23. ÚVOD DO TEORIE GRÚP Pojem grupy hrá natoľko kľúčovú úlohu nielen v algebře, ale i v celej modernej matematike a jej početných aplikáciách, že ani v našom kurze lineárnej algebry a geometrie by už naďalej nebolo únosné sa mu vyhýbať. Pri analýze akéhokoľvek (nie nevyhnutne matematického) štruktúrovaného oboru objektov hrá dôležitú úlohu otázka jeho symetrie. Znalosť transformácií, ktoré zachovávajú príslušnú štruktúru (t.j. jej symetrií), nám totiž neraz umožňuje výrazne sprehľadniť a zjednodušiť jej popis. Címje takýchto transformácií viac, tým symetric-kejšiu štruktúru nesie spomínaný obor, malé množstvo takýchto transformácií naopak svedčí o nízkom stupni symetrie. Ukazuje sa, že (bijektívne) transformácie zachovávajúce danú štruktúru tvoria vždy grupu, t.j. množinu transformácií uzavretú vzhľadom na kompozíciu, obsahujúcu identickú transformáciu a spolu s každou transformáciou aj transformáciu k nej inverznú. Typickými príkladmi takýchto grúp sú krystalografické grupy, alebo grupy transformácií euklidovských priestorov zachovávajúcich rôzne invarianty, ako napr. dĺžku, objem či uhol. Grupa transformácií daného štruktúrovaného oboru však v sebe nesie podstatne viac informácií o jeho symetrii, než len to, čije ich „veľa" alebo „málo". I „rovnako veľké" grupy sa totiž môžu výrazne líšiť svojou vlastnou vnútornou štruktúrou, a tým spätne mnoho vypovedať o symetrii a štruktúre pôvodných oborov. V tejto kapitole sa stručne oboznámime len s celkom základnými pojmami a výsledkami teórie grúp. V duchu modernej algebry ich však budeme študovať v abstraktnom poňatí, t.j. bez toho, aby sme predpokladali, že ide nutne o grupy transformácií. Tým sa budeme podrobnejšie venovať až v nasledujúcej kapitole. 23.1. Abstraktný pojem grupy Grupou nazývame množinu G vybavenú binárnou operáciou • : G x G —> G, ktorá spĺňa nasledujúce podmienky, nazývané tiež axiómami teórie grúp: (a) (\/a,b,c£G)(a(bc) = (ab)c), t.j. operácia • je asociatívna; (b) (3 e G G)(Va G G)(ae = ea = a), t.j. existuje neutrálny prvok e G G operácie • ; (c) (VaGG)(3&GG)(a& = &a = e), t.j. ku každému a G G existuje inverzný prvok & G G vzhľadom na operáciu •. Ako už vieme z paragrafu 0.4, neutrálny prvok e G G je podmienkou (b) určený jednoznačne; podobne je podmienkou (c) jednoznačne určený inverzný prvok & G G k danému a G G. Hovoríme, že grupa G je komutatívna, alebo tiež abelovská, ak operácia • je komu-tatívna, t.j. platí ab = ba pre všetky a, & G G. Uvedený spôsob zápisu, pri ktorom grupovú operáciu značíme • (a jej znak väčšinou vynechávame), prípadne o, nazývame multiplikatívny zápis. Grupovú operáciu vtedy nazývame súčinom alebo násobením, prípadne skladaním alebo kompozíciou. 1 2 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Neutrálny prvok nazývame tiež jednotkovým prvkom alebo jednotkou, prípadne identitou a značíme ho väčšinou e, e alebo 1, prípadne J", id, 4 a pod. Inverzný prvok k prvku a G G značíme a-1, občas tiež a' alebo ä. Zrejmým spôsobom (porovnaj s paragrafom 1.2) zavádzame výrazy a" pre a G G, n G TL. Grupovú operáciu, neutrálny prvok resp. inverzný prvok k danému môžeme, samozrejme, označiť hocako. Popri multiplikatívnom zápise sa však bežne používa už len tzv. aditívny zápis, pri ktorom grupovú operáciu značíme + a nazývame sčítaním, neutrálny prvok značíme 0 a nazývame nulou alebo nulovým prvkom a inverzný prvok značíme <4a a nazývame opačným prvkom k prvku a G G. Čitateľ by si mal samostane premyslieť, ako sa zmení formulácia grupových axióm (a), (b), (c) pri prechode k aditívnemu zápisu. Výrazy aOŔ, na, pre a, b G G, n G TL, zavádzame obdobne ako v paragrafe 1.2. Aditívny zápis je rezervovaný takmer výlučne pre abelovské grupy. To neznamená, že by sme sa s komutatívnou grupou nemohli stretnúť v multiplikatívnom zápise. No uvedením nejakej grupy v aditívnom zápise už vlastne dávame najavo (pokiaľ výslovne nezdôrazníme opak), že ide o abelovskú grupu. Ako sme už naznačili, grupu väčšinou označujeme rovnakým znakom ako jej základnú množinu. Niekedy je však účelné zahrnúť do jej označenia i príslušnú grupovú operáciu, prípadne aj jej neutrálny prvok; vtedy hovoríme napr. o grupe (G, •), grupe (A,+,0) a pod. Hovoríme, že grupa G je konečná resp. nekonečná, ak jej základná množina má príslušnú vlastnosť. Rádom konečnej grupy nazývame počet jej prvkov. S niektorými jednoduchými príkladmi grúp sme sa už v našom kurze stretli. 23.1.1. Príklad. Množina TL všetkých celých čísel tvorí grupu vzhľadom na operáciu sčítania. Podobne, pre n > 1, tvorí grupu množina TLn = {0, 1, . . ., n Ol} všetkých zvyškových tried s operáciou sčítania modulo n (pozri paragraf 1.3). Zrejme {TL, +) aj všetky (TLn,+) sú napospol abelovské grupy. 23.1.2. Príklad. Každé pole K určuje hneď dve komutativně grupy. Je to jednak aditívna grupa (Ä',+, 0), jednak multiplikatívna grupa (Ä'\{0}, •, l)jeho nenulových prvkov, ktorú zvykneme tiež značiť (A'*, •, 1) alebo len krátko Ä'*. V prípade polí Q a M sa k nim pridružujú ešte multiplikativně grupy ( + , •, 1) resp. (M+, •, 1) kladných prvkov daného poľa. Podobne určuje každý vektorový priestor V nad ľubovoľným poľom K abelovskú grupu (V, +,0). 23.1.3. Príklad. Z úvah vykonaných v paragrafe 0.5 vyplýva, že množina S (X) všetkých permutácií ľubovoľnej množiny X tvorí grupu vzhľadom na operáciu o skladania zobrazení, s jednotkou idx • Táto grupa je pre # X > 3 nekomutatívna. Pre konečnú množinu X = {1, . . ., n} nazývame grupu S (X) = Sn symetrickou grupou stupňa n; jej rád je zrejme n\ . 23.1.4. Príklad. Množinu všetkých regulárnych matíc rozmeru n x n nad poľom K budeme odteraz značiť GL(n,Ä'). Z výsledkov paragrafu 7.2 vyplýva, že GL(n,Ä') tvorí grupu vzhľadom na operáciu násobenia matíc, s jednotkou In; nazývame ju všeobecná lineárna grupa (stupňa n nad poľom K) (GL je skratka anglického general linear). Pre n > 2 je GL(n, Ä') nekomutatívna grupa. 23. UVOĎ DO TEORIE GRUP 3 Pri pohľade na pred chvíľou uvedenú definíciu a za ňou nasledujúce dôverne známe príklady hĺbavejšieho čitateľa asi nevdojak napadne otázka, prečo sme s definíciou grupy tak dlho otáľali. Pritom je to definícia - najmä v porovnaní s definíciami poľa a vektorového priestoru (pozri paragrafy 1.2 a 1.5) - veľmi jednoduchá. Vlastne už v paragrafe 0.4 sme mali pohromade všetky pojmy potrebné nato, aby sme ju mohli vysloviť. Navyše, keby sme vtedy boli tak učinili, mohli sme trochu neskôr definície poľa a vektorového priestoru sformulovať podstatne kratšie a jednoduchšie. Napr. v definícii poľa (pozri paragraf 1.2) možno prvé štyri formuly ľavého stĺpca zhrnúť do podmienky, že množina K tvorí vzhľadom na sčítanie + komutatívnu grupu s nulovým prvkom 0, a celý ľavý stĺpec zasa do podmienky, že množina K* = K \ {0} tvorí komutatívnu grupu vzhľadom na násobenie s jednotkovým prvkom 1 (potom nutne 1 £ Ä'*, teda 0 ^ 1). Zostáva už len jediná formula - distributívny zákon -, ktorá dáva do súvisu obe operácie. S istou dávkou zjednodušenia možno povedať, že pole pozostáva z dvoch komutatívnych grúp spojených distributívnym zákonom. Podobne možno prvé štyri formuly v definícii vektorového priestoru (pozri paragraf 1.5) nahradiť požiadavkou, že (V, +, 0) je abelovská grupa. To by však bol takmer celý zisk, ktorý by nám v našom doterajšom kurze lineárnej algebry a geometrie kynul z takého skorého zavedenia pojmu grupy. Navyše, pokiaľ by sme nechceli neorganicky odbočovať od témy, prípadne na prítomnosť grúp v našom výklade umelo upozorňovať, boli by sme obmedzení v podstate na grupy uvedené v príkladoch 23.1.1-4, v ktorých prevládajú abelovské grupy. Takéto obmedzenie by však zastieralo viaceré podstatné znaky sveta grúp, v ktorom naopak prevládajú grupy neabelovské. Práve stručnosť a jednoduchosť definície grupy má totiž za následok, ze JeJ vyhovuje obrovské množstvo nesmierne rozmanitých matematických objektov, a tým aj prekvapivú zložitosť možnej štruktúry grúp. Abelovské grupy, a obzvlášť vektorové priestory patria práve k tým štruktúrne najjednoduchším predstaviteľom grúp. Systematické štúdium teórie grúp nie je predmetom lineárnej algebry, teda ani tohto kurzu. Obmedzíme sa len na jej základné pojmy a výsledky v miere, ktorá nám umožní ich využitie pri hlbšom objasnení algebraickej a geometrickej štruktúry vektorových priestorov. V nasledujúcom tvrdení, ktorého dôkaz prenechávame ako jednoduché cvičenie čitateľovi, je zhrnutých niekoľko najelementárnejších pravidiel pre počítanie v grupách. 23.1.5. Tvrdenie. JVeci (G, •, e) je grupa. Potom pre ľubovoľné prvky a, b, c G G a m, n G Z platí (ab)-1 = b-1a-1, y G sú splnené pravidlá o krátení zľava aj sprava, t. j. ab = ac =>• b = c, ac = bc =>• a = b, a každá z rovníc ax = b, resp. ya = b má v G jediné riešenie x = a~1b, resp. y = ba~ľ. a° = e, (a V) = a, nm+n _ n 4 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 23.2. Podgrupy, generujúce množiny, cyklické grupy Nech (G, -,e) je grupa. Hovoríme, že podmnožina S1 C G je podgrupa grupy G, ak e G S1 a pre ľubovoľné a,b G S platí ab G S aj a-1 G S1. Inak povedané, podgrupa grupy G je jej podmnožina, ktorá obsahuje neutrálny prvok a je uzavretá vzhľadom na operácie súčinu a inverzného prvku v G. Zrejme každá podgrupa grupy G je zároveň sama grupou vzhľadom na grupovú operáciu zdedenú z G. Pri overovaní, či daná pomnožina grupy je jej podgrupou, býva niekedy užitočné nasledujúce tvrdenie. 23.2.1. Tvrdenie. JVeci (G, •, e) je grupa a S C G. Potom S je podgrupa grupy G práve vtedy, keď S ^ f) a pre každé a, & G S1 platí ab~ľ G S. Dôkaz. Zrejme každá podgrupa grupy G je neprázdna a uzavretá vzhľadom na operáciu (a, b) h-► a&_1. Naopak, nech 0 ^ S C G je uzavretá na uvedenú operáciu a s G S1 je ľubovoľný prvok. Potom e = ss~ľ G S. Ďalej pre a, & G S1 platí &_1 = e&-1 G S1 a taktiež ab = a(&-1)-1 G S1. Teda S je podgrupa grupy G. Pojem podgrupy danej grupy má niektoré spoločné črty s pojmom lineárneho pod-priestoru daného vektorového priestoru: v oboch prípadoch ide o neprázdnu podmnožinu uzavretú vzhľadom na príslušné operácie. Navyše, lineárny podpriestor S vektorového priestoru V je zároveň aj podgrupou grupy (V, +, 0). Naopak, podgrupa S (aditívnej grupy) vektorového priestoru V je jeho lineárnym podpriestorom práve vtedy, keď je uzavretá aj vzhľadom na skalárně násobky. Každá grupa G obsahuje tzv. triviálnu podgrupu {e} a nevlastnú podgrupu G. Pritom, okrem prípadu G = {e}, ide zrejme o dve rôzne podgrupy. V nasledujúcich príkladoch si ukážeme niekoľko dôležitých typov netriviálnych vlastných podgrúp, čím zároveň trochu rozšírime našu zatiaľ skromnú zbierku grúp. 23.2.2. Príklad. Nech n > 3 je prirodzené číslo. Označme 4 identickú permutáciu množiny {1, . . ., n) a g cyklickú permutáciu 1 h-► 2 h-► . . . h-► nOl *—> n h-► 1. Potom permutácie í = g°, g = g1, . . . , gk, ... , gn~ľ predstavujú otočenia (proti smeru hodinových ručičiek) pravidelného n-uholníka s vrcholmi 1, . . ., n o uhly 2kir j n pre 0 < k < n -O-l. Ak n = 2m je párne, tak pre 1 < k < m označme 3 tvorí množina {i, g, . . ., g" 1,a\, . . ., an} podgrupu symetrickej grupy Sn. Označujeme ju An a nazývame grupou symetrií pravidelného n-uholníka alebo tiež dihedrálnou grupou stupňa n. Dihedrálna grupa An má rád 2n a okrem prípadu n = 3, kedy As = 1S3, je to netriválna vlastná podgrupa symetrickej grupy Sn. 23.2.3. Príklad. Z vety 0.5.1 vyplýva, že množina všetkých párnych permutácií množiny {í,...,n} tvorí podgrupu symetrickej grupy Sn. Hovoríme jej alternujúca grupa stupňa n a značíme ju An. Zrejme A® = 1S0, -4i = <5i, no pre n > 2 má An rád n!/2 (rozmyslite si prečo), teda je to vlastná (a pre n > 3 tiež netriviálna) podgrupa symetrickej grupy Sn. 23. UVOĎ DO TEORIE GRUP 5 23.2.4. Príklad. Ako sme už spomínali, množina C* = C\ {0} tvorí grupu vzhľadom na násobenie. Z vlastností komplexných čísel možno ľahko nahliadnuť, že množina {z G C; \z\ = 1} je jej podgrupou. Hovorímejej grupa komplexných jednotiek (nepliesť si s jednotkou ako neutrálnym prvkom grupy) a z dôvodov, ktoré vysvitnú neskôr, ju značíme U(l). Zrejme U(l) je nekonečná vlastná podgrupa grupy (C \ {0}, •). Podobne ako vo vektorovom priestore V generuje ľubovoľná množina X C V lineárny podpriestor [X], každá podmnožina X grupy G generuje istú podgrupu grupy G, ktorú teraz opíšeme. Pre X C G označme PO . x ~ n £ N & kí, . . ., kn £ TL & x\, n£X}. Ak X = {x\, . . ., xm} je konečná množina, tak miesto {{x\, . . ., xm}} píšeme len (xi, . . ., xm). Množinu (X) nazývame podgrupa generovaná množinou X. Tento názov je oprávnený nasledujúcim tvrdením. 23.2.5. Tvrdenie. JVeci X je podmnožina grupy G. Potom množina (X) je najmenšia podgrupa grupy G taká, že X C (X). Náčrt dôkazu. Podobne ako v tvrdení 4.2.1 pre vektorové priestory, možno i teraz ľahko dokázať, že (a) {X) je podgrupa grupy G; (b) pre každú podgrupu S C G platí X C S => (X) C S. Ak (X) = G, hovoríme, že množina X generuje grupu G, alebo, že X je množinou generátorov grupy G. Prvky množiny X potom nazývame generátory grupy G. Grupa G sa nazýva konečne generovaná, ak G má nejakú konečnú množinu generátorov. Štruktúrne najjednoduchšími grupami sú tzv. cyklické grupy, t. j. grupy generované jediným generátorom. Príkladom cyklickej grupy je grupa {TL, +) všetkých celých čísel, 6 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA a taktiež grupy (Zn, +) pre každé kladné celé číslo n. Každá z týchto grúp (okrem prípadu n = 1, kedy však 7L\ = {0} = (0)) je totiž generovaná svojim prvkom 1. Každý prvok x grupy G v nej generuje cyklickú podgrupu (x). Ak je konečná, tak jej rád #(:c} nazývame rádom prvku x v G; ak je nekonečná, hovoríme, že prvok i£(? má nekonečný rád. Nasledujúce tvrdenie by sme mohli dostať ako jednoduchý dôsledok našich neskorších úvah. Zámerne ho však dokážeme celkom elementárnymi, no o to názornejšími prostriedkami. 23.2.6. Tvrdenie. Prvok x grupy G má konečný rád práve vtedy, keď existuje kladné celé číslo r také, že xr = e. Rádom prvku x potom je najmenšie kladné celé číslo r s touto vlastnosťou a (x) = {e, x, . . ., ;cr-1}. Ak x má nekonečný rád, tak (x) = {xn; n £ 7L\, pričom xm ^ x" pre všetky m, n G TL, m ^ n. Dôkaz. Vezmime x G G a uvažujme postupnosť mocnín x1 = x, x2 = xx, x3 = xxx, at ď. Všetky jej členy patria do podgrupy (x). Pokiaľ £ má konečný rád, t. j. (x) je konečná, musia sa v tejto postupnosti vyskytnúť aspoň dva rovnaké členy, napr. xk a xk+r, kde k a r sú kladné celé čísla. Potom však xke = xk = xk+r = xkxr, z čoho krátením zľava dostávame e = xr. Ak r je najmenšie kladné celé číslo s touto vlastnosťou, tak všetky prvky x° = e, x1 = x, . . . , xr~x sú navzájom rôzne (rozmyliste si, prečo), a ďalšie mocniny sa už cyklicky opakujú: xr = e, xr+1 = x, . . . , x'lr~x = xr~1, at ď. Ak si ešte uvedomíme, že pre 1 < k < rOl potom platí \x) = xr~k, je jasné, že (x) = {xk; 0 < k < r -O-l}. Z prvej časti dôkazu je zrejmé, že ak i £ G má nekonečný rád, tak všetky prvky uvažovanej nekonečnej postupnosti x, x2, . . . ,xn, . . . sú navzájom rôzne. Potom sa v nej nemôže vyskytnúť neutrálny prvok e. Navyše, žiadne dva z nich nemôžu byť navzájom inverzné. Teda xm ^ x" pre navzájom rôzne m, n £ Z a (x) = {xn; n H sa nazýva homomorfizmus grúp, ak pre všetky a, b G G platí ip(ab) = ip(a) ■ H je homomorfízmus grúp. Potom eu, ktoré každému prvk x U je zároveň homomorfizmus grúp H sú homomorfízmy grúp. Potom aj ich kompozícia f o ip : F —► H je homomorfízmus grúp. Dôkaz. Pozri tvrdenie 6.1.2. 23.3.3. Tvrdenie. JVeci tp: G —>■ H je homomorfízmus grúp, S C G je podgrupa grupy G a T C H je podgrupa grupy H. Potom aj H je homomorfizmus grúp. Jeho jadrom resp. obrazom nazývame množinu Ker<,o = ■ H je homomorfízmus grúp. Potom Ker

H je homomorfízmus grúp. Potom (a) ip je injektívny práve vtedy, keď Ker

H nazývame izomorfizmus grúp. Hovoríme, že grupy G, H sú izomorfné, označenie G = H, ak existuje nejaký izomorfizmus Lp:G-> H. Zrejme injektívny homomorfizmus H je zároveň izomorfizmom grupy G na podgrupu Im (p grupy H. Aj pre grupové izomorfizmy platí obdoba tvrdenia 6.3.1 pre lineárne izomorfizmy. 23.3.6. Tvrdenie. JVeci F, G, H sú grupy. (a) idg : G —> G je izomorfízmus grúp. (b) Ak ip: G —► H je izomorßzmus grúp, tak aj inverzné zobrazenie ip~ľ: H —► G je izomorfízmus grúp. (c) Ak ip: F ^ G, ip: G ^ H sú izomorfizmy grúp, tak aj ip o ip: F —► H je izomorfízmus grúp. V dôsledku toho pre ľubovoľné grupy F, G, H platí G = G, G^H => H = G, F = GkG^H^F = H. Inak povedané, vzťah = izomorfnosti grúp je reflexívny, symetrický a tranzitívny, teda je to vzťah ekvivalencie. Izomorfné grupy môžeme z hľadiska ich štruktúry považovať za totožné. 23.3.7. Príklad. Nech (G, •) je ľubovoľná grupa, a G G. Kedže pre všetky m, n E Z platí am+n = aman, znamená to, že predpisom 0 a ax+y = ax a? pre všetky x,y£R, je predpisom (M+, •). Ak a = 1, ide o triviálny homomorfizmus y(aľ) = 1 pre každé a; G M, teda Ker

(M, +) je daný predpisom ip-1^) = loga u pre u G M+. Známa formula loga uv = loga m + loga v pre m, v G M+ nie je vlastne nič iné než vlastnosť homomorfizmu zobrazenia u h-► loga u. Okrem iného sme práve dokázali, že aditívna grupa (M, +) a multiplikatívna grupa (M+, •) sú izomorfné. 23. UVOĎ DO TEORIE GRUP 9 23.3.10. Príklad. Exponenciála rýdzo imaginárneho čísla ix, kde i G l,je definovaná Eulerovým vzťahom elx = cos x + i sin x. Opäť platí el(-x+y> = elx ely pre všetky x, y E M. To znamená, že priradením x h-► elx je definovaný homomorfizmus grúp (p: (M,+) —► (C*, •). Ľahko možno nahliadnuť, že Ker

Sx = Sy; inak povedané množiny, Sx, Sy sú disjunktné alebo sa rovnajú. Ak totiž z E SxHSy, tak existujú «i,S2 £ S také, že z = s\x = s^y. Potom x = s~[ s^y, a každý prvok množiny Sx má pre vhodné s E S tvar s« = ss~[ s^y E Sy, lebo - kedže S C G je podgrupa - platí ss^ s^ E S. Teda Sx C Sy a obrátenú inklúziu možno dostať rovnako, záměnou úloh x a y. Tým sme dokázali prvú časť nasledujúceho tvrdenia. 23.4.1. Tvrdenie. JVeci S je podgrupa grupy G. Potom systém množín {Sx; x E G} tvorí rozklad grupy G. Prvky x, y E G patria do tej istej triedy tohto rozkladu práve vtedy, keď xy~ľ E S. Dôkaz. Zostáva dokázať už len druhú časť. Kedže uvedený systém množín je rozklad a V £ Sy, tak x a y patria do tej istej triedy rozkladu práve vtedy, keď x E Sy, t.j. x = sy pre nejaké s E S. To je zrejme ekvivalentné s podmienkou xy~ľ = s E S Množiny Sx, x E G, sa nazývajú ľavé triedy rozkladu grupy G podľa podgrupy S. Reláciu ekvivalencie zodpovedajúcu tomuto rozkladu značíme =s a môžeme ju vyjadriť nasledujúcimi piatimi ekvivalentnými spôsobmi: x =s y O xy~ľ E S O Sx = Sy O x E Sy O y E Sx O Sx n Sy ^ 0. Príslušnú faktorovú množinu (t.j. vlastne rozklad) značíme G/S = G/=s={Sx; x E G}. Počet prvkov #(G /'S) faktorovej množiny G jS (ak je konečná) nazývame indexom podgrupy S v grupe G a značíme ho tiež [G : S]; ak G jS je nekonečná, kladieme [G : S] = oo a hovoríme, že S má v G nekonečný index. Rád # G samotnej grupy G zrejme splýva s indexom [G : e] jej triviálnej podgrupy {e}. 10 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Analogicky možno zaviesť aj pravé triedy rozkladu grupy G podľa podgrupy S, t.j. množiny xS, x G G, a dokázať pre ne obdobu tvrdenia 23.4.1.1 Príslušnú reláciu ekvivalencie možno vyjadriť zodpovedajúcimi piatimi ekvivalentnými formulami: x s= y O x~1y G S O xS = yS O x G y S O y Sx je dané predpisom v h-► vy~ľx, t.j. prvok v = sy G Sy ním prejde na prvok sx G Sx. V prípade, že podgrupa S je konečná, to však znamená, že všetky ľavé (no rovnako aj pravé) triedy rozkladu G podľa S majú ten istý počet prvkov rovný rádu # S = [S : e] grupy S = Se = eS. Kedže G je zjednotením navzájom disjunktných, rovnako početných tried rozkladu Sx G G jS (prípadne xS), dokázali sme tým nasledujúcu vetu: 23.4.2. Veta. (Lagrange) Nech S je podgrupa konečnej grupy G. Potom [G:e] = [G: S]-[S: e], teda rád aj index podgrupy S sú deliteľmi rádu grupy G. Neskôr uvidíme, že pre daný deliteľ d rádu konečnej grupy G nemusí vždy existovať podgrupa grupy G rádu d (pozri cvičenie...). 23.4.3. Dôsledok. (Malá veta Fermatova) Nech p je prvočíslo. Potom pre každé celé číslo x, ktoré nie je násobkom čísla p, platí xp~ = 1 mod p, t. j. číslo xp~ľ dáva po delení číslom p zvyšok 1. Dôkaz. Označme z zvyšok, ktorý dáva x po delení p. Kedže x nie je násobkom p, z G Z* čo je multiplikatívna grupa (nenulových prvkov) poľa 7LV s rádom pol. Potom rád r jej cyklickej podgrupy (z) je deliteľom čísla p-OT, teda p-O-1 = rk pre nejaké kladné celé číslo k. Podľa tvrdenia 23.2.6 v grupe (Z* •, 1) platí zr = 1, z čoho vyplýva zp-1 = zrk = ^k = 1k = h Teda zp_1 (teraz už ako prvok Z) dáva po delení číslom p zvyšok 1. Avšak čísla zp_1 a xp~ľ dávajú po delení číslom p rovnaký zvyšok (pozri cvičenie 16 z kapitoly 0). Používaná terminológia nie je v tomto smere jednotná. Niektorí autori nazývajú pravými triedami rozkladu grupy podľa podgrupy to, čo my nazývame ľavými triedami, a naopak. 23. UVOĎ DO TEORIE GRUP 11 Pre ľavú a pravú triedu rozkladu prvku x grupy G podľa jej podgrupy S môže vo všeobecnosti platiť Sx ^ xS. Napríklad rozklad dihedrálnej grupy A3 = S3 podľa cyklickej podgrupy S = {• (ii) Z predpokladu (i) vyplýva inklúzia x~ľSx C S. Jej prenásobením prvkom x zľava a prvkom x~ľ sprava dostaneme inklúziu S C xSx~ľ; kedže a; G G je ľubovoľný prvok, substitúciou x~ľ miesto x získame S C x~ľSx. Teda x~ľSx = S. (ii) =>• (iii) Stačí prenásobiť rovnosť x~ľSx = S prvkom x zľava. (iii) =>• (iv) Ak Sx = xS, tak x =s y O y E Sx o y E xS o x s= y- (iv) =>■ (i) Podľa predpokladu pre všetky x,y E G platí «j/-1 G S1 O £-1J/ G 51. Kedže pre ľubovoľné s G S1 je x^sx)-1 = s-1 G S1, stačí položiť y = sx a hneď máme Ju O Ju \Z. O . Hovoríme, že podgrupa S grupy G je normálna alebo tiež invariantná, označenie S < G, ak spĺňa niektorú (teda všetky) z navzájom ekvivalentných podmienok tvrdenia 23.4.4. V prípade normálnych podgrúp teda nemusíme rozlišovať medzi ľavými a pravými triedami rozladu ani medzi ekvivalenciami =s a 5=. V každej grupe G platí {e} < G a G < G. Zrejme v abelovskej grupe G je každá podgrupa normálna. Ako sme však videli pred chvíľou, netriválna vlastná podgrupa neabelovskej grupy už normálna byť nemusí. Najdôležitejšími, a svojim spôsobom typickými príkladmi normálnych podgrúp sú jadrá grupových homomorfizmov. 23.4.5. Tvrdenie. JVeci H je homomorfízmus grúp. Potom Ker

x. Túto všeobecnú myšlienku možno asi najjednoduchšie ilustrovať práve na konštrukcii faktorovej grupy. Nech (G, •) je grupa a ~ je ekvivalencia na množine G. Na faktorovej množine G/~ hodláme zaviesť binárnu operáciu • tak, aby (G/~, •) bola grupa a kanonická projekcia G —► G/~ homomorfizmus grúp. To znamená, že pre všetky x, y G G musí platiť x -ý = xý, Inak povedané, podmienka homomorfnosti kanonickej projekcie x t—> x už jednoznačne určuje príslušnú binárnu operáciu na G/~. Aby však takto bola korektne definovaná binárna operácia na množine G/~, jej výsledok nesmie závisieť na konkrétnych reprezentantoch x, y tried x, y G G/~. Pre prvky x\, X2, J/i, 2/2 £ G také, že x\ = ž2 a y\ = t/2, t. j. x\ ~ x^ a y\ ~ j/2, musí totiž platiť x\ ■ ýi = ž2 ' ž/2- Teda podľa našej definície xťýi = ži • 2/1 = x-2 ■ ž/2 = Ž2Ž/2, v dôsledku čoho «ij/i ~ «2Ž/2- Hovoríme, že ekvivalencia ~ na grupe G je kongruencia, ak pre ľubovoľné prvky «1, «2,2/1,2/2 £ G platí «1 ~ *2 & ž/l ~ ž/2 =^ «12/1 ~ «2Ž/2- Krátko povedané, aby rovnosťou x ■ y = xý bola korektne definovaná binárna operácia na faktorovej množine G/~, ekvivalencia ~ musí byť kongruenciou na grupe G. Táto nevyhnutná podmienka je aj postačujúca na dosiahnutie nášho vopred stanoveného cieľa. 23. UVOĎ DO TEORIE GRUP 13 23.5.1. Veta. JVeci ~ je kongruencia na grupe (G, •). Potom faktorová množina GI ~ s binárnou operáciou x ■ y = xý tvorí grupu, ktorej jednotkovým prvkom je i a inverzným prvkom k prvku x G G/~ je prvok ž-1 = x-1. Navyše, prirodzená projekcia G —> G/~ je surjektívny homomorfízmus grúp. Dôkaz. Na dôkaz prvej časti tvrdenia stačí overiť, že pre ľubovoľné prvky x, y, z G G platí Príslušné jednoduché výpočty prenechávame ako cvičenie čitateľovi. Zrejme prirodzená projekcia G —> G/~ je surjekcia. Už len stačí pripomenúť, že násobenie na množine G/~ bolo definované práve tak, aby zobrazenie x t—> x bolo homomorfizmom. Ukazuje sa, že kongruencie na grupách úzko súvisia s normálnymi podgrupami. 23.5.2. Tvrdenie. iVeci (G, •, e) je grupa. (a) Ak N je normálna podgrupa grupy G, tak ekvivalencia =jv je kongruenciou na grupe G. (b) Ak ~ je kongruencia na grupe G, tak N = t je normálna podgrupa grupy G a pre všetky x, y G G platí x ~ y O xy~ G N, t. j. ~ splýva s ekvivalenciou =jv rozkladu grupy G podľa N a pre a; G G platí x = Nx = xN. Inými slovami, kongruencie na grupách sú práve ekvivalenciami rozkladu podľa ich normálnych podgrúp. Dôkaz, (a) Nech N < G. Už vieme, že =jv je ekvivalencia na G. Zvolme v G prvky x\ =jv %2, ž/l =N ž/2! ukážeme, že platí «iž/i =n *2ž/2- Podľa predpokladu X\x7z G N a Ž/1Ž/2" £ ^- Kedze iV je normálna, platí a?2 (ž/lž/2" J^í ^ ^- Preto tiež (x1y1)(x2y2)~1 = x1(y1y^1)x^1 = (x^1) (x2{yiy2~1)x^1) G N, teda «iž/i =iv #2 2/2; takže =jv je kongruencia na G. (b) Nech ~ je kongruencia na G. Podľa tvrdenia 23.5.1 je x h-► ž homomorfizmus grúp G —► G/~. Jeho jadrom je zrejme N = í. Podľa tvrdenia 23.4.5 potom # < G. Kedze (G/~, •) je grupa, pre x, y G G máme Nakoľko a; 1—► ž je homomorfizmus, platí x ■ y~ľ = («t/-1) , preto tretia podmienka je zrejme ekvivalentná so vzťahom xy~ľ G N. Zvyšok je dôsledkom tvrdenia 23.4.4. Grupu G/=jv nazývame faktorovou grupou grupy G podľa jej normálnej podgrupy N a značíme ju G/N. Násobenie v G/N je definované rovnosťou Nx ■ Ny = Nxy, jednotkovým prvkom v G/N je N = Ne a inverzným prvkom k Nx G G/TV je (Nx)-1 = Nx-1. Prirodzená projekcia (jv : G —> G/N, daná predpisom Ov(:c) = Nx pre a; G G, je surjektívny homomorfizmus s jadrom Ker (jv = ^- To dokazuje platnosť aj obrátenej implikácie k tvrdeniu 23.4.5. 14 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 23.5.3. Veta. Podgrupa N grupy G je normálna práve vtedy, keď existuje homo-morfízmus grúp ip: G —> H taký, že N = Ker H je homomorfízmus grúp; označme N = Ker y. Potom predpisom ip^^Nx) = • zaručuje, že priradením Nx h-► H. Zrejme každá faktorová grupa grupy G je jej homomorfným obrazom. Ako vyplýva z vety o homomorfizme, tiež naopak, každý homomorfný obraz grupy G je izomorfný s faktorovou grupou G/N grupy G podľa niektorej jej normálnej podgrupy N. To znamená, že všetky homomorfné obrazy grupy G sú (až na izomorfizmus) skryte prítomné už v samotnej grupe G. 23.5.5. Príklad. Nech n je kladné celé číslo. Označme (n(%) zvyšok po delení celého čísla x číslom n. Potom (n : TL —► 7Ln je homomorfizmus grúp (s operáciou +). Kedže (n je surjektívny a Ker (n = nTL, podľa vety o homomorfizme platí TL/nTL = 7Ln. Po stotožnení faktorovej grupy Z/nZs homomorfným obrazom 7Ln = Cn(2<) grupy Z, danom uvedeným izomorfizmom, je každý prvok x + nTL = {x + nk; k G Z} faktorovej grupy TL/nTL, t. j. vlastne nekonečná trieda rozkladu podľa podgrupy nTL C TL, reprezentovaný ako jediný prvok (n(%) G TLn = {0, 1, . . ., n -OT}. Príslušná kongruencia =ni zrejme splýva s kongruenciou =„ modulo n z cvičenia 16 z kapitoly 0. 23.5.6. Príklad. Z príkladu 23.3.8 vieme, že zobrazenie R: (M,+) -► (GL(2,M), •) je homomorfizmus grúp s jadrom Ker J? = 27rZ a obrazom Im J? = {Ra; a G M}. Z príkladu 23.3.10 zasa vieme, že priradením x h-► elx je definovaný homomorfizmus 23. UVOĎ DO TEORIE GRUP 15 grúp (M,+) —► (C*, •) s rovnakým jadrom 27rZ a s obrazom U(l) = {elx; x £ M} = {z G C; \z\ = í}. Z vety 23.5.4 tak okamžite vyplýva ImR = IR/27rZ = U(l). Práve izomorfizmus aditívnej faktorovej grupy M/27rZ a jej homomorfného obrazu, multiplikatívnej grupy U(l), je pre pochopenie všeobecnej konštrukcie faktorovej grupy veľmi poučný. Faktorová množina M/27rZ je ním reprezentovaná ako jednotková kružnica - názorne si môžeme predstaviť, že vznikla priložením bodu 0 reálnej osi M na bod 1 jednotkovej kružnice U(l) C C a následným namotáním kladnej polosi proti a zápornej v smere hodinových ručičiek. Body i,i/Élsa pritom ocitnú v tom istom bode kružnice U(l) práve vtedy ked x^y G 27rZ, t. j. práve vtedy, keď (xOy)/2Tr je celé číslo. Celá nekonečná trieda rozkladu x + 27rZ G M/27rZ prvku i£l podľa podgrupy 27tZ C M je tak reprezentovaná jediným bodom elx = cos £ + isina; kružnice U(l). Konštrukcia faktorovej grupy pripúšťa tiež abstraktnější popis pomocou tzv. krátkych exaktných postupností. Hovoríme že postupnosť G0 <3ÄH Gi <ř*&~ ••• <ÄÖ^ Gn-i «fe~ Gn grupových homomorfizmov je exaktná, ak pre každé 1 < i < n platí limpi = Keiipi+i. Podobne možno definovať pojem exaktnosti aj pre (na jednu či na obe strany) nekonečné postupnosti na seba nadväzujúcich grupových homomorfizmov. Krátkou exaktnou postupnosťou nazývame exaktnú postupnosť tvaru {e} <&+ F ^ G ^ H ^ {e}, kde r): {e} —► F a t: H —► {e} sú triviálne homomorfizmy. Exaktnosť v člene F znamená, že Ker

= Ker r = H, čiže surjektívnosť ip. Konečne exaktnosť v strednom člene G znamená, že platí limp = Ker ip < G, z čoho vzhľadom na vetu o homomor- fizme a surjektívnosť ip vyplýva G/limp = H. Triviálna grupa {e} na okrajoch, ako aj triviálne homomorfizmy r), r sa zvyknú pri zápise krátkej exaktnej postupnosti vynechávať. Ak teda hovoríme o krátkej exaktnej postupnosti

F -rU G -» H, znamená to, že

. Injektívnosť

G/N kanonickú projekciu G na faktorovú grupu G/N. Potom N ;-^ G —» G/N je krátka exaktná postupnosť homomorfízmov grúp. (b) Nech naopak F ^> G —» H je krátka exaktná postupnosť homomorfízmov grúp. Označme N = Im ip = Ker ip. Potom F = N Gi, 1^2 '■ G\ x G2 —> G2, dané predpismi iľi{x-\_,X2) = «1, ^2(^1,«2) = x2, sú surjektívne grupové homomorfizmy a pre ich jadrá platí Ker 7Ti = {ei} x G2 = G2, Ker 7r2 = č?i x {e2} = č?i; príslušné izomorfizmy sú dané priradeniami {e\,X2) '—► «2 resp. («1,62) *—> x\. To znamená, že grupa G\ x G2 obsahuje dve normálne podgrupy N\ = G\ a N2 — G2. Navyše Ni n #2 = {(ei, e2)} a pre ľubovoľný prvok (x\, x2) G G\ x G2 platí («1, «2) = («1, e2) • (ei, x2) = (e1,x2) ■ («1, e2), z čoho vyplývajú rovnosti G = N1N2 = N2N1. 23.6.2. Tvrdenie. JVeci (G, •) je grupa a S, T C G sú jej podgrupy. Označme ip: S x T —► G zobrazenie dané predpisom (e, e). Vďaka injektívnosti y z toho vyplýva a; = e = a;-1. Teda S1 n T = {e}. (c) platí triviálne. 23.6.3. Dôsledok. JVeci G je grupa a S, T < G sú jej dve normálne podgrupy také, že S n T = {e} a G = ST. Potom G^S x T. Dôkaz. Stačí overiť, že za uvedených predpokladov je splnená aj podmienka (a) predchádzajúceho tvrdenia, čiže pre všetky x G S, y G T platí xy = yx. Potom totiž priradenie (x, y) 1—► xy bude izomorfizmus grúp S xT = G. Kedže S, T < G, platí yx~xy~x G S, xyx~x G T a x ■ yx~ y~ = xyx~ ■ y~ G S1 H T, teda xyx~xy~x = e, z čoho už vyplýva požadovaná rovnosť. Nasleduje niekoľko aplikácií čerstvo dokázaných výsledkov. 23.6.4. Tvrdenie. JVeci m, n sú kladné celé čísla. Potom cyklická aditívna grupa 7Lmn je izomorfná s priamym súčinom 7Lm x 7Ln cyklických aditívych grúp 7Lm a 7Ln práve vtedy, keď m a n sú nesúdeliteľné. Dôkaz. Nech m, n sú nesúdeliteľné. Označme S, T podmnožiny množiny 7Lmn pozostávajúce z čísel deliteľných číslom n resp. m. Zrejme S1 aj T sú podgrupy grupy T^mn a platí 7Lm = S = {0, n, 2n, . .., (m Ol)n}, 7Ln = T = {0, m, 2m . . ., (n -0-l)m}. Kedže grupa Zmn je komutatívna, rovnosť x + y = y + x platí pre všetky x, y G Zmn, a nielen pre x E S, y E T. Z nesúdelitelnosti m & n vyplýva S H T = {0}. Podľa 18 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA častí (a), (b) tvrdenia 23.6.2 je predpisom (x, y) h-► x + y definovaný injektívny ho-momorfizmus grúp S x T —► 7Lmn. Kedže množina S má m prvkov a množina T má n prvkov, je to injekcia mn-prvkovej množiny S1 x T do množiny 7Lmn s rovnakým počtom prvkov, teda zároveň surjekcia. Môžeme uzavrieť, že uvedené zobrazenie je izomorfizmus grúp, preto platí ^mn — ^ X 1 = /Lrn X lLn. Nech naopak m, n sú súdeliteľné s najväčším spoločným deliteľom d > 1. Potom m/d, n/d aj k = mn/d < mn sú celé čísla. Pre každý prvok (ic,j/) grupy Zm x 7Ln platí k(x, y) = (kx, ky)= ( - mx, — ny j = (0, 0), lebo mx = 0 v 7Lm a ny = 0 v 7Ln (výrazy ako kz označujú súčet k exemplárov prvku z v príslušnej grupe). To znamená, že rád každého prvku tejto grupy je nanajvýš k, teda ostro menší než mn. Z toho dôvodu, podľa tvrdenia 23.2.6, 7Lm x 7Ln nemôže byť izomorfná s cyklickou grupou rádu mn. Poznámka. Metódami do istej miery podobnými niektorým metódam z kapitoly 21 možno dokázať, že každá konečne generovaná abelovská grupa je izomorfná s priamym súčinom konečného počtu cyklických grúp. V dôsledku toho je každá konečná abelovská grupa izomorfná s priamym súčinom 7Lni x ... x 7Lnk pre vhodné kladné celé čísla «i, . . ., rífc. Čísla n\, . . ., n^ možno navyše vybrať tak, že každé z nich je mocninou nejakého prvočísla (primárny kanonický tvar), prípadne tak, že každé z nich je násobkom nasledujúceho (racionálny kanonický tvar). Tieto výsledky však už výrazne presahujú rámec nášho kurzu. Nasledujúce jednoduché dôsledky vety 23.6.4 nám poslúžia pri dôkaze záverečného tvrdenia. 23.6.5. Dôsledok. V ľubovoľnej grupe (G, •) platí: (a) Ak prvky x, y G G komutujú, t. j. xy = yx, a majú konečné po dvoch nesúdeli-teľné rády m resp. n, tak prvok xy má rád mn. (b) Ak prvok i£G má konečný rád mn, kde m, n sú navzájom nesúdeliteľné kladné celé čísla, tak existujú prvky u,v (x) je nejaký izomorfizmus a (a, b) = ip-1^). Potom rád prvku a £ 2 /?; a »,■ = «;, ak a i < /3j. Podľa (a) (ktoré možno takisto zovšeobecniť indukciou na ľubovoľný konečný počet činiteľov) rád prvku z = w\ . . . w^ je pj1 . . .pj,k, kde ji = max(«i, /?;), čiže najmenší spoločný násobok čísel man. Taktiež časť (c) uvedeného dôsledku možno indukciou zovšeobecniť na ľubovoľný konečný počet po dvoch komutujúcich prvkov grupy. Jeden špeciálny prípad tohto zovšeobecnenia si zaslúži našu pozornosť. 23.6.6. Dôsledok. JVeci G je konečná abelovská grupa. Potom existuje prvok z G je nejaké zobrazenie z množiny X do grupy G. Ak má byť ■ G rozširujúci g. Uvažujme identitu idx ako zobrazenie X —► F aj ako zobrazenie X —► FG(X). Existuje jediný homomorfizmus

U. Zrejme

G. Potom jeho jadro N = Ker

H práve vtedy, keď pre každé si . . . sn G E platí /(si) . . . f(sn) = £h■ V tom prípade je homomorfízmus ip rozširujúci f určený jednoznačne. Dôkaz. Zrejme jediný možný spôsob ako definovať ... f(xnf" pre x\, . . ., xn G X, k\, . . ., kn G TL. Ľahko možno overiť, že takto definované zobrazenie je homomorfizmus grúp práve vtedy, keď f(si)...f(sn) = en pre každé si ...sn e E. Ak si napríklad uvedomíme, že TLn = (x \ x"), pričom úlohu generátora x hrá prvok 1 £Z„, hneď vidíme, že priradenie 1 h-► a G H možno rozšíriť do homomorfizmu grúp (p: TLn —► H práve vtedy, keď v H platí a" = e, čiže rád prvku a je deliteľom čísla n. Taktiež naopak, každý homomorfizmus y I xP = yq = e) *ž/*_1 = yk) je nekomutatívna grupa rádu pq. Ukážeme, že metacyklická grupa Fk nezávisí na k; presnejšie, ak / G Z* je iný prvok rádu p, tak Fk = FL„■ Množina A = {a G Z*; ap = 1} tvorí cyklickú podgrupu grupy Z* rádu p, preto / G A = (fc). Teda existuje 1 < r < pöl také, že v Zg platí / = kr, čiže / =q kr. Potom pre z = xr G -FÍa máme (z) = («}, zp = e a zt/z- = xryx~r = y = y ■ To však podľa vety 23.7.3 znamená, že priradenie x h-► «r, y <—>■ y možno rozšíriť do homomorfizmu grupy Flpq = (x, y | xp = y" = e, xyx~x = y1) do grupy Fk . Čitateľ by si mal samostatne premyslieť, že ide naozaj o izomorfizmus.