16. aVOD DO PECI LNEJ TE_RIE RELATIVITY
V predch dzaj cich troch kapitol ch sa n m podarilo zrekon truova v podstate
cel trukt ru euklidovskej geometrie, zov eobecnenej do ubovo nej koneWnej dimen-
zie, z jedinej kladne de nitnej symetrickej biline rnej formy na re lnom vektorovom
priestore. V tejto kapitole najprv struWne presk mame geometriu koneWnorozmernbch
re lnych vektorovbch priestorov vybavenbch inde nitnou regul rnou symetrickou bi-
line rnou formou. Potom si predvedieme, ako mo[no z jedinej takejto formy sig-
nat ry 1;n;0 odvodi matematickb apar t peci lnej te rie relativity. Postupova
v ak budeme v opaWnom smere, ako je zvykom vo fyzike. Nebudeme budova mate-
matickb model analbzou fyzik lnej situ cie, ale naopak, matematickb model,tzv. Min-
kowskRho Wasopriestor, n jdeme u[ hotovb. Fyzika sa n m zaWne vyn ra pri jeho ma-
tematickom t diu takpovediac samovo ne, keS pre niektorR javy a objekty, s ktorbmi
sa v om stretneme, zaWneme pou[ va fyzik lnu terminol giu. Pri tom, samozrejme,
budeme dba na to, aby takRto pomen vanie bolo v zhode s na ou fyzik lnou intu -
ciou. To nebude zSaleka takR ahkR, ako by sa vari dalo Waka Witate ovi s iste aspo
zbe[ne zn me niektorR "popul rne d]sledky peci lnej te rie relativity, ktorR na ej
ka[dodennej fyzik lnej sk senosti zdanlivo protireWia. Aj nimi sa tu budeme pomerne
podrobne zaobera .
Z kladom peci lnej te rie relativity je d]sledne uplatnenb Galileov princ p relati-
vity pohybu, postuluj ci ekvivalenciu popisu pohybu a mechanickbch dejov z poh adu
ktorRhoko vek z navz jom rovnomerne priamoWiaro sa pohybuj cich pozorovate ov.
Einstein tento princ p roz ril do postul tu ekvivalencie popisu pr rody z h adiska
ktorRhoko vek z takbchto pozorovate ov. Presnej ia formul cia Einsteinovho princ pu
relativity hovor , [e v etky pr rodnR z kony maj rovnak matematick podobu nez -
visle od inerci lnej s stavy, vzh adom na ktor ich formulujeme. Druhb zo z kladnbch
relativistickbch princ pov princ p st losti rbchlosti svetla mo[no u[ tak trochu po-
va[ova za d]sledok prvRho. Ak toti[ medzi pr rodnR z kony zahrnieme aj rbchlos ,
akou sa ri svetelnb sign l vo v kuu, stane sa z tejto hodnoty fundament lna kon -
tanta, rovnak pre v etky inerci lne s stavy. Matematick podoba form l te rie rela-
tivity si potom vynucuje uznanie princ pu medznej hodnoty rbchlosti svetla: relat vna
rbchlos pohybu hmotnbch objektov je v[dy men ia ne[ rbchlos svetla.
Rozpisova sa o epoch lnom vbzname Einsteinovho objavu peci lnej a potom
v eobecnej te rie relativity by dnes u[ bolo nosen m dreva do lesa. Patr sa v ak po-
znamena , [e z klady peci lnej relativity mo[no do istej miery n js u[ u Lorentza a
jej znaWn Was rozvinul prakticky s Wasne s Einsteinom a nez visle na om PoincarR.
VbluWnbm Einsteinovbm objavom je a[ v eobecn te ria relativity no jej formul cia
u[ nevystaW s matematickbm apar tom line rnej algebry. Vznik v eobecnej relativity
v ak bol do znaWnej miery umo[nenb MinkowskRho formul ciou peci lnej relativity,
ktor predstavuje jeden z prvbch a rozhoduj cich momentov mimoriadne plodnRho
a dodnes [ivRho programu tzv. geometriz cie fyziky. Pr ve vbklad peci lnej te rie
relativity v MinkowskRho geometrickom po at bude n pl ou tejto kapitoly.
1
2 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
16.1. PseudoeuklidovskR priestory
Pseudoeuklidovskbm priestorom nazbvame ubovo nb koneWnorozmernb vektorovb
priestor V nad po om R, vybavenb regul rnou inde nitnou symetrickou biline rnou
formou. T to formu nazbvame pseudoskal rny s Win a jej hodnotu na vektoroch
x;y 2 V znaW me hx;yi, t.j. rovnako, ako sme znaWili skal rny s Win. Signat rou
pseudoeuklidovskRho priestoru V rozumieme signat ru pr slu nej formy. T to m tvar
p;q;0, kde p;q  1 a p + q = dimV, Wo n m umo[ uje vynecha z nej poslednb
Wlen 0 a hovori o nej len ako o signat re p;q; v takom pr pade hovor me tie[
o p;q-rozmernom pseudoeuklidovskom priestore. Od tejto chv le a[ do konca tohto
paragrafu V oznaWuje nejakb pevne zvolenb pseudoeuklidovskb priestor a n = dimV.
Pseudoskal rny s Win vo V takisto sp a prvR tri podmienky z de n cie skal rneho
s Winu zo zaWiatku paragrafu 13.1, ako aj ich o k sok Salej uvedenR dva d]sledky.
Podmienku kladnej de nitnosti z ktorej u[ vyplbva regularita v ak treba nahradi
nasleduj cimi dvoma podmienkami
9x;y
,hx;xi 0 hy;yi
 inde nitnos ,
8y
,hx;yi = 0
  x = 0 regularita,
priWom ekvivalencia poslednej implik cie a regularity vyplbva z d]sledku 11.1.8.
VTW inu pojmov, s ktorbmi sme sa zozn mili v euklidovskbch priestoroch, mo[no,
niekedy s istbmi nevyhnutnbmi pravami, zavies aj pre pseudoeuklidovskR priestory.
Taktie[ celb rad vbsledkov o euklidovskbch priestoroch si, opT s istbmi modi k cia-
mi, zachov va platnos aj pre pseudoeuklidovskR priestory. KeS[e podrobnR t dium
tbchto priestorovnie je na imcie om, nevyd me sa cestou systematickej rev zie vbsled-
kov troch predch dzaj cich kapitol. Obmedz me sa len na nieko ko m lo pr kladov,
ktorR n m bud u[itoWnR v Sal ch paragrafoch. To si v ak vy[iada zavies aj nieko ko
pojmov a dok za zop r vbsledkov, ktorR nemaj priame anal gie v euklidovskbch
priestoroch.
Dvojmiestny vz ah ortogonality a ortokomplement mno[iny zav dzame rovnako
ako v euklidovskom priestore
x ? y , hx;yi = 0;
X? = fy 2 V; 8x 2 Xx ? yg;
pre x;y 2 V, X  V.
Gramovou maticou usporiadanej k-tice vektorov = u1;:::;uk 2 Vn nazb-
vame maticu
G  = Gu1;:::;uk =
,hui;uji

kk;
jej determinant jG j nazbvame Gramovbm determinantom vektorov u1;:::;uk.
Hovor me, [e b za = u1;:::;uk line rneho podpriestoru S  V je ortonorm lna,
ak pre v etky i;j  k plat hui;uji = 0, ak i 6= j, a hui;uii = 1, t.j. pr ve vtedy,
keS jej Gramova matica G  je diagon lna, len s prvkami 1 na diagon le.
tandardnb pseudoskal rny s Win signat ry p;q na st pcovom vektorovom prie-
store Rp+q je danb predpisom
hx;yi =
pX
i=1
xiyi ,
p+qX
i=p+1
xiyi = xT diagIp;,Iq y:
16. aVOD DO PECI LNEJ TE_RIE RELATIVITY 3
Ako vyplbva z vbsledkov kapitol 11, 12, ka[db pseudoskal rny s Win tejto signat ry
mo[no vo bou vhodnej ortonorm lnej b zy, pri spr vnom porad jej Wlenov, upravi
na uvedenb tvar. Pseudoeuklidovskb priestor Rn so tandardnbm pseudoskal rnym
s Winom signat ry p;q budeme znaWi Rp;q
.
Line rny podpriestor S  V sa nazbva kladne de nitnb, z porne de nitnb, in-
de nitnb, regul rny, resp. singul rny, ak biline rna forma h ; i z [en na S m pr -
slu n vlastnos . Zrejme kladne alebo z porne de nitnb podpriestor je regul rny.
Podobne, nenulovb vektor u 2 V sa nazbva kladne resp. z porne de nitnb, ak
hu;ui 0, resp. hu;ui 0, t.j. pr ve vtedy, keS n m generovanb line rny podpriestor
m pr slu n vlastnos . Rozmyslite si, preWo nem zmysel hovori o inde nitnbch
vektoroch.
Vektor u 2 V sa nazbva izotropnb, ak hu;ui = 0, t.j. ak u ? u. V opaWnom
pr pade hovor me, [e u je anizotropnb vektor. Na rozdiel od euklidovskbch priestorov,
v pseudoeuklidovskbch priestoroch existuj nenulovR izotropnR vektory presvedWte sa
o tom, ako aj netrivi lne singul rne podpriestory napr. ka[db podpriestor generova-
nb nenulovbm izotropnbm vektorom je takb. Na druhej strane, ka[d ortonorm lna
b za line rneho podpriestoru vo V nutne pozost va len z anizotropnbch vektorov.
16.1.1. Tvrdenie. a Line rny podpriestor S  V je regul rny pr ve vtedy, keS
m ortonorm lnu b zu.
b ubovo n ortonorm lnu b zu line rneho podpriestoru S  V mo[no doplni
do ortonorm lnej b zy celRho priestoru V.
D]kaz. a Nech S je regul rny a = u1;:::;uk je jeho ubovo n b za. Potom aj
Gramova matica G , ako matica biline rnej formy h ; i z [enej na S vzh adom na
b zu , je regul rna. Pod a vety 12.1.2 existuje regul rna matica P 2 Rkk tak , [e
PT  G   P je diagon lna matica len s prvkami 1 na diagon le. Potom P je
ortonorm lna b za podpriestoru S. Obr ten implik cia je trivi lna.
b Nech v1;:::;vk je nejak ortonorm lna b za regul rneho podpriestoru S.
Dopl me ju hocakbm sp]sobom do b zy = v1;:::;vk;vk+1;:::;vn priestoru
V. Potom aj Gramova matica G  je regul rna a jej avb hornb roh rozmeru kk
je diagon lny len s 1 na diagon le, Wi[e t to jej Was u[ upravova nemus me. Preto
dvojicami ERO a ESO mo[no cel maticu upravi na diagon lnu maticu QT G Q
s 1 na diagon le tak, [e ani jeden z prvbch k riadkov resp. st pcov p]vodnej matice
G  nezmen polohu, nebude vyn sobenb skal rom 6= 0, ani k nemu nepripoW tame
n sobok inRho riadku Wi st pca. To znamen , [e regul rna matica Q 2 Rnn zod-
povedaj ca pr slu nbm ESO m blokovb tvar Q =
Ik Q1
0 Q2

. Preto b zy a Q
maj prvbch k vektorov rovnakbch, teda Q je h adan ortonorm lna b za priestoru
V.
16.1.2. Tvrdenie. Nech S  V je regul rny line rny podpriestor. Potom aj S? je
regul rny line rny podpriestor a plat
V = S S?; S?? = S:
D]kaz. Pod a tvrdenia 16.1.1 m S nejak ortonorm lnu b zu u1;:::;uk, ktor
mo[no doplni do ortonorm lnej b zy u1;:::;uk;uk+1;:::;un celRho priestoru V.
ahko nahliadneme, [e S? = uk+1;:::;un . Z toho u[ priamo vyplbva regularita
podpriestoru S? ako aj rovnosti S S? = f0g, S + S? = V a S?? = S.
4 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
16.1.3. Tvrdenie. Ak S  V je maxim lny kladne de nitnb podpriestor, tak S? je
maxim lny z porne de nitnb podpriestor.
Samozrejme tie[ naopak, ak S  V je maxim lny z porne de nitnb podpriestor,
tak S? je maxim lny kladne de nitnb podpriestor.
D]kaz. Maximalita kladne de nitnRho podpriestoru S znamen , [e line rny pod-
priestor S+ x nie je kladne de nitnb pre [iadny vektor x 2 V rS. KeS[e S je regu-
l rny, pod a predch dzaj ceho tvrdenia je regul rny aj S?. Nech = u1;:::;uk,
0 = uk+1;:::;un s ubovo nR ortonorm lne b zy podpriestorov S resp. S?.
Potom u1;:::;un je zrejme ortonorm lna b za celRho V. Z kladnej de nitnosti
S vyplbva, [e G  = Ik; z jeho maximality a Sylvestrovho z kona zotrvaWnosti
veta 12.1.1 zas G 0 = ,In,k. Preto S? je z porne de nitnb podpriestor, ktorb
je v d]sledku vety 12.1.1 zrejme maxim lny s touto vlastnos ou.
Pod a ostatnbch dvoch tvrden je ka[db pseudoeuklidovskb priestor priamym s W-
tom V = S T maxim lneho kladne de nitnRho podpriestoru S a maxim lneho z -
porne de nitnRhopodpriestoruT;tento rozkladv ak nie je zSaleka jednoznaWnb. Pseu-
doskal rny s Win na podpriestore S je priamo skal rnym s Winom, tak[e S je vlastne
euklidovskb priestor. Takisto T mo[no pova[ova za euklidovskb priestor staW for-
m lne zmeni znamienko pseudoskal rneho s Winu a priraden m x;y 7! ,hx;yi je
u[ de novanb skal rny s Win na T. trukt ra pseudoeuklidovskRho priestoru vznik
takpovediac prepojen m dvoch euklidovskbch trukt r opaWnbch znamienok. V d]-
sledku toho sa m][e Cauchyho-Schwartzova nerovnos niekedy zmeni na opaWn .
16.1.4. Tvrdenie. Nech u;v 2 V s anizotropnR vektory. Potom plat
a hu;vi2
= hu;uihv;vi
pr ve vtedy, keS u, v s line rne z vislR alebo u;v je dvojrozmernb singul rny
podpriestor;
b hu;vi2
hu;uihv;vi
pr ve vtedy, keS u, v s line rne nez vislR a podpriestor u;v je kladne alebo
z porne de nitnb;
c hu;vi2
hu;uihv;vi
pr ve vtedy, keS x;y je inde nitnb podpriestor.
Dodajme, [e v pr pade, keS niektorb z vektorov u, v je izotropnb, trivi lne plat
hu;vi2
 0 = hu;uihv;vi, priWom rovnos nastane pr ve vtedy, keS hu;vi = 0.
D]kaz. KeS[e jGu;vj = hu;uihv;vi , hu;vi2
, uveden rovnos z a, resp. nerov-
nosti z b, c s postupne ekvivalentnR s podmienkami jGu;vj = 0, jGu;vj 0,
resp. jGu;vj 0.
Ak u, v s line rne z vislR, tak rovnos jGu;vj = 0 mo[no jednoducho overi
priamym vbpoWtom. Ak s nez vislR, tak Gu;v je maticou pseudoskal rneho s Winu
na podpriestore u;v v b ze u;v. Z toho vyplbva:
a Podpriestor u;v je singul rny pr ve vtedy, keS matica Gu;v je singul rna,
t.j. pr ve vtedy, keS jGu;vj = 0.
b Pod a Sylvestrovho kritRria veta 12.2.4 je podpriestor u;v kladne de nitnb
pr ve vtedy, keS hu;ui 0 a jGu;vj 0, a z porne de nitnb pr ve vtedy, keS
hu;ui 0 a jGu;vj 0. KeS[e pre anizotropnb vektor u in mo[nos nenastane,
jGu;vj 0 pr ve vtedy, keS u;v je kladne alebo z porne de nitnb.
c Ako vidno z b, u;v je inde nitnb pr ve vtedy, keS jGu;vj 0.
16. aVOD DO PECI LNEJ TE_RIE RELATIVITY 5
16.2. MinkowskRho Wasopriestor
Vo fyzike, presnej ie v peci lnej te rii relativity, sa pod MinkowskRho Wasopriestorom
zvyWajne rozumie pseudoeuklidovskb priestor R4
so tandardnbm pseudoskal rnym
s Winom signat ry 1;3, t.j.
hx;yi = x0y0 ,x1y1 ,x2y2 ,x3y3 = xT diag1;,I3 y:
pre x = x0;x1;x2;x3T , y = y0;y1;y2;y3T . V niektorbch uWebniciach sa miesto
toho mo[no stretn so signat rou3;1. Pritom s radnicax0 sa interpretujeako Was a
x1, x2, x3 ako s radnicepolohyv euklidovskompriestore.My tento pojem roz rimena
vy ie aj na ni[ iedimenziea naabstraktnR pseudoeuklidovskRpriestory.MinkowskRho
Wasopriestorom budeme teda nazbva ubovo nb pseudoeuklidovskb priestor V sig-
nat ry 1;n, kde n  1. R1;n
oznaWuje MinkowskRho Wasopriestor Rn+1 so tandard-
nbm pseudoskal rnym s Winom signat ry 1;n. V na om vbklade bud hra d]le[it
lohu pr ve Wasopriestory "malej signat ry 1;1 a 1;2, ktorR e te prip aj n -
zornR gra ckR zn zornenie.
Na MinkowskRho Wasopriestor V budeme v preva[nej miere pozera a nne, t.j.
jeho prvky budeme Wastej ie pova[ova za body ne[ za vektory tentokr t ich v ak
budeme nazbva udalos ami alebo tie[ svetobodmi. Svetobody predstavuj idealizo-
vanR okam[itR bodovR udalosti ako napr. vy[iarenie fot nu at mom, Wi zr [ku dvoch
element rnych Wast c, pri ktorbch abstrahujeme od toho, "Wo sa stalo , a zaznamen -
vame len ich Was a polohu.
Ak x;y 2 V s dva svetobody, tak skal rny s Win hx,y;x,yi nazbvame tvorcom
ich Wasopriestorovej od ahlos i. Pod a toho, Wi hx , y;x , yi je vTW ie, rovnR alebo
men ie ako 0 t.j. vektor x,y je kladne de nitnb, izotropnb alebo z porne de nitnb,
hovor me, [e udalosti x, y s Wasovo, svetelne, resp. priestorovo od ahlR. Miesto kladne
de nitnb, z porne de nitnb, resp. izotropnb vektor hovor me tie[ Wasovb, priestorovb,
resp. svetelnb vektor.1
Mno[inu
LCp = fx 2 V; hx,p;x,pi = 0g
v etkbch udalost , ktorR s od danRho svetobodu p 2 V svetelne od ahlR, nazbvame
svetelnb ku[e anglicky light cone s poWiatkom v p. Tento n zov je motivovanb
tvarom svetelnRho ku[e a v MinkowskRho Wasopriestore R1;2
, ktorb je zn zornenb
na obr zku vpravo; v avo vid me svetelnb ku[e v MinkowskRho Wasopriestore R1;1
,
tvorenb dvoma priamkami x0 = x1.
V pozad pr ve zavedenRho n zvoslovia stoj fyzik lna interpret cia MinkowskRho
Wasopriestoru, ktor bude v priebehu n ho vbkladu vych dza najavo Woraz zrete -
nej ie. Zatia si len v imnime, [e vyslaniu svetelnRho sign lu v istom okamihu z istRho
miesta mo[no priradi ist udalos v MinkowskRho Wasopriestore R1;3
, ktor si bez
ujmy na v eobecnosti mo[no zvoli za poWiatok odpoWtu Wasu i s radnej s stavy
v priestore. Tento sign l sa ri rovnakou rbchlos ou c v etkbmi smermi, tak[e v Wase
t 0 bude vytv ra sfRrick vlnoplochu s polomerom ct a rovnicou
x2
1 + x2
2 + x2
3 = c2
t2
:
1Pou[ vaj sa aj mo[no vbsti[nej ie, no a[kop dnej ie n zvy Wasupodobnb, priestorupodobnb a
svetlupodobnb vektor.
6 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Po vo be rbchlosti svetla za jednotku rbchlosti c = 1 a substit cii x0 = ct = t
vid me, [e v etky svetobody, do ktorbch dospeje svetelnb sign l vyslanb v okamihu 0
z poWiatku priestorovej s radnej s stavy, vytv raj "horn polovicu svetelnRho ku-
[e a, niekedy nazbvan tie[ svetelnb ku[e bud cnosti,
LC+
0 = fx 2 R1;3
; x0  0 & hx;xi = 0g:
Jeho "doln polovica , nazbvan aj svetelnb ku[e minulosti,
LC,0 = fx 2 R1;3
; x0  0 & hx;xi = 0g:
je tvoren svetobodmi, z ktorbch svetelnb sign ldospel do poWiatku priestorovejs rad-
nej s stavy v okamihu 0. Hviezdy, ktorR vid me na jasnej noWnej oblohe, s r]zne
vzdialenR, preto svetlo z nich k n m let r]zne dlho v etky takRto l We v ak le[ia na
svetelnom ku[eli minulosti LC,0. Svetobody, z ktorbch bol svetelnb sign l vyslanb
v Wase t 0 opT vytv raj sfRrick vlnoplochu s polomerom ,ct a rovnakou rovnicou
ako v predo lom pr pade. Pr kladom takejto vlnoplochy je belas nebesk sfRra, ktorej
Was vid me za jasnRho d a nad hlavou.
Pri potlaWen jednej priestorovej s radnice x3 mo[no situ ciu n zorne ilustrova
v MinkowskRho Wasopriestore R1;2
predch dzaj ci obr zok vpravo. Miesto troj-
rozmernRho priestoru si predstavme dvojrozmern vodn hladinu a miesto vyslania
svetelnRho sign lu hoSme kame do vody. Vznikne vlnenie, ktorRho Welo sa ri po
hladine v tvare kru[nice a za Was t 0 dospeje do vzdialenosti ct, kde c je rbchlos
jeho renia. "Horn polovicu svetelnRho ku[e a si predstavme ako kruhovR Welo vlny
"un anR plyn cim Wasom jeho stav v nejakom okamihu t je danb rezom ku[e a
rovinou x0 = ct.
Tento pr klad navodzuje predstavu MinkovskRho Wasopriestoru signat ry 1;n ako
n-rozmernRho euklidovskRho priestoru "un anRho Wasom pozd [ Wasovej osi. I keS
t to predstava bbva Wasto u[itoWn , uvid me, [e v MinkowskRho Wasopriestore ne-
existuje privilegovan Wasov os ani kanonickb, jednoznaWnb rozklad na Wasov a
priestorov zlo[ku, ako by sa n m mohlo zda pri zbe[nom poh ade na MinkowskRho
Wasopriestor R1;n
. SkutoWnos , [e "Wasom un anb fyzik lny priestor je euklidovskb,
Wi[e "plochb , poukazuje na to, [e peci lna relativita sk ma vlastne pr zdny Waso-
priestor, presnej ie, abstrahuje od gravitaWnRho p]sosobenia v om rozlo[enej hmoty.
16. aVOD DO PECI LNEJ TE_RIE RELATIVITY 7
Tieto ot zky tematizuje a[ v eobecn te ria relativity, ktor gravitaWnR p]sobenie
zachyt va opT geometricky ako spojite sa meniace zakrivenie Wasopriestoru.
Pre Wasovb vektor u 2 V mo[no de nova normu alebo d [ku kuk =
phu;ui
rovnako ako v euklidovskom pr pade. Pre priestorovb vektor v 2 V v ak kladieme
kvk =
p,hv;vi.
V euklidovskompriestore R2
vytv raj vektory rovnakej d [ky r 0 presnej ie ich
konce kru[nicu s rovnicou x2
1 +x2
2 = r2
; v R3
je to sfRra s rovnicou x2
1 +x2
2 +x2
3 = r2
.
Na rozdiel od toho v MinkowskRhoWasopriestore R1;1
vytv raj WasovR vektory d [ky
r 0 rovnoos hyperbolu s rovnicou x2
0 , x2
1 = r2
; priestorovR vektory d [ky r
zasa vytv raj rovnoos hyperbolu s rovnicou x2
0 , x2
1 = ,r2
Sal obr zok v avo.
V MinkowskRhoWasopriestoreR1;2
vytvoria takRto WasovR vektory dvojdielnyrotaWnb
hyperboloid s rovnicou x2
0 , x2
1 , x2
2 = r2
, ktorb le[ "vovn tri svetelnRho ku[e a;
zodpovedaj ce priestorovR vektory tvoria jednodielny rotaWnb hyperboloid s rovnicou
x2
0 , x2
1 , x2
2 = ,r2
, ktorb oba uje svetelnb ku[e "zvonka obr zok vpravo. Do
vy ch dimenz , vr tane "n ho WasopriestoruR1;3
, bohu[ia , u[ na a predstavivos
nesiaha.
Varujeme v ak Witate a, aby podobnbm obr zkom neprikladal vTW iu v hu, ne[ im
n le[ MinkowskRho Wasopriestory R1;1
a R1;2
s na nich toti[ zobrazenR skreslene
prostredn ctvom euklidovskej geometrie. To vidno napr. u[ z toho, [e WasovR vektory
rovnakej d [ky s zobrazenR ako vektory nerovnakej euklidovskej d [ky. Len na okraj
poznamenajme, [e napr. na jednom diele hyperboloidu x2
0 ,x2
1 ,x2
2 = r2
v R1;2
sa
realizuje dvojrozmern Bolyaiho-LobaWevskRho geometria, zo zrejmbch d]vodov nazb-
van tie[ hyperbolickou, ktor je historicky prvbm zn mym pr kladom neeuklidovskej
geometrie. t dium podobnbch, nesporne zauj mavbch ot zok v ak u[ nie je predme-
tom tohto kurzu.
16.3. Inerci lny pozorovate a jeho vz a[n s stava
Inerci lneho pozorovate a v MinkovskRho Wasopriestore V si predstavujeme ako rovno-
merne priamoWiaro sa pohybuj ceho, Wertovsky malRho presnej ie bodovRho trpas-
l ka, vybavenRho hodinkami a metrom. Matematicky v ak nebudeme zav dza ni-
jakbch inerci lnych trpasl kov plne vystaW me s dr hami, ktorR opisuj vo V.
8 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Na zaWiatok si uvedomme, ak dr hu opisuje v R1;n
nehybnb bod. KeS[e Was
neust le plynie, i nehybnb bod sa v R1;n
"pohybuje a to po "zvislej priamke
s rovnicami x1 = p1, ::: , xn = pn, kde p1;:::;pnT s jeho priestorovR s radnice
v niektorom okamihu p0. Jej smerovb vektor je e0 = 1;0;:::;0T . A ak dr hu
v R1;n
opisuje bod pohybuj ci sa rovnomerne priamoWiaro rbchlos ou v so zlo[kami
v1;:::;vn v smere jednotlivbch os x1;:::;xn? Zrejme je to priamka s parametric-
kbmi rovnicami x0 = t, x1 = p1 + v1t, ::: , xn = pn + vnt, kde p1;:::;pnT s jeho
priestorovR s radnice v okamihu t = 0. Jej smerovb vektor m tvar 1;v1;:::;vnT .
To si najlep ie zn zorn me v R1;2
, keS si zvol me os x1 v smere vektora rbchlosti v,
teda v = v1;0T . Situ cia pre p1 = p2 = 0 je zn zornen na obr zku. Ked[e rbchlos
pohybu hmotnRho bodu je men ia ne[ rbchlos svetla, t.j. jv1j 1, na a priamka le[
"vovn tri svetelnRho ku[e a. Vo v eobecnom pr pade m me v2
1 + ::: + v2
n 1, Wi[e
1;v1;:::;vnT je Wasovb vektor.
Teraz si uvedomme, [e na e ot zky boli chybne polo[enR. Hovori o nehybnom
alebo pohybuj com sa pozorovate ovi ako takom ned va rozumnb fyzik lny zmysel.
Neexistuje absol tny k ud ani absol tny pohyb, ale k ud i pohyb s relat vne. Ne-
jakb fyzik lny objekt m][e by v k ude alebo v pohybe len vzh adom na nejakb
inb objekt. Aspo tak n s to uW klasick mechanika od Wias Galileovbch. Aj tak
v ak z na ich chybne polo[enbch ot zok mo[no vy a[i netrivi lny poznatok: iner-
ci lni pozorovatelia sa v MinkowskRho Wasopriestore pohybuj po priamkach s Wasovbmi
smerovbmi vektormi.
SvetoWiarou inerci lneho pozorovate a, alebo len inerci lnou svetoWiarou nazbvame
ubovo n orientovan priamku t.j. jednorozmernb a nnb podpriestor vo V tvaru
p + a , kde p 2 V je svetobod a a 2 V je Wasovb vektor, Wi[e ha;ai 0, spolu
s orient ciou zadanou vektorom a. T to svetoWiaru budeme znaWi WLp;a z an-
glickRho world line. Jej orientovanos znamen , [e opaWne orientovan svetoWiaru
WLp;,a pova[ujeme za r]znu od WLp;a, hoci ako mno[iny bodov predstavuj
t ist priamku.
Tu treba upozorni na Sal ie skreslenie, id ce na vrub zobrazenia v euklidovskej
geometrii. SvetoWiara WL0;e0 v R1;2
je zobrazen ako os svetelnRho ku[e a LC0,
kbm svetoWiara WL0;a s inbm Wasovbm vektorom a vedie akoby bli[ ie popri jeho
okraji. Z postul tu st losti rbchlosti svetla v ak vyplbva, [e svetoWiary v etkbch iner-
ci lnych pozorovate ov "maj rovnako Saleko k okraju svetelnRho ku[e a .
SvetoWiara WLp;a inerci lneho pozorovate a predstavuje jeho "vlastnb tok Wasu
a nie jeho pohyb ten je mo[nb len vzh adom na inRho inerci lneho pozorovate a.
16. aVOD DO PECI LNEJ TE_RIE RELATIVITY 9
Orient cia svetoWiary zodpoved orient cii Wasu z minulostido bud cnosti prostried-
kami peci lnej te rie relativity ju v ak nemo[no odl i od orient cie z bud cnosti do
minulosti, presnej ie, rozhodn , ktor z nich je "t prav . Mo[no v ak rozhodn , Wi
s dve inerci lne svetoWiary orientovanR s hlasne alebo nes hlasne, t.j. Wi ich vlastnR
Wasy plyn tbm istbm alebo opaWnbm smerom.
PasovR vektory a, b sa nazbvaj s hlasne orientovanR, ak ha;bi 0; ak ha;bi 0,
hovor me, [e a, b s nes hlasne orientovanR. Samostatne si dok [te, [e pr pad
ha;bi = 0 nem][e nasta . Inerci lne svetoWiary WLp;a, WLq;b s potom s hlas-
ne resp. nes hlasne orientovanR pr ve vtedy, keS s s hlasne resp. nes hlasne orien-
tovanR ich WasovR vektory. KeS[e ha;ai 0 a vektory x, pre ktorR ha;xi = 0, tvoria
nadrovinu a ? odde uj cu obe "polovice svetelnRho ku[e a LC0, s hlasn orient -
cia Wasovbch vektorov a, b znamen , [e le[ia "vovn tri tej istej polovice svetelnRho
ku[e a LC0; nes hlasne orientovanR WasovR vektory potom le[ia "vovn tri opaWnbch
polov c LC0.
Form lne mo[no svetoWiary WLp;a zavies rovnako pre ubovo nR vektory a 6= 0
vo V. Obmedzenie sa na WasovR smerovR vektory je d]sledkom postul tu, pod a
ktorRho sa v etky hmotnR objekty pohybuj rbchlos ou men ou ne[ rbchlos svetla.
SvetoWiary tvaru WLp;a, kde a je svetelnb vektor, t.j. ha;ai = 0, predstavuj
pohyb svetelnou rbchlos ou takto sa v ak m][u pohybova len nehmotnR Was-
tice presnej ie, Wastice s nulovou k udovou hmotnos ou, napr. fot ny. SvetoWiary
tvaru WLp;a, kde a je priestorovb vektor, t.j. ha;ai 0, by zodpovedali pohybu
nadsvetelnou rbchlos ou, teda aspo v r mci peci lnej te rie relativity nemaj
fyzik lny vbznam. Hoci o Wasticiach pohybuj cich sa nadsvetelnbmi rbchlos ami, tzv.
tachy noch, sa v teoretickej fyzike st le pekuluje, v etky doteraj ie pokusy objavi
ich skonWili ne spe ne.
Pohyb m pod a na ich fyzik lnych predst v v[dy relat vny charakter. V abstrakt-
nom MinkowskRho Wasopriestore, kde nem me privilegovan Wasov os, s v etky iner-
ci lne svetoWiary rovnocennR. Pokia teda budeme hovori o pohybe inerci lneho po-
zorovate a, v[dy p]jde o jeho pohyb vzh adom na inRho inerci lneho pozorovate a. Na
druhej strane, niektorR vlastnosti pohybu s absol tne. V MinkowskRho Wasopriestore
V je to napr. vlastnos "pohybova sa rovnomerne priamoWiaro t.j. opisova iner-
ci lnu svetoWiaru vo V, a v d]sledku toho tie[ vlastnos "pohybova sa premennou
rbchlos ou . SvetoWiara hmotnRhobodu v MinkowskRhoWasopriestoreV pohybuj ceho
sa premennou rbchlos ou toti[ nie je inerci lna. Zmena rbchlosti sa prejav zakriven m
pr slu nej svetoWiary. Nako ko v ak okam[it rbchlos pohybu hmotnRho bodu je v[dy
men ia ne[ rbchlos svetla, dotykovb vektor k takejto svetoWiare v ka[dom jej sveto-
bode p je Wasovb, t.j. le[ "vovn tri svetelnRho ku[e a LCp.
Okam[itbm fyzik lnym priestorom inerci lneho pozorovate a nach dzaj ceho sa
v svetobode q svojej svetoWiary WLp;a nazbvame a nnb podpriestor q+ a ? Min-
kowskRho Wasopriestoru V; ka[db z tbchto a nnbch podpriestorov potom nazbvame
okam[itbm fyzik lnym priestorom svetoWiary WLp;a.
KeS[e a je zrejme maxim lny kladne de nitnb line rny podpriestor vo V, jeho
ortokomplement a ? je pod a tvrdenia 16.1.3 z porne de nitnb a pod a 16.1.2 plat
V = a  a ?. Na a ? sa budeme d va ako na euklidovskb priestor vybavenb
skal rnym s Winom ,hx;yi a normou kxk =
p,hx;xi. Uvedomme, [e okam[itR
fyzik lne priestory p + a ? n ho inerci lneho pozorovate a s vlastne tvorenR tbm
istbm euklidovskbm priestorom a ?
"un anbm tokom jeho Wasu pozd [ jeho sve-
10 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
toWiary a dohromady vytv raj celb MinkowskRho Wasopriestor V = p + a + a ?.
V etky udalosti v okam[itom fyzik lnom priestore p+ a ? sa z h adiska pr slu nRho
inerci lneho pozorovate a odohr vaj s Wasne. On s m v ak nem ako odl i svoj
stav od k udu, teda pre ho je jeho okam[itb fyzik lny priestor st le ten istb a splbva
so zameran m a ? jeho okam[itRho fyzik lneho priestoru. Preto a ? predstavuje
subjekt vny fyzik lny priestor inerci lneho pozorovate a so svetoWiarou WLp;a. Pre
inerci lneho pozorovate a s inbm Wasovbm vektorom b =2 a v ak plat a ? 6= b ?,
Wi[e udalosti s WasnR pre jednRho z nich sa tak nemusia javi druhRmu.
Pre a 6= 0 v R1;1
je a ? priamka s merne zdru[en s priamkou a pod a osi
x0 = x1 alebo, Wo je to istR, pod a osi x0 = ,x1. Teda okrem pr padu, keS a le[
v smere niektorej z os x0, x1, priamky a , a ? nie s na seba euklidovsky kolmR.
Nakreslite si obr zok! Ualej si rozmyslite, ako je rovina a ?
"s merne zdru[en
s priamkou a pod a svetelnRho ku[e a v R1;2
.
K danej svetoWiare WLp;a inerci lneho pozorovate a v MinkowskRho Wasoprie-
store V existuje jednoznaWne urWenb vektor a0 = ha;ai,1=2a takb, [e WLp;a =
WLp;a0 a ha0;a0i = 1, ktorb nazbvame jej Wasovbm pom alebo pom Wasu vo
fyzike sa v MinkovskRho Wasopriestore R1;3
pou[ va tie[ n zov tvorrbchlos . To
znamen , [e parameter t vo vyjadren svetobodov x = p+ ta0 svetoWiary WLp;a0
mo[no skutoWne interpretova ako vlastnb Was pr slu nRho inerci lneho pozorovate a,
poW tanb od udalosti p. Nech Salej a1;:::;an je nejak ortonorm lna b za pod-
priestoru a0
?. Potom = a0;a1;:::;an je zrejme ortonorm lna b za pseu-
doeuklidovskRho priestoru V s Gramovou maticou G  = diag1;,In, nazbvanou
tie[ MinkowskRho symbol alebo MinkowskRho metrickb tenzor. Tak to b zu nazb-
vame inerci lnou b zou svetoWiary WLp;a a k nej prisl chaj cu s stavu s rad-
n c nazbvame inerci lnou s radnou s stavou. Pre vektory x;y 2 V so s radnicami
x = x0;x1;:::;xnT , y = y0;y1;:::;ynT potom plat
hx;yi = x0y0 ,x1y1 ,:::,xnyn;
Wi[e pseudoskal rny s Win vo V nadob da tvar tandardnRho pseudoskal rneho s Winu
v R1;n
. E te si v imnite, [e na rozdiel od WasovRho pu a0 priestorovR vektory
a1;:::;an uvedenej b zy nie s urWenR jednoznaWne, teda vo v eobecnosti existuje
mnoho r]znych inerci lnych b z spojenbch s danbm inerci lnym pozorovate om.
Fyzik lne si pod pom Wasu a0 inerci lnej b zy a0;a1;:::;an treba predstavo-
va hodinky, ktorbmi n trpasl k meria Was, a pod priestorovbmi vektormi a1;:::;an
16. aVOD DO PECI LNEJ TE_RIE RELATIVITY 11
s stavu n navz jom kolmbch kovovbch tyW jednotkovej d [ky pevne zvarenbch v jed-
nom spoloWnom koncovom bode, ktorR sl [ia na xovanie jednotlivbch s radnbch os
a meranie vzdialenost v ich smeroch v "na om Wasopriestore, samozrejme, n = 3.
Nasleduj ce zrejmR tvrdenie dodatoWne opr v uje sp]sob, akbm sme de novali
okam[itR fyzik lne priestory a subjekt vny priestor inerci lneho pozorovate a.
16.3.1. Tvrdenie. Nech WLp;a je svetoWiara inerci lneho pozorovate a s Wasovbm
pom a0 a = a0;a1;:::;an je jej ubovo n inerci lna b za. Pre ubovo nR
udalosti x;y 2 V so s radnicami x = x0;x1;:::;xnT , y = y1;y2;:::;ynT
nasleduj ce podmienky s ekvivalentnR:
i x0 = y0, t.j. x, y s s WasnR udalosti vzh adom na na vz a[n s stavu ;
ii x,y patriado toho istRhookam[itRho fyzik lneho priestorusvetoWiary WLp;a;
iii x,y 2 a ?, Wi[e ha;x,yi = 0.
16.4. Paradox dvojWiat
N vbklad zaWneme malbm doplnkom k obr tenej Cauchyho-Schwartzovej nerovnosti
z tvrdenia 16.1.4.
16.4.1. Tvrdenie. Nech V je MinkovskRho Wasopriestor a aspo jeden z vektorov
u;v 2 V je Wasovb. Potom
hu;vi2
 hu;uihv;vi;
priWom rovnos nastane pr ve vtedy, keS vektory u, v s line rne z vislR.
D]kaz. Nech napr. u 6= 0 je Wasovb vektor. Potom u je maxim lny kladne de nitnb
line rny podpriestor vo V, teda u ? je z porne de nitnb podpriestor pod a tvrde-
nia 16.1.3 a V = u  u ? pod a tvrdenia 16.1.2. Preto v = au+z pre jednoznaWne
urWenb skal r a a vektor z 2 u ?. Z vah o ortogonaliz cii, pr padne priamym vbpoW-
tom dostaneme
jGu;vj = jGu;zj = hu;uihz;zi:
Z toho vyplbva, [e podpriestor u;v = u;z je singul rny pr ve vtedy, keS z = 0,
t.j. pr ve vtedy, keS u, v s line rne z vislR. Preto ak u, v s line rne nez vislR, tak
podpriestor u;v je inde nitnb, a po[adovanb z ver vyplbva z tvrdenia 16.1.4c.
D]sledkom pr ve dok zanRho tvrdenia je nasleduj ca "obr ten trojuholn kov
nerovnos .
16.4.2. D]sledok. Nech u, v s s hlasne orientovanR WasovR vektory v MinkovskRho
Wasopriestore V. Potom aj u+ v je Wasovb vektor a plat
ku+ vk  kuk+ kvk;
priWom rovnos nastane pr ve vtedy, keS u, v s line rne z vislR.
D]kaz. KeS[e hu;vi  0, priamym vbpoWtom dost vame
hu+ v;u+ vi = hu;ui +2hu;vi + hv;vi
 kuk2
+ 2kukkvk+ kvk2
=
,kuk+ kvk
2
;
priWom rovnos zrejme nastane pr ve vtedy, keS hu;vi2
= hu;uihv;vi.
12 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Predstavme si teraz dvoch pozorovate ov-dvojWat . Nazvime ich treb rs Kbblik a
Spachto . Jeden z nich, dajme tomu Spachto , je inerci lny a celb Was n ho rozpr -
vania presp doma. Druhb z nich, Kbblik, sa vyberie na vesm rny vblet raketou. Ne-
jakb Was sa vzSa uje rovnomerne zrbchlenbm pohybom, po dosiahnut istej dos ve kej
rbchlosti sa dlho pohybuje rovnomerne priamoWiaro, potom zaWne brzdi a po dosiah-
nut nulovej rbchlosti obr ti svoju vesm rnu loS a zaWne sa vraca domov na Zem
najprv rovnomerne zrbchlenbm pohybom naberie ist ve k rbchlos , ktorou potom
dlho let rovnomerne priamoWiaro, a keS sa pribl [i k Zemi, zaWne brzdi , a[ napokon
pristane doma na priedom , kde ho u[ Wak Spachto , ktorb sa pr ve zobudil a vy iel
von nadbcha sa WerstvRho vzduchu. Uk [eme si, [e Kbblik je po n vrate mlad ne[
Spachto , Wi[e z jeho h adiska uplynul krat Was ne[ z h adiska jeho spiaceho brata.
Pr slu nR seky svetoWiar oboch bratov s zn zornenR na obr zku v avo. Kbm
Spachto ov sek je Was ou inerci lnej svetoWiary, Kbblikov sek je neinerci lny
parabolicky zakrivenR seky zodpovedaj zrbch ovaniu resp. brzdeniu rakety, priame
letu st lou rbchlos ou. Ak zrbch ovanie a brzdenie trv v porovnan s rovnomernbm
priamoWiarym letom zanedbate ne kr tko, pr slu nb sek Kbblikovej svetoWiary mo[no
pre na e Wely dostatoWne presne aproximova fyzik lne neuskutoWnite nou lomenou
svetoWiarou na obr zku vpravo. Jej seky zodpovedaj vektorom u, v. Spachto ov
sek potom zodpoved vektoru u+v. Zo Spachto ovho poh adu uplynie Was ku+vk,
kbm z Kbblikovho kuk + kvk. KeS[e, ako uvid me, u, v s s hlasne orientovanR
WasovR vektory, pod a pr ve dok zanRho d]sledku plat ku+ vk  kuk+ kvk.
Cel situ ciu mo[no pop sa v R1;1
. Ak si oznaW me v ve kos rbchlosti Kbblikovej
rakety v rovnomernbch priamoWiarych sekoch, a t Was Spachto ovho sp nku, m me
u = t=2;vt=2, v = t=2;,vt=2, u+ v = t;0 a hu;vi = t2
1 + v2
=4 0, Wi[e u,
v s s hlasne orientovanR. Jednoduchbm vbpoWtom mo[no dosta presnej odhad
kuk+ kvk = t
p
1 ,v2 t = ku+ vk:
Pomer vlastnbch Wasov oboch bratov teda z vis na rbchlosti v.
N zvom paradox dvojWiat sa zvykne oznaWova zdanlivb rozpor, ktorb vznik , ak
sa na uveden situ ciu pok ame neuv [ene aplikova relativistickb princ p ekviva-
lencie ubovo nbch inerci lnych s stav. Ak toti[ zabudneme, [e Kbblikova svetoWiara
je neinerci lna, a zaWneme cel situ ciu posudzova z jeho h adiska, vyjde n m, [e
by nakoniec mal by mlad vzh adom na Kbblika sa pohybovav Spachto . K tejto
ot zke sa e te vr time v paragrafe 16.6, venovanom dilat cii Wasu.
16. aVOD DO PECI LNEJ TE_RIE RELATIVITY 13
16.5. Relat vna rbchlos dvoch inerci lnych pozorovate ov
Uva[ujme dvoch inerci lnych pozorovate ov so svetoWiarami WLp;a, WLq;b
v MinkowskRho Wasopriestore V a kv]li jednoduchosti predpokladajme, [e vektory a,
b s ich py Wasu, t.j. ha;ai = hb;bi = 1.
SvetoWiara WLq;b druhRho inerci lneho pozorovate a pret na okam[itb fyzik lny
priestor p + ta + a ? prvRho pozorovate a vo svetobode q + t0b, kde t0 n jdeme
z podmienky q + t0b ,p + ta 2 a ?, Wi[e
0 = ha;q + t0b,p,tai = ha;bit0 + ha;q ,pi ,ha;ait = ha;bit0 + ha;q ,pi,t:
Z toho vyplbva
t0 = t,ha;q ,pi
ha;bi :
Z poh adu prvRho inerci lneho pozorovate a, t.j. v jeho subjekt vnom fyzik lnom
priestore a ?, tomuto okamihu zodpoved poloha
q + t0b,p + ta = q ,p , ha;q ,pi
ha;bi b+ t
ha;bib,ta
druhRho inerci lneho pozorovate a.
NejakRmu WasovRmu intervalu t = t2 , t1 prvRho inerci lneho pozorovate a tak
zodpoved Wasovb interval
t0 = t0
2 ,t0
1 = t2 ,t1
ha;bi = t
ha;bi
druhRho z nich. Za ten Was sa poloha druhRho pozorovate a v subjekt vnom fyzik lnom
priestore a ? prvRho zmen o priestorovbvektor t,ha;bi,1b,a
2 a ?. Priestorovb
vektor
v = ha;bi,1b,a 2 a ?
potom samozrejme predstavuje rbchlos , akou sa druhb inerci lny pozorovate po-
hybuje v subjekt vnom fyzik lnom priestore prvRho. KeS[e v nez vis od Wasu t,
pohyb druhRho inerci lneho pozorovate a sa prvRmu skutoWne jav ako rovnomernb
priamoWiary. Pre ve kos tejto rbchlosti plat
v = kvk =
p
,hv;vi =
p
,ha;bi,2hb;bi + 2 ,ha;ai =
p
1 ,ha;bi,2:
Teda ve kos v rbchlosti, ktorou sa z poh adu prvRho inerci lneho pozorovate a po-
hybuje druhb z nich mo[no vyjadri pomocou pseudoskal rneho s Winu ha;bi ich
Wasovbch pov a, b. Taktie[ naopak, pseudoskal rny s Win ha;bi mo[no a[ na zna-
mienko vyjadri pomocou ve kosti relat vnej rbchlosti v:
jha;bij = 1p
1 ,v2
;
v Wom Witate asi spozn zn my Lorentzov koe cient, hoci vo fyzike ho Wastej ie za-
pisujeme v tvare 1p1,v=c2
, kde c je rbchlos svetla. Zrejme princ p medznej hodnoty
14 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
rbchlosti svetla je ekvivalentnb s po[iadavkou re lnosti a koneWnosti tohto vbrazu. Ak
navy e prijmeme prirodzenb predpoklad, [e a, b s s hlasne orientovanR, dostaneme
ha;bi = 1p
1 ,v2
:
E te podotknime, [e ak by sme si na zaWiatku nezjednodu ili [ivot podmienkou
ha;ai = hb;bi = 1, Wi[e za a, b by sme si vzali ubovo nR s hlasne orientovanR WasovR
vektory, posledn rovnos by sme dostali v tvare
ha;bi
kakkbk = 1p
1 ,v2
;
Wo na z klade anal gie s euklidovskbmi priestormi navodzuje my lienku, [e Lorentzov
koe cient predstavuje "kos nus akRhosi "pseudouhla vektorov a, b. KeS[e je v ak
uvedenb vbraz v[dy  1, o obyWajnb kos nus uhla s nem][e. Zvy ok paragrafu je
venovanb upresneniu tbchto vah.
Z Eulerovbch vz ahov
ei
= cos +isin ; e,i = cos ,isin ;
ktorR tu nebudeme odvodzova , vyplbvaj nasleduj ce vyjadrenia goniometrickbch
funkci pomocou exponenci ly imagin rneho argumentu
cos = ei
+e,i
2 ; sin = ei
,e,i
2i
pre ubovo nR 2 R. Funkcie hyperbolickb kos nus a hyperbolickb s nus s de novanR
re lnou anal giou uvedenbch rovnost
cosh = e +e,
2 ; sinh = e ,e,
2
pre ubovo nR  2 R.
V etko, Wo potrebujeme v tejto chv li vedie , je jednotkovb vz ah
cosh2
 ,sinh2
 = 1
overte si samostatne jednoduchbm vbpoWtom, z ktorRho vyplbva, [e v etky dvojice
cosh;sinh le[ia na jednej vetve rovnoosej hyperboly x2
, y2
= 1, x  1, a [e
ka[db bod x;y tejto vetvy m uvedenb tvar. Naozaj, staW polo[i  = lnx + y.
Druh vetva x  ,1 tejto hyperboly je tvoren dvojicami ,cosh;sinh, pre
 2 R.
Pre s hlasne orientovanR WasovR vektory a, b potom existuje jednoznaWne urWenR
re lne W slo , nazbvanR tie[ hyperbolickb uhol vektorov a, b, takR, [e
cosh = ha;bi
kakkbk = 1p
1,v2
; sinh =
p,jGa;bj
kakkbk = vp
1 ,v2
:
ExplicitnR vyjadrenie pre  je
 = ln
ha;bi+
p,jGa;bj
kakkbk = ln
r1 + v
1 ,v:
16. aVOD DO PECI LNEJ TE_RIE RELATIVITY 15
16.6. Relativistick dilat cia Wasu
Ako sme odvodili v predo lomparagrafe, pre Wasovb sek t0 druhRhoinerci lnehopo-
zorovate a, ktorb zodpoved WasovRmu seku t s n m s hlasne orientovanRho prvRho
pozorovate a, plat
t0 = t
ha;bi = t
p
1 ,v2;
teda t0  t, priWom rovnos nastane pr ve vtedy, keS v = 0, Wo je ekvivalentnR
s rovnos ou ha;bi = 1, a na z klade tvrdenia 16.4.1 s line rnou z vislos ou Wasovbch
pov a, b, Wo v tomto pr pade znamen a = b. Z h adiska prvRho pozorovate a,
ktorb s m seba pova[uje za nehybnRho, tak medzi dvoma okamihmi t1 a t2 uplynie
dlh Was, ne[ z h adiska druhRho pozorovate a medzi okamihmi t01, t02, v ktorbch sa
tento pozorovate nach dza v okam[itbch fyzik lnych priestoroch p+t1a+ a ?, resp.
p+t2a+ a ? prvRho. Tento efekt sa nazbva relativistickR spomalenie, pr padne rela-
tivistick dilat cia Wasu.
V uvedenej rovnosti sa v ak skrbva zdanlivb paradox, niekedy nazbvanb paradox
Wasu. Z matematickbch d]vodov symetrie ako aj z fyzik lnych d]vodov rovnocennosti
inerci lnych s stav by malo takisto plati
t = t0
ha;bi = t0p
1 ,v2;
teda t  t0. Potom nevyhnutne t = t0, v = 0 a ha;bi = 1, t.j. a = b pre
ubovo nR s hlasne orientovanR WasovR py a, b, Wo je zrejmb nezmysel. Teda niekde
v na ich vah ch je asi chyba. Odhali ju nie je a[ takR a[kR. Pasovb okamih prvRho
inerci lneho pozorovate a, zodpovedaj ci WasovRmu okamihu t0 druhRho inerci lneho
pozorovate a z poh adu druhRho pozorovate a, nie je p]vodnb okamih t, ale okamih
t00 = t0 ,hb;p,qi
ha;bi = t,ha;q ,pi + ha;bihb;p,qi
ha;bi2
:
Teda WasovRmu intervalu t0 = t02 ,t01 druhRho inerci lneho pozorovate a zodpoved
z jeho poh adu Wasovb interval
t00 = t0
ha;bi = t
ha;bi2
;
a nie t, prvRho pozorovate a. Situ cia pre peci lny pr pad p = q = 0, t1 = 0,
t2 = t = t je zn zornen na obr zku v R1;1
.
16 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Na obr zku n m asi udrie do oW , [e d [ka vektora t0b je vTW ia ako d [ka vektora
ta, aj keS kt0bk = t0 = t
p
1 ,v2 t = ktak. Neza kod preto znova pripomen ,
[e vzdialenosti, ktorR n m vnucuje obr zok, s euklidovskR, netreba ich preto bra
v [ne geometria MinkowskRho Wasopriestoru je toti[ neeuklidovsk . Z h adiska tejto
geometrie s rovnako dlhR napr. vektory ta a tb ich "konce le[ia na tej istej hyper-
bole.
Experiment lny d]kaz dilat cie Wasu poskytuj -mez ny, zvanR tie[ mi ny nieWo
ako " a[kR elektr ny  element rne Wastice s ve mi kr tkou priemernou dobou [ivota
asi 2;210,6s. Mi ny vznikaj vplyvom prim rneho kozmickRho [iarenia v hornbch
vrstv ch atmosfRry t.j. vo vb kach 10 a viac km a prilietaj ve kbmi rbchlos ami a[
0;998 rbchlosti svetla na zemskb povrch. Za Was 2;2  10,6s by v ak ani rbchlos ou
svetla c  300000kms,1 nemali preletie viac ne[ 660m. Z h adiska pozemskRho po-
zorovate a v ak Wasu t0 v s stave letiaceho mi nu zodpoved Was t = t0=p
1 ,v2,
kde v je jeho rbchlos v pomere k rbchlosti svetla. NameranR hodnoty priemernej doby
[ivota mi nov pri r]znych rbchlostiachWi u[ v kozmickbch l Woch alebo v pozemskbch
urbch ovaWoch sa so znaWnou presnos ou zhoduj s uvedenbm vz ahom. Napr klad
vlastnRmu Wasu 2;2  10,6s v s stave mi nu letiaceho rbchlos ou 0;998c, zodpoved
v s stave pozemskRho pozorovate a Was asi 34;8  10,6s, za ktorb mi n prelet dr hu
pribli[ne 10;4km.
V imnite si, [e vo formule pre dilat ciu Wasu vystupuje rovnakb koe cient
p
1 ,v2
ako v pribli[nom kvantitat vnom odhade z paradoxu dvojWiat. Navy e dilat cia Wasu
je popri neinerci lnosti Kbblikovej svetoWiary naozaj spoluzodpovedn za jeho
"pomal ie starnutie . To s d]vody, pre ktorR sa oba tieto efekty Wasto plet . E te
st le sa mo[no z Wasu na Was stretn s naivnou kritikou peci lnej te rie relativity,
ktor si berie na mu ku pr ve paradox dvojWiat a pou[ va pri tom u[ spom nanb
argument,akbm mo[no zdanlivo spochybni dilat ciu Wasu: "KeS[e pohyb je relat vny,
m][eme rovnako dobre z Kbblikovho h adiska pova[ova Spachto a za pohybuj ceho
sa a Kbblika za nehybnRho. Potom by mal viac zostarn Kbblik. Podobn symetria
tu v ak nem miesto. Aby sa mohli Kbblik a Spachto , opisuj ci najprv t ist sveto-
Wiaru, rozdeli a potom opT stretn , mus sa aspo  jeden z nich v istbch sekoch
svojej svetoWiary "zneinerci lni , t.j. pohybova sa so zrbchlen m. Rozdiel medzi iner-
ci lnou Spachto ovou a neinerci lnou Kbblikovou svetoWiarou m tak v protiklade
k na im inerci lnym pozorovate om z tohto paragrafu absol tny charakter a rozdiel
veku sa pri stretnut oboch bratov prejav "hmatate ne .
Tento efekt bol potvrdenb aj experiment lne neexperimentovalo sa v ak s dvojWa-
tami ale s ve mi presnbmi hodinami, meraj cimiWas pomocou oscil ci v elektr novom
obale at mov cRzia. tvoro cRziovbch hod n obletelo Zem v dvoch pr dovbchlietadl ch
dvojo v smere od z padu na vbchod, dvojo v smere od vbchodu na z pad a po
pr lete ich porovnali s referenWnbmi hodinami, ktorR zostali "doma v N mornom
observat riu v USA. NameranR WasovR rozdiely sa ve mi dobre zhodovali s hodnotami
predpovedanbmi te riou. Poznamenajme v ak, [e vzh adom na Winky rot cie a gra-
vitaWnRho po a Zeme je re lna situ cia podstatne zlo[itej ia ne[ n umelb pr klad
s Kbblikom a Spachto om, a jej matematickb popis si vy[aduje i Wo-to zo v eobecnej
te rie relativity. V skutoWnosti v porovnan s pozemskbmi hodinami "omladli len
hodiny, ktorR leteli smerom na vbchod o 591010,9s; naopak hodiny, ktorR leteli
na z pad, v porovnan s pozemskbmi hodinami dokonca "zostarli o 273710,9s.
Teoretick predpoveS d vala hodnoty 40 23 10,9s, resp. 275 21 10,9s.
16. aVOD DO PECI LNEJ TE_RIE RELATIVITY 17
16.7. Lorentzova transform cia
Vr me sa e te raz k na im inerci lnympozorovate om v MinkowskRhoWasopriestoreV
so s hlasne orientovanbmi Wasovbmi pmi a, b. OznaWme a0 = a, b0 = b a predpokla-
dajme, [e = a0;a1;:::;an, = b0;b1;:::;bn s inerci lne b zy prisl chaj ce
ich svetoWiaram WLp;a resp. WLq;b. Lorentzova transform cia z inerci lnej b zy
do inerci lnej b zy je transform cias radn cvzh adom na tieto b zy, t.j. line rne
zobrazenie ': R1;n
! R1;n
takR, [e
u = 'u
pre ka[dR u 2 V, alebo, Wo je to istR,
x = 'x
pre ka[dR x 2 R1;n
. Z uvedenbch vz ahov okam[ite vidno, [e Lorentzova transform -
cia ' je danbmi b zami , jednoznaWne urWen a jej matica vzh adom na kanonick
ortonorm lnu b zu " = e0;e1;:::;en v R1;n
je z rove maticou prechodu z b zy
do b zy , t.j.
'";" = P ; :
16.7.1. Tvrdenie. Nech ' je Lorentzova transform cia z inerci lnej b zy do
inerci lnej b zy v MinkowskRho Wasopriestore V. Potom pre ubovo nR vektory
x;y 2 R1;n
plat
h'x;'yi = hx;yi:
Inbmi slovami, Lorentzova transform cia zachov va tandardnb pseudoskal rny s Win.
D]kaz. Nech x;y 2 R1;n
. Vzh adom na vbber b z , plat
h'x;'yi = h 'x; 'yi = h x; yi = hx;yi;
priWom v dvoch krajnbch vbrazoch ide o tandardnb pseudoskal rny s Win v R1;n
,
kbm v dvoch vn tornbch vbrazoch o pseudoskal rny s Win vo V.
Ak ' je Lorentzova transform cia z inerci lnej b zy do inerci lnej b zy , ktorR
prisl chaj svetoWiaram WLb;q resp. WLp;a, priWom na i pozorovatelia si za
poWiatky odpoWtu svojich s radn c zvolili udalosti q resp. p, tak vz ah medzi s radni-
cami ubovo nej udalosti z 2 V v takto zvolenbch inerci lnych s radnbch systRmoch
ud va a nn transform cia
z ,p = 'z ,q ;
nazbvan tie[ PoincarRho transform ciou.
Prenikn do trukt ry Lorentzovbch transform ci mo[no tak, [e pop eme truk-
t ru ich mat c. To je vo v eobecnom pr padepomerne n roWn loha.Uk [eme si v ak,
[e danR s hlasne orientovanR WasovR py a = a0, b = b0 mo[no v[dy vhodne doplni
do inerci lnych b z = a0;a1;:::;an, = b0;b1;:::;bn tak, [e vzh adom na
ne m matica Lorentzovej transform cie z do obzvl jednoduchb a preh adnb
tvar P ; = diagLv;In,1, kde Lv 2 R22
je matica Lorentzovej transform cie
18 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
MinkowskRho Wasopriestoru R1;1
, ktorej prvky mo[no vyjadri vbluWne pomocou
ve kosti v relat vnej rbchlosti uva[ovanbch inerci lnych pozorovate ov. V takom pr -
pade hovor me o tzv. peci lnej Lorentzovej transform cii.
Ak a = b, n jdeme ubovo n ortonorm lnu b zu = Wasopriestoru V s prvbm
Wlenom a0 = b0. Lorentzova transform cia z do je potom identickR zobrazenie
s maticou P ; = In+1.
Ak a 6= b, tak ide o nez vislR vektory. V d]kaze tvrdenia 16.4.1 sme uk zali, [e a;b
je inde nitnb podpriestor vo V. Preto existuje a1 2 a;b takR, [e a0;a1 je ortonor-
m lna b za podpriestoru a;b . Potom nevyhnutne a1 2 a ? je priestorovb vektor.
Rovnako existuje b1 2 a;b b ? takR, [e b0;b1 je ortonorm lnab za podpriestroru
a;b . Ak si oznaW me a2 = b2, ::: , an = bn ubovo n ortonorm lnu b zu z porne
de nitnRho podpriestoru a;b ?, tak = a0;a1;:::;an a = b0;b1;:::;bn s
inerci lne b zy, ktorR maj poslednbch n,1 Wlenov rovnakbch. Ich matica prechodu
m tvar P ; = diagPa;b;In,1, kde Pa;b 2 R22
oznaWuje maticu prechodu z b zy
b0;b1 do b zy a0;a1 , ktor vyjadr me explicitne. Na ten Wel staW pozna vektory
a1, b1.
V paragrafe 16.5 sme odvodili tvar vektora v rbchlosti, ktorou sa v subjekt vnom
fyzik lnom priestore inerci lnehopozorovate a s Wasovbm pom a pohybuje inerci lny
pozorovate s Wasovbm pom b:
v = ha;bi,1b,a:
KeS[e v 2 a;b a ? a dim
, a;b a ? = 1, staW polo[i
a1 = v,1v = ha;bi,1b,ap1 ,ha;bi,2 = b,ha;biapha;bi2 ,1
:
S vyu[it m symetrie lohy mo[no p sa
b1 = ,ha;bi,1a+ bp1 ,ha;bi,2 = ,a+ ha;bibpha;bi2 ,1
:
Z rovnosti pre a1 si vyjadr me
b0 = b = ha;bia0 +
p
ha;bi2 ,1a1;
Wo po dosaden do rovnosti pre b1 a malbch prav ch d va
b1 =
p
ha;bi2 ,1a0 + ha;bia1:
To znamen , [e
b0;b1 = a0;a1 
0
@
ha;bi
pha;bi2 ,1
pha;bi2 ,1 ha;bi
1
A:
Ak si e te spomenieme na vz ah medzi pseudoskal rnym s Winom ha;bi a ve kos ou
rbchlosti v, dostaneme dvojakR vyjadrenie matice prechodu Pa;b alias Lorentzovej
transform cie Lv:
Pa;b =
0
@
ha;bi
pha;bi2 ,1
pha;bi2 ,1 ha;bi
1
A=
0
B@
1p
1 ,v2
vp
1 ,v2
vp
1 ,v2
1p
1 ,v2
1
CA= Lv:
16. aVOD DO PECI LNEJ TE_RIE RELATIVITY 19
Po substit cii  = ln
p1 + v=1,v dost vame e te tretie vyjadrenie v tvare tzv.
hyperbolickej rot cie
Rh =
cosh sinh
sinh cosh

= Pa;b = Lv:
V imnite si, [e pre a = b, Wi[e v = 0,  = 0, dost vame Pa;a = L0 = Rh0 = I2, Wo
je v zhode so sk]r prijatbm rie en m tohto peci lneho pr padu. V eobecnb pr pad je
zn zornenb na obr zku.
Z fyzik lneho h adiska je najd]le[itej ia signat ra 1;3, t.j. n = 3, kedy sa Lo-
rentzova transform cia s radn c vzh adom na inerci lne b zy , obvykle uv dza
v jednom z nasleduj cich tvarov:
x0 = ct = x00 +v=cx1
p1 ,v=c2
= ct0 + v=cx01
p1 ,v=c2
;
x1 = v=cx0
0 + x0
1
p1 ,v=c2
= vt0 + x0
1
p1 ,v=c2
;
x2 = x0
2;
x3 = x0
3;
kde c je rbchlos svetla, v je relat vna rbchlos pohybu pozorovate ov s inerci lnymi
b zami a v smere osi x1 a x0 =ct; x1;x2;x3T , x00 =ct0; x01;x02;x03T s Waso-
priestorovR s radnice ubovo nej udalosti vzh adom na b zy resp. . E te raz v ak
pripom name, [e takbto pomerne jednoduchb tvar m Lorentzova transform cia len
pri "spr vnej vo be priestorovbch vektorov oboch b z.
20 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
16.8. Relativistick kontrakcia d [ky
Pomocou Lorentzovej transform cie mo[no jednoducho odvodi Sal zo zn mych re-
lativistickbch efektov.
Nech WLp;a, WLq;b s s hlasne orientovanR svetoWiary inerci lnych pozoro-
vate ov a = a0;a1;a2;:::;an, resp. = b0;b1;b2;:::;bn s s nimi spojenR
inerci lne b zy zvolenR tak, ako v predch dzaj com paragrafe, t.j. Lorentzova trans-
form cia ' z do m maticu tvaru diagLv;In,1. Predpokladajme, [e prvb po-
zorovate registruje nehybn pevn tyW d [ky l 0 v smere vektora a1. Matematicky
ide o priestorovb vektor la1 prebiehaj ci postupom Wasu okam[itR fyzik lne priestory
p + ta + a ?; jeho s radnice v okamihu t vzh adom na b zu a poWiatok p s
t;l;0;:::;0T . D [ka tejto tyWe sa druhRmu pozorovate ovi jav ako d [ka
l0 = kuk =
p
,hu;ui;
vektora u, ktorb le[ v jeho subjekt vnom fyzik lnom priestore b ? Wo znaW , [e pri
jeho ubovo nom umiestnen s oba jeho konce s WasnR udalosti vzh adom na b zu 
a sp a podmienku
ta0 + la1 = t;l;0;:::;0 = 'u
pre nejakb okamih t vlastnRho Wasu s stavy . KeS[e u 2 b ?, jeho s radnice maj
tvar u = 0;x01;x02;:::;x0nT a z podmienky pre ich Lorentzovu transform ciu
okam[ite vid me, [e x02 = ::: = x0n = 0, ako aj
t
l

= Lv 
 0
x01

= x01
p
1 ,v2
v
1

:
Potom zrejme l0 = x01 a koneWne dost vame ohl senb vz ah medzi d [kami tyWe v oboch
inerci lnych s stav ch:
l = l0
p
1 ,v2
 l0;
priWom rovnos nastane pr ve vtedy, keS v = 0, teda d [ka tyWe sa jav najvTW ia v tej
inerci lnej s stave, vzh adom na ktor je tyW nehybn . Tento jav sa nazbva relativis-
tickR skr tenie alebo tie[ relativistick kontrakcia d [ky v smere pohybu. Nasleduj ci
obr zok, ktorb zn zor uje situ ciu v R1;1
, je plne analogickb obr zku zn zor u-
j cemu relativistick dilat ciu Wasu. OpT sa na om stret me s disproporciou eukli-
dovskej a MinkowskRho d [ky vektorov l0b1 a la1.
16. aVOD DO PECI LNEJ TE_RIE RELATIVITY 21
E te si v imnime, [e onen okamih t vlastnRho Wasu v s stave je jednoznaWne
urWenb:
t = l0 vp
1 ,v2
= lv:
Uveden formulka je v ak lep ie Witate n v obvyklom fyzik lnom tvare
ct = v l
c :
Inak povedanR, za Was t prelet svetlo rovnak vzdialenos , ak uraz me rbchlos ou v
za Was, ktorb potrebuje svetlo na prekonanie vzdialenosti l. Zrejme pre tyW "be[nbch
rozmerov je Was t enormne malb.