Lineární algebra a geometrie II -- Kontrolní otázky Kontrolní otázky jsou uspořádány vzhledem k vybraným partiím z učebních textů doc. Zlatoše z Lineární algebry a geometrie II. Bilineární zobrazení a bilineární formy * Je každé bilineární zobrazení F : U x V --> W lineární? * Pro které bilineární formy je jejich matice symetrická (antisymetrická)? * Kdy jsou dvě matice stejného typu maticemi téže bilineární formy? * Co je duál vektorového prostoru a jaká je jeho souvislost s bilineární formou? * Kdy je bilineární forma regulární (singulární)? * Co je kvadratická forma a polární forma kvadratické formy? * Lze každou kvadratickou formu diagonalizovat? * Kdy jsou dvě čtvercové matice kongruentní? U předchozích otázek předpokládejte, že těleso, nad kterým uvažujeme příslušné vektorové prostory resp. matice, bude mít charakteristiku různou od dvou. Bilineární a kvadratické formy nad tělesem reálných čísel * Co je signatura reálné čtvercové matice? * Co tvrdí Sylvestrův zákon setrvačnosti? * Co je signatura symetrické reálné bilineární formy resp. reálné kvadratické formy? * Jak se liší situace pro reálné a komplexní symetrické matice? * Popište formy dehnitnosti reálné kvadratické formy a charakterizujte pozitivně a negativně definitní ma­ tice? * Jaký je vztah matematické analýzy a dehnitnosti matic? Euklidovské prostory * Co je reálný skalární součin? * Jak se definuje norma (délka)vektoru? * Co je euklidovský prostor? * Která podmínka definuje standardní skalární součin? * Co je Gramová matice a jaké má vlastnosti? Na čem závisí regularita Gramový matice? * Vyjmenujte alespoň dvě v textu zmíněné nerovnosti, ve kterých se vyskytuje norma a/nebo skalární součin. * Co je odchylka vektorů? * Zformulujte kosinovou resp. Pythagorovu větu. * Co je ortogonální resp. ortonormální báze? * Popište Gram-Schmidtův ortogonalizační proces.- 1 ˇ Kdy je reálná čtvercová matice ortogonální? Ortogonální projekce a prostory * Co je ortogonální doplněk (ortokomplement) dané množiny? * Popište kolmý průmět vektoru do podprostoru. * Jaké vlastnosti má operátor ortogonální projekce? * Jak se určí vzdálenost dvou afinních podprostoru? * Co je příčka afinních podprostoru? * Jak je definována odchylka afinních podprostoru resp. nadrovin? * Definujte polární a sférické souřadnice. Jak vypadá přechod od polárních ke sférickým souřadnicím a naopak? Unitární prostory * Co je to seskvilineární (půldruhalineární) forma na komplexním vektorovém prostoru? * Kdy jsou dvě komplexní čtvercové matice maticemi téže seskvilineární formy? * Jaký je vztah seskvilineární formy a její reálné a imaginární části? Jaký je vztah reálné části seskvilineární formy k její imaginární části? * Kdy je seskvilineární forma hermitovská? * Definujte komplexní skalární součin. Co je to standardní komplexní skalární součin? * Kdy je komplexní čtvercová matice unitární? Vlastní čísla a vlastní vektory * Co jsou podobné matice? * Definujte stopu matice. Jaké jsou stopy a determinanty podobných matic? * Kdy je lineární operátor diagonalizovatelný? * Definujte pojem vlastního čísla a vlastního vektoru lineárního operátoru resp. čtvercové matice. * Jak se k sobě mají vlastní čísla podobných matic? * Definujte pojem invariantního podprostoru lineárního operátoru. * Charakterizujte diagonalizovatelnost lineárního operátoru pomocí vlastních vektorů resp. pomocí invariantních podprostoru. * Definujte charakteristickou matici dané matice a jí odpovídající charakteristický polynom a charakteristickou rovnici. * Které skaláry jsou kořeny charakteristické rovnice? Spektrum operátoru a Jordánův kanonický tvar * Co je spektrum lineárního operátoru? 2 ˇ Definujte algebraickou váhu spektra. Co je to jednoduché spektrum? * Co je vlastní podprostor lineárního operátoru určený vlastní hodnotou? Cím je určená geometrická násobnost dané vlastní hodnoty? * Jaký je vztah mezi algebraickou a geometrickou násobností? Jaká je algebraická resp. geometrická násobnost dvou podobných matic? * Definujte pojem Jordánovy buňky řádu n pro daný skalár. Jaká vlastní čísla má Jordánova buňka? Popište jejich algebraickou resp. geometrickou násobnost. * Co je Jordánův kanonický tvar? Kolik Jordánových buněk má Jordánův kanonický tvar? Které matice jsou podobné matici v Jordánově kanonickém tvaru? Jak Jordánův kanonický tvar najdeme? * Jaký je geometrický význam komplexních vlastních čísel pro reálné matice? * Charakterizujte diagonalizovatelnost lineárního operátoru pomocí Jordánových buněk. * Co jsou zobecněné Jordánovy buňky? 3