24.   GRUPY  TRANSFORMÁCIÍ
V tejto kapitole si trochu bližšie všimneme niektoré typy grúp transformácií. Nebudeme sa však systematicky venovať ich štúdiu. Začneme dôkazom tzv. Cayleyho vety o reprezentácií, podľa ktorej je každá grupa izomorfná s nejakou grupou transformácií, a sústredíme sa najmä na využitie tohto faktu pri štúdiu abstraktných grúp. Uvidíme, že práve reprezentácie abstraktných grúp ako grúp transformácií konkrétnych množín, často vybavených dodatočnou štruktúrou, sú veľmi účinným nástrojom, ktorý nám umožňuje hlbšie preniknúť do štruktúry pôvodných grúp a jasnejšie osvetliť ich stavbu. Ani v tomto smere však nebudeme postupovať príliš ďaleko. Uspokojíme sa s vybudovaním niekoľkých základných pojmov a techník, ktoré využijeme v nasledujúcej kapitole venovanej maticovým grupám, a týmito elementárnymi prostriedkami sa pokúsime zodpovedať niektoré prirodzené otázky, ktoré by pri štúdiu tejto a predchádzajúcej kapitoly mohli či - lepšie povedané - mali napadnúť zvedavého čitateľa.
24.1. Cayleyho veta o reprezentácii
Nech A je ľubovoľná množina. Každú podgrupu G C S (X) grupy všetkých permutácií množiny A nazývame grupou transformácií množiny X. Hovoríme, že G je grupa transformácií, ak G je grupou transformácií nejakej množiny.
Zrejme všetky prvky ľubovoľnej grupy transformácií sú bijektívne transformácie príslušnej množiny. Podľa uvedenej definície je množina G C S (X) grupou transformácií množiny A práve vtedy, keď idx G G a pre všetky /, g G G platí / o g G G a /_1 G G, t. j. G je uzavretá vzhľadom na kompozíciu zobrazení a s každým zobrazením obsahuje aj k nemu inverzné zobrazenie.
Ukazuje sa, že grupy transformácií, až na izomorfizmus, zahŕňajú vôbec všetky grupy. Inak povedané, každú abstraktnú grupu (G, •) možno reprezentovať konkrétnym spôsobom ako grupu transformácií nejakej množiny A a jej grupovú operáciu skladaním zobrazení.
24.1.1. Veta.   (Cayley) Každá grupa je izomorfná s nejakou grupou transformácií.
Dôkaz. Vlastne stačí k danej grupe G nájsť nejakú vhodnú množinu A a injektívny homomorfizmus grúp <P: G —> S (X). Podľa vety 23.5.4 o homomorfizme G je potom izomorfná s grupou transformácií Im<Z> C S (X).
Zvolme A = G a pre g G G, x G A položme &g{x) = gx. Inak povedané, pre g E G je <Pg : X —► A zobrazenie dané priradením x h-► gx. Každé zobrazenie <Pg je zrejme bijektívne, s inverzným zobrazením <P~ľ = @g-i ■ x >—> g~ľx, takže <P: G —► S(X).
Dokážeme, že <P je homomorfizmus grúp, t. j. <Pgh = <Pg o <2>ft pre všetky g, h G G. Nato stačí overiť, že uvedené dve zobrazenia dávajú rovnaké výsledky pre každé a; G A:
®gh{x) = (gh)x = g{hx) = 0g(0h(xj) = (0g o$h)(x).
Na dôkaz injektívnosti homomorfizmu <P sa stačí presvedčiť, že má triválne jadro. Ak g G Ker<Z>, tak <Pg = idx, preto gx = <l>g{x) = iáx{x) = x pre všetky a; G A. Voľbou x = e dostávame g = ge = e, teda Ker<Z> = {e}.
1
2                             PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
24.1.2. Príklad. Nech (V, +) je aditívna grupa nejakého vektorového priestoru (nad ľubovoľným poľom Ä'). Pre každé u G V označme <PU: V —> V zobrazenie dané priradením x h-► x + u pre x G V, t.j. posunutie (transláciu) o vektor u. Zrejme každé posunutie <PU je bijektívne zobrazenie (k nemu inverzné zobrazenie je posunutie o vektor Ow) a pre u, v G V platí <l>u-\-v = <í>u o<Pv. Inak povedané, zložením posunutí o vektory u a v dostaneme posunutie o vektor u + v. Samozrejme, identickým zobrazením iáy : V —> V je jedine posunutie <Z>o o nulový vektor 0. <P : (V, +) —► (S(V), o) je tak injektívny grupový homomorfizmus a (V, +) je izomorfná s grupou Im<Z> C S(V) všetkých posunutí priestoru V.
Výslovne upozorňujeme, že - napriek dojmu, ktorý by snáď mohol navodiť dôkaz vety 24.1.1 a príklad 24.1.2, - zďaleka nie pre každý injektívny homomorfizmus grúp <P: G —> S (X) musí množina X splývať so základnou množinou grupy G.
24.2. Akcie a reprezentácie grúp
Niektoré metódy, ktoré sa vyskytli v dôkaze Cayleyho vety, stoja za podrobnejšie preskúmanie vo všeobecnej polohe.
Nech (G, •, e) je grupa a X je ľubovoľná množina.
(a)  Akciou grupy G na množme X nazývame binárnu operáciu •: G x X —>■ X, ktorá spĺňa podmienky
ex = x        a        g(hx) = (g h) x
pre ľubovoľné g, h G G, x G X. Uvedený typ akcie presnejšie nazývame ľavou akciou grupy G na množme X. Analogicky možno definovať aj pravú akciu ■: X x G —► X grupy G na množme X; formuláciu príslušných podmienok prenechávame čitateľovi.
(b)  Reprezentáciou grupy G v množme X nazývame ľubovoľný grupový homomorfizmus <P: G —> S (X). Keďže pre g E G je samotné ^(g): X —► X zobrazenie, budeme miesto á>(áf) dávať prednosť zápisu <Pg; podmienka homomorfnosti <P má potom tvar rovnosti <Pgh = <Pg o <2>ft pre všetky g, h G G.
Rozdiel medzi pojmami akcie a reprezentácie je čisté formálny, sú to len dva mierne odlišné spôsoby ako hovoriť o tom istom. Ak je daná akcia •: G x X —► X, tak každé g E G určuje predpisom &g{x) = gx bijekciu <Pg G S{X); k nej inverzná bijekcia je daná prepisom <Pg-i(x) = g-1 x. Zobrazenie <P: G —> S(X) je potom reprezentáciou grupy G v mmožine X. Z vlastností akcie totiž vyplýva podmienka homomorfnosti <P:
$gh(x) = (gh)x = g{hx) = 0g(0h(xj) = ($g o$h)(x),
pre všetky g, h G G, x G X. Naopak, každá reprezentácia <P:G —> S (X) určuje predpisom gx = <l>g{x) akciu •: G x X —► X. Dôvody sú podobné: na dôkaz podmienky g(hx) = (gh)x stačí prepísať uvedené rovnosti v mierne pozmenenom poradí; podmienka ex = x vyplýva z vlastnosti reprezentácie <Pe = idx •
Nech grupa G má akciu na množine X. Orbitou prvku x E X (vzhľadom na túto akciu) naývame množinu
Gx = {gx; g G G}.
Podobne ako v paragrafe 23.4, i teraz možno ľahko nahliadnuť, že pre ľubovoľné x, y G X platí x = ex E Gx a
GxnGyŕ® O Gx = Gy.
24. GRUPY TRANSFORMÁCII
3
Z toho vyplýva, že systém orbít všetkých prvkov grupy G tvorí rozklad množiny X; hovoríme mu orbitálny rozklad množiny X a značíme ho X/G. K nemu prislúchajúcu ekvivalenciu možno vyjadriť nasledujúcimi štyrmi ekvivalentnými spôsobmi:
x =G y  O  Gx = Gy O  x e Gy O  y e Gx O  GxC\Gy ^ 0.
Hovoríme, že množina T C X je transverzálna, ak # (Gx n T) = 1 pre každé £ E X, t. j. T obsahuje z každej orbity Gx G X/G práve jedného reprezentanta. Stabilizátorom prvku x <E X nazývame množinu
Stb(aľ) = {g G G; gx = «}.
Ľahko sa možno presvedčiť, že stabilizátor Stb(aľ) je dokonca podgrupou grupy G. Podobne nazývame
Fix((jf) = {x G G; gx = a;}
množinou pevných bodov, prípadne množinou fixpunktov prvku g £ G. Zrejme pre g = e máme Fix(e) = X.
Nasledujúce dva výsledky dávajú do súvisu práve zavedené pojmy.
24.2.1. Veta. JVeci grupa G má akciu na množine X. Potom pre každé x G X je predpisom g Stb(aľ) h-► gx korektne defínované bijektívne zobrazenie G j Stb(aľ) —► Gx medzi množinou pravých tried rozkladu grupy G podľa stabilizátora Stb(aľ) a orbitou Gx. Ak G alebo X je konečná, tak to znamená, že
#Gx= [G:Stb(x)].
Ak X je konečná, tak navyše pre každú transverzálnu množinu T C X platí
#X = J2[G-Stb(x)}.
Dôkaz. Označme S = Stb(aľ). Predpisom g h-► gx je zrejme definované surjektívne zobrazenie G —► Gx. Pre všetky g, h G G pritom platí
gx = hx  O  x = g~ hx  O  g~ h G S  O  gS = hS.
To znamená, že predpisom gS h-► gx je naozaj korektne definované bijektívne zobrazenie G/S —> Gx. To dokazuje prvú rovnosť. Kedže množina X je zjednotením po dvoch disjunktných orbít Gx, x G T, druhá rovnosť je dôsledkom prvej.
Podľa tejto vety sa počet prvkov orbity Gx ľubovoľného prvku £ G X sa rovná indexu jeho stabilizátora Stb(aľ) v grupe G. Ak G je konečná, tak z toho podľa La-grangeovej vety 23.4.2 vyplýva rovnosť Stb(aľ) = (# G)/(# G«), v dôsledku čoho majú všetky stabilizátory prvkov tej istej orbity rovnaký rád. Neskôr uvidíme, že tieto stabilizátory sú dokonca izomorfné (pozri cvičenie...). Ešte poznamenajme, že druhá z rovností vety 24.2.1 sa občas zvykne nazývať rovnosť tried.
Ďalšia veta, známa pod názvom Burnsideova lema, vyjadruje počet orbít akcie ako aritmetický priemer počtov fixpunktov jednotlivých prvkov grupy. Ako vzápätí uvidíme Burnsideova lema je zovšeobecnením Lagrangeovej vety 23.4.2.
4
PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
24.2.2.   Veta. JVeci G je konečná grupa, ktorá má akciu na konečnej množine X. Potom
W     g€G
Dôkaz. Počet prvkov množiny R = {(g, x) G G x X; gx = x} spočítame dvoma spôsobmi. Zrejme platí
#R=J2#Fix(g)=J2#Stb(x).
g£G                        x£X
S využitím predchádzajúceho tvrdenia a faktu, že X je zjednotením po dvoch dis-junktných orbít u> G X/G, z toho dostaneme
gea                     xex                      xex *            u>ex/G xew ~//~
S príkladom reprezentácie sme sa už stretli v predchádzajúcom paragrafe, v dôkaze vety 23.1.1. Tam zostrojené zobrazenie <P: G —> S (X) bolo injektívnou reprezentáciou grupy G v množine X = G. To je tiež dôvod, prečo uvedený výsledok nazývame Cayleyho veta o reprezentácii. Trochu všeobecnejšiu situáciu si teraz preberieme v reči akcií.
24.2.3.   Príklad. Nech G je grupa a H je jej podgrupa. Potom grupa H má na množine G ľavú akciu translaciou H x G —> G danú priradením (h, x) h-► hx pre h <E H, i£G, ako aj pravú akciu translaciou G x H —> G danú priradením (x, h) h-► xh.
Orbitou prvku x G G v ľavej akcii translaciou je práve ľavá trieda rozkladu Hx prvku x podľa podgrupy H; jeho orbitou v pravej akcii translaciou je zasa pravá trieda rozkladu x H podľa podgrupy H. Označenie G j H množiny všetkých orbít (ľavej resp. pravej) akcie podgrupy H translaciou si tak zachováva svoj predošlý význam z paragrafu 23.4 množiny (ľavých resp. pravých) rozkladových tried grupy G podľa podgrupy H.
Ďalej sa sústreďme len na ľavú akciu podgrupy H na grupe G. Zrejme každé i£(? má triviálny stabilizátor Stb(aľ) = {e}, a taktiež množina pevných bodov každého h <E H \ {e} je prázdna, čiže Fix(/i) = 0; pre h = e samozrejme Fix(e) = G. Prvá časť vety 24.2.1 v tomto kontexte hovorí, že podgrupu H = H/{e} možno prirodzeným spôsobom vzájomne jednoznačne zobraziť na každú orbitu (ľavú triedu rozkladu) Hx. Podobne, Burnsideova lema splýva v tomto prípade s Lagrangeovou vetou, podľa ktorej #(G/H) = (#G)/(# H).
Poznámka o značení. V literatúre sa možno stretnúť so značne rôznorodým označením akcií, orbít, stabilizátorov a pod. Napr. výsledok akcie prvku g G G na prvok x G X sa často značí ako „mocnina" x9 a orbita prvku x ako xG = {x9; g G G}. Tento zápis je vhodný najmä pre pravú akciu grupy (G, ■, 1) na množine X, kedy definujúce podmienky akcie nadobúdajú tvar x1 = x a (x9)h = xgh. Bežné označenie stabilizátora prvku x G X v akcii grupy G je Gx. Orbita prvku x sa občas značí Orb(aľ).
24. GRUPY TRANSFORMÁCII
5
24.3. Grupy automorfízmov a konjugácia
Niektoré reprezentácie <P grupy G v množine X môžu mať isté vlastnosti navyše -jednotlivé zobrazenia <Pg nemusia byť len bijekcie X —► X, ale môžu to byť zobrazenia zachovávajúce nejakú štruktúru na množine X. Potom reprezentáciu <P možno chápať ako homomorfizmus <P: G —> A, kde A je nejaká podgrupa grupy S (X). Jedným takým prípadom sa budeme zaoberať v tomto paragrafe: množina X bude opäť splývať s grupou G a spomínaná podgrupa A C S (G) bude pozostávať z izomorfizmov G ^ G.
Homomorfizmus <p: G —> G grupy G do seba sa nazýva endormorfizmus grupy G. Množinu všetkých endomorfizmov grupy G značíme End G. Zrejme idg G End G a pre ip,ip E End G platí <p o ip E End G, čiže množina End G obsahuje identické zobrazenie a je uzavretá vzhľadom na skladanie zobrazení. Taktiež obsahuje ďalší význačný prvok -je ním triviálny (konštantný) endomorfizmus x t—> e.
Automorfizmom grupy G nazývame každý jej bijektívny endomorfizmus. Množinu všetkých automorfizmov grupy G značíme Aut G.
24.3.1.   Veta. JVeci (G,-) je grupa. Potom množina jej automorfízmov Aut G je podgrupou grupy S (G), teda je to grupa transformácií množiny G.
Dôkaz.  Zrejme Aut G  C  S (G), idg   G  Aut G a pre ľubovoľné <p, ip  E Aut G platí
ipoip e Aut G a ip'1 E Aut G.
Dôležitým príkladom automorfizmov sú tzv. konjugácie. Ak g je prvok grupy G, tak zobrazenie ľg: G —► G dané predpisom ľg(x) = gxg~ľ pre x E G nazývame konjugáciou prvkom g E G.
24.3.2.  Tvrdenie.  JVeci G je grupa. Potom
(a)  pre každé g G G platí ľg G Aut G, t. j. zobrazenie ľg je automorfízmus grupy G;
(b)   samotné zobrazenie ľ : G —> Aut G je reprezentácia grupy G v množine G.
Dôkaz, (a) Zrejme každé zobrazenie ľg je bijektívne - k nemu inverzným zobrazením je ľ~ľ = rg-i. Ukážeme, že je to tiež homomorfizmus. Pre ľubovoľné x, y G G platí
rg(xy) = 9(xy)g~1 = {gxg~1){gyg~1) = rg(x)rg(y).
(b) Treba overiť rovnosť ľgh = ľg o _Tft pre všetky g, h G G. Zvolme £ G G a počítajme
^ä(«) = (gh)x(gh)~1 = g^xh'^g'1 = rg(rh(x)) = (ľg o rh)(x).
Automorfizmy grupy G, ktoré majú tvar ľg pre nejaké g E G, nazývame jej vnútornými automorfizmami. Podgrupu Im ľ C Aut G značíme In G a nazývame grupou vnútorných (miernych) automorfizmov grupy G.
Akciu grupy G na množine G konjugáciou budeme značiť (g, x) >—> gxg~ľ; v predchádzajúcom paragrafe zavedené označenie (g, x) h-► gx by v tomto prípade zrejme viedlo k nedorozumeniam.
Orbitou prvku x E G v tejto akcii je množina {gxg~ľ; g G G}; prvky x,y E G sa nazývajú konjugované, označenie a; ~g j/, ak existuje g E G také, že y = gxg~ľ, t.j. ak ležia v tej istej orbite. Zrejme relácia konjugovanosti ~g je ekvivalencia na množine G. Orbitálny rozklad tvorí faktorová množina G/~g, príslušné orbity sa
6
PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
nazývajú triedy konjugácie. Výslovne upozorňujeme, že (s výnimkou komutatívnych grúp) ekvivalencia konjugovanosti ~g nie je kongruencia na grupe G. Stabilizátorom prvku x E G v akcii konjugáciou je podgrupa
C g {x) = C (x) = {g E G; gxg'1 = x} = {g E G; gx = xg}
grupy G, nazývaná centralizátor prvku x; zrejme pre g E G platí g E C (x) práve vtedy, keď gx = xg, t.j. g komutuje s x. Podobne, množinou pevných bodov prvku g E G je opäť centralizátor
C g (g) = C (g) = {x E G; fifa^-1 = x} = {x E G; gx = xg}.
Jadrom reprezentácie ľ : G —> Aut G je množina
C(G) = {g£G;rg = idG} = {seG;(Vie G)(<^ = z«,)}
nazývaná centrum grupy G, pozostávajúca zo všetkých prvkov grupy G, ktoré komu-tujú s každým jej prvkom. Zrejme C(G) je abelovská grupa a G je abelovská práve vtedy, keď C(G) = G. Z vety 23.5.3 a vety 23.5.4 o homomorfizme okamžite vyplýva
24.3.3.  Veta. Centrum C(G) grupy G je jej normálna podgrupa a faktorová grupa G/C(G) je izomorfná s grupou In G vnútorných automorfímov grupy G; symbolicky C(G)<G a G/G(G)^ In G.
Centrum hodne vypovedá o štruktúre pôvodnej grupy. Ako jednoduchú ukážku uvádzame nasledujúci zďaleka nie očividný výsledok.
24.3.4.  Veta. JVeci G je ľubovoľná grupa. Ak faktorová grupa G/C(G) je cyklická, tak G je komutatívna.
Dôkaz. Označme G = C(G) a predpokladajme, že G/C je cyklická rádu r, s generátorom Ca, kde a E G. Potom množina G U {a} generuje celú grupu G. Pre ľubovoľný prvok x E G totiž existuje 0 < k < r také, že C x = (Ca)k = Cak. Preto x G Cak, teda x = cak G (G U {a}} pre nejaké c E C. Ukážeme, že i samotná grupa G je komutatívna. Ľubovoľné x, y E G možno napísať v tvare x = cak, y = da1 pre vhodné c, d E C, 0 < k, l < r. V dôsledku toho platí xy = cak ■ da1 = da1 ■ cak = yx.
Prvok x E C(G) je konjugovaný len sám so sebou, t. j. jeho orbitou je jednoprvková množina {x}, preto pre každú transverzálnu množinu T platí C (G) C T. Ak x (£ C (G), tak jeho orbita obsahuje aspoň dva prvky. Centralizátor prvku x E C (G) je celá grupa, t.j. C(x) = G; pre x <£ C(G) je C(x) vlastná podgrupa grupy G.
Špecifikáciou viet 24.2.1 a 24.2.2 na akciu konjugáciou dostávame nasledujúce dve vety - rovnosť v prvej z nich sa opäť nazýva rovnosť tried, druhá je zvláštnym prípadom Burnsideovej lemy.
24.3.5.   Veta. JVeci G je konečná grupa. Potom počet prvkov grupy G konjugova-ných s prvkom x E G sa rovná indexu [G : C(x)] jeho centralizátora. Ak ľC G je transverzálna množina vzhľadom na akciu konjugáciou, tak C(G) C T a platí
#G=]T[G:G0C)] = #G(G)+      ]T     [G : C (x)].
x£T                                                xeT\C(G)
24. GRUPY TRANSFORMÁCII
7
24.3.6. Veta.   JVeci G je konečná grupa. Potom počet tried konjugácie v grupe G je
1

#(GI~G) = — \#C{g) = #C(G) + —     ^     #C(g) W    geG                                       w    jeexc(e)
a počet netriviálnych (t. j. aspoň dvojprvkových) tried konjugácie v G je
1         v^
#G
#(G/~G)o#G(G) = —     Y.     *C^)-
;,GGvC(G)
Rovnosť tried ma celý rad zaujímavých dôsledkov. Jedným z nich je Cauchyho veta, ktorá je obrátením Lagrangeovej vety pre prvočíselné dělitele rádu konečnej grupy.
24.3.7.  Veta. JVeci G je konečná grupa a p je prvočíslo, ktoré delí jej rád. Potom G má podgrupu rádu p.
Dôkaz. Najprv budeme predpokladať, že G = {x\, . . .,xn} je komutatívna rádu n, pričom prvok Xi má rád r8-. Vďaka komutatívnosti G ľahko nahliadneme, že priradením {k\, . . ., kn) h-► xxx . . . x„n je definovaný surjektívny homomorfizmus grúp
<p: 7LTx x ... x 7LTn —► G.
Podľa vety o homomorfizme je G = {7LTl x ... x TLr^)j Ker <p a z Lagrangeovej vety vyplýva, že rád n grupy G delí rád r\ . . . rn grupy 7LTl x ... x 7LTn. Potom aj prvočíslo p delí 7*i . . . rn, preto musí deliť niektorý z činiteľov r-. Označme k = r-/p. Prvok t/ = x\ G («•) C G má zrejme rád p, teda (y) C G je cyklická podgrupa rádu p.
Predpokladajme teraz, že G je konečná grupa s najmenším možným rádom, ktorý je deliteľný číslom p, ale G nemá podgrupu rádu p. Potom G nie je komutatívna, takže centrum G = C(G) je jej vlastná komutatívna podgrupa a z prvej časti dôkazu vyplýva, že p nemôže deliť ani rád centra G. Podľa rovnosti tried z vety 24.3.5 platí
#G=#C+   J2   [G-C(x)],
kde T C G je nejaká transverzálna množina vzhľadom na akciu konjugáciou grupy G na sebe samej. Keby p nedělilo rád žiadneho z centralizátorov C (x), x <ET\C, delilo by všetky ich indexy [G : C (x)]; potom by však muselo deliť aj rád #G, čo je spor. Preto p delí rád C (x) pre nejaké x (fi C, čo je vlastná podgrupa grupy G. Z minimality rádu G vyplýva, že C (x), a tým aj G, obsahuje pogrupu rádu p, čo je opäť spor.
Pre konečné abelovské grupy je možné úplné obrátenie Lagrangeovej vety.
24.3.8.  Veta. JVeci G je konečná abelovská grupa a d je prirodzené číslo, ktoré delí jej rád. Potom G má podgrupu rádu d.
Dôkaz. Ak d je prvočíslo, tak potrebný záver vyplýva z predchádzajúcej vety. Predpokladajme, že d je najmenšie prirodzené číslo, pre ktoré existuje konečná abelovská grupa s rádom deliteľným číslom d, no bez podgrupy rádu d. Potom d = pm pre nejaké prvočíslo p a prirodzené číslo m > 1. Nech G je spomínaná grupa. Kedže m < d tiež delí rád grupy G, táto má podgrupu S rádu m. Faktorová grupa G jS má rád deliteľný číslom p, teda aj podgrupu H rádu p. Potom však ($ (H) je podgrupa grupy G rádu pm = d, čo je spor. (Pripomíname, že (s '■ G —> G jS označuje prirodzenú projekciu.)
Aj nasledujúci výsledok je jednoduchým dôsledkom rovnosti tried. Ide o slabšiu verziu výsledku dokázaného Burnsidom.
8
PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
24.3.9.   Veta. JVeci rád grupy G je kladnou mocninou prvočísla p. Potom G má netriviálne centrum.
Dôkaz. Nech T C G je transverzálna množina vzhľadom na akciu konjugáciou. Pre každé x G T \ C(G) je centralizátor C(x) vlastnou podgrupou grupy G, teda jeho index [G : C(x)] je deliteľný číslom p. Potom však aj rád centra
#Cľ(G) = #Go     J2     [G-C(x)}
xeT\C(G)
je deliteľný číslom p.
24.3.10.   Dôsledok. JVeci G je grupa rádu p2, kde p prvočíslo. Potom G je komu-tatívna.
Dôkaz. Podľa predošlej vety G má netriviálne centrum; toto môže mať len p alebo p2 prvkov. Prvý prípad však nemôže nastať, lebo potom by faktorová grupa G/C(G) bola rádu p, teda cyklická. Podľa vety 24.3.4 by G bola komutatívna, čiže C(G) = G.
24.4. Polopriamy súčin grúp
Reprezentácie jednej grupy automorfizmami inej grupy umožňujú zaujímavé zovšeobecnenie konštrukcie priameho súčinu grúp. Zatiaľ čo priamy súčin abelovských grúp je abelovská grupa, pomocou tzv. polopriameho súčinu možno i z abelovských grúp vytvoriť grupy neabelovské. Naopak, rozkladom nejakej grupy na polopriamy súčin v istom zmysle jednoduchších grúp možno získať hlbší vhľad do jej štruktúry.
Nech G a X sú grupy a <P: G —> Aut X je homomorfizmus grúp, teda vlastne reprezentácia grupy G v množine X automorfizmami grupy X. Polopnamym súčinom grúp G a X vzhľadom na reprezentáciu <P nazývame množinu G x X s binárnou operáciou definovanou predpisom
(g, x) -{h,y) = (gh,x<Pg(y))
pre g, h <E G, x,y <E X. Polopriamy súčin grúp G, X budeme značiť G K$ X, prípadne len G K X, ak reprezentácia <P bude zrejmá z kontextu.
24.4.1. Veta. JVeci (G,-, e) a (X,-, e) sú grupy <P : G —> Aut X je reprezentácia grupy G. Potom polopriamy súčin G K$ X grúp G a X je grupa.
Dôkaz. Na základe definície operácie na polopriamom súčine G K$ X a vlastností homomorfizmov pre ľubovoľné (g, x), (h, y), (f, z) G G x X platí
(g, x) ■ ((h, y) ■ (f, z)) = (g, x) ■ (hf,y$h(z)) = (g(hf), x$g(y$h(z))) = ((gh)f,x$g(y)$gh(z)) =(gh,x$g(y))-(f,z)
= ((#,«) • (h,y))-(f,z),
(e, s) ■ (g, x) = (eg,s<Pe(x)) = (g, x)
= (ge,x$g(s)) = (g,x) ■ (e,s),
{g, x) ■ (g~1,&g-i(x~1)) = (gg~1,x'Pgg-i(x~1)) = (e, m-1) = (e, s)
= {g~1g^g-i{x)-1^g-i{x)) = (flf-1,^   i(aj)-1) -(g,x).
24. GRUPY TRANSFORMÁCII
9
To znamená, že príslušná binárna operácia je asociatívna, jej neutrálnym prvkom je (e, e) a inverzným prvok k prvku (g, x) je
(g,x)-1 = («r1,^-!^-1)) = Gr1.**-1^)"1).
teda G K$ X je grupa.
Ak <P: G —> Aut X je triviálny automorfizmus, čiže <Pg = idx pre všetky g E G, tak uvedená definícia operácie na množine G x X nadobúda tvar (g, x) ■ (h, y) = (gh, xy), teda polopriamy súčin G K$ X splýva s priamym súčinom G x X grúp G, X.
Iný dôležitý špeciálny prípad polopriameho súčinu dostaneme tak, že za grupu G vezmeme priamo grupu Aut X všetkých automorfizmov grupy X a za homomorfiz-mus <P identické zobrazenie idg : G —> Aut X. Príslušný polopriamy súčin značíme Aut X k X = Hol(X) a nazývame holomorf grupy X. Bližší pohľad na holomorf nájde čitateľ v cvičeniach. Trochu všeobecnejšie možno za G vziať akúkoľvek pod-grupu grupy automorfizmov Aut X. Násobenie v takomto polopriamom súčine G K X je dané formulou
(g, x) ■ (h, y) = (goh,xg(y)).
Konečne tretí špeciálny prípad možno dostať ako polopriamy súčin grupy G samej so sebou vzhľadom na reprezentáciu konjugaciou ľ: G —> Aut G. I táto konštrukcia funguje za trochu všeobecnejších podmienok. Ak H a N sú podgrupy grupy G, pričom N < G (dokonca stačí, aby platilo hxh~ľ E N pre všetky h E H, x E N), tak H má reprezentáciu ľ : H —► Aut X konjugaciou na grupe N. Násobenie na polopriamom súčine HKN = HKrNje dané predpisom
(g, x) ■ (h, y) = (gh,xgyg~r),
pre g, h G H, x, y G N. Pre tento polopriamy súčin nezavádzame osobitný názov práve preto, že - ako hneď uvidíme - ide svojim spôsobom o prípad typický.
Podobne ako v prípade priameho súčinu, aj v súvislosti s polopriamym súčinom prirodzene vzniká otázka rozložiteľnosti danej grupy na polopriamy súčin netriválnych, v istom zmysle jednoduchších faktorov. Tieto, ak existujú, možno opäť nájsť medzi jej vhodnými podgrupami.
Ľahko možno overiť, že s každým polopriamym súčinom G K$ X grúp (G, -,e), (X, -,e) sú zviazané tri grupové homomorfizmy
X     e    > Gk<z,X^^ G,
7
dané predpismi
£(x) = (e,x),         iľ(g,x) = g,         1(g) = (g,e),
pre g E G, x E X. Pritom £ je injektívny, 7r je surjektívny a platí Im^ = Ker 7r, teda
X;-^GixX^»Gje krátka exaktná postupnost. Taktiež 7: G —► G K X je injektívny a spĺňa podmienku fo-y = idg. Podotýkame, že ani jedno z ponúkajúcich sa zobrazení (g, x) t—> x resp. (g, x) 1—► &g{x) vo všeobecnosti nie je homomorfizmom G K$X —► X.
10                           PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
V polopriamom súčine G K$ X sme tak identifikovali dve podgrupy
H = Im7 = {(g,e);geG}=*G,
N = Im£ = Ker 7T = {(e, x); x G X} = X
také, že N < G K$ X a H fl N = {(e, e)}. Navyše každý prvok (g, x) E G K. X možno písať v tvare (g, x) = (e, x) ■ (g, s) G NH, ako aj (g, x) = (g, s) ■ {e,<Pg-i(x)) G HN, teda G = N H = H N. Ukazuje sa, že prítomnosť takýchto podgrúp v danej grupe už zabezpečuje jej rozklad na ich polopriamy súčin.
24.4.2.   Veta. JVeci (G,-, e) je grupa a H, N sú jej podgrupy také, že N < G, H fl N = {e} a G = ./Viŕ. Potom G je izomorfná s polopriamym súčinom H Kp N grúp H, N vzhľadom na reprezentáciu konjugáciou ľ: H —► Aut N.
Dôkaz. Ukážeme, že zobrazenie ip(g, x) = xg je homomorfizmus grúp ip: H K N —► G. Pre g, h <E H, x,y <E N jednoduchým výpočtom dostávame
£>((#, x) ■ (h, y)) = (p(gh, xgyg'1) = (xgyg~1)(gh) = (xg)(yh) = <p(g, x)<p(h, y).
Kedže H fl N = {e}, z tvrdenia 23.6.2(b) vyplýva, že <p je injekcia. Surjektívnosť <p je dôsledkom rovností Irnj? = /VÜ = G. Teda G = H K N.
24.4.3.  Príklad. Nech m, n sú prirodzené čísla. Kedže TLn = (a; | «n), každý endo-morfizmus y : 7Ln —► 7Ln je jednoznačne určený jediným prvkom k G Zn, totiž obrazom A; = <p{l) generátora 1 G Zn. Pre b G Zn potom platí <p(b) = fc&. Samostatne si rozmyslite, že <p G AutZn práve vtedy, keď k = y(l) je nesúdelitelné s n. Podobne, z dôvodu TLm = /a; | a;m\ je každý homomorfizmus <Z>: Zm —► AutZn jednoznačne určený jediným automorfizmom <p grupy Zn, totiž obrazom ip = ([>i generátora 1 G Zm, ktorý však musí vyhovovať podmienke ipm = ids„ (pozri vetu 23.7.3). V konečnom dôsledku je tak každý homomorfizmus <P: 7Lm —► AutZn jednoznačne určený jediným prvkom k = á>i(l) G 7Ln, ktorý je nesúdeliteľný sna vyhovuje podmienke km =„ 1. Potom pre a G Zm, b £ Zn platí #a(6) = &a&.
Nech teda <Z>: Zm —► AutZn je reprezentácia grupy 7Lm automorfizmami grupy 7Ln a k = <Z>i(l). Polopriamy súčin Zm K$ Zn budeme značiť 7Lm K^ Zn. Operácia v grupe 7Lm K k 7Ln je daná formulou
(a, b) * (c, d) = (a + c,b + k"d),
pre a, c G Zm, b, d E 7Ln. Pri porovnaní s príkladom 23.7.4 vidíme, že priradením (a, 6) h-► t/'«61 je definovaný homomorfizmus grúp Zm K^ Zn —► F^nn. Čitateľ by si mal samostatne premyslieť, že ide dokonca o izomorfizmus. Teda
^m^k^n = F^n = (x, y | xm = yn = e, xyx'1 = yk),
čím sme metacyklické grupy predstavili v tvare polopriamy ch súčinov cyklických grúp.
24. GRUPY TRANSFORMÁCII
11
24.5. Štruktúra grúp jednoduchých rádov
Ako naznačuje naše doterajšie krátke zoznámenie so svetom grúp, štruktúra konečnej grupy do značnej miery závisí od jej rádu, presnejšie od štruktúry deliteľov tohto čísla. Jednako rád grupy (okrem istých singulárnych prípadov) ani zďaleka neurčuje jej štruktúru jednoznačne. Štruktúrou deliteľov rádu grupy je však daný akýsi predbežný rozvrh možností, ktoré u grúp daného rádu vôbec prichádzajú do úvahy. Naopak, ak je štruktúra deliteľov niektorého prirodzeného čísla dostatočne jednoduchá, umožňuje to popísať štruktúru všetkých grúp daného rádu.
Pomocou doteraz dokázaných výsledkov sme schopní jednoznačne až na izomorfizmus popísať všetky grupy rádov p, p2 a pq, kde p, q sú rôzne prvočísla. Skúsme si najprv zosumarizovať to málo, čo už vieme:
1.   Každá grupa G rádu p je cyklická, teda izomorfná s aditívnou grupou /Lp.
2.   Každá grupa G rádu p2 je podľa dôsledku 24.3.10 komutatívna. Ak obsahuje prvok rádu p2, tak je cyklická, teda izomorfná s grupou Zp2. V opačnom prípade musí obsahovať aspoň dva prvky a, b rádu p také, že b ^ (a). Ľahko možno overiť, že potom (a) n (b) = {e} a (a)(b) = G (skúste sami). Z tvrdenia 23.6.2 tak vyplýva izomorfizmus grúp G = (a) x (b) = Zp x Zp.
Štruktúru všetkých grúp rádu pq popisuje nasledujúca veta.
24.5.1. Veta.   JVeci p < q sú dve prvočísla. Potom
(a)   každá komutatívna grupa rádu pq je cyklická, teda izomorfná s grupou 7Lvq;
(b)   nekomutatívna grupa rádu pq existuje práve vtedy, keď p delí q Ol, a v tom prípade je izomorfná s metacyklickou grupou ŕ1*    kde k £ Z* je prvok rádu p.
Dôkaz. Nech G je grupa rádu pq. Podľa Cauchyho vety G obsahuje podgrupu A rádu p aj podgrupu B rádu q. Obe sú zrejme cyklické, teda A = (a), B = (b) pre nejaké prvky a, b G G rádov p resp. q. Kedže rád podgrupy A n B musí deliť rád každej z grúp A, B, nevyhnutne A n B = {e}. Podľa tvrdenia 23.6.2(b) je predpisom (x, y) h-► yx definované injektívne zobrazenie A x B —► G. Kedže obe množiny A x B aj G majú zhodne pq prvkov, je to dokonca bijekcia, teda G = BA.
Podobným spôsobom ukážeme, že B je normálna podgrupa v G. Keby pre niektoré g (ž G platilo gBg~x ^ B, podgrupa B n gBg~x by bola triviálna, teda predpisom (x, y) h-► xy by bolo definované prosté zobrazenie B x gBg~x —► G. Ale množina B x gBg~x má q1 kým množina G len pq prvkov, čo je spor, teda B <\ G.
Podľa vety 24.4.2 grupa G je izomorfná s polopriamym súčinom A K B vzhľadom na reprezentáciu konjugáciou ľ : A —► Aut B grupy A automorfizmami grupy B. Nech ľa(b) = aba-1 = bk, kde k G Z* Z úvah vykonaných v príkladoch 23.7.4-5 a 24.4.3 je jasné, že G je izomorfná s metacyklickou grupou ŕ1*
Ak k = 1, tak generátory a, b komutujú, teda i G je komutatívna a podľa tvrdenia 23.6.2 izomorfná s priamym súčinom svojich cyklických podgrúp A = 7LV, B = 7Lq. Z tvrdenia 23.6.4 potom vyplýva, že G = 7Lvq je cyklická grupa.
Ak k ^ 1, tak k je prvok rádu p multiplikatívnej grupy Z* poľa 7Lq. Kedže Z* má rád q -O-l, takéto k existuje vtedy a len vtedy, keď p delí q -O-l. Navyše, ako sme dokázali v príklade 23.7.5, metacyklická grupa ŕ1* = G je nezávisle na k ^ 1 určená jednoznačne až na izomorfizmus.