22. MATICOVZ FUNKCIE
V tejto kapitole najprv presk mame funkcie, ktorR mo[no z ska dosaden m mat c
A 2 C nn do potenWnbch radov s komplexnbmi koe cientmi, t.j. do funkci v is-
tom zmysle bl zkych polyn mom. Teda na rozdiel od predch dzaj cej kapitoly sa
obmedz me len na pole C v etkbch komplexnbch W sel, priWom re lne matice i funkcie
budeme ch pa ako peci lny pr pad komplexnbch. Najd]le[itej ou funkciou, ktor
takto z skame, bude exponenci la eA ubovo nej matice A 2 C nn.
Ualej sa budeme zaobera maticovbmi funkciami re lnej premennej, pre ktorR
odvod me niektorR anal gy z kladnbch form l diferenci lneho a integr lneho poWtu.
Tie sa n m bud hodi pri rie en s stav line rnych diferenci lnych rovn c. Podrob-
nej ie sa budeme venova s stav m homogRnnych rovn c s kon tantnbmi koe cientmi,
ktorR predstavuj vSaWn oblas aplik ci exponenci ly a Jordanovho kanonickRho
tvaru mat c nad C .
U Witate a predpoklad me z kladnR znalosti z matematickej analbzy. Pas z nich
pripomenieme v pozn mkach pod Wiarou pr padne zhrnieme do ucelenbch tvrden , na
ktorR sa budeme odvol va . Poznamenajme, [e k deriv ci m funkci komplexnej pre-
mennej budeme pristupova sk]r algebraicky ne[ analyticky v podstate vystaW me
s form lnymi deriv ciami polyn mov a potenWnbch radov. To n m umo[n vedome
prehliadnu istb z sadnb rozdiel medzi deriv ciami funkci re lnej a komplexnej pre-
mennej.
22.1. MocninnR rady maticovej premennej
Po polyn moch najjednoduch ie re lne Wi komplexnR funkcie s de novanR mocnin-
nbmi alebo tie[ potenWnbmi radmi, t.j. form lnymi vbrazmi tvaru
fx =
1X
k=0
ckxk =
X
ckxk;
kde ck1
k=0 je ubovo n postupnos re lnychalebo komplexnbchW sel.1
Mno[inuv et-
kbch potenWnbch radov v premennej x s koe cientmi z po a K budeme znaWi K x .
Zrejme K x je nekoneWnorozmernb vektorovb priestor nad po om K.
Pod form lnou p-tou deriv ciou potenWnRho radu fx =
P1
k=0 2 K x rozu-
mieme potenWnb rad
fp
x =
1X
k=p
kk ,1:::k ,p +1ckxk,p =
1X
k=0
k + p!
k! ck+pxk 2 K x ;
pre p = 1 p eme f1
x = f0x.
1V analbze sa uva[uj potenWnR rady
P1k=0 ckx , wk so stredom v ubovo nom bode w 2 C.
Pre na e Wely v ak celkom postaW , ak sa obmedz me na potenWnR rady so stredom w = 0.
1
2 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Ka[db potenWnb rad fx =
Pckxk nad R alebo C de nuje predpisom fa =P1
k=0 ckak rovnako znaWen  funkciu na mno[ine v etkbch tbch re lnych alebo kom-
plexnbch W sel a, pre ktorR uvedenb rad konverguje.2
T to mno[ina, ktor nazbvame
de niWnb obor alebo obor konvergencie radu fx a znaW me Domf z anglickRho
domain, je a[ na hraniWnR body charakterizovan svojim polomerom konvergencie.
OznaWme s = limsup
k!1
jckj1=k
a r = s,1, ak 0 s 1, resp. r = 1, ak s = 0,
resp. r = 0, ak s = 1.3
Potom r nazbvame polomerom konvergencie mocninnRho raduPckxk. Pre n s podstatnR poznatky matematickej analbzy o mocninnbch radoch s
zhrnutR v nasleduj cej vete.
22.1.1. Veta. Nech mocninnb rad fx =
P1
k=0 ckxk 2 C x m polomer konver-
gencie r. Potom pre ka[dR a 2 C plat
a ak jaj r, tak rad
Pckak absol tne konverguje;
b ak jaj r, tak rad
Pckak diverguje.
Ak navy e r 0, tak funkcia f je spojit na celom otvorenom kruhu fa 2 C ; jaj rg
a m tam spojitR deriv cie v etkbch r dov danR potenWnbmi radmi fp
x, z ktorbch
ka[db m rovnakb polomer konvergencie ako p]vodnb rad a konverguje rovnomerne
na ka[dom uzavretom kruhu fa 2 C ; jaj  qg pre 0 q r.4
Naopak, pre koe cienty
p]vodnRho potenWnRho radu plat
ck = 1
k!fk
0:
peci lne, ak r = 1, tak funkcia f je de novan v celej komplexnej rovine C a
m tam v etky "pr jemnR vlastnosti uvedenR v druhej Wasti vety. Ak r = 0, tak f je
de novan v jedinom bode x = 0. Ak 0 r 1, tak funkcia f m][e no nemus by
de novan aj v niektorbch bodoch kru[nice fa 2 C ; jaj = rg. Plat teda
fa 2 C ; jaj rg  Domf  fa 2 C ; jaj  rg:
Podrobnej rozbor hraniWnbch situ ci v ak presahuje r mec n ho kurzu.
Pr ve rovnomern konvergencia vo vn tri de niWnRho oboru potenWnRho radu za-
bezpeWuje nielen spojitos jeho s Wtu a deriv ci , ale tie[ umo[ uje tento s Wet de-
rivova alebo integrova form lnym derivovan m resp. integrovan m p]vodnRho radu
2Pre pohodlie Witate a pripom name, [e s Wet radu
P1k=0 ak komplexnbch W sel je de novanb
ako limita jeho WiastoWnbch s Wtov, t.j. ak prijmeme dohodu, [e s Wet radu znaW me rovnako ako
pr slu nb rad
1X
k=0
ak = limm!1
mX
k=0
ak:
Ak t to limita existuje a je to komplexnR W slo, hovor me, [e pr slu nb rad konverguje, v opaWnom
pr pade hovor me, [e rad diverguje. Rad
P
ak konverguje absol tne, ak konverguje rad
P
jakj.
3Limes superior limsupak postupnosti re lnych W sel ak je de novanR ako supremum mno[iny
v etkbch hromadnbchbodov tejto postupnosti.Pritom b 2 R f,1;1g je hromadnb bod postupnosti
ak, ak existuje z nej vybran podpostupnos
,
akn

, kde kn je rast ca postupnos prirodzenbch
W sel, tak , [e limn!1 akn = b.
4Funkcion lny rad
P1k=0 gkx konverguje rovnomerne na mno[ine X  C k funkcii gx, ak
8" 09m08m  m08x 2 X
, Pm
k=0 gkx ,gx "

. Vo v eobecnosti s Wet konvergent-
nRho funkcion lneho radu funkci spojitbch na mno[ine X nemus by spojit funkcia na X. Ak v ak
rad konverguje k svojmu s Wtu na tejto mno[ine rovnomerne, tak aj jeho s Wet je spojit funkcia
na X.
22. MATICOVZ FUNKCIE 3
Wlen za Wlenom. Vo vn tri kruhu konvergencie tak nemus me rozli ova medzi radom
a funkciou de novanou jeho s Wtom, a rovnako ani medzi p-tou form lnou deriv ciou
radu a p-tou deriv ciou tejto funkcie.
Form lne mo[no do mocninnRho radu fx =
P1
k=0 ckxk dosadi za premenn x
nielen re lne Wi komplexnR W slo, ale aj ubovo n tvorcov maticu A = aijnn
nad R alebo C . Aby sme v ak mohli bli[ ie presk ma maticovR funkcie, ktorR takto
dostaneme, mus me si najprv ujasni niektorR z kladnR ot zky tbkaj ce sa konvergen-
cie postupnost a radov komplexnbch mat c.
Konvergenciu postupnosti mat c de nujeme po zlo[k ch. Teda postupnos mat c
Ak1
k=0, kde Ak = akij 2 C mn, konverguje k matici A = aij 2 C mn, ak pre
v etky i  m, j  n postupnos akij1
k=0 konverguje k prvku aij, Wi[e limk!1
akij = aij.
V takom pr pade p eme
limk!1
Ak = A:
V d]sledku spojitosti sW tania a n sobenia v poli C mo[no pre s Wty a s Winy kon-
vergentnbchmaticovbch postupnost Ak, Bk vhodnbch rozmerovdok za obdobnR
vz ahy ako pre W selnR postupnosti:
limk!1
Ak +Bk = limk!1
Ak + limk!1
Bk;
limk!1
Ak Bk = limk!1
Ak  limk!1
Bk:
Tieto pravidl n m umo[ uj poW ta s limitami maticovbch postupnost do znaWnej
miery podobne ako s limitami W selnbch postupnost .
S Wet maticovRho radu
P1
k=0 Ak, kde Ak1
k=0 je nejak postupnos komplexnbch
mat c rovnakRho rozmeru mn, potom de nujeme ako limitu postupnosti jeho Wias-
toWnbch s Wtov, t.j.
1X
k=0
Ak = limp!1
pX
k=0
Ak;
samozrejme, ak uveden limita t.j. matica A 2 C mn pr slu nbch vlastnost  exis-
tuje. V takom pr pade hovor me, [e maticovb rad
PAk konverguje, v opaWnom pr -
pade hovor me, [e diverguje.
Dosaden m konkrRtnej matice A 2 C nn do mocninnRho radu fx =
P1
k=0 ckxk
tak dostaneme maticovb rad
P1
k=0 ckAk, ktorRho s Wet je de novanb ako limita
fA =
1X
k=0
ckAk = limm!1
mX
k=0
ckAk
postupnosti hodn]t fmA polyn mov fmx =
Pm
k=0 ckxk pre maticu A. De niWnbm
oborom takejto funkcie f je mno[ina tbch mat c A 2 C nn, pre ktorR uvedenb rad,
t.j. postupnos
,fmA
, konverguje. T to mno[inu pri pevnom n budeme znaWi
Domnf.
Limitnbm prechodom pre m ! 1 dost vame z vbsledkov 21.1.1 3 obdobnR tvrde-
nia aj pre maticovR potenWnR rady.
4 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
22.1.2. Tvrdenie. Nech fx 2 C x , A; P 2 C nn, priWom P je regul rna. Potom
A 2 Domnf pr ve vtedy, keS P AP,1 2 Domnf, a v tom pr pade plat
f
,P AP,1= P fA P,1:
22.1.3. D]sledok. Nech fx 2 C x , A; B 2 C nn, priWom A  B. Potom
A 2 Domnf pr ve vtedy, keS B 2 Domnf, a v tom pr pade fA  fB.
22.1.4. Lema. Nech fx 2 C x , A1 2 C n1n1, ::: , Ap 2 C npnp. Potom
diagA1;:::;Ap 2 Domf pr ve vtedy, keS Aj 2 Domnjf pre ka[dR j  p, a
v tom pr pade plat
f
,diagA1;:::;Ap
 = diag
,fA1 ;:::;fAp
:
ubovo nb polyn m, ktorb anuluje maticu A 2 C nn, n m umo[ uje zjednodu i
vbpoWet s Wtu potenWnRho radu fA =
PckAk, a to tbm vTW mi, W m ni[ je jeho
stupe m. Pomocou neho mo[no toti[ v etky mocniny Ak, k  m, vyjadri ako
hodnoty polyn mov stup a m pre maticu A porovnajte s pr kladom 21.1.5. Naj-
vbhodnej na ten Wel preto je minim lny polyn m matice A. Ak toti[ Ax =
xm ,Pm
j=1 djxm,j, tak Am =
Pm
j=1 djAm,j. Potom
Am+k =
mX
j=1
dk
j Am,j;
kde koe cienty dk
j mo[no vypoW ta z rekurentnRho vz ahu
d0
j = dj; dk+1
j = djdk
1
+ dk
j+1;
priWom pre j m de nitoricky kladieme dk
j = 0. Ak teda oznaW me
k
A x = dk
1
xm,1 +::: + dk
m,1x +dk
m =
mX
j=1
dk
j xm,j;
tak v etky tieto polyn my maj stupe m a pre A 2 Domnf plat
fA =
1X
k=0
ckAk = c0I + :::+ cm,1Am,1 +
1X
k=0
cm+kk
A A:
Doplnenie vynechanbch detailov prenech vame Witate ovi ako cviWenie.
Inb sp]sob vbpoWtu potenWnRho radu fA =
PckAk, pri ktorom z rove mo[no
rozhodn ot zku, Wi A 2 Domnf, sa zaklad na znalosti Jordanovho kanonic-
kRho tvaru matice A 2 C nn. KeS[e pole C je algebraicky uzavretR, existuje matica
J = diag
,Jn11;:::;Jnpp
 2 C nn v JKT a regul rna matica P 2 C nn takR,
[e A = P J P,1. VSaka tvrdeniu 22.1.2 a leme 22.1.4 potom
A 2 Domnf , J 2 Domnf , 8i  p
,Jnii 2 Domnif
;
22. MATICOVZ FUNKCIE 5
a podobne ako pre polyn my v tom pr pade plat
fA = P fJ P,1 = P diag
,f
,Jn11
;:::;f
,Jnpp
P,1:
Tbm sme ot zku konvergencie potenWnbch radov pre v eobecnR matice A 2 C nn
zredukovali na ot zku konvergencie takbchto radov pre Jordanove bunky Jn, kde
 2 C .
Pou[it m viet 22.1.1, 21.1.8 a limitnbm prechodom m ! 1 na postupnos Wias-
toWnbch s Wtov fmx =
Pm
k=0 ckxk, umo[nenbm rovnomernou konvergenciou, dost -
vame
22.1.5. Veta. Nech fx =
P1
k=0 ckxk 2 C x je potenWnb rad s polomerom kon-
vergencie r a Jn je komplexn Jordanova bunka. Potom plat
a ak jj r, tak Jn 2 Domnf;
b ak jj r, tak Jn =2 Domnf.
V pr pade a navy e plat
f
,Jn
 =
0
BBB@
f 1
1!
f0 ::: 1
n,1!
fn,1

0 f ::: 1
n,2!
fn,2

...
...
...
...
0 0 ::: f
1
CCCA:
K hraniWnRmupr padujj = r poznamenajmelen to ko, [e radf
,Jn
konverguje
pr ve vtedy, keS konverguje rad fn,1
. Potom konverguj i v etky ostatnR rady
fj
, 0  j  n,1, a vy ie uvedenb vzorec zost va v platnosti.
Vzorec pre f
,Jn
 je cennb najmT vtedy, keS m me k dispoz cii kompaktn for-
mulu pre funkciu f, z ktorej vieme priamo vypoW ta aj jej deriv cie. Taktie[ ho mo[no
pou[i na de n ciu hodn]t f
,Jn
 aj pre inR funkcie, ne[ len danR potenWnbmi
radmi. StaW , aby funkcia f mala v bode  v etky deriv cie a[ do r du n,1. V Sal om
kroku mo[no de n ciu fA roz ri na v etky matice A 2 C nn za predpokladu, [e
ich spektrum sp a ist podmienku, ktor presnej ie sformulujeme v cviWeniach.
Spektr lnym polomerom komplexnej a tbm i re lnej tvorcovej matice A nazb-
vame maximum absol tnych hodn]t jej vlastnbch W sel, t.j. W slo
A = maxfjj;  2 SpecAg:
Zrejme A  0 je re lne W slo a pre A 6= 0 je A 0.
Ot zku konvergencie potenWnbch radov pre v eobecnR matice mo[no vyjasni na
z klade vz ahu medzi polomerom konvergencie radu a spektr lnym polomerom mati-
ce. KeS[e ka[d komplexn tvorcov matica je podobn s maticou v JKT, z tvrden
22.1.2, 22.1.4 a 22.1.5 vyplbva
22.1.6. Veta. Nech fx =
Pckxk 2 C x je potenWnb rad s polomerom konver-
gencie r. Potom pre ubovo n maticu A 2 C nn plat
a ak A r, tak A 2 Domnf;
b ak A r, tak A =2 Domnf.
6 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
22.1.7. Pr klad. Funkcie 1,x,1, 1+x,1 mo[no pre jxj 1 vyjadri MacLauri-
novbmi radmi
1
1 ,x =
1X
k=0
xk; 1
1 + x =
1X
k=0
,1kxk;
s rovnakbm polomerom konvergencie r = 1. Preto i maticovR rady
PAk,
P,1kAk
konverguj pre ka[dR A 2 C nn, A 1, a plat
1X
k=0
Ak = I ,A,1;
1X
k=0
,1kAk = I + A,1:
Rad
PAk = I ,A,1 sa tie[ zvykne nazbva von Neumannovbm radom matice A.
22.1.8. Pr klad. Funkcie ln1,x, ln1+x mo[no pre jxj 1 rozvin do MacLau-
rinovbch radov
ln1 ,x = ,
1X
k=1
1
k xk; ln1 + x =
1X
k=1
,1k,1
k xk;
opT s polomeromkonvergencier = 1, ktorR sme z skali z radovpre 1x,1 form lnou
integr ciou Wlen po Wlene a vyu[it m rovnosti ln1 = 0. UvedenR rady teda m][eme
pou[i na de n ciu funkci
lnI ,A = ,
1X
k=1
1
kAk; lnI +A =
1X
k=1
,1k,1
k Ak;
pre A 2 C nn, A 1.
Uvedomme si, [e SpecA,I = f,1;  2 SpecAg, a dosaSme do druhRho radu
maticu A,I miesto matice A. Maticovb rad
lnA =
1X
k=1
,1k,1
k A ,Ik;
ktorb takto dostaneme, konverguje pre v etky A 2 C nn takR, [e j , 1j 1 pre
ka[dR  2 SpecA; pre takRto matice ho teda mo[no pou[i na de n ciu funkcie lnA.
22.2. Exponenci la matice
Vari najd]le[itej ou funkciou v matematickej analbze je exponenci la ex, ktor mo[no
pre ka[dR x 2 C de nova potenWnbm radom
ex = expx =
1X
k=0
xk
k!:
Z uvedenRho rozvoja u[ mo[no odvodi v etky d]le[itR vlastnosti exponenci lnej
funkcie, vr tane k WovRho vz ahu
,ex0 = ex.
22. MATICOVZ FUNKCIE 7
S exponenci lnou funkciou zko s visia Sal ie dve funkcie, kos nus a s nus, ktorR
je pre na e Wely najvbhodnej ie de nova pre ka[dR x 2 C mocninnbmi radmi
cosx =
1X
k=0
,1k
2k! x2k
; sinx =
1X
k=0
,1k
2k +1!x2k+1
:
PresvedWte sa samostatne, [e polomer konvergencie v etkbch troch uvedenbch radov
je r = 1.
To n m umo[ uje de nova exponenci lu, kos nus a s nus pre ubovo n maticu
A 2 C nn:
eA = expA =
1X
k=0
1
k!Ak;
cosA =
1X
k=0
,1k
2k! A2k
; sinA =
1X
k=0
,1k
2k + 1!A2k+1
:
JednoduchbmvbpoWtom mo[no overi maticovR zov eobecnenie sl vneho Eulerovho
vz ahu eix
= cosx+ isinx.
22.2.1. Tvrdenie. Pre ubovo n maticu A 2 C nn plat
eiA
= cosA+ isinA:
D]kaz. SW tan m zvl cez p rne a nep rne Wleny radu dostaneme
eiA
=
1X
k=0
1
k!iAk =
1X
k=0
i2k
2k!A2k
+
1X
k=0
i2k+1
2k + 1!A2k+1
=
1X
k=0
,1k
2k! A2k
+ i
1X
k=0
,1k
2k + 1!A2k+1
= cosA+ isinA:
Zn my vz ah ex+y = ex ey m tie[ maticovR zov eobecnenie.
22.2.2. Tvrdenie. Ak matice A;B 2 C nn komutuj , tak
eA+B = eA eB :
D]kaz. S pou[it m rovnosti
,k
j
 = k!
j!k,j! a binomickej vety lema 21.1.6 postupnbmi
pravami vypoW tame
eAeB =
1X
i=0
1
i!Ai 
1X
j=0
1
j!Bj =
1X
k=0
X
i+j=k
1
i!j!AiBj
=
1X
k=0
1
k!
kX
j=0
k
j

Ak,jBj =
1X
k=0
1
k!A +Bk = eA+B :
Ak matice A;B 2 C nn komutuj , tak komutuj aj matice A, iB. Z tvrden
22.2.1, 22.2.2 tak dost vame
8 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
22.2.3. D]sledok. Ak matice A;B 2 Rnn komutuj , tak
eA+iB = eAcosB + isinB;
priWom eA;cosB;sinB 2 Rnn.
Uvedomte si, [e pre nulov maticu 0n;n = diag0;:::;0 pod a lemy 21.1.4 plat
exp0n;n = diage0
;:::;e0
 = In. KeS[e ka[d tvorcov matica Akomutujes maticou
,A, z tvrdenia 22.2.2 okam[ite vyplbva Sal d]sledok.
22.2.4. D]sledok. Exponenci la eA ubovo nej matice A 2 C nn je regul rna a
plat ,eA,1 = e,A :
K Wom k vbpoWtu exponenci ly matice je opT znalos exponenci ly Jordanovbch
buniek. VSaka rovnosti ex0 = ex pod a vety 22.1.5 dost vame
22.2.5. Tvrdenie. Pre n  1,  2 C plat
expJn =
0
BBBB@
e e

1!
::: e

n,1!
0 e ::: e

n,2!
...
... ... ...
0 0 ::: e
1
CCCCA
=
0
BBB@
1 1
1!
::: 1
n,1!
0 1 ::: 1
n,2!
...
... ... ...
0 0 ::: 1
1
CCCAe :
Na z ver e te zaznamen me jeden u[itoWnb a zauj mavb vz ah, umo[ uj ci jedno-
duchb vypoWet determinantu exponenci ly matice len na z klade jej stopy.
22.2.6. Veta. Liouvilleova formula Pre ubovo n maticu A 2 C nn plat
deteA = etr A :
D]kaz. Pre J = diag
,Jn11:::;Jnpp
 pod a lemy 22.1.4 m me
eJ = diag
,expJn11;:::;expJnpp
:
Tak[e v d]sledku tvrdenia 22.2.5 plat
deteJ =
,e1n1 :::
,ep
np
= expn11 + ::: + npp = etr J :
Nech teraz J  A je JKT matice A. Pod a d]sledku 22.1.3 plat eA  eJ. KeS[e
podobnR matice maj rovnakb determinant aj stopu pozri d]sledok 18.1.4, z prvej
Wasti d]kazu vyplbva
deteA = deteJ = etr J = etr A :
KeS[e deteA = etr A 6= 0, dost vame tak inb d]kaz regularity matice eA.
22. MATICOVZ FUNKCIE 9
22.3. MaticovR a vektorovR funkcie re lnej premennej
Funkciu x: S ! C n, resp. x: S ! Rn, kde S  R, budeme nazbva komplexnou
resp. re lnou vektorovou funkciou re lnej premennej. Tak to funkcia sa prirodzene
rozpad na n zlo[iek, t.j. skal rnych funkci xi : S ! C resp. xi : S ! R takbch,
[e xt = x1 t;:::;xntT pre ka[dR t 2 S. Podobne funkciu X: S ! C mn
resp. X: S ! Rmn nazbvame komplexnou resp. re lnou maticovou funkciou re lnej
premennej na mno[ine S  R. I tak to funkciu mo[no rozlo[i na mn skal rnych
zlo[iek xij : S ! C , resp. xij : S ! R takbch, [e pre ka[dR t 2 S plat Xt =,xijt

mn. Zrejme vektorovR funkcie mo[no ch pa ako peci lny pr padmaticovbch
a re lne ako peci lny pr pad komplexnbch.5
Maticov funkcia X = xij je spojit v bode t0 svojho de niWnRho oboru S,
pr padne na mno[ine N  S, ak ka[d z jej zlo[iek xij m uveden vlastnos .
Predpokladajme, [e maticov funkcia X je de novan v nejakom okol N bodu t0,
t.j. v etky jej zlo[ky xij s de novanR na N. Hovor me, [e X m deriv ciu v bode t0,
ak v etky zlo[ky xij maj v bode t0 koneWn  deriv ciu. Deriv ciu funkcie X v bode
t0 znaW me
dXt0
dt =
dxijt0
dt

mn
; pr padne X0t0 =
,x0
ijt0

mn:
Niekedy, najmT pri typickej interpret cii premennej t ako Wasu, sa tie[ pou[ va od
Newtona poch dzaj ce oznaWenie _Xt0 =
,_xijt0

mn. Vy ie deriv cie ak exis-
tuj  znaW me dkX=dtk, pr padne Xk
.
Nasleduj ce maticovR zov eobecnenia pravidiel pre deriv ciu line rnej kombin cie
a s Winu maticovbch funkci , resp. pre kompoz ciu skal rnej a maticovej funkcie mo[no
overi priamym vbpoWtom.
22.3.1 Tvrdenie. Nech maticovR funkcie X;Y : S ! C mn, Z: S ! C np maj
deriv cie v bode t0 2 S a a;b 2 C . Potom aj funkcie aX + bY = axij + byijmn,
X Z =

P
j xijzjk

mp
maj deriv cie v bode t0 a plat
aX +bY 0t0 = aX0t0 + bY 0t0
X Z0t0 = X0t0 Zt0  + Xt0 Z0t0:
Nech navy e re lna skal rna funkcia g je de novan v okol bodu s0 a m v om
koneWn  deriv ciu, priWom gs0 = t0. Potom aj funkcia X g = xij gmn m
v bode s0 deriv ciu
X g0s0 = X0t0g0s0:
5Pripome me, [e komplexn funkciu g: S ! C re lnej premennej t 2 S  R mo[no jednoznaWne
rozlo[i na tvar gt = g1t+ig2t, kde g1;= Reg, g2 = Img s funkcie S ! R. Potom g je spojit
v bode t0 2 S pr ve vtedy, keS g1 aj g2 s spojitR v t0. Podobne aj deriv cia a integr l s de novanR
po zlo[k ch: g0t0 existuje pr ve vtedy, keS existuj g01t0 a g02t0, priWom g0t0 = g01t0+ig02t0;
pre spojit g: ha;bi ! C kladieme
R b
a gtdt =
R b
a g1tdt + i
R b
a g2tdt.
10 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
22.3.2. D]sledok. Nech maticov funkcia X: S ! Rnn je de novan v okol bodu
t0 a m tam deriv ciu. Potom pre ka[dR k 2 N aj maticov funkcia Xk m v bode t0
deriv ciu
dXkt0
dt =
kX
j=1
Xk,jt0 X0t0 Xj,1t0:
Ak navy e matice Xt0 a X0t0 komutuj , tak
dXkt0
dt = kXk,1t0 X0t0 = kX0t0 Xk,1t0:
D]kaz indukciou cez k.
22.3.3. Tvrdenie. Nech potenWnb rad fx =
P1
k=0 ckxk 2 C x m polomer kon-
vergencie r 0. Nech Salej maticov funkcia X: S ! C nn je de novan v okol
bodu t0 2 S a m v om deriv ciu, priWom matice Xt0 a X0t0 komutuj . Ak
Xt0 r, tak funkcia fX = f X je de novan v nejakom okol bodu t0 a m
v om deriv ciu
fX0t0 = f X0t0 = f0,Xt0
X0t0 = X0t0 f0,Xt0
:
V d]kaze pou[ijeme nieko ko argumentovz matematickej analbzy. Pitate ovi, ktorRmu
ve a nehovoria, odpor Wame prejs priamo k vbpoWtu.
Z existencie deriv cie X0t0 vyplbva spojitos funkcie X v nejakom okol N bodu
t0. Zo spojitej z vislosti koe cientov charakteristickRho polyn mu na prvkoch matice
ako aj kore ov polyn mu na koe cientoch zasa vyplbva existencia okolia S  N
bodu t0 a W sla q 0 takbch, [e Xt  q r pre t 2 S. OznaWme fmx =Pm
k=0 ckxk. VSaka rovnomernej konvergencii radu fXt =
PckXtk na mno[ine
S a s pou[it m pravidiel z 22.3.1, 22.3.2 dost vame
fX0t0 = limm!1
fmX0t0 = limm!1
mX
k=0
ck
dXkt0
dt
= limm!1
mX
k=1
kckXk,1t0 X0t0 = f0,Xt0
X0t0:
KeS[e za uvedenRho predpokladu komutuj aj X0t0 a f0,Xt0
, plat i druh
rovnos .
Z faktu, [e matica At v[dy komutuje s maticou At0 = A, ako aj s maticami eAt,
cosAt, sinAt, na z klade pr ve dok zanej vety okam[ite vyplbva
22.3.4.D]sledok. Nech A 2 Rnn je pevne zvolen matica. PotommaticovR funkcie
eAt, cosAt, sinAt s de novanR pre ka[dR t 2 R a pre ich deriv cie plat
,eAt0 = AeAt;
,cosAt0 = ,AsinAt; ,sinAt
0 = AcosAt:
22. MATICOVZ FUNKCIE 11
UrWitb integr l spojitej maticovej funkcie X: S ! C mn na intervale6
S  R
de nujeme pre s;t 2 S opT po zlo[k ch:
Z t
s
X d =
Z t
s
xij d

mn
Prenech meWitate ovi, aby sisamostatnepremyslel,[e takto de novanburWitb integr l
splbva s limitou maticovbch integr lnych s Wtov
Z t
s
X d = limk!1
kX
j=1
Xs+ jdkdk;
kde dk = t ,s=k.
Nasleduj ce tvrdenie o "maticovej linearite sprava i z ava a mno[inovej adit vnosti
urWitRho integr lu je priamym zov eobecnen m analogickbch pravidiel pre integr l
skal rnych funkci .
22.3.5. Tvrdenie. Nech X;Y : S ! C mn s spojitR maticovR funkcie na intervale
S  R, s;t;u 2 S a A;B 2 C km, C;D 2 C np. Potom
Z t
s
,AX  C + B Y  Dd =
A
Z t
s
X d

C + B 
Z t
s
Y d

D;
Z t
s
X d +
Z u
t
X d =
Z u
s
X d :
peci lne pre skal ry a;b 2 C a s;t 2 S plat
Z t
s
,aX  + bY  
d = a
Z t
s
X d + b
Z t
s
Y  d ;
Z t
t
X d = 0;
Z t
s
X d = ,
Z s
t
X d :
Deriv cia a urWitb integr l ako funkcia hornej medze s opT zviazanR maticovbm
zov eobecnen m Newtonovej-Leibnizovej formuly, ako aj vyjadren m urWitRho integ-
r lu rozdielom primit vnej funkcie hornej a dolnej medze. Inak povedanR, ide o na-
vz jom inverznR oper cie v rovnakom zmysle ako v jednorozmernom pr pade.
22.3.6. Tvrdenie. Nech X: S ! C mn je spojit maticov funkcia na intervale
S  R a s;t 2 S. Potom
d
dt
Z t
s
X d = Xt:
Ak X navy e m na S spojit deriv ciu X0, tak
Z t
s
X0 d = Xt,Xs:
6Dohodneme sa, [e pod intervalom budeme odteraz v[dy rozumie netrivi lny interval Wi u[
ohraniWenb alebo neohraniWenb, t.j. ubovo n podmno[inu S  R, ktor obsahuje aspo dva body
a sp a podmienku 8a;b 2 S8x 2 Ra  x  b  x 2 S.
12 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
22.4. S stavy line rnych diferenci lnych rovn c
Paragraf 22.2 sme zaWali vyzdvihnut m exponenci ly ex ako "vari najd]le[itej ej fun-
kcie v matematickej analbze . Jeden z d]vodov takRhoto hodnotenia sme u[ naznaWili
v pr klade 18.5.1 ka[dR rie enie diferenci lnej rovnice
dx
dt = ax;
kde a 2 C , m tvar funkcie xt = qeat re lnej premennej t, kde q 2 C je ubovo n
kon tanta. T to mo[no urWi , ak m me navy e predp san i poWiatoWn podmienku,
t.j. hodnotu xt0 = c 2 C v nejakom bode t0 2 R, vtedy rie enie nadob da tvar
xt = ceat,t0
= qeat;
kde q = ce,at0. Rie enia zlo[itej ch diferenci lnych rovn c sa preto Wasto zostavuj
vhodnbmi kombin ciami funkci eat, pr padne funkci cosat, sinat, pre r]zne a, ktorR
v ak s exponenci lnymi funkciami tesne s visia prostredn ctvom Eulerovho vz ahu.
Uvedenb tvar rie enia mo[no priamo zov eobecni aj na pr pad, keS a: S ! C je
ubovo n spojit funkcia, de novan na nejakom intervale S  R, a nielen kon tanta.
Vtedy
xt = xt0exp
Z t
t0
a d

;
pre t0;t 2 S. V tomto paragrafe presk mame viacrozmernb anal g podobnej situ cie.
S stavou line rnych diferenci lnych rovn c, pr padne vektorovou line rnou diferen-
ci lnou rovicou nazbvame formulu tvaru
x0 = Ax + b;
kde A: S ! C nn resp. b: S ! C n je spojit maticov resp. vektorov funkcia na
nejakom intervale S  R. Rie en m takejto s stavy rozumieme ubovo n funkciu
x: S ! C n, ktor m na S spojit deriv ciu a pre ka[dR t 2 S plat
x0t = At xt + bt:
V pr padnbch krajnbch bodoch intervalu sa pod deriv ciou mysl deriv cia sprava
resp. z ava. Tak to s stava bbva Wasto doplnen o poWiatoWn podmienku
xt0 = c;
ktor predpisujehodnotu c 2 C n funkcie xv niektorom pevnom bode t0 2 S.V takom
pr pade hovor me o poWiatoWnej lohe. V kurze obyWajnbch diferenci lnych rovn c sa
zvykne dokazova nasleduj ca veta o existencii a jednoznaWnosti jej rie enia.
22.4.1. Veta. Nech S  R je interval, A: S ! C nn resp. b: S ! C n je spojit
maticov resp. vektorov funkcia na S, t0 2 S a c 2 C n. Potom existuje pr ve jedno
rie enie poWiatoWnej lohy
x0 = Ax + b; xt0 = c:
22. MATICOVZ FUNKCIE 13
Pozn mka. a KeS[e C nn je vektorovb priestor nad C a n sobenie pevnou maticou
A 2 C nn Wi u[ z ava alebo sprava je line rne zobrazenie C nn ! C nn, do r mca
vektorovbch line rnych diferenci lnych rovn c zapadaj aj maticovR line rne diferen-
ci lne rovnice tvaru X0 = AX + B, resp. X0 = X A + B, kde A;B: S ! C nn
s spojitR maticovR funkcie na nejakom intervale S  R, pr padne doplnenR poWiatoW-
nou podmienkou Xt0 = C, pre t0 2 S, C 2 C nn. Pitate si iste ahko sformuluje
pojem rie enia takejto poWiatoWnej lohy. Taktie[ veta 22.4.1 zost va s minim lnymi
typogra ckbmi pravami v platnosti aj pre takRto rovnice.
b Line rnu jednorozmern  diferenci lnu rovnicu n-tRho r du
xn
,a1xn,1
,::: ,an,1x0 ,anx = b;
kde a1;:::;an;b: S ! C s spojitR funkcie, mo[no substit ciou x = xn previes na
s stavu n line rnych diferenci lnych rovn c x0
1
= a1x1 + :::anxn + b, x0
2
= x1, ::: ,
x0n = xn,1, t.j. x0 = Ax + b, kde
At =
0
BB@
a1t ::: an,1t ant
1 ::: 0 0
...
...
...
...
0 ::: 1 0
1
CCA; bt = bte1 =
0
BB@
bt
0
...
0
1
CCA:
Pri uvedenej substit cii toti[ pre 1  i  n plat xi = xn,i
. V imnite si, [e pri
pevnom t je At = MT
gt transponovan matica k pridru[enej matici normovanRho
polyn mu gtx = xn ,a1txn,1 ,::: ,an,1tx ,ant pozri paragraf 21.2.
Vetu 22.4.1. mo[no tie[ interpretova nasleduj cim sp]sobom. Podobne ako u s -
stav line rnych algebraickbch rovn c, aj tento raz ahko nahliadneme, [e v etky
rie enia homogRnnej s stavy line rnych diferenci lnych rovn c
x0 = Ax
tvoria line rny podpriestor vektorovRho priestoruC1
S;C n v etkbch spojito diferen-
covate nbch funkci S ! C n. Rie enia p]vodnej nehomogRnnej s stavy potom tvoria
a nnb podpriestor v C1
S;C n, ktorRho zameran m je podpriestor rie en homogRn-
nej s stavy. Veta 22.4.1 okrem inRho hovor , [e dimenzia oboch priestorov rie en je n.
V pr pade homogRnnej s stavy je toti[ pre pevnR t0 2 S priraden m x 7! xt0 de -
novanb line rny izomor zmus medzi priestorom jej rie en a C n. Na popis priestoru
v etkbch rie en homogRnnej s stavy teda staW n js nejak jeho b zu v tomto
pr pade sa jej hovor fundament lny systRm rie en . Tak to b zu tvor ubovo nbch n
line rne nez vislbch rie en x1;:::;xn, t.j. takbch, [e vektory x1t0;:::;xnt0 2 C n
s line rne nez vislR pre nejakR t0 2 S; potom u[ vektory x1t;:::;xnt s line rne
nez vislR pre ka[dR t 2 S. Priestor v etkbch rie en nehomogRnnej s stavy je tak
plne urWenb  ubovo nbm jej jedinbm rie en m a fundament lnym systRmom rie en
homogRnnej s stavy.
Maticov funkcia F : S ! C nn, ktorej st pce tvoria fundament lny systRm rie en
s stavy x0 = A  x, sa nazbva fundament lna matica tejto s stavy. Z pred chv ou
vykonanbch vah vyplbva, [e spojit maticov funkcia F : S ! C nn je fundament l-
nou maticou s stavy x0 = Ax pr ve vtedy, keS matica Ft je regul rna pre ka[dR
14 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
t 2 S na Wo staW overi jej regularitu v jedinom ubovo nom bode t0 2 S a vyhovuje
maticovej diferenci lnej rovnici X0 = AX, t.j. pre ka[dR t 2 S plat
F0t = AtFt;
z toho u[ vyplbva aj spojitos maticovej funkcie F0: S ! C nn.
Za predpokladu, [e pozn me nejak fundament lnu maticu s stavy, u[ nie je a[kR
nap sa explicitnb tvar rie enia pr slu nej poWiatoWnej lohy.
22.4.2. Veta. Nech F je fundament lna matica s stavy x0 = Ax. Potom
a rie enie homogRnnej poWiatoWnej lohy x0 = Ax, xt0 = c m tvar
xt = FtFt0,1 c;
b Rie enie nehomogRnnej poWiatoWnej lohy x0t = Ax + b, xt0 = c m tvar
xt = FtFt0,1 c +
Z t
t0
FtFs,1 bsds:
D]kaz. Obe postulovanRrie enias zrejme spojitR a vyhovuj poWiatoWnej podmienke.
a V homogRnnom pr pade plat
x0t = F0t Ft0,1 c = AtFtFt0,1 c = Atxt;
z Woho vyplbva aj spojitos deriv cie x0t.
b V nehomogRnnom pr pade staW overi , [e druhb sW tanec
yt = Ft
Z t
t0
Fs,1 bsds
vbrazu pre xt je rie en m s stavy. Ako u[ vieme, prvb sW tanec je toti[ rie en m ho-
mogRnnej s stavy. S pou[it m pravidla pre deriv ciu s Winu a Newtonovej-Leibnizovej
formuly z tvrden 22.3.1 resp. 22.3.6 vypoW tame
y0t = d
dt

Ft
Z t
t0
Fs,1 bsds

= F0t 
Z t
t0
Fs,1 bsds + FtFt,1 bt
= AtFt
Z t
t0
Fs,1 bsds + bt = Atyt + bt:
Vid me, [e i funkcia y0 je spojit a y vyhovuje pr slu nej rovnici.
22. MATICOVZ FUNKCIE 15
Pozn mka. Vzorec prerie enie nehomogRnnejs stavy sa odvodzuje tzv. Lagrangeovou
met dou vari cie kon t nt tak, [e vo vzorci pre rie enie homogRnnej s stavy na-
hrad me kon tatnb vektor c vektorovou funkciou q: S ! C n. Dosaden m rie enia
xt = Ft  qt do nehomogRnnej poWiatoWnej lohy nakoniec dospejeme k tvaru
qt = Ft0,1 c +
Rt
t0 Fs,1 bsds.
Vo v eobecnosti nevieme vyjadri fundament lnu maticu s stavy x0 = Axrozum-
nbm sp]sobom pomocou maticovej funkcie A: S ! C nn. Za istbch dodatoWnbch
predpokladov si v ak dok [eme poradi . Pre s;t 2 S oznaWme
EAt;s = exp
Z t
s
A d

:
ahko nahliadneme, [e EAt;t = I pre ka[dR t 2 S.
Hovor me, [e maticova funkcia A: S ! C nn je komutuj ca, ak matice As, At
komutuj pre v etky s;t 2 S.
22.4.3. Veta. Nech A: S ! C nn je spojit komutuj ca maticov funkcia na inter-
vale S  R. Potom pre ubovo nR pevnR t0 2 S je
Ft = EAt;t0;
uva[ovan ako funkcia premennej t 2 S, fundament lna matica s stavy x0 = Ax.
D]kaz. UrWitb integr l
Rt
s A d splbva s limitou integr lnych s Wtov
limk!1
kX
j=1
As+ jdkdk;
kde dk = t,s=k. KeS[e v etky uva[ovanR sW tance komutuj s ka[dou maticou Au,
u 2 S, limitnbm prechodom dostaneme, [e ubovo nR dve z mat c At, Rt
s A d ,Ru
t A d tie[ komutuj . Preto pod a tvrdenia 22.2.2 plat
EAu;t EAt;s = exp
Z u
t
A d +
Z t
s
A d

= EAu;s:
Z toho u[ vyplbva, [e matica EAt;s je v[dy regul rna s inverznou maticou
EAt;s,1 = EAs;t:
Pomocou tvrden 22.3.3 a 22.3.6 m][eme poW ta
F0t = d
dt exp
Z t
t0
A d

= d
dt
Z t
t0
A d

exp
Z t
t0
A d

= AtEAt;t0 = AtFt:
16 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
22.4.4. D]sledok. Pre spojit komutuj cu maticov funkciu A: S ! C nn plat :
a rie enie homogRnnej poWiatoWnej lohy x0 = Ax, xt0 = c m tvar
xt = EAt;t0 c;
b rie enie nehomogRnnej poWiatoWnej lohy x0t = Ax + b, xt0 = c m tvar
xt = EAt;t0 c +
Z t
t0
EAt;s bsds:
I v takom peci lnom pr padesme v rie en s stav line rnychdiferenci lnych rovn c
st le iba na pol ceste. NieWo inR je toti[ nap sa peknR v eobecnR vzorce pre ich
rie enie d]sledne vzatR, zavies pre len istR vhodnR oznaWenie a nieWo inR n js
rie enia konkrRtnych s stav. To si vy[aduje vypoW tat maticovR funkcie EAt;t0 aRt
t0 EAt;s  bsds pre r]zne typy komutuj cich maticovbch funkci At a vek-
torovbch funkci bt. TakR nieWo v ak vieme len v urWitbch pr padoch. Tbm naj-
jednoduch m,no ve mid]le[itbm, keS Aje kon tantn funkcia,sa budemepodrobnej-
ie zaobera v nasleduj com paragrafe, W m n vblet do sveta diferenci lnych rovn c
zakonW me.
22.5. Auton mne s stavy
Hovor me, [e s stava line rnych diferenci lnych rovn c x0 = Ax + b je auton mna,
pr padne s stava s kon tantnbmi koe cientami, ak A 2 C nn, t.j. A je kon tantn
funkcia, a b: S ! C n je spojit vektorov funkcia na intervale S  R.
KeS[e kon tantn maticov funckia A je automaticky spojit a komutuj ca, fun-
dament lna matica homogRnnej auton mnej s stavy x0 = A x je pod a vety 22.4.3
dan formulou
Ft = EAt;t0 = exp
Z t
t0
A d

= eAt,t0
;
pre ubovo nR pevnR t0 2 R a premennR t 2 R. peci lne je fundament lnou maticou
takejto s stavy funkcia
Ft = eAt :
K tomuto z veru mo[no d]js aj priamo na z klade d]sledku 22.3.4. Z d]sledku 22.4.4
vyplbva
22.5.1. Veta. Nech A 2 C nn, b: S ! C n je spojit vektorov funkcia na intervale
S  R, t0 2 S a c 2 C n. Potom
a rie enie homogRnnej poWiatoWnej lohy x0 = Ax, xt0 = c m tvar
xt = eAt,t0
c;
b rie enie nehomogRnnej poWiatoWnej lohy x0t = Ax + b, xt0 = c m tvar
xt = eAt,t0
c +
Z t
t0
eAt,sbsds;
c ak aj b je kon tantn funkcia, tak rie en m nehomogRnnej poWiatoWnej lohy je
xt = eAt,t0
c +
Z t
t0
eAt,sds

b:
22. MATICOVZ FUNKCIE 17
Na dov enie rie enia auton mnej homogRnnej lohy ako aj popisu jej fundamen-
t lnej matice staW vedie vypoW ta maticu eAt pre ubovo nR t 2 R.
Ak J = diag
,Jn11;:::;Jnkk
 je JKT matice A a P 2 C nn je regul rna
matica, pre ktor A = P J P,1, tak
eAt = P diag


exp
,Jn11t
;:::;exp
,Jnkkt

P,1:
aloha sa teda redukuje na vbpoWet mat c expJnt. Pri pevnom t 2 R uva[ujme
mocninnb rad
ftx =
1X
k=0
tk
k!xk = ext
v premennej x. Potom fp
t x = tp ext pre ka[dR p 2 N. Dosaden m do vzorca z vety
22.1.5 tak dost vame nasleduj ce zov eobecnenie tvrdenia 22.2.5:
22.5.2. Veta. Nech n  1,  2 C . Potom pre ubovo nR t 2 R dokonca t 2 C  plat
exp
,Jnt
 =
0
BBBB@
et te
t
1!
::: tn,1 e
t
n,1!
0 et ::: tn,2 e
t
n,2!
...
...
... ...
0 0 ::: et
1
CCCCA
=
0
BBBB@
1 t
1!
::: tn,1
n,1!
0 1 ::: tn,2
n,2!
...
...
... ...
0 0 ::: 1
1
CCCCA
et :
V pr pade komplexnbch vlastnbch W sel re lnej matice mo[no dvojicu Jordanovbch
buniek Jn, Jn nahradi zov eobecnenou Jordanovou bunkou Jn

a ,b
b a

, kde
a = Re, b = Im pozri paragraf 20.3. Nasleduj ca veta, ktor uv dzame bez
d]kazu, umo[ uje nahradi vo fundament lnej matici komplexnR funkcie et re lnymi
funkciami eat cosbt, eat sinbt.
22.5.3. Veta. Nech n  1, a;b 2 R. Potom pre ubovo nR t 2 R plat
exp
a ,b
b a

t =
eat cosbt ,eat sinbt
eat sinbt eat cosbt

= eat Rbt;
expJn
,a ,b
b a
t =
0
BBBB@
eat Rbt t
1!
eat Rbt ::: tn,1
n,1!
eat Rbt
0 eat Rbt ::: tn,2
n,2!
eat Rbt
...
...
... ...
0 0 ::: eat Rbt
1
CCCCA
=
0
BBBBBBBBBBB@
eat cosbt ,eat sinbt te
at cos bt
1!
,te
at sin bt
1!
::: tn,1 e
at cos bt
n,1!
,tn,1 e
at sin bt
n,1!
eat sinbt eat cosbt te
at sin bt
1!
te
at cos bt
1!
::: tn,1 e
at sin bt
n,1!
tn,1 e
at cos bt
n,1!
0 0 eat cosbt ,eat sinbt ::: tn,2 e
at cos bt
n,2!
,tn,2 e
at sin bt
n,2!
0 0 eat sinbt eat cosbt ::: tn,2 e
at sin bt
n,2!
tn,2 e
at cos bt
n,2!
...
...
...
... ...
...
...
0 0 0 0 ::: eat cosbt ,eat sinbt
0 0 0 0 ::: eat sinbt eat cosbt
1
CCCCCCCCCCCA
18 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Na rie enie nehomogRnnej auton mnej lohy s kon tantnbm Wlenom b treba e te
vedie vypoW ta integr l
Rt
t0 eAt,sds =
Rt,t0
0
eAs ds. StaW sa teda obmedzi na
integr ly tvaru
Rt
0
eAs ds. A znovu star zn ma pesniWka: ak A = P J P,1, kde P
je regul rna matica a J = diag
,Jn11;:::;Jnk
 je JKT matice A, tak
Z t
0
eAs ds = P diag

Rt
0
exp
,Jn11s
ds;:::;
Rt
0
exp
,Jnkks
ds

P,1;
tak[e opT staW pozna pr slu nR integr ly pre Jordanove bunky.
22.5.4. Veta. Nech n  1, 0 6=  2 C . Potom pre ubovo nR t 2 R plat
Z t
0
exp
,Jns
ds =
0
BBBB@
e
t

te
t
1!
, e
t
2 :::
Pn,1
j=0
,1
jtn,1,j e
t
j+1n,1,j!
0 e
t
 :::
Pn,2
j=0
,1
jtn,2,j e
t
j+1n,2,j!
...
...
...
...
0 0 ::: e
t

1
CCCCA
,
0
BBBB@
1
 , 1
2 ::: ,1
n,1
n
0 1
 ::: ,1
n,2
n,1
...
... ... ...
0 0 ::: 1

1
CCCCA
;
pre  = 0 m me
Z t
0
exp
,Jn0s
ds =
0
BBBB@
t t2
2!
::: tn
n!
0 t ::: tn,1
n,1!
...
...
... ...
0 0 ::: t
1
CCCCA
:
N Wrt d]kazu. Oba vzorce dostaneme priamo z vety 22.5.2 integrovan m jednotlivbch
Wlenov matice exp
,Jns
. Pre  6= 0, 0  p  n,1, pri vbpoWte integr lu
Z t
0
sp es
p! ds =
pX
j=0
,1jtp,j et
j+1p ,j! , ,1p
p+1
pou[ijeme p-kr t za sebou met du per partes.
Ak A je regul rna, m][eme sa uvedenbm vzorcom vyhn . ahko toti[ nahliad-
neme, [e d
ds
,eAsA,1= eAs, teda pod a tvrdenia 22.3.6
Z t
0
eAs ds =
,eAt ,I
A,1:
To znamen , [e vbpoWet h adanRho integr lu mo[no priamo previes na vbpoWet ex-
ponenci ly eAt pod a vety 22.5.2 a vahy, ktor ju predch dza. Z Wasti c vety 22.5.1
teraz vyplbva
22. MATICOVZ FUNKCIE 19
22.5.5. D]sledok. Nech A 2 C nn je regul rna matica, b;c 2 C n. Potom rie enie
nehomogRnnej auton mnej poWiatoWnej lohy x0 = Ax + b, xt0 = c m tvar
xt = eAt,t0
c +
,eAt,t0
,I
A,1 b:
V pozn mke b za vetou 22.4.1 sme sa struWne zmienili o mo[nosti previes jed-
norozmern  line rnu diferenci lnu rovnicu n-tRho r du na vektorov diferenci lnu
rovnicu. V peci lnom pr pade homogRnnej rovnice s kon tantnbmi koe cientami ai
dostaneme homogRnnu auton mnu s stavu
x0 = MT
g x;
kde gx = xn , a1xn,1 , ::: , an,1x , an. Niekedy m][e by naopak u[itoWnR
"zn [i poWet rovn c a nezn mych funkci , presnej ie, pre A 2 C nn upravi s stavu
x0 = Ax na jednorozmern line rnu diferenci lnu rovnicu n-tRho r du. R]zne ekvi-
valentnR podoby podmienky, za ktorej je takR nieWo mo[nR, s sformulovanR v tvrden
21.3.1. My si vyberieme len jednu z nich.
22.5.6. Tvrdenie. Nech A 2 C nn. Ak fx = xn , Pn
j=1 cjxn,j 2 C x je nor-
movanb polyn m takb, [e AT  Mf, tak auton mnu homogRnnu s stavu x0 = Ax
mo[no vhodnou substit ciou upravi na homogRnnu line rnu diferenci lnu rovnicu
n-tRho r du
yn
,c1yn,1
,::: ,cn,1y0 ,cny = 0:
D]kaz. Za uvedenbch predpokladov plat A  MT
f , preto existuje regul rna matica
P 2 C nn tak , [e A = P  MT
f  P,1. Polo[me y = P,1  x. Potom x vyhovuje
s stave x0 = Ax pr ve vtedy, keS y vyhovuje s stave y0 = MT
f y, t.j.
y0
1
= c1y1 + :::+ cnyn; y0
2
= y1; ::: ; y0
n = yn,1:
Teda pre y = yn, 1  j  n, plat yj = yn,j
a yn
,Pn
j=1 cjyn,j
= 0.
22.5.7. D]sledok. Nech A 2 C nn. Ak f1x;:::;fkx 2 C x s normovanR
polyn my takR, [e fix = xni , Pni
j=1 cijxni,j a AT  diag
,Mf1;:::;Mfk
, tak
auton mnu homogRnnu s stavu x0 = A  x n line rnych diferenci lnych rovn c pre
n nezn mych funkci x1;:::;xn mo[no vhodnou substit ciou upravi na s stavu k
homogRnnych line rnych diferenci lnych rovn c
yn1
1
,c11yn1,1
1
,,c1n1,1y0
1
,c1n1y1 = 0;
...
ynk
k ,ck1ynk,1
k ,,ck nk,1y0
k ,ck nkyk = 0;
r dov n1;:::;nk pre k nezn mych funkci y1;:::;yk.
Doplnenie konkrRtneho tvaru takejto substit cie u[ prenech vame na rozmysle-
nie Witate ovi. E te poznamenajme, [e pokia chceme dosiahnu Wo najvbraznej ie
zn [enie poWtu rovn c a nezn mych funkci , najvhodnej m kandid tom na polyn my
f1x;:::;fkx je s stava invariantnbch faktorov matice AT pozri paragraf 21.4,
sek medzi vetami 21.4.4, 21.4.5. Potom matica diag
,Mf1;:::;Mfk
 je racion lny
kanonickb tvar matice AT.
20 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
22.6. Komut tor
V predch dzaj cej i celej tejto kapitole sme mohli vidie , ak vbznamn lohu hr
pri t diu maticovbch funkci vz ah komutovania. V tomto z vereWnom paragrafe
zavedieme pojem komut toramat c. Pomocouneho, po sRriiaplik cii line rnejalgebry
v te rii diferenci lnych rovn c, pre zmenu predvedieme jednu aplik ciu vety 22.4.1
o jednoznaWnosti rie enia s stavy line rnychdiferenci lnychrovn c v line rnej algebre.
Pod a tvrdenia 22.2.2 pre komutuj ce matice A;B 2 C nn plat eA+B = eA eB.
Pre nekomutuj ce matice to v ak nie je pravda. Komut torom mat c A;B 2 Knn
nad ubovo nbm po om K nazbvame maticu
A;B = AB ,B A:
Zrejme A, B komutuj pr ve vtedy, keS A;B = 0.
Priamym vbpoWtom mo[no overi , [e komut tor je antisymetrickR biline rne zob-
razenie Knn  Knn ! Knn, ktorR sa pri xovan jednej premennej spr va voWi
s Winu mat c v druhej premennej podobne ako deriv cia.
22.6.1. Tvrdenie. Nech K je pole a n 2 N. Potom pre ubovo nR A;B;C 2 Knn,
a;b 2 K plat
A;B = , B;A ;
aA+ bB;C = a A;C + b B;C ;
AB;C = A;C B + A B;C :
22.6.2. D]sledok. Nech A;B 2 Knn, fx 2 K x . Ak matice A, A;B komu-
tuj , tak
fA;B = f0A  A;B = A;B f0A:
V pr pade K = C plat uvedenb vz ah nielen pre polyn my ale aj pre potenWnR rady
fx 2 C x a matice A 2 Domn f, B 2 C nn.
D]kaz. S pou[it m poslednej rovnosti z tvrdenia 22.6.1 mo[no za uvedenRho pred-
pokladu indukciou cez k 2 N jednoducho dok za
Ak;B = kAk,1  A;B :
Potrebnb z ver pre polyn my vyplbva z linearity zobrazenia A 7! A;B ; na rady sa
prenesie limitnbm prechodom.
I v pr pade, [e A, B nekomutuj , za predpokladu, [e komutuj aspo so svo-
j m komut torom, mo[no vzorec pre exponenci lu s Wtu modi kova do nasleduj cej
podoby.
22.6.3. Veta. Nech matice A;B 2 C nn komutuj so svojim komut torom, t.j.
A; A;B = A;B ;B = 0:
Potom
eA eB = expA + Bexp 1
2
A;B :
22. MATICOVZ FUNKCIE 21
D]kaz. Uva[ujme e te raz mocninnb rad ftx =
P tk
k!xk = ext 2 C x pri pevnom
t 2 R. Potom f0tx = text. Ak A a A;B komutuj , tak pod a d]sledku 22.6.2 plat
eAt;B = ftA;B = f0
tA  A;B = teAt  A;B ;
t.j.
eAt B =
,B + A;B t
eAt :
Uva[ujme teraz spojitR maticovR funkcie
Yt = eAt eBt; Zt = expA + Btexp 1
2
A;B t2
;
pre t 2 R. Zrejme Y 0 = Z0 = In. Pozrime sa bli[ ie na ich deriv cie. S vyu[it m
tvrden 22.3.1, 22.3.3 a komutaWnRho vz ahu pre eAt a B dost vame
Y0t =
,eAt0 eBt + eAt
,eBt0 = AeAt eBt + eAt B eBt
= AeAteBt+
,B + A;B t
eAteBt =
,A+ B + A;B t
Yt:
Ak si uvedom me, [e za danbch predpokladov komutuj A + B a A;B , teda aj
A + Bt a 1
2
A;B t2
, resp. A + Bt + 1
2
A;B t2
a d
dt
,A + Bt + 1
2
A;B t2
 =
A+ B + A;B t, s pou[it m tvrden 22.2.2, 22.3.3 n m postupne vyjde
Zt = exp
,A +Bt+ 1
2
A;B t2
;
Z0t =
,A+ B + A;B t
Zt:
Vid me, [e Y , Z vyhovuj rovnakej poWiatoWnej lohe X0 =
,A+ B + A;B t
X,
X0 = I. Z jednoznaWnosti rie enia takejto lohy pozri pozn mku a za vetou
22.4.1 vyplbva, [e Yt = Zt pre ka[dR t 2 R. Vo bou t = 1 dost vame po[adovan
rovnos .
NekoneWnorozmernb anal g pr ve dok zanRho vz ahu hr vbznamn lohu v kvan-
tovej mechanike. Pre istR line rne oper tory A, B, reprezentuj ce napr. fyzik lne
veliWiny polohy a hybnosti, je toti[ A;B = i~I, teda rbdzo imagin rny n sobok
identickRho oper tora. KeS[e skal rne n sobky identity komutuj s ka[dbm oper -
torom, m me
eA eB = expA + Bexp
,i~
2
I = ei~=2
expA +B:
To znamen , [e line rne oper tory eA eB a expA + B sa l ia len n sobkom kom-
plexnej jednotky ei~=2
= cos~=2 + isin~=2, t.j. f zovbm posunom o "uhol ~=2,
kde ~ = h=2  1;054 10,34 Js je modi kovan  Planckova kon tanta.