálne polynomy matice A, tak by museli mať rovnaký stupeň. Potom by však vhodný skalárny násobok polynomu f (x) — g (x) bol normovaný polynóm nižšieho stupňa, ktorý tiež anuluje maticu A. To nás oprávňuje zaviesť pre minimálny polynóm matice A označenie ha{x). Celkom obdobne možno definovať aj minimálny polynóm ^(x) lineárneho operátora ip na konečnorozmernom vektorovom priestore V. Z tvrdenia 21.1.1 okamžite vyplýva očakávaný výsledok. 21.2.1. Tvrdenie. Podobné matice majú rovnaký minimálny polynóm. Minimálny polynóm lineárneho operátora na konečnorozmernom vektorovom priestore sa rovná minimálnemu polynomu jeho matice vzhľadom na ľubovoľnú bázu. Minimálny polynóm je tak popri charakteristickom polynome ďalším dôležitým invariantom podobnosti matíc. 21.2.2. Tvrdenie. Nech A G KnXn, f (x) G K [x]. Potom f (A) = 07 práve vtedy, keď minimálny polynóm ha{x) delí polynóm f (x). V dôsledku toho minimálny polynóm matice A delí jej charakteristický polynóm. Dôkaz. Zrejme stačí dokázať prvú časť tvrdenia, a v tej je netriválna len jedna implikácia. Nech teda f (A) = 0. Označme r (x) G K [x] zvyšok po delení polynomu f (x) minimálnym polynómom ha{x). Teda stupeň r (x) je menší ako stupeň ha{x) a existuje čiastočný podiel q(x) G K [x] taký, že f (x) = q(x) ha{x) + r (x). Potom r (A) = f (A) — q(A) ha(á) = 0, takže nevyhnutne r (x) = 0, čiže ha{x) delí f (x). V opačnom prípade by totiž vhodný skalárny násobok nenulového zvyšku r (x) bol normovaný polynóm nižšieho stupňa ako ha{x) anulujúci maticu A. Minimálny polynóm matice možno určiť z jej Jordanovho kanonického tvaru. Na to stačí poznať minimálny polynóm matíc v JKT. Jednoduchú odpoveď na túto otázku dáva nasledujúce tvrdenie. Jedna časť jeho dôkazu je v podstate zahrnutá v dôkaze vety 21.1.4, zvyšok vyplýva z tvrdenia 21.2.2 a z faktu, že polynóm {x — \)m pre m < n neanuluje Jordánovu bunku Jn(A). 21.2.3. Tvrdenie. Nech J = diag(Jni (Ai),..., Jnk (Afc)) je JKT matice A G KnXn. Potom minimálny polynóm /jla(x) = l^j(x) je súčinom mocnín (x — X)m^ lineárnych faktorov x — X s exponentmi m (X) = max{ní; Aj = A} pre X G Spec A. 6 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Na druhej strane, charakteristický polynóm cíia(x) = chj(x) je v takom prípade súčinom mocnín (A — x)n^' (až na znamienko) rovnakých lineárnych faktorov s exponentmi n(X) = J2x=xni- 21.2.4. Dôsledok. Pre maticu A E KnXn platí /ía(^) = (—l)n ch.A(x) práve vtedy, keď sa v JKT matice A každá vlastná hodnota A E Spec A vyskytuje v práve jednej Jordanovej bunke Jni(K)- Napr. charakteristický polynóm matice J4 je (x — l)4, kým jej minimálny polynóm je „len" x — 1. Na druhej strane, pre diagonálnu maticu A = diag(0,1, 2, 3) platí cIia(x) = x (x — l)(x — 2)(x — 3) = (j,a(x)- Ukážeme si, že každý normovaný polynóm f (x) = xn — c\xn~x — ... — cn-\x — cn E K [x] je minimálnym polynómom vhodnej matice A E KnXn. Označme Mf íC1 c2 1 0 0 . 1 . . 0 C-n — 1 \ C 0 0 0 . 0 . . 1 . 0/ maticu M f nazývame pridruženou maticou polynomu f (x). Napríklad pridruženou maticou polynomu xn je Jordánova bunka Jn(0). 21.2.5. Tvrdenie. Nech f (x) E K^[x] je normovaný polynóm. Potom f (x) je minimálnym polynómom svojej pridruženej matice Mf; jej charakteristický polynóm je (-l)nf(x). Dôkaz. Nech f (x) = xn — J27=i c%xn~% ■ Matica M f zobrazuje vektory kanonickej bázy £ v Kn podľa schémy en ^ en_i i-» ... i-» e2 i-» ei i-» (ci, c2..., cn_i, cn)T, z ktorej vyplývajú rovnosti e^ = M^~% ■ en, pre 1 < i < n, a tiež M?-en = Mre1 = Y,< Y,ctMJ-*-er í=i í=i Keďže matice Mf a f (Mf) zrejme komutujú, platí f {Mf) ■ et = f {Mf) ■ M?"* • en = M?"* • f(Mf) ■ e Mnf% n - —/ n Mf-en Y^c%M) í=i 0 pre každé i < n, v dôsledku čoho f (Mf) = 0. 21. POLYNOMICK INVARIANTY PODOBNOSTI MATC 7 Ak g(x) = YllLo dix% Je polynom stupňa m < n, tak m g {Mf) ■ en = ^2 díMj ■ en = d0en + dien-i + ... + dmen-m. i=0 Z lineárnej nezávislosti vektorov en_m,..., en však vyplýva, že uvedená lineárna kombinácia sa môže rovnať 0, len ak sú všetky koeficienty di rovné 0, t. j. keď g {x) = 0. Teda f (x) je naozaj minimálny polynóm matice Mf. Kedže charakteristický polynóm matice Mf je stupňa n s koeficientom ( — l)n pri najvyššej mocnine premennej x, a je deliteľný jej minimálnym polynómom ßMf(%) = f (x), ktorý je rovnakého stupňa, nevyhnutne platí ch.Mf(%) = (_ l)n/(#)- 21.3. Cyklické podpriestory V tomto paragrafe dáme pre zmenu prednosť reči lineárnych operátorov. Je na čitateľovi, aby si v prípade potreby sformuloval príslušné pojmy a výsledky v jazyku matíc. Nech S C V je invariantný podpriestor lineárneho operátora k, sú takisto v lineárnom obale S = [v, \ S vzhľadom na cyklickú bázu (yipk~1(v),..., ). Ako uvidíme v nasledujúcej kapitole, v aplikáciách lineárnej algebry na diferenciálně rovnice hrajú významnú úlohu lineárne operátory «í2 > • • • > olíTí > 1 také, že J2í=i Yľj=i aij = n, a báza priestoru V, vzhľadom na ktorú má matica lineárneho operátora ip blokovo diagonálny tvar diag(MPll,... ,MPlri,......,MPkl,.. .,MPkrJ pozostávajúci z pridružených matíc polynómov Pij(x) = pi(x)aij, kde 1 < i < k, 1 < j < Tj. Sústava polynómov Pij(x) = pi(x)aij (1 < i < k, 1 < j < r j) sa nazýva sústava elementárnych deliteíov lineárneho operátora ip, a je až na poradie podsústav Pn(x),... ,Pín(x) určená jednoznačne. Uvedený tvar matice operátora ip sa nazýva primárny kanonický tvar. I tento tvar je jednoznačne určený až na poradie sústav blokov MPil, ■ ■ ■, MPir,, pridružených k mocninám toho istého ireducibilného polynomu Pi(x). Charakteristický polynóm operátora ip je (až na znamienko) súčinom všetkých elementárnych deliteľov, t. j. ch^a;) = (-l)npn(x)...plri(x)......Pki(x) ■ ■ ■ Pkrk(x) = (-l)nPl(x)ail+-+airi......Pk(x)akl+-+akr>° Primárny kanonický tvar matice lineárneho operátora (p zodpovedá rozkladu priestoru V najprv na priamy súčet invariantných podpriestorov Si = Kerpf^ip), o ktorom hovorí tzv. prvá veta o rozklade. Podľa tzv. druhej vety o rozklade sa každý podpriestor Si ďalej rozpadá na priamy súčet cyklických podpriestorov Sn,..., Siri, ktorých cyklické rády vzhľadom na

H (X) pomocou A-ERO a A-ESO zaznamenať len stĺpcové operácie rovnakými A-ESO na jednotkovej matici i", čím získame -Pi (A). Ďalej treba vykonať úpravu C — XI —> H (X) (čo vzhľadom na špeciálny tvar matice C býva podstatne jednoduchšie) a opäť zaznamenať len stĺpcové operácie zodpovedajúcimi A-ESO na matici i". Tým získame maticu -P2(A). Hľadaná matica prechodu potom je P = Pi(A)-P2(A)-1. Na ostatok si ešte uvedomme, že (po doplnení vynechaných tvrdení a dôkazov) obsahujú paragrafy 21.4 a 21.5 návod na nový dôkaz vety o Jordanovom kanonickom tvare.