1 Úvod Cílem mé práce je sestavit sbírku úloh z lineární algebry a geometrie, která je určena především pro posluchače druhého semestru programů matematika, aplikovaná matematika a informatika. Celá práce se skládá ze dvou částí. První část je sbírkou příkladů, druhá část formou exkurzu přibližuje problematiku aplikace lineární algebry ve výpočetní tomografii. Látka první části je rozdělena do sedmi kapitol a navazuje na bakalářskou práci Bc. Michaely Urbánkové, určenou pro posluchače prvního semestru kurzu lineární algebry. Svým rozsa- hem odpovídá skriptům [8] Doc. P. Zlatoše a přednáškám Doc. M. Čadka. Jejím základem jsou především cvičení ve skriptech [9] prof. J. Slováka, ve skriptech [4] a [5] RNDr. P. Horáka a publikace [1] a [2]. Každá kapitola se skládá ze tří částí. Nejprve je stručně shrnuta teorie formou základních vět a definic, popřípadě algoritmů. Dále jsou zde řešené příklady, které čtenáři poskytují návod na řešení konkrétních problémů. Ve třetí části jsou úlohy k samostatnému řešení. Příklady jsou řazeny od jednodušších po složitější a jsou voleny tak, že s některými se stu- dent setká v zápočtových a zkouškových testech. V závěru sbírky jsou uvedeny výsledky cvičení, popřípadě u složitějších příkladu stručný návod. Cílem druhé části mé práce je přiblížit studentům problematiku aplikací lineární al- gebry. Aplikací lineární algebry je samozřejmě celá řada, pro ukázku jsem však vybrala jen jednu, a to problém rekonstrukce obrazu ve výpočetní tomografii při použití metody ART (Algebraic Reconstruction Technique). Samozřejmě není účelem podat vyčerpávající výklad o principu CT přístroje, ale pouze ukázat studentům jeden z mnoha příkladů významu a použití lineární algebry v dnešní technické praxi, a to způsobem lehce pocho- pitelným na základě znalostí získaných v základním kurzu lineární algebry. 2 Použité symboly a označení K libovolné pole Q racionální čísla R reálná čísla C komplexní čísla V vektorový prostor Rn množina uspořádaných n-tic reálných čísel EŘO elementární řádkové operace ESO elementární sloupcové operace Matn(K) množina všech čtvercových matic řádu n nad polem K det A, |A| determinant matice A dim V dimenze vektorového prostoru V Z(P) zaměření afinního podprostoru o nulový vektor u velikost vektoru u [u1, . . . , un] lineární obal vektorů u1, . . . , un u, v skalární součin vektorů u a v En vektorový prostor Rn se standardním skalárním součinem kolmost (B, C) vzdálenost podprostorů B a C standardní báze v Rn (), matice lineárního zobrazení v bázích , (id), matice přechodu od báze k bázi 3 I. ČÁST Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie 4 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie 1. VÝPOČET DETERMINANTU Teorie 1.1. Definice. Necht' M = {1, 2, . . . , n} je konečná množina o n prvcích. Pak bijektivní zobrazení množiny M na sebe se nazývá permutace množiny M. 1.2. Definice. Necht' = (r1, r2, . . . , rn) je libovolná permutace, řekneme, že dvojice ri, rj je inverze v permutaci , jestliže i < j a ri > rj. Znaménko permutace , je číslo sign = (-1)k , kde k je počet inverzí v permutaci . 1.3. Definice. Necht' = (r1, . . . , rn), = (s1, . . . , sn) jsou dvě permutace, necht' existují indexy i = j tak, že si = rj, sj = ri a dále rk = sk pro k = i, j. Potom řekneme, že permutace vznikla z permutace provedením jedné transpozice. 1.4. Věta. Provedení jedné transpozice změní paritu dané permutace. 1.5. Definice. Necht' A = (aij) je čtvercová matice řádu n nad polem K. Pak determinant matice A, je číslo z pole K, označené det A (resp. |A|) a definované vztahem det A = Sn sign a1(1)a2(2) . . . an(n) , kde je libovolná permutace z množiny všech permutací n-prvkové množiny M = {1, 2, . . . , n} označené Sn. Suma je tedy přes všechna Sn, tj. přes všechny permutace množiny M. Součin sign a(1)1a(2)2 . . . a(n)n se nazývá člen determinamtu. 1.6. Věta. Necht' matice B vznikne z matice A 1. záměnou dvou různých řádků, pak det B = - det A 2. vynásobením jednoho řádku číslem t K, pak det B = t det A 1.7. Věta. Hodnota determinantu matice A se nezmění, jestliže 1. k jednomu řádku matice A přičteme libovolný násobek jiného řádku 2. k jednomu řádku matice A přičteme libovolnou lineární kombinaci ostatních řádků 3. jeden řádek matice A ponecháme beze změny a k ostatním řádkům přičteme jeho libovolné násobky 1. Výpočet determinantu 5 1.8. Definice. Necht' A = (aij) je čtvercová matice řádu n; necht' je zvoleno k jejích řádků a sloupců k < n a 1 i1 < i2 < < ik n, 1 j1 < j2 < < jk n. Pak matice M = ai1j1 ai1j2 . . . ai1jk ai2j1 ai2j2 . . . ai2jk ... ... ... aikj1 aikj2 . . . aikjk se nazývá submatice matice A určená řádky i1, . . . , ik a sloupci j1, . . . , jk. Její determinant det M se nazývá minor řádu k matice A. Zbývajícími (n - k) řádky a (n - k) sloupci je určena tzv. doplňková submatice M k sub- matici M a její determinant det M se nazývá doplněk minoru det M. Označme sM = i1 + i2 + + ik + j1 + j2 + + jk. Pak číslo (-1)sM det M se nazývá algebraický doplněk minoru det M. 1.9. Věta. (Laplaceova věta) Necht' A = (aij) je čtvercová matice řádu n, necht' je pevně zvoleno k řádků matice A, kde 0 < k < n. Pak determinant matice A je roven součtu všech n k součinů minorů řádu k, vybraných ze zvolených k řádků, s jejich algebraickými doplňky. Řešené příklady Úloha 1: Spočtěte determinant matice A = 1 0 0 1 0 2 3 1 1 0 -1 1 2 -3 1 0 (a) převedením na schodovitý tvar pomocí elementárních úprav, které nemění hodnotu determinantu (b) užitím Laplaceovy věty Řešení: (a) Převedeme na schodovitý tvar. Nejprve ke třetímu řádku přičteme -1 násobek prvního řádku a ke čtvrtému řádku přičteme -2 násobek prvního řádku. Pak ke čtvrtému řádku přičteme 3 2 násobek druhého řádku. det 1 0 0 1 0 2 3 1 1 0 -1 1 2 -3 1 0 = det 1 0 0 1 0 2 3 1 0 0 -1 0 0 -3 1 -2 = det 1 0 0 1 0 2 3 1 0 0 -1 0 0 0 11 2 -1 2 = 6 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie Nyní přičteme ke čtvrtému řádku 5 násobek třetího řádku, čímž dostáváme schodovitý tvar a determinant se rovná součinu prvků na hlavní diagonále. = det 1 0 0 1 0 2 3 1 0 0 -1 0 0 0 0 -1 2 = 1 2 (-1) (- 1 2 ) = 1 (b) Uděláme Laplaceův rozvoj podle prvního řádku: det 1 0 0 1 0 2 3 1 1 0 -1 1 2 -3 1 0 = 1 det 2 3 1 0 -1 1 -3 1 0 + (-1)4+1 1 det 0 2 3 1 0 -1 2 -3 1 = (-9 - 3 - 2) - (-9 - 4 - 2) = 1 Úloha 2: Rozvojem podle více řádků určete determinant matice A = 1 0 2 0 3 0 -1 0 4 1 5 1 -3 -1 0 -2 . Řešení: Vybereme si první a druhý řádek, protože tyto řádky obsahují nejvíce nul. V rozvoji pak musíme postupně procházet všechny dvojice sloupců. Vidíme, že všechny členy determinantu kromě druhého jsou nulové a výpočet se tedy velmi zjednoduší. det(A) = (-1)1+2+1+2 det 1 0 3 0 det 5 1 0 -2 + (-1)1+2+1+3 det 1 2 3 -1 det 1 1 -1 -2 + (-1)1+2+1+4 det 1 0 3 0 det 1 5 -1 0 + (-1)1+2+2+3 det 0 2 0 -1 det 4 1 -3 -2 + (-1)1+2+2+4 det 0 0 0 0 det 4 -5 -3 0 + +(-1)1+2+3+4 det 2 0 -1 0 det 4 1 -3 -1 = (-1)7 det 1 2 3 -1 det 1 1 -1 -2 = = (-1) (-1 - 6) (-2 + 1) = -7 1. Výpočet determinantu 7 Úloha 3: Spočtěte determinant matice A = 1 2 3 . . . n - 1 n -1 0 3 . . . n - 1 n -1 -2 0 . . . n - 1 n ... ... ... ... ... -1 -2 -3 . . . -n + 1 0 řádu n. Řešení: Ke všem řádkům přičteme první řádek det 1 2 3 . . . n - 1 n -1 0 3 . . . n - 1 n -1 -2 0 . . . n - 1 n ... ... ... ... ... -1 -2 -3 . . . -n + 1 0 = det 1 2 3 . . . n - 1 n 0 2 2.3 . . . 2(n - 1) 2n 0 0 3 . . . 2(n - 1) 2n ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 0 n = n! Úloha 4: Odvod'te rekurentní vztah pro výpočet determinantu matice An = x + y xy 0 . . . 0 0 1 x + y xy . . . 0 0 0 1 x + y . . . 0 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 1 x + y řádu n. Řešení: Uděláme Laplaceův rozvoj podle prvního sloupce det An = (x + y) det x + y xy . . . 0 0 1 x + y . . . 0 0 ... ... ... ... 0 0 . . . 1 x + y + +(-1)2+1 det xy 0 . . . 0 0 1 x + y . . . 0 0 ... ... ... ... 0 0 . . . 1 x + y . 8 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie První matice je vlastně shodná s původní maticí, pouze je o řád menší. U druhé matice provedeme Laplaceův rozvoj podle prvního řádku. Pak dostáváme det An = (x + y) det An-1 - xy det An-2 . Úloha 5: Určete determinant matice řádu n (tzv. Vandermondův determinant). Vn(x1, x2, . . . , xn) = det 1 x1 x2 1 . . . xn-2 1 xn-1 1 1 x2 x2 2 . . . xn-2 2 xn-1 2 ... ... ... ... ... 1 xn x2 n . . . xn-2 n xn-1 n Řešení: Od každého sloupce, kromě prvního, odečteme x1 násobek předchozího sloupce. Budeme postupovat od posledního sloupce až ke druhému. Vn(x1, x2, . . . , xn) = det 1 0 0 . . . 0 0 1 x2 - x1 x2 2 - x1x2 . . . xn-2 2 - x1xn-3 2 xn-1 2 - x1xn-2 2 ... ... ... ... ... 1 xn - x1 x2 n - x1xn . . . xn-2 n - x1xn-3 n xn-1 n - x1xn-2 n Nyní uděláme Laplaceův rozvoj podle prvního řádku a jednotlivé prvky determinantu upravíme vytýkáním. Vn(x1, x2, . . . , xn) = det x2 - x1 x2(x2 - x1) . . . xn-3 2 (x2 - x1) xn-2 2 (x2 - x1) x3 - x1 x3(x3 - x1) . . . xn-3 3 (x3 - x1) xn-2 3 (x3 - x1) ... ... ... ... xn - x1 xn(xn - x1) . . . xn-3 n (xn - x1) xn-2 n (xn - x1) Vytknemeli z každého řádku, zůstane nám determinant, který je Vandermondův determi- nant řádu n - 1 s parametry x2, . . . , xn. Vn(x1, x2, . . . , xn) = (x2 - x1) (x3 - x1) . . . (xn - x1) det 1 x2 . . . xn-3 2 xn-2 2 1 x3 . . . xn-3 3 xn-2 3 ... ... ... ... 1 xn . . . xn-3 n xn-2 n A tedy Vn(x1, x2, . . . , xn) = (x2 - x1) (x3 - x1) . . . (xn - x1) Vn-1(x2, . . . , xn) 1. Výpočet determinantu 9 Tím jsme získali rekurentní formuli, která platí pro n > 1. Indukcí ted' snadno nahlédneme výsledné řešení. Vn(x1, x2, . . . , xn) = (x2 -x1) (x3 -x1) . . . (xn -x1) (x3 -x2) . . . (xn -x2) . . . . . . (xn -xn-1) Vn(x1, x2, . . . , xn) = 1j 1. A = a x x . . . x x x a x . . . x x x x a . . . x x ... ... ... ... ... x x x . . . x a B = x y 0 . . . 0 0 0 x y . . . 0 0 0 0 x . . . 0 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . x y y 0 0 . . . 0 x C = a0 1 1 . . . 1 1 1 a1 0 . . . 0 0 1 0 a2 . . . 0 0 ... ... ... ... ... 1 0 0 . . . 0 an D = a0 -1 0 0 . . . 0 0 a1 x -1 0 . . . 0 0 a2 0 x -1 . . . 0 0 ... ... ... ... ... ... an-1 0 0 0 . . . x -1 an 0 0 0 . . . 0 x 12 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie E = a0 a1 a2 . . . an-1 an -y1 x1 0 . . . 0 0 0 -y2 x2 . . . 0 0 ... ... ... ... ... y 0 0 . . . -yn xn 11. Spočtěte determinant matice řádu n > 1 úpravou na schodovitý tvar A = 0 1 1 . . . 1 1 a2 1 0 . . . 0 0 a3 0 1 . . . 0 0 ... ... ... ... ... an 0 0 . . . 0 1 B = 1 2 3 . . . a - 1 a -1 0 3 . . . a - 1 a -1 -2 0 . . . a - 1 a ... ... ... ... ... -1 -2 -3 . . . -a + 1 0 C = 2 2 2 . . . 2 3 2 2 2 . . . 3 2 2 2 2 . . . 2 2 ... ... ... ... ... 3 2 2 . . . 2 2 D = 1 - n 1 1 . . . 1 1 1 1 - n 1 . . . 1 1 1 1 1 - n . . . 1 1 ... ... ... ... ... 1 1 1 . . . 1 1 - n E = 1 n n . . . n n n 2 n . . . n n n n 3 . . . n n ... ... ... ... ... n n n . . . n n F = x1 a12 a13 . . . a1(n-1) a1n x1 x2 a23 . . . a2(n-1) a2n x1 x2 x3 . . . a2(n-1) a3n ... ... ... ... ... x1 x2 x3 . . . xn-1 xn G = 1 . . . 1 1 1 a1 . . . a1 a1 - b1 a1 a2 . . . a2 - b2 a2 a2 ... ... ... ... an - bn . . . an an an H = 1 2 3 . . . n - 2 n - 1 n 2 3 4 . . . n - 1 n n 3 4 5 . . . n n n ... ... ... ... ... ... n n n . . . n n n I = 1 a1 a2 . . . an 1 a1 + b1 a2 . . . an 1 a1 a2 + b2 . . . an ... ... ... ... 1 a1 a2 . . . an + bn 12. Odvod'te rekurentní vztah pro výpočet determinantu matice. 1. Výpočet determinantu 13 An = 2 1 0 . . . 0 1 2 0 . . . 0 0 1 2 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 0 . . . 2 Bn = 3 2 0 . . . 0 1 3 2 . . . 0 0 1 3 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 0 . . . 3 Cn = 5 6 0 0 0 . . . 0 0 4 5 2 0 0 . . . 0 0 0 1 3 2 0 . . . 0 0 0 0 1 3 2 . . . 0 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 0 . . . 3 2 0 0 0 0 0 . . . 1 3 Dn = 1 2 0 0 0 . . . 0 0 3 4 3 0 0 . . . 0 0 0 2 5 3 0 . . . 0 0 0 0 2 5 3 . . . 0 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 0 . . . 5 3 0 0 0 0 0 . . . 2 5 En = 7 5 0 . . . 0 0 2 7 5 . . . 0 0 0 2 7 . . . 0 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 2 7 Fn = x + 1 x 0 . . . 0 0 1 x + 1 x . . . 0 0 0 1 x + 1 . . . 0 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 1 x + 1 G2n = x 0 . . . 0 y 0 x . . . y 0 ... ... ... ... 0 y . . . x 0 y 0 . . . 0 x Hn = 1 1 0 0 . . . 0 0 1 1 1 0 . . . 0 0 0 1 1 1 . . . 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 . . . 1 1 13. Řešte rovnici: (a) det x - 1 -3 2 - x 5 = 3 (b) det sin x -3 cos x cos x sin x = 2 sin2 -x 2 14. Spočtěte determinant (užijte postupu z úlohy 5). A = 1 -1 1 -1 2 2 2 2 1 2 4 8 1 -2 4 -8 B = 1 1 1 1 1 2 1 -2 3 -1 4 1 4 9 1 8 1 -8 27 -1 16 1 16 81 1 C = 1 1 . . . 1 x1 + 1 x2 + 1 . . . xn + 1 x2 1 + x1 x2 2 + x2 . . . x2 n + xn ... ... ... xn-1 1 + xn-2 1 xn-1 2 + xn-2 2 . . . xn-1 n + xn-2 n 14 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie 15. Laplaceovým rozvojem podle třetího sloupce spočtěte determinant matice A = x -1 0 0 0 x -1 0 0 0 x -1 a0 a1 a2 a3 . 16. Vyjádřete polynom stupně n pomocí determinantu stupně n - 1. (Využijte výsledku předchozího příkladu.) 2. Bilineární a kvadratické formy 15 2. BILINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FORMY Teorie 2.1. Definice. Necht' V je vektorový prostor nad polem K. Bilineární forma na V je zobrazení f : V × V K takové, že pro všechna a, b, c, d K a u, v, w V platí: f(au + bv, w) = af(u, w) + bf(v, w) f(u, cv + dw) = cf(u, v) + df(u, w) . 2.2. Definice. Necht' f : V × V K je bilineární forma a = (v1, v2, . . . , vn) je báze prostoru V . Pak tato báze určuje matici bilineární formy A = (aij) = (f(vi, vj)). 2.3. Věta. Necht' f je bilineární forma na V s maticí A v bázi . Necht' souřadnice vektorů u, v V v této bázi jsou x, y Kn . Pak pro libovolné vektory platí f(u, v) = xT A y. 2.4. Věta. Je-li A matice bilineární formy v bázi , pak matice bilineární formy v bázi je B = (id)T , A (id),, kde (id), je matice přechodu od báze k bázi . 2.5. Definice. Dvě čtvercové matice A, B Matn(K) se nazývají kongruentní, jestliže existuje regulární matice P Matn(K) taková, že B = P T A P. 2.6. Definice. Bilineární forma se nazývá symetrická, jestliže f(u, v) = f(v, u), resp. antisymetrická, jestliže f(u, v) = -f(v, u). 2.7. Věta. Necht' f je bilineární forma a A její matice v nějaké bázi . Pak f je symetrická, je-li matice A symetrická, a f je antisymetrická, je-li matice A antisymetrická. 2.8. Věta. Každá bilineární forma je součtem symetrické a antisymetrické bilineární formy, přičemž pro matici platí A = 1 2 (A+AT )+1 2 (A-AT ), kde první sčítanec odpovídá symetrické části a druhý antisymetrické části. 2.9. Věta. Každá symetrická matice A Matn(K) je kongruentní s nějakou diagonální maticí. 2.10. Algoritmus. Diagonalizace symetrických matic. Hledáme regulární matici P tak, aby matice P T A P byla diagonální. Předpokládejme, že a11 = 0, pak na A provádíme elementární řádkové úpravy (označíme EŘO) tak, aby ai1 = 0 pro i = 2, . . . , n. Současně provádíme stejné sloupcové úpravy (označíme ESO)a tím dosáhneme u symetrické matice toho, že výsledná matice má a1j = 0 pro j = 2, . . . , n. Provedení sloupcové úpravy na matici A odpovídá vynásobení této matice zprava maticí P1, která vznikne z matice jednotkové provedením stejné sloupcové úpravy. 16 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie Analogicky řádkové úpravě odpovídá vynásobení matice A zleva maticí P T 1 . Provedením stejné řádkové i sloupcové úpravy na matici A dostáváme matici P T 1 A P1, která je kongruentní s maticí A. Stejný postup uplatňujeme na další řádky a sloupce. Je-li a11 = 0 a nějaké aii = 0 provedeme výměnu řádku 1 a i a sloupce 1 a i. Je-li a11 = a22 = = ann = 0 a existuje aij = 0 přičteme k řádku i řádek j a k sloupci i sloupec j. Po všech těchto úpravách dostaneme diagonální matici PT k . . . PT 2 PT 1 A P1 P2 . . . Pk = (P1 P2 . . . Pk)T A (P1 P2 . . . Pk) = PT A P, která je diagonální s původní maticí A. Ve výpočtech postupujeme tak, že si napíšeme blokovou matici, jejíž levý blok je tvořen maticí A a pravý blok jednotkovou maticí E. Pak v levém bloku provádíme E ŘO a odpovídající ESO dokud nedostaneme diagonální matici. Zároveň provádíme v pravém bloku stejné úpravy jako v levém, ale pouze řádkové. Pak dostáváme v pravém bloku matici PT . (A | E) PT A P | PT E 2.11. Definice. Zobrazení F : V K se nazývá kvadratická forma, jestliže existuje bilineární forma f : V × V K taková, že pro všechna u V platí F(u) = f(u, u). 2.12. Věta. Necht' F je kvadratická forma na vektorovém prostoru V . Pak existuje právě jedna symetrická bilineární forma, která ji určuje. 2.13. Definice. Maticí kvadratické formy F nazveme matici symetrické bilineární formy, která tuto kvadratickou formu určuje. 2.14. Věta. (Sylvestrův zákon setrvačnosti) Každou kvadratickou formu F na reálném vek- torovém prostoru Rn lze vyjádřit ve vhodné bázi (tuto bázi budeme dále nazývat kanonická báze) ve tvaru F(x) = x2 1 + + x2 p - x2 p+1 - - x2 r + 0x2 r+1 + + 0x2 n přičemž počet čísel +1, -1, 0 je nezávislý na volbě báze. 2.15. Definice. Signatura kvadratické formy F na reálném vektorovém prostoru Rn je trojice nezáporných čísel (s+, s-, s0), kde s+ je počet kladných, s- počet záporných a s0 počet nulových členů v diagonálním tvaru kvadratické formy. 2.16. Definice. Necht' F je kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru Rn . Řekneme, že F je 2. Bilineární a kvadratické formy 17 1. pozitivně definitní, jestliže pro každý x Rn , x = o je F(x) > 0 2. pozitivně semidefinitní, jestliže pro každý x Rn , x = o je F(x) 0 3. negativně definitní, jestliže pro každý x Rn , x = o je F(x) < 0 4. negativně semidefinitní, jestliže pro každý x Rn , x = o je F(x) 0 5. indefinitní, jestliže existují vektory z, y Rn takové, že F(y) > 0 a F(z) < 0. 2.17. Věta. Necht' F je kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru Rn . Pak 1. F je pozitivně definitní, právě tehdy když s+ = n; 2. F je pozitivně semidefinitní, právě tehdy když s- = 0; 3. F je negativně definitní, právě tehdy když s- = n; 4. F je negativně semidefinitní, právě tehdy když s+ = 0; 2.18. Věta. Kvadratická forma je pozitivně definitní, právě když všechny hlavní minory její matice jsou kladné. Kvadratická forma je negativně definitní, právě když pro hlavní minory její matice platí (-1)i det(Ai) > 0. 2.19. Definice. Kvadrikou nazveme množinu (x1, x2, . . . , xn) Kn , i,j aijxixj + i bxi + c = 0 . Řešené příklady Úloha 1: Kvadratickou formu F(x) = x1x2 + x2x3 zadanou ve standardních souřadnicích převed'te pomocí ESO a EŘO na diagonální tvar. Řešení: Napíšeme si vpravo jednotkovou matici a vlevo matici dané kvadratické formy. Na matici A kvadratické formy provádíme řádkové a tytéž sloupcové úpravy, dokud ne- dostaneme diagonální tvar matice, na jednotkové matici přitom provádíme tytéž úpravy, ale vždy jen řádkové (viz. poznámka 2.10.). 0 1 2 0 | 1 0 0 1 2 0 1 2 | 0 1 0 0 1 2 0 | 0 0 1 1 2 1 2 1 2 | 1 1 0 1 2 0 1 2 | 0 1 0 0 1 2 0 | 0 0 1 18 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie Nejdříve druhý řádek přičteme k prvnímu, protože a11 = 0, tutéž úpravu provedeme také na pravé matici, pak provedeme stejnou operaci se sloupci, ale to už pouze na levé matici. 1 1 2 1 2 | 1 1 0 1 2 0 1 2 | 0 1 0 1 2 1 2 0 | 0 0 1 Tak jsme dostali na pravé straně opět symetrickou matici, ale a11 = 0, dále vynulujeme pomocí prvku a11 zbylé prvky prvního řádku a sloupce tak, že přičteme -1 2 násobek prvního řádku nejprve k druhému a pak ke třetímu řádku, a pak provedeme odpovídající sloupcovou úpravu, ale pouze na levé matici. 1 1 2 1 2 | 1 1 0 0 -1 4 1 4 | -1 2 1 2 0 0 1 4 -1 4 | -1 2 -1 2 1 1 0 0 | 1 1 0 0 -1 4 1 4 | -1 2 1 2 0 0 1 4 -1 4 | -1 2 -1 2 1 Dále přičteme druhý řádek k třetímu a provedeme odpovídající sloupcovou úpravu. 1 0 0 | 1 1 0 0 -1 4 1 4 | -1 2 1 2 0 0 0 0 | -1 0 1 1 0 0 | 1 1 0 0 -1 4 0 | -1 2 1 2 0 0 0 0 | -1 0 1 Dostáváme tedy diagonální tvar kvadratické formy F(y) = y2 1 - 1 4 y2 2. Levá matice je (id)T , a její řádky nám udávají bázi, ve které má daná kvadratická forma tento tvar: : 1 1 0 , -1 2 1 2 0 , -1 0 1 Úloha 2: Najděte diagonální tvar kvadratické formy F(x) = x2 1 + x2 3 - 2x1x2 + 2x1x3 + 10x2x3 zadané ve standardních souřadnicích v R3 pomocí algoritmu doplnění na čtverce. Řešení: Všechny smíšené členy obsahující x1 připojíme k členu x2 1 a doplníme na čtverec. Pak všechny smíšené členy obsahující x2 připojíme k členu x2 2 a opět doplníme na čtverec. F(x) = (x1 - x2 + x3)2 - x2 2 - x2 3 + 2x2x3 + x2 3 + 10x2x3 = = (x1 - x2 + x3)2 - x2 2 + 12x2x3 = (x1 - x2 + x3)2 - (x2 - 6x3)2 + 36x2 3 nyní můžeme zavést nové souřadnice: y1 = x1 -x2 +x3 y2 = x2 -6x3 y3 = x3 2. Bilineární a kvadratické formy 19 diagonální tvar je: F(y) = y2 1 - y2 2 + 36y2 3 id, = 1 -1 1 0 1 -6 0 0 1 . Hledáme matici inverzní k této matici přechodu a dostáváme id , = 1 1 5 0 1 6 0 0 1 . Sloupce této matice udávají vektory báze, ve které má matice diagonální tvar. : 1 0 0 , 1 1 0 , 5 6 1 . Úloha 3: Zjistěte jakou kuželosečku popisuje rovnice k : x2 1 + x2 2 + 4x1x2 + 2x1 + 1 = 0 . Řešení: Použijeme metodu doplnění na čtverce; nejprve bereme v úvahu pouze kvadrat- ické členy (x1 + 2x2)2 - 4x2 2 + x2 2 + 2x1 + 1 = 0 transformujeme souřadnice: y1 = x1 + 2x2 y2 = x2 . Odtud spočítáme x1 = y1 - 2y2, po transformaci dostáváme y2 1 - 3y2 2 + 2y1 - 4y2 + 1 = 0 a nyní opět doplňujeme na čtverce (y1 + 1)2 - 3 y2 2 + 4 3 y2 = 0 (y1 + 1)2 - 3 y2 + 2 3 2 + 4 3 = 0 3 4 (y1 + 1) - 9 4 y2 + 2 3 + 1 = 0 20 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie po další transformaci souřadnic dostáváme: z1 = 3 2 (y1 + 1) = 3 2 (x1 + 2x2 + 1) z2 = 3 2 (y2 + 2 3 ) = 3 2 (x2 + 2 3 ) k : z2 1 - z2 2 + 1 = 0 . Jedná se tedy o hyperbolu, jejíž střed S je dán z1 = 0 a z2 = 0, v původních souřadnicích x2 = - 2 3 , x1 = 4 3 - 1 = 1 3 . Tedy S = 1 3 , -2 3 T . Nyní ještě najdeme bázi pro nové souřadnice. Víme (id), = 3 2 3 0 3 2 . Inverzní matice k této matici je (id) , = 2 3 3 -4 3 0 2 3 a její sloupce nám určují vektory báze : [v1, v2], kde v1 = 2 3 3 , 0 a v2 = -4 3 , 2 3 . Pro souřadnice libovolného bodu tedy platí x = S + (id) , z . Úloha 4: Najděte nějakou kvadratickou formu F hodnosti 5 na vektorovém pros- toru R5 v analytickém vyjádření vzhledem ke kanonické bázi, která je pozitivně definitní na podprostoru generovaném vektory (1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (0, -1, 0, 0, 0) a je nega- tivně definitní na podprostoru generovaném vektory (0, 0, -1, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 1). Řešení: Podle Sylvestrova zákona setrvačnosti (věta 2.14.) má kvadratická forma F vzhledem ke kanonické bázi tvar F(x) = a1x2 1 + a2x2 2 + a3x2 3 + a4x2 4 + a5x2 5 , kde ai, i = 1 . . . 5 nabývají hodnot +1, -1, 0. Přičemž kvadratická forma je pozitivně definitní na nějakém podprostoru, pokud pro všechny vektory x z tohoto podprostoru platí F(x) > 0. 2. Bilineární a kvadratické formy 21 Jde vidět, že podprostor generovaný vektory (1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (0, -1, 0, 0, 0) je vlastně podprostor vektorů tvaru (a, b, 0, c, 0); a, b, c R. A tedy F(a, b, 0, c, 0) > 0 . Z toho plyne a1 = 1, a2 = 1 a a4 = 1. Analogicky podprostor generovaný vektory (0, 0, -1, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 1) je podprostor vektorů tvaru (0, 0, e, 0, f); e, f R. Má-li být na tomto podprostoru kvadratická forma negativně definitní, musí platit F(0, 0, e, 0, f) < 0 Z toho plyne a3 = -1, a5 = -1. Kvadratická forma má tedy tvar x2 1 + x2 2 - x2 3 + x2 4 - x2 5 = 0 . Cvičení 1. Necht' je na R4 dána bilineární forma f souřadnicovým vyjádřením vzhledem ke stan- dardní bázi f(x, y) = -x1y2 + x1y3 + x2y1 + x2y2 + x2y4 - x3y4 + x4y3 . Určete matici v bázi a hodnost formy. 2. Pro bilineární formu zadanou ve standardní bázi f(x, y) = x1y1 -2x2y2 +3x1y2 na R2 určete její souřadnicové vyjádření a matici v nové bázi v1 = (3, -1)T , v2 = (1, -1)T . 3. Ve standardní bázi na R3 je dána bilineární forma f(x, y) = x1y1 + 2x2y2 + 2x2y3 Určete matici bilineární formy v bázi v1 = (1, 0, 1)T , v2 = (0, 1, 1)T , v3 = (1, 1, 0)T . 4. Pro bilineární formu z příkladu 1 určete symetrickou a antisymetrickou bilineární formu fS a fA, pro které platí f = fS + fA. 5. Pro bilineární formu na R3 určete symetrickou a antisymetrickou bilineární formu fS a fA, pro které platí f = fS + fA. (a) f(x, y) = 2x1y1 + 4x1y2 - 2x1y3 + x2y2 - x2y3 + x3y2 + x3y3 (b) f(x, y) = 2x1y2 + 4x2y3 + 6x3y1 6. Najděte nějakou bázi symetrické bilineární formy f na vektorovém prostoru R3 , ve které má tato forma diagonální tvar. Analytické vyjádření f vzhledem ke stan- dardní bázi je f(x, y) = 2x2y3 + 2x3y2 + x3y3 22 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie 7. Najděte nějakou bázi symetrické bilineární formy f na vektorovém prostoru R3 , ve které má tato forma diagonální tvar. Analytické vyjádření f vzhledem ke stan- dardní bázi je f(x, y) = 3x1y1 + 2x2y2 8. Najděte symetrickou bilineární formu, která určuje kvadratickou formu F. F má ve standardní bázi v R3 rovnici (a) F(x) = 2x1x3 - 4x2x3 (b) F(x) = x2 1 + x2 2 - 2x2x3 9. Najděte diagonální tvar kvadratické formy F na R3 a bázi, ve které má forma tento tvar, je-li souřadnicové vyjádření ve standardní bázi F(x) = x2 1 + x2 3 - 2x1x2 + 2x1x3 + 10x2x3 . 10. Najděte diagonální tvar kvadratické formy na R3 pomocí algoritmu doplnění na čtverce a bázi, ve které má forma tento tvar, je-li souřadnicové vyjádření ve standardní bázi (a) F(x) = 4x2 1 + 2x2 2 + 15x2 3 + 4x1x2 - 4x1x3 - 8x2x3 (b) F(x) = x1x2 + x1x3 + x2x3 11. Zjistěte vlastnosti reálných kvadratických forem, např. definitnost a signaturu, jestliže jejich souřadnicové vyjádření vzhledem ke standardní bázi je (a) F(x) = x2 1 - x1x2 + x2 2, na R2 (b) F(x) = 2x1x2 + 4x1x3, na R3 (c) F(x) = -2x2 1 - 8x2 2 - 3x2 3 + 2x1x2 + 4x1x3 - 2x2x3, na R3 12. Najděte diagonální tvar kvadratické formy na R3 a zjistěte, zda je pozitivně definitní F(x) = x1x2 + x2x3 + 3x1x3 13. Ve standardní bázi na R3 je dána kvadratická forma. Určete její signaturu. (a) F(x) = x1x3 (b) F(x) = x2 1 + x2 2 + 3x2 3 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 (c) F(x) = x2 1 - 2x2 2 + x2 3 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 14. V nějaké bázi na reálném vektorovém prostoru R4 je dána kvadratická forma F. Určete její diagonální tvar, definitnost, signaturu. (a) F(x) = x2 1 + x2 2 + x2 3 + x2 4 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x1x4 + 4x2x3 + 4x2x4 + 2x3x4 (b) F(x) = 3x2 3 + 2x2 4 + 4x1x4 + 4x2x3 + 2x2x4 + 2x3x4 2. Bilineární a kvadratické formy 23 (c) F(x) = x1x3 + x1x4 15. Uvažme bilineární formu zadanou ve standardní bázi f(x, y) = 2x1y1 - 4x1y2 - 3x2y2 + 2x2y3 - 4x3y2 - x3y3 definivanou na C3 . Necht' F(x) je jí definovaná kvadratická forma, napište analytické vyjádření F a najděte diagonální tvar F. 16. Najděte všechny hodnoty parametru a, pro které je kvadratická forma F na R3 pozitivně definitní (použijte Sylvestrovo kritérium). (a) F(x) = x2 2 + x2 3 + 4ax1x2 + a2 x1x3 (b) F(x) = ax2 1 + ax2 2 + (a - 3)x2 3 + 2x1x2 + 2ax1x3 + 2x2x3 17. Zjistěte jakou kuželosečku popisuje rovnice k : 5x2 1 + 9x2 2 + 12x1x2 - 6x2 + 4 = 0 a převed'te na diagonální tvar. 18. Zjistěte jakou kuželosečku popisují rovnice, převed'te na diagonální tvar, případně určete její střed (a) k : x2 1 + x2 2 + 2x1x2 - x1 + 3x2 - 2 = 0 (b) k : 2x2 1 - 3x2 2 + 5x1x2 + x1 + 10x2 - 3 = 0 (c) k : x2 1 + x2 2 + 4x1x2 + 2x1 + 1 = 0 (d) k : 3x2 1 + 3x2 2 - 2x1x2 + 4x1 + 4x2 - 4 = 0 (e) k : x2 1 + x2 2 - 2x1x2 - 4x1 - 6x2 + 3 = 0 (f) k : x2 1 + x2 2 + 2x1x2 - x1 - x2 = 0 (g) k : x2 1 + 2x2 2 - 2x1x2 - 4x1 - 6x2 + 3 = 0 (h) k : 4x2 1 + 5x2 2 + 10x1x2 - 2x1 - 4x2 + 3 = 0 (i) k : x2 1 + 4x2 2 + 4x1x2 + 6x1 + 8x2 - 9 = 0 (j) k : x2 1 + x2 2 + 2x1x2 + 2x1 + 2x2 - 4 = 0 19. Najděte nějakou kvadratickou formu F hodnosti 6 na vektorovém prostoru R7 v an- alytickém vyjádření vzhledem ke kanonické bázi, která je pozitivně definitní na pod- prostoru generovaném vektory (-1, 0, 0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 0, -1, 0) a je negativně definitní na podprostoru generovaném vektory (0, 1, 0, -1, 0, 0, 1), (0, -1, 0, 0, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0). 24 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie 20. Najděte nějakou kvadratickou formu F hodnosti 6 na vektorovém prostoru R7 v an- alytickém vyjádření vzhledem ke kanonické bázi, která je pozitivně definitní na pod- prostoru generovaném vektory (-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (-1, 0, 1, 0, 0, 0, 0), (-1, 0, 1, 0, 1, 0, 0) a je negativně definitní na podprostoru generovaném vektory (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, -1, 0, 0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0, 0, 1, 0). 21. Necht' Mat2(R) je vektorový prostor všech matic řádu 2 a necht' M = 1 2 3 5 Mat2(R). Dokažte, že zobrazení f : Mat2(R) × Mat2(R) R definované předpisem f(A, B) = tr(A M B), pro A, B Mat2(R) (tr znamená stopu matice, tj. součet prvků na hlavní diagonále) je bilineární forma. Pak najděte matici této bilineární formy v bázi . : 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 3. Skalární součin 25 3. SKALÁRNÍ SOUČIN Teorie 3.1. Definice. Necht' V je vektorový prostor nad polem K. Pak skalární součin na V je bilineární symetrická forma, tj. zobrazení , : V × V K takové, že x, x > 0 pro x V , x = o. (To znamená, že příslušná kvadratická forma je pozitivně definitní.) Reálný vektorový prostor se skalárním součinem nazýváme euklidovský prostor. 3.2. Definice. Necht' Rn je vektorový prostor. Definujeme skalární součin pro x, y Rn , x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) jako x, y = n i=1 xiyi. Takto definovaný skalární součin nazýváme standardní skalární součin. Euklidovský vektorový prostor Rn se standardním skalárním součinem budeme značit En. 3.3. Definice. Velikost (norma) vektoru v v euklidovském prostoru V je číslo v = v, v . 3.4. Věta. (Cauchyova-Schwartzova nerovnost) Pro každé dva vektory v euklidovském prostoru V platí | u, v | u v . 3.5. Definice. Necht' V je euklidovský prostor, u, v V . Úhel, který vektory u a v svírají je číslo 0, takové, že cos = u, v u v . 3.6. Definice. Dva vektory u, v V , kde V je euklidovský prostor, nazveme kolmé (orto- gonální), pokud u, v = 0. Dva vektory u, v V , nazveme ortonormální, pokud jsou ortogonální (tj. u, v = 0) a pokud jejich velikost je rovna jedné (tj. u = 1 v = 1). 3.7. Věta. Necht' V je euklidovský prostor a v1, v2, . . . , vk V jsou po dvou ortogonální vektory různé od nulového. Pak jsou tyto vektory lineárně nezávislé. 3.8. Definice. Bázi tvořenou ortogonálními vektory nazveme ortogonální báze. Bázi tvořenou ortonormálními vektory nazveme ortonormální báze. 3.9. Věta. Necht' V je euklidovský prostor a u1, u2, . . . , uk V libovolné vektory. Pak existují ortogonální vektory v1, v2, . . . , vk V , které generují tentýž prostor jako vektory u1, u2, . . . , uk, to znamená [u1, u2, . . . , uk] = [v1, v2, . . . , vk] . 26 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie Algoritnus, s jehož pomocí lze nalézt vektory v1, v2, . . . , vk se nazývá Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces a je popsán v úloze 1. 3.10. Definice. Řekneme, že množiny A, B V jsou ortogonální množiny (ozn. A B) jestliže u A, v B : u, v = 0 . 3.11. Definice. Ortogonální doplňek množiny A v euklidovském vektorovém prostoru V nazveme množinu A = {u V : u, v = 0, v A} . 3.12. Definice. Necht' V je euklidovský prostor a U V je vektorový podprostor ve V . Kolmá projekce vektoru v V do U je vektor Pv U takový, že v - Pv U. 3.13. Věta. Necht' V je euklidovský prostor a U V je podprostor. Potom U U = V . Řešené příklady Úloha 1: Použijte Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces na bázi : u1 = (2, 0, -1)T , u2 = (-1, 1, 1)T , u3 = (1, 1, 1)T vektorového prostoru E3. Řešení: Budeme hledat ortogonální bázi : [v1, v2, v3] 1) Za v1 zvolíme libovolně jeden ze tří vektorů původní báze , např. v1 = u1 a tedy v1 = (2, 0, -1)T 2) Hledáme druhý vektor báze v2 ve tvaru v2 = u2 + p1v1 tuto rovnost skalárně vynásobíme vektorem v1 v1, v2 = v1, u2 + p1 v1, v1 požadujeme, aby vektory v1, v2 byly kolmé, proto skalární součin v1, v2 = 0; zbylé skalární součiny můžeme už lehce spočítat v1, u2 = -3, v1, v1 = 5, pak 0 = -3 + 5p1 z toho plyne p1 = 3 5 3. Skalární součin 27 a tedy v2 = (-1, 1, 1)T + 3 5 (2, 0, -1)T v0 2 = 1 5 , 1, 2 5 T můžeme do báze zvolit libovolný násobek tohoto vektoru, pro snadnější počítání tedy volme v2 = (1, 5, 2)T 3) Nyní zbývá najít ještě třetí vektor báze v3, který musí být kolmý k oběma předchozím vektorům v1 a v2; předpokládejme jej ve tvaru v3 = u3 + q1v1 + q2v2 tuto rovnost nejdříve skalárně vynásobíme vektorem v1 a pak vektorem v2, čímž dostáváme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých q1 a q2 v3, v1 = u3, v1 + q1 v1, v1 + q2 v2, v1 v3, v2 = u3, v2 + q1 v1, v2 + q2 v2, v2 z požadavku vzájemné ortogonality všech vektorů báze plyne 0 = 1 + 5q1 z toho plyne q1 = - 1 5 0 = 8 + 30q2 z toho plyne q2 = - 4 15 tedy v0 3 = (1, 1, 1)T - 1 5 (2, 0, -1)T - 4 15 (1, 5, 2)T = 1 3 , - 1 3 , 2 3 T opět můžeme do báze zvolit libovolný násobek tohoto vektoru, např. v3 = (1, -1, 2)T a tedy = [(2, 0, -1)T , (1, 5, 2)T , (1, -1, 2)T ] Úloha 2: Necht' W = [(1, -1, 1, 0, 0)T , (1, 0, 1, 0, 1)T , (1, 1, 0, -1, 1)T ] je podprostor v E5. Najděte ortogonální doplňek W tohoto podprostoru. Řešení: Podle definice 3.10. je ortogonální doplněk podprostoru množina všech vektorů kolmých ke všem vektorům zadaného podprostoru. Rozmyslíme-li si tuto definici, je zřejmé, že stačí hledat množinu všech vektorů kolmých k vektorům báze podprostoru W. Označíme 28 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie si vektory báze postupně v1, v2, v3 a uvažujeme libovolný vektor x = (x1, x2, x3, x4, x5)T takový, že x W , pak platí: x W právě když x v1 x v2 x v3 a tedy x W právě když x, v1 = 0; x, v2 = 0; x, v3 = 0 z toho plyne x1 -x2 +x3 = 0 x1 +x3 +x5 = 0 x1 +x2 -x4 +x5 = 0 dále řešíme tuto soustavu rovnic pro nalezení tvaru vektoru x úpravou na schodovitý tvar pomocí elementárních řádkových úprav 1 -1 1 0 0 | 0 1 0 1 0 1 | 0 1 1 0 -1 1 | 0 1 -1 1 0 0 | 0 0 1 0 0 1 | 0 0 2 -1 -1 1 | 0 1 -1 1 0 0 | 0 0 1 0 0 1 | 0 0 0 1 1 1 | 0 zavedeme parametry a, b a dostáváme: x5 = b; x4 = a; x3 = -a - b; x2 = -b; x1 = a podprostor vektorů x, což je podprostor vektorů kolmých na vektory báze podprostoru W, a tedy ortogonální doplňek podprostoru W, je generován vektory, které dostáváme nezávislou volbou parametrů a a b W = [(1, 0, -1, 1, 0)T , (0, -1, -1, 0, 1)T ] Úloha 3: Najděte kolmý průmět vektoru v do podprostoru W = [w1, w2] v E4, kde w1 = (1, -1, -1, 2)T , w2 = (3, 1, 0, 1)T , v = (-2, 2, 2, 5)T . Řešení: Kolmý průmět Pv vektoru v předpokládáme ve tvaru lineární kombinace vek- torů báze podprostoru W, do kterého promítáme Pv = a1w1 + a2w2 Aby šlo o kolmou projekci, musí být podle definice 3.11. vektor v-Pv kolmý na podprostor W, a tedy musí platit: v - Pv w1 v - Pv w2 3. Skalární součin 29 z toho plyne v, w1 -a1 w1, w1 -a2 w2, w1 = 0 v, w2 -a1 w2, w1 -a2 w2, w2 = 0 po vyčíslení skalárních součinů dostáváme: 8 -7a1 -6a2 = 0 1 -6a1 -11a2 = 0 řešením této soustavy rovnic je a1 = 2 a a2 = -1, tedy Pv = 2(1, 1, -1, 2) - (3, 1, 0, 1) = (-1, 1, -2, 3) Cvičení 1. Zjistěte zda je zobrazení g : R2 × R2 R skalární součin (a) g(x, y) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 (b) g(x, y) = 4x1y1 + 2x1y2 + 5x2y2 (c) g(x, y) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2 2. Zjistěte, zda je zobrazení g : R3 × R3 R skalární součin (a) g(u, v) = 3u1v1 - u1v2 - u2v1 + 2u2v2 + u1v3 + u3v1 + u3v3 (b) g(u, v) = 2u1v1 - u1v2 - u2v1 + u3v3 (c) g(u, v) = u1v1 + 2u1v2 - u2v1 + u2v2 + u3v1 + 2u3v3 (d) g(u, v) = u1v1 + 2u2v2 - u2v3 - u3v2 + 3u3v3 (e) g(u, v) = 3u1v1 + u1v2 + u2v1 + u2v2 + u3v3 3. Ve vektorovém prostoru R2[x] je pro libovolné dva polynomy f, g definováno reálné číslo f, g . Rozhodněte, zda je takto definován skalární součin. (a) f, g = 1 -1 f(t)g(t)dt (b) f, g = 1 4. Ve vektorovém prostoru Mat22(R) je pro libovolné vektory A = a1 a2 a3 a4 , B = b1 b2 b3 b4 definováno reálné číslo A, B . Rozhodněte, zda je takto definován skalární součin. (a) A, B = det(A.B) (b) A, B = det(A + B) 30 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie (c) A, B = a1b1 + a4b4 (d) A, B = a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4 5. Zkuste na R2 najít takový skalární součin, aby vektory u a v byly na sebe kolmé. (a) u = (1, 2)T , v = (2, 3)T (b) u = (-5, 2)T , v = (10, -4)T 6. Najděte ortogonální bázi podprostoru generovaného vektory (3, 2, -4, 6)T , (8, 1, -2, -16)T , (5, 12, -14, 5)T , (11, 3, 4, -7)T v euklidovském prostoru E4. 7. Určete ortogonální bázi podprostoru generovaného vektory (1, 0, 4, -1)T , (1, -4, 0, 1)T , (-4, 1, 1, 0)T a jeho ortogonálního doplňku v euklidovském prostoru E4. 8. Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem sestrojte ortogonální bázi pod- prostoru generovaného vektory (1, 1, -1, -1)T , (1, -1, 1, 1)T , (-1, -2, 0, 1)T v euk- lidovském prostoru E4. 9. V euklidovském prostoru V nalezněte ortogonální bázi podprostoru W, je-li: (a) V = E4, W = [(1, 2, 2, -1)T , (1, 1, -5, 3)T , (3, 2, 8, -7)T ] (b) V = E4, W = [(1, 0, 1, 0)T , (0, 1, 0, -7)T , (3, -2, 3, 14)T ] (c) V = E5, W = [(1, 2, 0, 1, 2)T , (1, 1, 3, 0, 1)T , (1, 3, -3, 2, 3)T , (1, -1, 9, -2, -1)T ] (d) V = E5, W = [(1, -1, 0, 1, 1)T , (1, -1, 1, 0, -1)T , (1, -2, -2, 0, 0)T , (1, -4, 1, 3, 4)T ] 10. V euklidovském prostoru E4 jsou dány vektory u, v. Ukažte, že tyto vektory jsou ortogonální a doplňte je na ortogonální bázi celého prostoru. Přitom: (a) u = (1, -2, 2, 1)T , v = (1, 3, 2, 1)T (b) u = (2, 3, -3, -4)T , v = (-1, 3, -3, 4)T (c) u = (1, 7, 7, 1)T , v = (-1, 7, -7, 1)T 11. Najděte ortogonální bázi vektorového prostoru R3[x] se skalárním součinem defino- vaným f, g = 1 -1 f(t)g(t)dt. Najděte matici přechodu od nalezené báze do stan- dardní báze [1, x, x2 , x3 ]. 12. V euklidovském prostoru E5 je dán podprostor W. Nalezněte ortogonální bázi orto- gonálního doplňku W , je-li: (a) W = {(r + s + t, -r + t, r + s, -t, s + t); r, s, t R} (b) W = [(1, -1, 2, 1, -3)T , (2, 1, -1, -1, 2)T , (1, -7, 12, 7, -19)T , (1, 5, -8, -5, 13)T ] 13. V euklidovském prostoru E4 nalezněte ortonormální bázi podprostoru vektorů, které jsou ortogonální k vektorům u = (1, 1, 1, 1)T , v = (1, -1, -1, 1)T , w = (2, 1, 1, 3)T . 3. Skalární součin 31 14. Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které je zadaný vektor u z eukli- dovského prostoru V normovaný. Přitom: (a) V = E5, u = (a + 1, 0, a + 2, 0, a + 1)T (b) V = R2[x], se skalárním součinem f, g = 1 0 f(t)g(t)dt, u = 3x2 + a (c) V = R2[x], se skalárním součinem f, g = 1 -1 f(t)g(t)dt, u = 3x2 + a 15. Najděte ortogonální doplněk podprostoru P generovaného vektory (-1, 2, 0, 1)T , (3, 1, -2, 4)T , (-4, 1, 2, -4)T v E4. 16. V euklidovském prostoru E4 jsou dány podprostory W = [u1, u2, u3] a S = [v], kde u1 = (1, 1, 1, 1)T , u2 = (-2, 6, 0, 8)T , u3 = (-3, 1, -2, 2)T , v = (1, a, 3, b)T . (a) Nalezněte ortogonální bázi W. (b) Určete hodnoty a, b tak, aby podprostory W, S byly kolmé. 17. Najděte ortogonální průmět vektoru (1, 2, 3)T do podprostoru generovaného vektory (-1, 1, 1)T , (1, 1, 1)T v E3. 18. Necht' je L = [u, v, w] podprostor v E4. Najděte kolmý průmět vektoru z do L . (a) z = (4, 2, -5, 3)T , u = (5, 1, 3, 3)T , v = (3, -1, -3, 5)T , w = (3, -1, 5, -3)T (b) z = (2, 5, 2, -2)T , u = (1, 1, 2, 8)T , v = (0, 1, 1, 3)T , w = (1, -2, 1, 1)T 19. V euklidovském prostoru V najděte ortogonální projekci vektoru u do podprostoru W, je-li: (a) V = E4, u = (-2, 2, 2, 5)T , W = [(1, 1, -1, 2)T , (3, 1, 0, 1)T , (2, 0, 1, -1)T ] (b) V = E4, u = (2, 7, -3, -6)T , W = {(r + s, r + s, -r - 3s, 2r + 3s); r, s R} (c) V = E4, u = (1, 2, 3, 4)T , W = [(0, 1, 0, 1)T ] (d) V = E4, u = (4, -1, -3, 4)T , W = [(1, 1, 1, 1)T , (1, 2, 2, -1)T , (1, 0, 0, 3)T ] 20. Necht' u, v jsou vektory z euklidovského prostoru V . Dokažte, že platí nerovnost | u - v | u - v . 21. Dokažte, že pro libovolných n reálných čísel x1, x2, . . . , xn platí nerovnost x1 + x2 + + xn n x2 1 + x2 2 + + x2 n n . (Návod: Použijte Cauchyovu-Schwartzovu nerovnost.) 32 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie 22. Dokažte, že pro libovolnou spojitou funkci f platí 1 a - b b a f(x) dx 1 a - b b a f2(x) dx . (Návod: Použijte Cauchyovu-Schwartzovu nerovnost.) 23. Dokažte, že je-li 2x + 4y = 1, pro libovolná x, y R, pak x2 + y2 1 20 . 24. Dokažte, že pro libovolná x, y, z R platí nerovnost x 2 + y 3 + z 6 2 x2 2 + y2 3 + z2 6 . 25. Dokažte,že pro libovolná a1, a2, . . . , an R+ platí a2 1 a2 + a2 2 a3 + + a2 n-1 an + a2 n a1 a1 + a2 + + an . 26. Dokažte,že pro libovolná a1, a2, . . . , an R+ platí (a1 + a2 + + an) 1 a1 + 1 a2 + + 1 an n2 . 27. Určete velikost výslednice F čtyř komplanárních sil (tj. sil ležících v jedné rovině) F1, F2, F3, F4 působících z jediného bodu, jestliže velikost každé síly je 10 N a úhel mezi dvěma sousedními silami je (a) = 30o (b) = 45o 28. Tři síly F1, F2, F3 působí z jednoho bodu v prostoru. Každé dvě síly svírají stejný úhel . Velikosti těchto sil jsou |F1| = 2 N, |F2| = 3 N, |F3| = 4 N. Určete úhel tak, aby velikost výslednice sil byla F = 5 N. 4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel 33 4. EUKLIDOVSKÁ ANALYTICKÁ GEOMETRIE - VZDÁLENOST A ÚHEL Teorie 4.1. Definice. Necht' A, B jsou body euklidovského prostoru Rn . Pak reálné číslo (A, B) = A - B , tj. velikost vektoru A - B, nazýváme vzdáleností bodů A a B. 4.2. Definice. Necht' M je podprostor euklidovského prostoru Rn a A bod z tohoto pros- toru. Pak, vzdáleností bodu A od afinního podprostoru M nazýváme nezáporné reálné číslo (A, M), definované (A, M) = min{ A - B , B M} . 4.3. Věta. Necht' M je afinní podprostor v Rm a B M je libovolný bod z M, pak vzdálenost bodu A Rn od afinního podprostoru M je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A - B do ortogonálního doplňku zaměření podprostoru M, tj. do Z (M). 4.4. Definice. Necht' P, Q jsou podprostory euklidovského prostoru Rn . Pak vzdáleností podprostorů P, Q nazýváme nezáporné reálné číslo (P, Q), definované (P, Q) = min{ A - B ; A P, B Q} . 4.5. Věta. Necht' P, Q jsou dva afinní podprostory, A P je libovolný bod z P a B Q libovolný bod z Q , pak vzdálenost podprostorů P a Q je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A - B do [Z(P) + Z(Q)] . 4.6. Definice. Necht' u, v V jsou nenulové vektory. Pak odchylkou jednorozměrných podprostorů [u], [v] ve V rozumíme reálné číslo (někdy značíme (u, v)), pro které platí: cos = | u, v | u v , 0 2 4.7. Definice. Necht' U, V jsou podprostory euklidovského vektorového prostoru. Pak odchylku podprostorů U, V definujeme takto: (a) Je-li U V nebo V U, pak (U, V ) = 0. (b) Je-li U V = {o}, pak (U, V ) = min{(u, v); u U, v V ; u, v = o}. (c) Je-li U V = {o}, pak (U, V ) = (U (U V ) , V (U V ) ). 4.8. Věta. Necht' v je vektor a U je podprostor v euklidovském prostoru Rn . Necht' Pv je ortogonální projekce vektoru v do podprostoru U. Pak odchylka vektorových podprostorů 34 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie U a [v] je cos (U, [v]) = cos (v, Pv) = Pv v . 4.9. Věta. Necht' N1, N2 jsou nadroviny v euklidovském vektorovém prostoru Rn , n 2 a necht' a je normálový vektor nadroviny N1 a b je normálový vektor nadroviny N2. Pak odchylka těchto nadrovin je odchylka jejich normálových vektorů. cos (N1, N2) = cos (a, b) 4.10. Definice. Odchylkou dvou afinních podprostorů P, Q rozumíme odchylku jejich zaměření Z(P), Z(Q). Řešené příklady Úloha 1: V euklidovském prostoru E4 určete vzdálenost roviny : (4, 1, 1, 0)+t(1, -1, 0, 0)+ s(2, 0, -1, 0) a přímky p : (5, 4, 4, 5) + r(0, 0, 1, -4). Řešení: 1. způsob: Nejprve najdeme ortogonální doplněk součtu zaměření roviny a přímky 1 -1 0 0 | 0 2 0 -1 0 | 0 0 0 1 -4 | 0 1 -1 0 0 | 0 0 2 -1 0 | 0 0 0 1 -4 | 0 Zavedeme parametr t, čili x4 = t,pak x3 = 4t, x2 = 2t, x1 = 2t, zvolíme-li např. t = 1, dostáváme [Z() + Z(p)] = [(2, 2, 4, 1)T ], označme tento vektor u. Nyní zvolíme libovolné body A , B p, např. A = (4, 1, 1, 0)T , B = (5, 4, 4, 5)T , a označíme vektor A - B = x = (1, 3, 3, 5)T . Podle věty 4.5. je vzdálenost roviny a přímky rovna průmětu vektoru x do podprostoru [u]. Hledáme tedy kolmý průmět Px. Předpokládáme Px ve tvaru: Px = au x - Px u z toho plyne x, u - a u, u = 0 25 - 25a = 0 a tedy a = 1 pak Px = u = (2, 2, 4, 1)T (, p) = Px = 5 2.způsob: Opět potřebujeme najít ortogonální doplňek součtu zaměření obou podprostorů, který jsme určili v předcházejícím výpočtu [Z() + Z(p)] = [(2, 2, 4, 1)T ], označme tento vektor u. 4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel 35 Nyní hledáme body A0 a B0 p jimiž se vzdálenost (, p) realizuje. Vektor A0 - B0 je kolmý k rovině i přímce p a tedy A0 - B0 [Z() + Z(p)] , tzn. je lineární kombinací vektoru báze [Z() + Z(p)] A0 - B0 = ku . Dále víme: A0 = (4, 1, 1, 0) + t(1, -1, 0, 0) + s(2, 0, -1, 0) B0 = (5, 4, 4, 5) + r(0, 0, 1, -4) a tedy (4, 1, 1, 0) + t(1, -1, 0, 0) + s(2, 0, -1, 0) - (5, 4, 4, 5) - r(0, 0, 1, -4) = k(2, 2, 4, 1) . Dostáváme tedy soustavu rovnic: t +2s -2k = 1 -t -2k = 3 -s -r -4k = 3 4r -k = 5 tuto soustavu řešíme užitím Gaussovy eliminace 1 2 0 -2 | 1 -1 0 0 -2 | 3 0 -1 -1 -4 | 3 0 0 4 -1 | 5 1 2 0 -2 | 1 0 2 0 -4 | 4 0 -1 -1 -4 | 3 0 0 4 -1 | 5 1 2 0 -2 | 1 0 1 0 -2 | 2 0 0 -1 -6 | 5 0 0 4 -1 | 5 1 2 0 -2 | 1 0 1 0 -2 | 2 0 0 -1 -6 | 5 0 0 0 -25 | 25 z toho plyne k = -1, r = 1, s = 0, t = -1. A tedy A0 - B0 = -1u = (-2, -2, -4, -1)T z toho plyne (, p) = u = 5 , dále můžeme taky určit body, ve kterých se tato vzdálenost realizuje: A0 = (4, 1, 1, 0) - (1, -1, 0, 0) = (3, 2, 1, 0)T B0 = (5, 4, 4, 5) + (0, 0, 1, -4) = (5, 4, 5, 1)T 3.způsob: Budeme potřebovat bázi součtu zaměření, což je např. Z()+Z(p) = [(1, -1, 0, 0)T , (2, 0, -1, 0)T , (0, 0, 1, -4)T ], označme tyto vektory postupně v1, v2, v3. 36 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie Nyní hledáme body A0 a B0 p jimiž se vzdálenost (, p) realizuje. Vektor A0 - B0 je kolmý k rovině i přímce p a tedy A0 - B0 je kolmý k Z() + Z(p), tzn. je kolmý k vektorům báze Z() + Z(p), tedy A0 - B0 v1, A0 - B0 v2, A0 - B0 v3. Dále víme: A0 = (4, 1, 1, 0) + t(1, -1, 0, 0) + s(2, 0, -1, 0) B0 = (5, 4, 4, 5) + r(0, 0, 1, -4) a tedy A0 - B0 = (-1, -3, -3, -5) + t(1, -1, 0, 0) + s(2, 0, -1, 0) - r(0, 0, 1, -4) . Dostáváme tedy soustavu rovnic: A0 - B0, v1 = 0 A0 - B0, v2 = 0 A0 - B0, v3 = 0 2t +2s = -2 2t +5s +r = -1 -s -17r = -17 tuto soustavu řešíme užitím Gaussovy eliminace 2 2 0 | -2 2 5 1 | -1 0 -1 -17 | -17 1 1 0 | -1 0 3 1 | 1 0 1 17 | 17 1 1 0 | -1 0 3 1 | 1 0 0 1 | 1 z toho plyne r = 1, s = 0, t = -1. A tedy A0 = (4, 1, 1, 0) - (1, -1, 0, 0) = (3, 2, 1, 0)T B0 = (5, 4, 4, 5) + (0, 0, 1, -4) = (5, 4, 5, 1)T z toho plyne A0 - B0 = (-2, -2, -4, -1)T (, p) = A0 - B0 = 5 . Úloha 2: Určete vzdálenost rovin : (4, 5, 3, 2) + t(1, 2, 2, 2) + s(2, 0, 2, 1); : (1, -2, 1, -3) + r(2, -2, 1, 2) + p(1, -2, 0, -1) v euklidovském prostoru E4. 4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel 37 Řešení: 1. způsob: Nejprve najdeme ortogonální doplněk součtu zaměření obou rovin 1 2 2 2 | 0 2 0 2 1 | 0 2 -2 1 2 | 0 1 -2 0 -1 | 0 1 2 2 2 | 0 0 -4 -2 -3 | 0 0 6 3 2 | 0 0 -4 -2 -3 | 0 1 2 2 2 | 0 0 4 2 3 | 0 0 0 0 5 | 0 0 0 0 0 | 0 Z toho plyne, že x4 = 0, dále zavedeme parametr t, čili x3 = t, x2 = -1 2 t, x1 = -t, zvolíme-li např. t = -2, dostáváme [Z()+Z()] = [(2, 1, -2, 0)T ], označme tento vektor u (Je vidět, že roviny jsou částečně rovnoběžné). Nyní zvolíme libovolné body A , B , např. A = (4, 5, 3, 2)T , B = (1, -2, 1, -3)T , a označíme vektor A - B = x = (3, 7, 2, 5)T . Podle věty 4.5. je vzdálenost rovin rovna průmětu vektoru x do podprostoru [u]. Hledáme tedy kolmý průmět Px. Předpokládáme Px ve tvaru: Px = au x - Px u z toho plyne x, u - a u, u = 0 9 - 9a = 0 a tedy a = 1 pak Px = u = (2, 1, -2, 0)T (, ) = Px = 3 2.způsob: Opět potřebujeme najít ortogonální doplňek součtu zaměření obou rovin, který jsme určili v předcházejícím výpočtu [Z() + Z()] = [(2, 1, -2, 0)T ], označme tento vektor u. Nyní hledáme body A0 a B0 jimiž se vzdálenost (, ) realizuje. Vektor A0 - B0 je kolmý k rovině i a tedy A0 -B0 [Z()+Z()] , tzn. je lineární kombinací vektoru báze [Z() + Z()] A0 - B0 = ku . Dále víme: A0 = (4, 5, 3, 2) + t(1, 2, 2, 2) + s(2, 0, 2, 1) B0 = (1, -2, 1, -3) + r(2, -2, 1, 2) + p(1, -2, 0, -1) a tedy (4, 5, 3, 2)+t(1, 2, 2, 2)+s(2, 0, 2, 1)-(1, -2, 1, -3)-r(2, -2, 1, 2)-p(1, -2, 0, -1) = = k(2, 1, -2, 0) . Dostáváme tedy soustavu rovnic: 2k +p +2r -2s -t = 3 k -2p -2r -2t = 7 -2k +r -2s -2t = 2 -p +2r -1s -2t = 5 38 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie tuto soustavu řešíme užitím Gaussovy eliminace 2 1 2 -2 -1 | 3 1 -2 -2 0 -2 | 7 -2 0 1 -2 -2 | 2 0 -1 2 -1 -2 | 5 2 1 2 -2 -1 | 3 0 -5 -6 2 -3 | 11 0 1 3 -4 -3 | 5 0 -1 2 -1 -2 | 5 2 1 2 -2 -1 | 3 0 -5 -6 2 -3 | 11 0 0 9 -18 -18 | 36 0 0 1 -1 -1 | 2 2 1 2 -2 -1 | 3 0 -5 -6 2 -3 | 11 0 0 1 -2 -2 | 4 0 0 0 1 1 | -2 zvolíme např. t = 1, pak s = -3, r = 0, p = -4, k = 1. A tedy A0 - B0 = 1u = (2, 1, -2, 0)T z toho plyne (, ) = u = 3 , dále můžeme taky určit body, ve kterých se tato vzdálenost realizuje: A0 = (4, 5, 3, 2) + (1, 2, 2, 2) - 3(2, 0, 2, 1) = (-1, 7, -1, 1)T B0 = (1, -2, 1, -3) - 4(1, -2, 0, -1) = (-3, 6, 1, 1)T Zde by nás mohla zmást volba t = 1, zkusme tedy, co se stane, když zvolíme t = 2, pak s = -4, r = 0, p = -5, k = 1. Hodnota k se nezměnila a nezmění se tedy ani hodnota vzdálenosti. A0 - B0 = 1u = (2, 1, -2, 0)T z toho plyne (, ) = u = 3 , A0 = (4, 5, 3, 2) + 2(1, 2, 2, 2) - 4(2, 0, 2, 1) = (-2, 9, -1, 2)T B0 = (1, -2, 1, -3) - 5(1, -2, 0, -1) = (-4, 8, 1, 2)T Jinou volbou se vzdálenost nezmění, pouze se změní body, ve kterých se tato vzdálenost realizuje. To znamená, že vzdálenost se může realizovat v nekonečně mnoha bodech (to odpovídá nekonečně mnoha volbám parametru), což je způsobeno tím, že roviny jsou částečně rovnoběžné. 3.způsob: Budeme potřebovat bázi součtu zaměření. Snadno zjistíme, že je to např. Z() + Z() = [(1, 2, 2, 2)T , (2, 0, 2, 1)T , (2, -2, 1, 2)T ], označme tyto vektory postupně v1, v2, v3. Nyní hledáme body A0 a B0 jimiž se vzdálenost (, ) realizuje. Vektor A0 - B0 je kolmý k rovině i a tedy A0 - B0 je kolmý k Z() + Z(), tzn. je kolmý k vektorům báze Z() + Z(), tedy A0 - B0 v1, A0 - B0 v2, A0 - B0 v3. Dále víme: A0 = (4, 5, 3, 2) + t(1, 2, 2, 2) + s(2, 0, 2, 1) 4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel 39 B0 = (1, -2, 1, -3) + r(2, -2, 1, 2) + p(1, -2, 0, -1) a tedy A0 - B0 = (3, 7, 2, 5) + t(1, 2, 2, 2) + s(2, 0, 2, 1) - r(2, -2, 1, 2) - p(1, -2, 0, -1) . Dostáváme tedy soustavu rovnic: A0 - B0, v1 = 0 A0 - B0, v2 = 0 A0 - B0, v3 = 0 13t +8s -4r +5p = -31 8t +9s -8r -p = -15 4t +8s -13r -4p = -4 tuto soustavu řešíme užitím Gaussovy eliminace 4 8 -13 -4 | -4 8 9 -8 -1 | -15 13 8 -4 5 | -31 4 8 -13 -4 | -4 0 -7 18 7 | -7 0 8 -17 -8 | 8 4 8 -13 -4 | -4 0 -7 18 7 | -7 0 0 25 0 | 0 z toho plyne r = 0, zvolíme p = 1, pak s = 2, t = -4. A tedy A0 = (4, 5, 3, 2) - 4(1, 2, 2, 2) + 2(2, 0, 2, 1) = (4, -3, -1, -4)T B0 = (1, -2, 1, -3) + (1, -2, 0, -1) = (2, -4, 1, -4)T z toho plyne A0 - B0 = (2, 1, -2, 0)T (, ) = A0 - B0 = 3 . Volba za p opět není jednoznačná, zvolíme-li jinak, dostaneme jiné body, ve kterých se vzdálenost realizuje, ale hodnota vzdálenosti se nezmění. Úloha 3: Určete úhel přímky p : (1, 2, 3, 4) + t(-3, 15, 1, -5) a podprostoru B : (0, 0, 0, 0) + r(1, -5, -2, 10) + s(1, 8, -2, -16) v E4. Řešení: Označme vektor, který generuje zaměření přímky p, u a vektory, ktaré generují zaměření podprostoru B, postupně x, y. Podle věty 4.8. je úhel p a B roven úhlu, který svírá vektor u a jeho ortogonální projekce Pu do Z(B). Hledáme tedy Pu: Pu = a1x + a2y u - Pu B z toho plyne u - Pu x u - Pu y 40 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie u, x -a1 x, x -a2 x, y = 0 u, y -a1 x, y -a2 y, y = 0 po vyčíslení skalárních součinů dostáváme: -130 -130a1 +195a2 = 0 195 +195a1 -325a2 = 0 . Vyřešením této soustavy dostáváme a1 = -1, a2 = 0, a tedy Pu = -x = (-1, 5, 2, -10)T z toho plyne cos (p, B) = Pu u = 130 260 = 2 2 (p, B) = 4 Úloha 4: Nalezněte odchylku roviny : (2, 1, 0, 1) + t(1, 1, 1, 1) + s(1, -1, 1, -1) a roviny : (1, 0, 1, 1) + r(2, 2, 1, 0) + p(1, -2, 2, 0) v prostoru E4. Řešení: Budeme postupovat podle definice 4.7. Nejprve budeme hledat průnik zaměření obou rovin Z() Z(). t(1, 1, 1, 1) + s(1, -1, 1, -1) = r(2, 2, 1, 0) + p(1, -2, 2, 0) 1 1 -2 -1 | 0 1 -1 -2 2 | 0 1 1 -1 -2 | 0 1 -1 0 0 | 0 1 1 -2 -1 | 0 0 -2 0 3 | 0 0 0 1 -1 | 0 0 0 0 0 | 0 tzn. r = p a Z() Z() = (1, 0, 1, 0)T . Dále musíme najít P = Z()(Z()Z()) a Q = Z()(Z()Z()) . Jde vidět, že (Z() Z()) = (1, 0, -1, 0)T , (0, 1, 0, 0)T , (0, 0, 0, 1)T . Pak najdeme P: k1(1, 0, -1, 0) + k2(0, 1, 0, 0) + k3(0, 0, 0, 1) = t(1, 1, 1, 1) + s(1, -1, 1, -1) 1 0 0 -1 -1 | 0 0 1 0 -1 1 | 0 -1 0 0 -1 -1 | 0 0 0 1 -1 1 | 0 1 0 0 -1 -1 | 0 0 1 0 -1 1 | 0 0 0 1 -1 1 | 0 0 0 0 1 1 | 0 . Tzn. t = -s a P = (0, 1, 0, 1)T , označme tento vektor a. Nyní najdeme Q: k1(1, 0, -1, 0) + k2(0, 1, 0, 0) + k3(0, 0, 0, 1) = r(2, 2, 1, 0) + p(1, -2, 2, 0) 4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel 41 1 0 0 -2 -1 | 0 0 1 0 -2 2 | 0 -1 0 0 -1 -2 | 0 0 0 1 0 0 | 0 1 0 0 -2 -1 | 0 0 1 0 -2 2 | 0 0 0 1 0 0 | 0 0 0 0 1 1 | 0 . Tzn. r = -p a Q = (1, 4, -1, 0)T , označme tento vektor b. Úhel daných rovin je pak roven úhlu, který svírají vektory a a b. cos = a, b a b = 4 2 18 = 2 3 Cvičení 1. V euklidovském prostoru E4 resp. E5 určete vzdálenost bodu A od podprostoru P. (a) A = (4, 1, -4, -5); P : (3, -2, 1, 5) + t(2, 3, -2, -2) + s(4, 1, 3, 2) (b) A = (1, 1, -2, -3, -2); P : (3, 7, -5, 4, 1) + t(1, 1, 2, 0, 1) + s(2, 2, 1, 3, 1) (c) A = (2, 1, -3, 4); P : 2x1 - 4x2 - 8x3 + 13x4 + 19 = 0, x1 + x2 - x3 + 2x4 - 1 = 0 (d) A = (1, -3, -2, 9, -4); P : x1 - 2x2 - 3x3 + 3x4 + 2x5 + 2 = 0, x1 - 2x2 - 7x3 + 5x4 + 3x5 - 1 = 0 (e) A = (2, 1, 4, -5); P : (1, -1, 1, 0) + t(0, 1, 2, -2) (f) A = (-9, 2, 1, -5); P : (1, 2, 0, 0) + t(-1, 1, 1, 3) + s(0, -2, 1, -1) (g) A = (4, 2, -5, 1); P : 2x1 -2x2 +x3 +2x4 -9 = 0, 2x1 -4x2 +2x3 +3x4 -12 = 0 (h) A = (2, 1, -1, 0); P : 3x1 + x3 - x4 + 6 = 0 2. Určete vzdálenost přímek p, q v euklidovském prostoru En (pro n = 3, 4, 5). (a) p : (9, -2, 0) + t(4, -3, 1); q : (0, -7, 2) + s(-2, 9, 2) (b) p : (6, 3, -3) + t(-3, 2, 4); q : (-1, -7, 4) + s(-3, 3, 8) (c) p : (2, -2, 1, 7) + t(0, 4, -2, -3); q : (3, 0, 0, -1) + s(-2, 0, 1, 1) (d) p : (7, 5, 8, 1) + t(2, 0, 3, 1); q : x1 - 4x3 + 7 = 0, x2 + 2x3 - 5 = 0, x4 - 3 = 0 (e) p : (-3, 2, 3, 3) + t(-1, 1, 1, 0); q : (6, 5, 7, 3) + r(0, 0, -1, 2) 3. Určete vzdálenost přímky p a roviny v euklidovském prostoru E4 resp. E5. (a) p : (1, 3, -3, -1) + t(1, 0, 1, 1); : -x1 + x2 + x3 + x4 = 3; -3x2 + 2x3 - 4x4 = 4 42 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie (b) p : (5, 4, 4, 5) + r(0, 0, 1, -4); : (4, 1, 1, 0) + t(1, -1, 0, 0) + s(2, 0, -1, 0) (c) p : (1, 6, -6, 4) + t(1, -5, 8, 5); : (6, 3, -5, 5) + s(1, -2, 2, 2) + r(2, -1, -2, 1) 4. Určete vzdálenost rovin a v euklidovském prostoruE4 resp. E5, je-li: (a) : x1 + x3 + x4 - 2x5 = 2; x2 + x3 - x4 - x5 = 3; x1 - x2 + 2x3 - x5 = 3; : (1, -2, 5, 8, 2) + t(0, 1, 2, 1, 2) + s(2, 1, 2, -1, 1) (b) : x1 + x2 + 2x3 = 4; 2x1 + 3x2 + 4x4 = 9; : x1 - 2x2 - 2x4 = -25; x1 - x3 + x4 = 15 (c) : (5, 0, -1, 9, 3) + t(1, 1, 0, -1, -1) + s(1, -1, 0, -1, 1); : (3, 2, -4, 7, 5) + r(1, 1, 0, 1, 1) + u(0, 3, 0, 1, -2) (d) : (4, 2, 2, 2, 0) + t(1, 2, 2, -1, 1) + s(2, 1, -2, 1, -1); : x1 - x2 = 0; x1 - x3 + x4 + x5 = -1; x3 + x4 - x5 = 4 (e) : (0, 2, 6, -5) + t(-7, 1, 1, 1) + s(-10, 1, 2, 3); : x1 + 3x2 + x3 + x4 = 3; x1 + 3x2 - x3 + 2x4 = 5 (f) : (-4, 3, -3, 2, 4) + t(2, 0, 1, 1, 1) + s(-5, 1, 0, 1, 1); : x1 - 2x2 + x3 - x4 + 3x5 = 6; x1 - x3 - x4 + 3x5 = 0 5. Určete odchylku přímky p = {A, [u]} a podprostoru B v E4 resp. E5. (a) u = (1, 0, 3, 0)T ; B : (1, 1, 1, 1) + t(1, 1, 4, 5) + s(5, 3, 4, -3) + r(2, -1, 1, 2) (b) u = (1, 2, -2, 1)T ; B : (1, 1, 1, 1) + t(2, -2, 1, -1) (c) u = (1, 3, -1, 3)T ; B : 3x1 + x3 - 4x4 = 0, 2x1 - x2 - 3x4 = -1 (d) u = (3, 1, 2, -2)T ; B : (1, 2, 1, 1)+t(-1, 1, -1, 0)+s(-1, 2, -2, 1)+r(2, -1, 2, 1) (e) u = (2, 0, 2, -1)T ; B : 3x1 - 2x2 + 2x3 + x4 = 7 (f) u = (2, 0, 0, 2, 1)T ; B : x1 + x2 + x3 + x5 = 7 (g) u = (0, 1, -1, 0, 0)T ; B : (2, 1, 1, 2, 2)+t(2, 1, 0, 1, -1)+s(3, 2, 0, 0, 1)+r(0, 1, 0, 1, 0)+ p(1, 0, 0, 1, 3) (h) u = (3, 4, 4, 3)T ; B : (2, 0, 0, 1) + t(-2, 0, -1, 0) + s(1, 0, 3, 0) (i) u = (3, 4, 4, 3)T ; B : (2, 9, 0, 6) + t(0, 1, 0, 5) + s(0, 2, 0, -7) (j) u = (1, -1, 1, 3)T ; B : (3, 1, 4, 5) + t(2, -2, 3, 0) + s(-1, 1, -2, 0) 6. V E3 určete odchylku rovin a . (a) : 2x - y + z - 1 = 0; : x + y + 2z + 3 = 0 (b) : x + 2z - 6 = 0; : x + 2y - 4 = 0 7. Určete odchylku podprostorů a v E4 resp. E5. 4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel 43 (a) : (1, 2, 5, 1) + t(1, 1, 0, 0) + s(3, 3, 0, 1) : (1, 5, 4, 1) + r(0, 0, 0, -1) + p(2, 0, 0, 1) (b) : (4, 2, 0, 1, 0) + t(1, 1, 1, 0, 0) + s(2, 2, 2, 0, 3) : (1, 1, 0, 1, 0) + r(0, 1, 0, 0, 1) + p(1, 1, 1, 1, 0) + q(1, 1, 1, 1, 1) (c) : (7, 3, 5, 1) + t(0, 0, 1, 0) + s(2, 2, 1, 0) : (1, 3, 4, 1) + r(1, 0, 0, 0) + p(3, 0, 1, 0) 8. Na přímce p : x1 + x2 + x4 - 7 = 0, x1 + 2x3 + x4 - 7 = 0, 2x1 - x2 + 3x3 + x4 - 9 = 0 nalezněte bod Q mající stejnou vzdálenost od bodů A = (-1, 1, 1, 1)T a B = (3, -1, -2, 2)T v euklidovském prostoru E4. 9. Na přímce p : x + y + 2z = 1, 3x + 4y - z = 29 nalezněte bod Q mající stejnou vzdálenost od bodů A = (3, 4, 11)T a B = (-5, -2, -13)T v euklidovském prostoru E3. 10. Nalezněte podprostor C v E5, který prochází bodem Q = (1, 0, 1, 0, 1)T a je kolmý k podprostoru B : 19x1 +11x2 -4x3 +5x4 +x5 = 3 7x1 +2x2 +x4 = 1 . 11. Nalezněte podprostor C v E5, který prochází bodem Q = (-1, 2, 5, 1, 4)T a je kolmý k podprostoru B danému bodem A = (3, 2, 1, 1, 2)T a vektory u = (7, 2, 1, 1, 3)T , v = (0, 4, -2, 1, -1)T . 12. Bodem Q = (2, 1, -3)T v E3 ved'te v rovině : 3x - 2y + z = 1 přímku q, která je kolmá k přímce p : (4, 5, 3) + t(-6, 6, 1). 13. V E3 nalezněte rovinu rovnoběžnou s rovinou : 3x - 6y - 2z + 14 = 0 a mající od ní vzdálenost 3. 14. V E3 nalezněte rovinu rovnoběžnou s rovinou : 2x-2y -z -7 = 0 a mající od ní vzdálenost 5. 15. Jsou dány body A = (-4, 1, 2) a B = (3, 5, -1) v E3. Určete bod C, víte-li, že střed dvojice bodů AC leží na přímce p : (1, 0, 1) + t(1, 1, 0) a střed dvojice bodů BC leží v rovině : x - y + 7z + 1 = 0. 16. Napište rovnici geometrického místa bodů v E3 stejně vzdálených od bodu A = (a, a 2 , a) a bodu B = (0, a 2 , 0). 17. Na přímce q : (1, -1, 0) + t(1, -2, -3) v E3 určrte bod Q mající od roviny : 2x + y - z + 2 = 0 vzdálenost 6. 18. Na přímce q : x - y + z - 3 = 0; 2x - 3y + 3z + 6 = 0 v E3 určete bod Q mající od roviny : x - 2y + z - 2 = 0 vzdálenost 1 6 . 44 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie 19. Najděte rovinu v E3 rovnoběžnou s rovinami : 3x + 2y - 2z - 3 = 0 a : 6x + 4y - 4z + 1 = 0, která dělí vzdálenost mezi nimi v poměru 2:3. 20. Odvod'te vztah pro vzdálenost bodu A = (y1, . . . , yn) od nadroviny N : a1x1 + + anxn + a0 = 0 v En. 5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice 45 5. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY, ORTOGONÁLNÍ MATICE Teorie 5.1. Definice. Lineární operátor je lineární zobrazení : V V , kde V je vektorový prostor. 5.2. Definice. Necht' : V V je lineární operátor, = (v1, v2, . . . , vn) báze vektorového prostoru V . Pak matice operátoru v bázi je matice (), = (aij), kde ve sloupci j jsou souřadnice vektoru (vj) v bázi . 5.3. Věta. Necht' : V V je lineární operátor, = (v1, v2, . . . , vn), = (u1, u2, . . . , un) jsou dvě báze vektorového prostoru V . Pak pro matice zobrazení v bázích a platí tento vztah: (), = (id), (), (id),, kde (id), je matice přechodu od báze k bázi . 5.4. Definice. Řekneme, že matice A a B jsou podobné, existuje-li regulární matice P taková, že B = P -1 A P. 5.5. Definice. Necht' V je vektorový prostor a : V V je lineární operátor. Podprostor U V se nazývá invariantní podprostor operátoru , jestliže (U) U. 5.6. Definice. Vektor u = o, u V , kde V je vektorový prostor, se nazývá vlastní vektor lineárního operátoru , existuje-li číslo K takové, že (u) = u Číslo se pak nazývá vlastní číslo. 5.7. Poznámka. Je-li matice lineárního zobrazení A, pak vlastní vektory x jsou nenulová řešení rovnic Ax = x. Tato soustava je ekvivalentní se soustavou (A - E)x = 0, což je homogenní soustava rovnic, která má nenulové řešení právě tehdy když det(A - E) = 0 . 5.8. Definice. Rovnice det(A - E) = 0 se nazývá charakteristická rovnice matice A. 46 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie 5.9. Věta. Vlastní čísla jsou právě kořeny charakteristické rovnice. Je-li číslo 0 vlastní číslo, pak vlastní vektory jsou řešením soustavy rovnic (A - 0E) = 0. 5.10. Definice. Algebraická násobnost vlastního čísla je násobnost tohoto čísla jakožto kořene charakteristické rovnice. Geometrická násobnost vlastního čísla je dimenze pod- prostoru Ker( - id). 5.11. Věta. Je-li = a+bi vlastní číslo reálné matice A s vlastním vektorem u = u1 +iu2, kde u1, u2 Rn , pak = a - bi je taky vlastní číslo s vlastním vektorem u = u1 - iu2. 5.12. Poznámka. Podprostor generovaný vektory u1, u2 v Rn z předchozí věty je inva- riantní podprostor zobrazení . Platí, že A (u1 + iu2) = (a + ib)(u1 + iu2) . Rozepsáním na reálnou a imaginární část rovnice dostáváme A u1 = au1 -bu2 A u2 = bu1 +au2 . Zobrazení má tedy v bázi [u1, u2] matici a -b b a . Číslo a + ib můžeme napsat v goniometrickém tvaru a + ib = a2 + b2(cos + i sin ), pak má matice zobrazení tvar a2 + b2 cos - sin sin cos . Tento operátor působí jako otočení o úhel složené se stejnolehlostí na dvourozměrném invariantním podprostoru zobrazení . 5.13. Věta. Necht' je lineární zobrazení a necht' = (v1, v2, . . . , vn) je báze tvořená vlastními vektory příslušnými vlastním číslům 1, 2, . . . , n. Pak matice lineárního zo- brazení v této bázi má tvar (), = 1 0 . . . 0 0 2 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . n . 5.14. Věta. Vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou lineárně nezávislé. 5.15. Definice. Necht' U a V jsou dva euklidovské vektorové prostory. Zobrazení : U V se nazývá ortogonální, právě když (u1), (u2) = u1, u2 pro u1, u2 U. 5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice 47 5.16. Věta. Necht' : U U je lineární operátor. Pak je ortogonální zobrazení, právě tehdy když pro matici zobrazení v ortonormální bázi platí, že A-1 = AT . 5.17. Definice. Matici A, pro kterou platí A-1 = AT , nazýváme ortogonální maticí. 5.18. Definice. Necht' U a V jsou dva unitární vektorové prostory. Zobrazení : U V se nazývá unitární právě když (u1), (u2) = u1, u2 pro u1, u2 U. 5.19. Věta. Necht' : U U je lineární operátor. Pak je unitární zobrazení, právě tehdy když pro matici zobrazení v ortonormální bázi platí, že A-1 = A T . 5.20. Definice. Matici A, pro kterou platí A-1 = A T , nazýváme unitární maticí. 5.21. Věta. Je-li matice A unitární, pak | det A| = 1 a její vlastní čísla mají absolutní hodnotu rovnu 1. 5.22. Věta. Necht' : U U je unitární zobrazení. Pak v U existuje ortonormální báze tvořená vlastními vektory taková, že v této bázi má matice zobrazení diagonální tvar (), = 1 0 . . . 0 0 2 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . n . 5.23. Poznámka. Každá ortogonální matice A je unitární. Má-li A reálná vlastní čísla, pak jsou to 1 nebo -1. Má-li komplexní vlastní číslo a + ib, pak má také vlastní číslo a - ib, a protože |a + ib| = 1, tak a2 + b2 = 1. Je-li u1 + iu2 vlastní číslo, pak u1 - iu2 je také vlastní číslo. Z toho, že (u1 + iu2) (u1 - iu2) plyne, že u1 = u2 a u1 u2. u1, u2 tedy tvoří ortogonální bázi dvourozměrného invariantního podprostoru. A(u1 + iu2) = (a + ib)(u1 + iu2) Z toho plyne Au1 = au1 - bu2, Au2 = bu1 + au2 . V bázi u1, u2 je tedy matice tohoto zobrazení (tuto bázi nazýváme kanonická báze) a -b b a = cos - sin sin cos . Toto zobrazení je tedy otočení o úhel . Z toho plyne, že každá ortogonální matice řádu 3 reprezentuje geometricky otočení kolem osy složené případně se symetrií podle roviny kolmé k této ose procházející počátkem. 48 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie Řešené příklady Úloha 1: Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního operátoru zadaného maticí A = 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 3 ve standardní bázi. Řešení: Podle věty 5.9. jsou vlastní čísla řešením charakteristické rovnice det(A - E) = 0. Spočteme tedy tento determinant, položíme ho roven nule a řešíme charakteri- stickou rovnici. det 1 - -1 1 -1 1 - 1 -1 -1 3 - = 0 z toho plyne (1 - )2 (3 - ) + 1 + 1 + (1 - ) + (1 - ) - (3 - ) = 0 (1 - )(2 - )2 = 0 Jako řešení charakteristické rovnice dostáváme dvě vlastní čísla, 1 = 1 s algebraickou násobností 1, 2 = 2 s algebraickou násobností 2. Podle věty 5.9. jsou vlastní vektory řešením homogenní soustavy rovnic (A - E) = 0. Pro 1 = 1 má homogenní soustava tvar 0 -1 1 | 0 -1 0 1 | 0 -1 -1 2 | 0 1 0 -1 | 0 0 1 -1 | 0 0 -1 1 | 0 . Zavedeme parametr t, x3 = t, pak x2 = t, x1 = t. Řešením je podprostor generovaný vektorem (1, 1, 1)T , tedy podprostor vlastních vektorů [(1, 1, 1)T ]. Geometrická násobnost vlastního čísla 1 je 1. Pro 2 = 2 má homogenní soustava tvar -1 -1 1 | 0 -1 -1 1 | 0 -1 -1 1 | 0 -1 -1 1 | 0 0 0 0 | 0 0 0 0 | 0 . 5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice 49 Zavedeme parametry t a s, x3 = t, x2 = s, pak x1 = t - s. Řešením je podprostor generovaný vektory (1, 0, 1)T , (-1, 1, 0)T , tedy podprostor vlastních vektorů [(1, 0, 1)T , (-1, 1, 0)T ]. Geometrická násobnost vlastního čísla 2 je 2 . Všimněte si, že v bázi : (1, 1, 1)T , (1, 0, 1)T , (-1, 1, 0)T je matice daného lineárního zobrazení diagonální 1 0 0 0 2 0 0 0 2 . Úloha 2: Analýzou vlastních čísel a vlastních vektorů matice A = 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 - 2 2 - 2 2 2 2 0 zjistěte, jaké geometrické zobrazení euklidovského prostoru R3 popisuje lineární operátor daný touto maticí. Určete matici operátoru ve vhodné ortogonální bázi. Řešení: Lehce ověříme, že A AT = E a tedy matice A je ortogonální. Nejprve hledáme vlastní čísla, to znamená, že najdeme charakteristický polynom. det 1 2 - 1 2 2 2 1 2 1 2 - - 2 2 - 2 2 2 2 - = -( 1 2 - )2 + 1 4 + 1 4 + ( 1 2 - ) + 1 4 = -3 + 2 - + 1 Řešením charakteristické rovnice jsou vlastní čísla 1 = 1 2 = i 3 = -i. Dále hledáme vlastní vektory, tj. řešíme vždy homogenní soustavu rovnic (A - E) = 0. Pro 1: -1 2 1 2 2 2 | 0 1 2 -1 2 - 2 2 | 0 - 2 2 2 2 -1 | 0 . Řešením této soustavy je podprostor vlastních vektorů [(1, 1, 0)T ]. Pro 2 = i: 1 2 - i 1 2 2 2 | 0 1 2 1 2 - i - 2 2 | 0 - 2 2 2 2 -i | 0 1 2 - i 1 2 2 2 | 0 1 - i 1 - i 0 | 0 0 2 - 2i -i - 1 | 0 . 50 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie Řešením této soustavy je podprostor vlastních vektorů [(-1, 1, 2i)T ]. Podle věty 5.11. je podprostor vlastních vektorů pro 3 roven [(-1, 1, - 2i)T ]. Podle poznámky 5.21. zvolíme novou reálnou ortonormální bázi = 2 2 , 2 2 , 0 T , - 2 2 , 2 2 , 0 T , (0, 0, 1)T Protože 2 = i, tak cos = 0 a sin = 1 z toho plyne, že se jedná o otočení o úhel 2 kolem osy dané směrem (1, 1, 0)T , musíme ale ještě určit orientaci otočení. Z matice zobrazení je vidět, že druhý vektor báze se zobrazí na třetí vektor báze a třetí vektor báze se zobrazí na vektor opačný k druhému vektoru báze. Otočení je tedy ve směru od druhého ke třetímu vektoru báze. Tvar matice operátoru v nové bázi je 1 0 0 0 0 -1 0 1 0 . Úloha 3: Ve standardních souřadnicích napište matici zobrazení, které je otočení o úhel 2 kolem přímky x = 0, y - z = 0. Řešení: Nejprve určíme matici v jisté ortonormální bázi , ve které má matice tvar 1 0 0 0 cos - sin 0 sin cos . Zobrazení je otočení kolem přímky x = 0, y - z = 0, první vektor báze tedy bude jednotkový směrový vektor této přímky (0, 2 2 , 2 2 )T . Pak doplníme na ortonormální bázi: : 0, 2 2 , 2 2 T , 0, 2 2 , - 2 2 T , (1, 0, 0)T (), = 1 0 0 0 cos 2 - sin 2 0 sin 2 cos 2 = 1 0 0 0 0 -1 0 1 0 Matice zobrazení ve standardní bázi pak je () , = (id) , (), (id), = (id) , (), (id)T , , 5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice 51 kde (id) , je matice přechodu od báze k bázi . (id) , = 0 0 1 2 2 2 2 0 2 2 - 2 2 0 Z toho plyne () , = 0 0 1 2 2 2 2 0 2 2 - 2 2 0 1 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 2 2 2 2 0 2 2 - 2 2 1 0 0 = = 0 1 0 2 2 0 - 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 - 2 2 1 0 0 () , = 0 2 2 - 2 2 - 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 . Cvičení 1. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního operátoru daného maticí: A = 2 -1 2 5 -3 3 -1 0 -2 B = 0 1 0 -4 4 0 -2 1 2 C = 4 -5 2 5 -7 3 6 -9 4 D = 7 -12 6 10 -19 10 12 -24 13 E = 4 -5 7 1 -4 9 -4 0 5 F = 3 -1 0 0 1 1 0 0 3 0 5 -3 4 -1 3 -1 G = -1 3 -1 -3 5 -1 -3 3 1 H = 4 7 -5 -4 5 0 1 9 -4 I = 4 2 -5 6 4 -9 5 3 -7 J = 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 2. V R3 určete podprostor vlastních vektorů příslušných vlastní hodnotě = 3. A = 3 0 0 0 3 0 0 0 3 B = 3 1 0 0 3 0 0 0 3 C = 3 1 0 0 3 1 0 0 3 52 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie 3. Zjistěte, zda je daná matice podobná diagonální matici nad poli Q, R, C. (To nastane právě tehdy, když vlastní vektory generují celý prostor.) A = 5 2 -3 4 5 -4 6 4 -4 B = 4 7 -5 -4 5 0 1 9 -4 C = 4 2 -5 6 4 -9 5 3 -7 4. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matic. A = 2 -1 1 -1 2 -1 0 0 1 B = 1 2 0 3 -1 -2 0 -3 0 0 2 0 1 2 0 3 5. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice lineárního operátoru. U vlastního čísla určete jeho algebraickou a geometrickou násobnost a zjistěte, zda je matice podobná nějaké diagonální matici. A = 1 -3 1 0 -1 0 -1 -3 3 B = 4 0 -1 2 2 -1 0 1 2 C = 4 -5 2 5 -7 3 6 -9 4 D = -1 0 2 0 1 -1 2 -2 0 0 -1 0 0 0 1 -1 E = 2 0 2 0 1 2 2 -2 0 0 2 0 0 0 1 2 6. Zjistěte, jak závisí vlastní hodnoty a vlastní vektory matice na parametrech a, b. A = 2 3 0 4 1 0 a b 2 B = 2 3 0 4 1 0 a b 2 + a 7. Zjistěte, jak vypadají a jaká geometrická zobrazení určují všechny ortogonální matice řádu 2. 8. Analýzou vlastních čísel a vlastních vektorů najděte matici lineárního operátoru ve vhodné bázi, pomocí které určíte, o jakou geometrickou transformaci se jedná, je-li operátor zadán ve standardní bázi maticí: A = 1 3 2 2 -1 2 -1 2 -1 2 2 B = 1 2 1 1 - 2 1 1 2 2 - 2 0 C = 1 3 2 -1 2 2 2 -1 -1 2 2 D = 1 4 3 1 - 6 1 3 6 6 - 6 2 5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice 53 E = 1 2 1 - 2 -1 1 2 -1 2 0 2 F = 1 2 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 G = 1 2 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 H = 1 3 2 2 -1 -1 2 2 2 -1 2 I = 1 9 1 -8 4 4 4 7 -8 1 4 J = 1 7 3 -2 6 6 3 -2 -2 6 3 K = 1 2 0 - 1 2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 2 3 -1 3 2 3 L = 3 4 1 4 6 4 1 4 3 4 - 6 4 - 6 4 6 4 1 2 9. Analýzou vlastních čísel a vlastních vektorů zjistěte o jakou geometrickou transfor- maci euklidovského prostoru R3 se jedná. A = 0 - 2 2 - 2 2 2 2 1 2 -1 2 2 2 -1 2 1 2 B = 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 - 2 2 - 2 2 2 2 0 C = 3 5 0 -4 5 0 1 0 4 5 0 3 5 10. Najděte ortonormální bázi tvořenou vlastními vektory a matici v této bázi unitárního operátoru daného maticí ve standardní bázi: A = 1 3 1 + i 1 -1 1 - i B = 1 9 4 + 3i 4i -6 - 2i -4i 4 - 3i -2 - 6i 6 + 2i -2 - 6i 1 C = 1 4 2 + 3i - 3 3 2 - 3i D = 1 2 i 1 -1 -i 11. Ve standardních souřadnicích v R3 napište matici zobrazení, které je otočením o úhel kolem přímky x - z = 0, y = 0. 12. Ve standardních souřadnicích v R3 napište matici zobrazení, které je otočením o úhel 2 kolem přímky x + y = 0, z = 0, přičemž f(-1, 1, 1) = (a, b, 0), kde a + b > 0. 13. Ve standardních souřadnicích v R3 napište matici zobrazení, které je symetrií podle roviny 3y - x = 0. 14. Lineární zobrazení v R3 je otočení kolem osy procházející počátkem se směrovým vek- torem (1, 1, 0)T takové, že f(1, -1, 0) = (0, 0, 2). Najděte matici zobrazení ve stan- dardní bázi. 15. V Rn napište matici symetrie podle roviny kolmé k vektoru v v ortonormální bázi [v, v2, . . . , vn]. 54 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie 16. Definujte na R3 dva skalární součiny , 1 a , 2 tak, aby zobrazení : (R3 , , 1) (R3 , , 2), (x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3, -x1 + x2, x3), bylo ortogonální. 6. Symetrické matice a metrická klasifikace kuželoseček 55 6. SYMETRICKÉ MATICE A METRICKÁ KLASIFIKACE KUŽELOSEČEK Teorie 6.1. Definice. Reálná matice A se nazývá symetrická, právě když A = AT . 6.2. Věta. Pro každou reálnou symetrickou matici A existuje ortogonální matice P tak, že P-1 A P = PT A P je diagonální. 6.3. Věta. Každá kvadratická forma f na euklidovském prostoru V má ve vhodné ortonormální bázi analytický tvar f(x) = 1x2 1 + 2x2 2 + + nx2 n. 6.4. Věta. (Metrická klasifikace kuželoseček) Necht' ve standardní bázi v R2 je kuželosečka zadaná rovnicí k(x) = a11x2 1 + 2a12x1x2 + a22x2 2 + 2a1x1 + 2a2x2 + a0 = 0. Pak existuje ortonormální afinní báze, které říkáme kanonická báze, v níž je tato kuželosečka dána jednou z rovnic: 1. (y1 a )2 + (y2 b )2 + 1 = 0 prázdná množina 2. (y1 a )2 + (y2 b )2 = 0 bod 3. (y1 a )2 + (y2 b )2 - 1 = 0 elipsa 4. (y1 a )2 - (y2 b )2 - 1 = 0 hyperbola 5. (y1 a )2 - (y2 b )2 = 0 dvě různoběžky 6. (y1 a )2 - 2py2 = 0 parabola 7. (y1 a )2 - 1 = 0 dvě rovnoběžky 8. (y1 a )2 + 1 = 0 prázdná množina 9. y2 1 = 0 přímka Řešené příklady Úloha 1: Najděte ortonormální bázi, v níž má matice zobrazení (x) = A x, A = 4 2 2 2 4 2 2 2 4 diagonální tvar. 56 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie Řešení: Matice A je symetrická a podle věty 6.2. ji lze diagonalizovat tak, že na diagonále jsou vlastní čísla a báze, ve které má matice tento tvar, je tvořena vlastními vektory. Nejprve tedy řešíme charakteristickou rovnici: ( - 4)3 - 16 - 12( - 4) = 0 vlastní čísla tedy jsou 1 = 2, 2 = 8. Dále hledáme vlastní vektory. Pro 1 = 2: 2 2 2 | 0 2 2 2 | 0 2 2 2 | 0 . Zavedeme parametry t a s, x3 = t, x2 = s, pak x1 = -t - s, nezávislou volbou parametrů dostáváme, že podprostor vlastních vektorů je generován vektory (-1, 1, 0)T , (-1, 0, 1)T , užitím Gramm-Schmidtova ortogonalizačního procesu a normováním dostáváme ortonormální bázi tohoto podprostoru: - 1 2 , 1 2 , 0 T , - 1 6 , - 1 6 , 2 6 T Pro 2 = 8: -4 2 2 | 0 2 -4 2 | 0 2 2 -4 | 0 -2 1 1 | 0 0 -3 3 | 0 0 3 -3 | 0 Zavedeme parametr t , x3 = t, pak x2 = t, x1 = t, volbou parametru dostáváme, že podprostor vlastních vektorů je generován vektorem (1, 1, 1)T , normováním dostáváme ortonormální bázi tohoto podprostoru: 1 3 , 1 3 , 1 3 T diagonální tvar matice je 2 0 0 0 2 0 0 0 8 a to v bázi - 1 2 , 1 2 , 0 T , - 1 6 , - 1 6 , 2 6 T , 1 3 , 1 3 , 1 3 T . 6. Symetrické matice a metrická klasifikace kuželoseček 57 Úloha 2: Zjistěte jakou kuželosečku popisuje rovnice k : x2 1 + x2 2 + 4x1x2 + 2x1 + 1 = 0 , popřípadě určete její střed, osy a načrtněte obrázek. Řešení: Matice kvadratické formy je 1 2 2 1 a ta se dá podle věty 6.3. napsat v dia- gonálním tvaru s vlastními čísly na diagonále. Hledáme tedy vlastní čísla a vlastní vektory, charakteristická rovnice má tvar (1 - )2 - 4 = 0 . Vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory tedy jsou: 1 = -1 příslušný normovaný vlastní vektor je u = 2 2 , - 2 2 T 2 = 3 příslušný normovaný vlastní vektor je v = 2 2 , 2 2 T . Nyní přejdeme k bázi = [u, v], ve které má matice kvadratické formy tvar -1 0 0 3 . Přitom matice přechodu od báze ke standardní bázi má tvar (id) , = 2 2 2 2 - 2 2 2 2 a souřadnice x1, x2 ve standardní bázi spočítáme ze souřadnic y1, y2 v bázi takto: x1 = 2 2 y1 + 2 2 y2 x2 = - 2 2 y1 + 2 2 y2 . Převedeme rovnici kuželosečky do nových souřadnic y1, y2: k(y) : -y2 1 + 3y2 2 + 2y1 + 2y2 + 1 = 0 . Nyní ještě posuneme střed soustavy souřadnic tak, aby ležel ve středu kuželosečky. Do- plníme tedy na čtverce a zavedeme nové souřadnice. k : - y1 - 2 2 2 + 1 2 + 3 y2 + 2 6 2 - 1 6 + 1 = 0 z1 = y1 - 2 2 = 2 2 x1 - 2 2 x2 - 2 2 z2 = y2 - 2 6 = 2 2 x1 + 2 2 x2 + 2 6 k : z2 1 - 3z2 2 - 4 3 = 0 k : z1 4 3 2 - z2 2 3 2 - 1 = 0 58 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie Jedná se tedy o hyperbolu, jejíž osy jsou přímky zadané parametricky S + tu a S + tv. Střed má souřadnice (z1, z2) = (0, 0), (y1, y2) = ( 2 2 , - 2 6 ) a (x1, x2) = (1 3 , -2 3 ). Cvičení 1. Najděte diagonální tvar symetrické matice. A = 1 2 2 4 B = 1 -4 2 -4 1 -2 2 -2 -2 C = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D = 4 2 2 2 4 2 2 2 4 E = 4 4 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F = 2 -1 0 0 -1 2 0 0 0 0 2 -1 0 0 -1 2 2. Najděte diagonální tvar symetrické matice a bázi, ve které má matice tento tvar. A = 3 1 1 3 B = 6 2 3 2 3 7 C = 6 -2 -2 3 D = -2 0 -36 0 -3 0 -36 0 -23 E = 1 1 0 1 1 0 0 0 0 F = 2 -1 -1 -1 2 -1 -1 -1 2 G = 3 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H = -7 24 0 0 24 7 0 0 0 0 -7 24 0 0 24 7 3. Určete o jakou kuželosečku se jedná, případně určete její střed, osy a nakreslete obrázek. (a) k : 4xy + 3y2 + 6x + 12y - 36 = 0 (b) k : x2 + 6xy + 9y2 - 12x + 24y + 15 = 0 (c) k : x2 + 2xy + y2 - 2x - 2y - 3 = 0 4. Určete typ a kanonickou rovnici kuželosečky, případně nakreslete obrázek. (a) k : 3x2 + 10xy + 3y2 - 2x - 14y - 13 = 0 (b) k : 25x2 - 14xy + 25y2 + 64x - 64y - 224 = 0 (c) k : 4xy + 3y2 + 16x + 12y - 36 = 0 (d) k : 7x2 + 6xy - y2 + 28x + 12y + 28 = 0 6. Symetrické matice a metrická klasifikace kuželoseček 59 (e) k : 19x2 + 6xy + 11y2 + 38x + 6y + 29 = 0 (f) k : 5x2 - 2xy + 5y2 - 4x + 20y + 20 = 0 (g) k : 9x2 - 24xy + 16y2 - 20x + 110y - 50 = 0 (h) k : 9x2 + 12xy + 4y2 - 24x - 16y + 3 = 0 (i) k : 16x2 - 24xy + 9y2 - 160x + 120y + 425 = 0 5. Určete typ kuželosečky a délky jejích poloos. (a) k : 41x2 + 24xy + 9y2 + 24x + 18y - 36 = 0 (b) k : 8x2 + 4xy + 5y2 + 16x + 4y - 28 = 0 (c) k : 4x2 + 24xy + 11y2 + 64x + 42y + 51 = 0 (d) k : 12x2 + 26xy + 12y2 - 52x - 48y + 73 = 0 6. Ověřte, že daná kuželosečka je parabola a určete její parametr. (a) k : 9x2 + 24xy + 16y2 - 120x + 90y = 0 (b) k : 9x2 - 24xy + 16y2 - 54x - 178y + 181 = 0 (c) k : x2 - 2xy + y2 + 6x - 14y + 29 = 0 (d) k : 9x2 - 6xy + y2 - 50x + 50y - 275 = 0 7. Určete typ kuželosečky, případně délky jejích poloos a střed. (a) k : 3x2 + 8xy - 3y2 - 1 = 0 (b) k : 5x2 + 6xy + 5y2 - 32 = 0 (c) k : 1 2 x2 - xy + 1 2 y2 - 2x - 2y + 3 = 0 (d) k : xy + 3x - 2y - 6 = 0 (e) k : 6x2 + 4xy + 6y2 - 16 = 0 (f) k : 5x2 + 6xy + 5y2 - 8 = 0 (g) k : x2 + 2 3xy - y2 - 2 = 0 8. Najděte ortonormální bázi kvadratické formy f(x, y, z) = 17x2 + 4xy - 4xz + 14y2 + 8yz + 14z2 , ve které má forma diagonální tvar, na euklidovském prostoru R3 se stan- dardním skalárním součinem vzhledem ke standardní (rovněž ortonormální) bázi. Přitom jedno z vlastních čísel matice kvadratické formy je 18. 9. Najděte ortonormální polární bázi kvadratické formy f(x, y, z) = 3x2 - 4xy, ve které má forma diagonální tvar, na euklidovském prostoru R3 se standartním skalárním součinem vzhledem ke standardní (rovněž ortonormální) bázi. 60 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie 7. JORDANŮV KANONICKÝ TVAR Teorie 7.1. Definice. Jordanova buňka dimenze k je čtvercová matice řádu k tvaru Jk() = 1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 7.2. Poznámka. Jestliže lineární zobrazení : V V má v nějaké bázi = (v1, v2, . . . , vn) matici buňku (), = Jk(), pak platí (v1) = v1 (v2) = v1 + v2 (v3) = v2 + v3 ... (vk) = vk-1 + vk z toho plyne ( - id)v1 = 0 ( - id)v2 = v1 ( - id)v3 = v2 ... ( - id)vk = vk-1 Posloupnost vektorů v1, v2, . . . , vk nazýváme řetězec pro vlastní číslo . V příkladech hledáme obráceně nejdříve řetězec pro vlastní číslo a platí, že vektory řetězce jsou lineárně nezávislé a v bázi jimi tvořené má operátor matici (), = Jk(). 7.3. Definice. Matice je v Jordanově kanonickém tvaru, jestliže je blokově diagonální s bloky tvořenými Jordanovými buňkami. 7.4. Věta. Necht' V je vektorový prostor nad polem K dimenze n a necht' : V V je lineární operátor, jehož charakteristická rovnice má n kořenů (včetně násobnosti), potom existuje taková báze ve V , že (), je matice v Jordanově kanonickém tvaru. Přitom tento tvar je určen jednoznačně až na pořadí Jordanových buňek. 7.5. Věta. Pro výpočet Jordanova kanonického tvaru platí: 1. Na uhlopříčce Jordanova kanonického tvaru jsou vlastní čísla lineárního operátoru, každé tolikrát, kolik je jeho algebraická násobnost. 2. Jordanův kanonický tvar má tolik buněk, kolik existuje lineárně nezávislých vlastních vektorů. 3. Velikost největší buňky pro vlastní číslo je k právě tehdy, když k je nejmenší takové číslo, že hodnost matice (A - E)k je rovna algebraické násobnosti vlastního čísla . 7. Jordanův kanonický tvar 61 Řešené příklady Úloha 1: Najděte Jordanův kanonický tvar lineárního operátoru zadaného ve stan- dardní bázi maticí A = 3 2 -3 4 10 -12 3 6 -7 . Řešení: Charakteristická rovnice má tvar ( - 2)3 = 0 z toho plyne = 2 . Máme tedy jedno vlastní číslo, jehož algebraická násobnost je 3, na diagonále Jordanova kanonického tvaru tedy budou podle věty 7.5. samé dvojky. Podprostor vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu = 2 je generován vektory: u = (3, 0, 1)T v = (-2, 1, 0)T a podle druhého bodu věty 7.5. bude mít Jordanův kanonický tvar dvě buňky. Nyní jej už můžeme napsat: J = 2 1 0 0 2 0 0 0 2 . Dále musíme ale vypočítat ještě bázi, ve které má matice lineárního operátoru tento tvar. Pro druhou buňku podle poznámky 7.2. musíme najít řetězec vektorů báze. Pro první vektor báze, označme jej x, musí platit ( - id)x = 0 z toho plyne (A - 2E)x = 0 , x je tedy z podprostoru vlastních vektorů. Pro druhý vektor, označme jej y, pak musí platit (A - 2E)y = x = au + bv. Nevíme, na který vlkastní vektor se y zobrazí, musíme tedy psát x obecně jako lineární kombinaci vektorů báze podpostoru vlastních vektorů. Dále řešíme uvedenou soustavu rovnic (A - 2E)y = au + bv. 1 2 -3 | 3a - 2b 4 8 -12 | b 3 6 -9 | a 1 2 -3 | 3a - 2b 0 0 0 | -12a + 9b 0 0 0 | -8a + 6b Tato soustava má řešení pouze když: -12a + 9b = 0 -8a + 6b = 0 a tedy a = 3 4 b Zvolíme např. a = 3 a b = 4, pak řešením soustavy je např. vektor y = (1, 0, 0)T a vektor x = 3(3, 0, 1)T + 4(-2, 1, 0)T = (1, 4, 3)T . 62 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie Třetí vektor báze z, příslušný druhé buňce velikosti jedna musí být podle poznámky 7.2. taky z podprostoru vlastních vektorů. Zvolíme jej tak, aby byl lineárně nezávislý s vektorem x i y, můžeme zvolit např. vektor u. Báze, ve které má matice lineárního operátoru Jordanův kanonický tvar, je: = (1, 4, 3)T , (1, 0, 0)T , (3, 0, 1)T . Úloha 2: Najděte Jordanův kanonický tvar lineárního operátoru zadaného ve stan- dardní bázi maticí A = 0 1 -1 1 -1 2 -1 1 -1 1 1 0 -1 1 0 1 . Řešení: Charakteristická rovnice má tvar ( - 1)4 = 0 z toho plyne = 1 Máme tedy jedno vlastní číslo, jehož algebraická násobnost je 4, na diagonále Jordanova kanonického tvaru tedy budou podle věty 7.5. samé jedničky. Podprostor vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu = 1 je generován vektory: u = (1, 1, 0, 0)T v = (0, 0, 1, 1)T a podle druhého bodu věty 7.5. bude mít Jordanův kanonický tvar dvě buňky. Narozdíl od předchozího příkladu jej ale nemůžeme ještě napsat, nebot' nevíme, jestli budeme mít dvě buňky velikosti dvě, nebo jednu buňku velikosti tři a jednu velikosti jedna. Dále budeme počítat bázi, ve které má matice lineárního operátoru Jordanův kanonický tvar. Pro první buňku (nevíme jak je velká) podle poznámky 7.2. musíme najít řetězec vektorů báze. Pro první vektor báze, označme jej w, musí platit (A - E)w = 0 w je tedy z podprostoru vlastních vektorů. Pro druhý vektor, označme jej x, pak musí platit (A - E)x = w = au + bv. Dále řešíme uvedenou soustavu rovnic -1 1 -1 1 | a -1 1 -1 1 | a -1 1 0 0 | b -1 1 0 0 | b . Tato soustava má řešení pro libovolná a, b, můžeme tedy zvolit dvě nezávislé volby a = 1, b = 0 a a = 0, b = 1, budeme mít tedy dvě buňky velikosti dvě. Přičemž dva z vektorů 7. Jordanův kanonický tvar 63 báze budou přímo vektory u, v. Hledáme řetězec odpovídající první buňce, hledáme tedy řešení soustavy rovnic (A-E)x = u. -1 1 -1 1 | 1 -1 1 -1 1 | 1 -1 1 0 0 | 0 -1 1 0 0 | 0 Řešením této soustavy je např. vektor x1 = (0, 0, -1, 0)T . Dále hledáme řetězec odpovídající druhé buňce, hledáme tedy řešení soustavy rovnic (A - E)y = v. -1 1 -1 1 | 0 -1 1 -1 1 | 0 -1 1 0 0 | 1 -1 1 0 0 | 1 Řešením této soustavy je např. vektor x2 = (-1, 0, 1, 0)T . Jordanův kanonický tvar je: J = 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 Báze, ve které má matice lineárního operátoru Jordanův kanonický tvar, je: = (1, 1, 0, 0)T , (0, 0, -1, 0)T , (0, 0, 1, 1)T , (-1, 0, 1, 0)T . Úloha 3: Najděte Jordanův kanonický tvar lineárního operátoru zadaného ve stan- dardní bázi maticí A = 1 -3 0 3 -2 -6 0 13 0 -3 1 3 -1 -4 0 8 . Řešení: Charakteristická rovnice má tvar ( - 1)4 = 0 z toho plyne = 1 Máme tedy jedno vlastní číslo, jehož algebraická násobnost je 4, na diagonále Jordanova kanonického tvaru tedy budou podle věty 7.5. samé jedničky. Podprostor vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu = 1 je generován vektory: u = (0, 0, 1, 0)T v = (3, 1, 0, 1)T 64 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie a podle druhého bodu věty 7.5. bude mít Jordanův kanonický tvar dvě buňky, nevíme ale jak budou velké. Dále budeme počítat bázi, ve které má matice lineárního operátoru Jordanův kanonický tvar. Pro první buňku (nevíme jak je velká) podle poznámky 7.2. musíme najít řetězec vektorů báze. Pro první vektor báze, označme jej w, musí platit (A - E)w = 0 , w je tedy z podprostoru vlastních vektorů. Pro druhý vektor, označme jej x, pak musí platit (A - E)x = w = au + bv . Dále řešíme uvedenou soustavu rovnic. 0 -3 0 3 | 3b -2 -7 0 13 | b 0 -3 0 3 | a -1 -4 0 7 | b Z prvního a třetího řádku plyne, že tato soustava má řešení právě když a = 3b, můžeme zvolit jen jednu nezávislou volbu a, b, např. a = 3, b = 1, budeme mít tedy v Jordanově kanonickém tvaru jednu buňku velikosti tři a jednu velikosti jedna. Řetězec odpovídající první buňce velikosti tři bude začínat vlastním vektorem w = 3u+v = (3, 1, 3, 1)T . Na vektor w se zobrazí druhý vektor řetězce, označíme jej x, pro který platí (A - E)x = w. Řešíme tuto soustavu rovnic. 0 -3 0 3 | 3 -2 -7 0 13 | 1 0 -3 0 3 | 3 -1 -4 0 7 | 1 Řešením této soustavy je např. vektor x0 = (3, -1, 0, 0)T . Na druhý vektor řetězce se však zobrazí třetí vektor řetězce, označme jej z. Nevíme ale na který vektor, který odpovídá řešení předchozí soustavy se vektor z zobrazí, musíme tedy obecně předpokládat (A - E)z = x = x0 + cu + dv kde c, d jsou libovolná reálná čísla. (Víme, že vektor x odpovídá řešení předchozí soustavy, nebot' mu odpovídá vektor x0 a vektor cu+dv je vektor vlastní, který se zobrazí na nulový vektor, platí (A - E)(cu + dv) = o.) Nyní řešíme uvedenou soustavu rovnic. 0 -3 0 3 | 3 + 3d -2 -7 0 13 | -1 + d 0 -3 0 3 | c -1 -4 0 7 | d 7. Jordanův kanonický tvar 65 Z prvního a třetího řádku plyne, že tato soustava má řešení pouze pro c = 3 + 3d, zvolíme např. d = 0 a c = 3. Pak vektor x = x0 + 3u z toho plzne x = (3, -1, 3, 0)T . Vektor z je pak řešením soustavy (A - E)x = z. 0 -3 0 3 | 3 -2 -7 0 13 | -1 0 -3 0 3 | 3 -1 -4 0 7 | 0 Např. z = (4, -1, 0, 0)T . Čtvrtý vektor báze odpovídající druhé buňce bude vlastní vektor, který zvolíme tak, aby byl lineárně nezávislý na vektoru w, např. vektor u. Jordanův kanonický tvar je: J = 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 . Báze, ve které má matice lineárního operátoru Jordanův kanonický tvar, je: = (3, 1, 3, 1)T , (3, -1, 3, 0)T , (4, -1, 0, 0)T , (0, 0, 1, 0)T . Cvičení 1. Najděte Jordanův kanonický tvar matice. A = 1 -3 4 4 -7 8 6 -7 7 B = 4 -5 7 1 -4 9 -4 0 5 C = 4 6 0 -3 -5 0 -3 -6 1 D = 3 0 8 3 -1 6 -2 0 -5 E = -2 8 6 -4 10 6 4 -8 -4 F = 3 -1 1 -7 9 -3 -7 -1 0 0 4 -8 0 0 2 -4 2. Najděte Jordanův kanonický tvar lineárního operátoru a bázi, ve které má matice operátoru tento tvar. Lineární operátor je zadán maticí ve standardní bázi: A = 3 2 -3 4 10 -12 3 6 -7 B = 1 1 -1 -3 -3 3 -2 -2 2 66 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie C = 0 1 -1 1 -1 2 -1 1 -1 1 1 0 -1 1 0 1 D = 6 -9 5 4 7 -13 8 7 8 -17 11 8 1 -2 1 3 3. Najděte Jordanovy kanonické tvary matic řádu 3. A = 2 1 0 -1 4 0 5 7 3 B = 3 2 0 0 3 0 0 5 3 C = 0 -3 -2 -1 -2 -2 4 4 3 4. Najděte Jordanovy kanonické tvary matic řádu 4. A = -13 5 4 2 0 -1 0 0 -30 12 9 5 -12 6 4 1 B = 2 0 2 0 1 2 2 -2 0 0 2 0 0 0 1 2 C = -1 0 0 2 1 -1 -2 2 0 0 -1 1 0 0 0 -1 D = 2 0 0 2 1 2 -2 2 0 0 2 1 0 0 0 2 E = 1 -6 3 3 0 -2 2 0 0 0 -2 0 0 0 1 -2 F = 2 0 0 1 3 0 3 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 2 G = -1 -6 -9 -11 0 2 0 -2 0 0 2 1 0 0 0 2 H = 1 -6 3 3 0 -2 0 2 0 0 -2 1 0 0 0 -2 I = -1 1 -2 2 0 -1 0 2 0 0 -1 1 0 0 0 -1 J = 2 1 -2 2 0 2 0 2 0 0 2 1 0 0 0 2 K = -1 3 -6 3 0 2 0 1 0 0 2 2 0 0 0 2 L = 1 -9 -6 -4 0 -2 0 1 0 0 -2 -2 0 0 0 -2 M = 2 0 0 0 1 2 0 0 1 1 2 3 0 0 0 -1 N = 4 3 2 -3 6 9 4 -8 -3 -4 -1 4 9 9 6 -8 O = 1 -3 0 3 -2 -6 0 13 0 -3 1 3 -1 -4 0 8 5. Napište všechny Jordanovy kanonické tvary matic s charakteristickým polynomem tvaru ( - 4)5 . 6. Napište všechny Jordanovy kanonické tvary matic s charakteristickým polynomem tvaru ( - 1)3 ( - 3)5 .