Základy finanční matematiky Josef Niederle 4. února 2003 Základem této prozatímní verze elektronického učebního textu je obsah přednášky, který zapsal Jan Mysliveček. Text je napsán v jazyce Latex, používá pdflatex se styly hyperref, geometry a pifont. 1 <► at * * n Význam symbolů •< ► předcházej ící^další obrazovka ▲ T předcházející^další stránka v. •* první^poslední stránka □ přepnutí velikosti obrazovky Červená barva znázorňuje aktivní odkazy. 2 <► at * * n 3 Úrok Úrok je rozdíl mezi splatnou částkou S a zapůjčenou částkou P, tedy u = S — P. Vztaženo relativně k zapůjčené částce dostaneme polhůtní úrokovou míru i = -p. Vztaženo ke splatné částce dostaneme diskontní (předlhůtní úrokovou) míru I = ^. Platí 1 = I 1 Í-I Míry i, I abstrahují od výše půjčované částky, jsou však vypočítány pro danou lhůtu splatnosti T. <► at * * n 4 1.1 Složené úročení Můžeme však abstrahovat i od lhůty splatnosti T, pokud si úrokovou míru i a diskontní míru I vyjádříme pomocí míry pro nějaké normalizované úrokovací období. x Počítám-li úrok jednou za rok, pak po T letech musím vrátit ST = Pil + i)T, resp. P = STil- I)T, kde i je efektivní roční úroková míra a / je efektivní roční diskontní míra. Mohu počítat úrok i v jiných intervalech (měsíc, den). Jeli doba splatnosti celistvý násobek tohoto úrokovacího období, a má-li rok m úrokovacích období, pak 1 Můžeme si představovat, že peníze vrátíme a ihned vypůjčíme. Tedy i, I nezáleží na tom, na jak dlouho si půjčujeme. <► at * * n 5 P(l + Hm))m = P(l + i), tedy i(m) = (1 + i)™ - 1, kde i je efektivní roční úroková míra, dále je obvyklá nominální roční úroková míra področního (např. měsíčního) úročení j(m) = to • i(m). Pro to > 1 je i > i(m) a s = p(i + *f = p(i + i{m)rT = p(i + ^rT TO V limitě pro to —> oo dostaneme spojité úročení S = Pe?T,j=ln(l + i), kde j je nominální roční úroková míra spojitého úročení . Viz. příklad 1. <► at * * n 6 Máme-li funkci okamžité úrokové míry 6(t), je S = Pe$° á(T)dT 1.2 Daně Daně činí pevný podíl z úroků a. Platí-li se zároveň s výpočtem úroku, můžeme určit čistou nominální úrokovou míru (1 - cr)jm Je také možné, že se úroky připisují méně často, než je úrokovací období, pak dostáváme čistou efektivní úrokovou míru l + (l-a) (l + ^ <► at * * n 7 kde n je četnost připisování úroků do roka. 1.3 Inflace Roční míra inflace je obvykle definována výrazem _ Ir— Ir-i 'Hnfl Ť ■> -ífl-1 kde Ir, Ir-i jsou cenové indexy v roce R a R — 1. Musíme tedy uvážit reálnou roční úrokovou míru, pro kterou platí2 __ ^ 'Hnfl ^real ^ j : ■> J- + «in/í kde i je roční úroková míra. 2 K odvozeni tohoto vztahu stačí uvážit, kolik stojí zboží teď a za rok, a kolik dostaneme od banky, když si peníze uložíme <► at * * n 8 Časová hodnota peněz Budeme uvažovat modely, kde máme danou časovou funkci f(t), přičemž musí platit, že částce Kto v čase to odpovídá částka Ktl v čase ti, tedy Kt0 = Ktl f (to) f(ti) Obvykle je časová funkce dána procedurou úročení, např. pro spojité úročení /(í) = e^ = (l + i)r. Pro tzv. jednoduché úročení jsou dva modely využívající lineárního vyjádření závislosti úroku na čase : -<► AT »í □ 9 1. Z každé koruny ponechané na účte po dobu — —t dostaneme 1+j(m)(------í) Vidíme, že platí Kt(í+J(m)(--t)) = K±_ Odtud Kt0(l+j(m)(--to)) = Ktl(í+j(m)(--t1)) m m Za časovou funkci můžeme vzít pro období mezi 0 a — /(t) = i -u ■ \i A <► at * * n 10 Hodnota úroku vyplaceného na konci úrokovacího období je Kj(m)(ti -t0) Mezi tím je to (čas tx je někde uprostřed úrokovacího období) „ j(m)(tl-to) w*i = K to ——------i-----— l+J(m)(^-*l) a K K _1_„ ^ 1+Í(m)(^ ~M l+J(m)(^-*l) <► at * * n n 2. Volme f (t) = 1 + j(m)t a dostaneme ihned js 3(m)(tl-to) JZ JZ l+j(m)*l «ŕ, = Ktn——---------------, K t, = is.tr,--------— — í+3(m)H) í+3(m)H) Název jednoduché úročení by měl být správně vyhrazen pro úrok s pevnou lhůtou splatnosti. 3V podstatě se neuvažují roky, ale jen tok času, obvykle pro konkrétní půjčky. <► at * * n 12 Hodnotová rovnice Realizované peněžní toky Ci vztahujeme k libovolnému referenčnímu datu. Obvykle za referenční datum volíme počátek (PV -současná hodnota) či konec (FV - budoucí hodnota) uvažovaného období. Platí PV V r /(0) tK>o Současná hodnota je funkcí úrokové míry f(t) = (1 + i)*. Může mít několik nulových bodů, tj. takových hodnot i*, pro které platí pv = J2ck K 1 (1+ «*)** = 0 Hodnota i* se nazývá vnitřní míra výnosnosti <► at * * n 13 1. Investiční rozhodování • Pravidlo současné hodnoty: pokud je současná hodnota kladná, investuj. • Pravidlo vnitřní míry výnosnosti: Označme i* nejbližší hodnotu vnitřní míry výnosnosti k uvažované míře zisku i. Je-li i* > i a PV je klesající funkcí i, pak investuj. Je-li i* < i a PV je rostoucí funkcí i, pak investuj.4 Doba návratnosti je doba, za kterou kumulované příjmy nahradí celkové náklady. Hodnotovou rovnici sestavíme tak, že porovnáme dva systémy peněžních toků vztažené k vhodně zvolenému společ- 4 Jde v podstatě o pravidlo současné hodnoty, neboť např. v prvním případě je PV kladná, protože má nejbližší nulový bod vpravo od uvažovaného bodu grafu a s rostoucí mírou zisku i klesá. Musí být tedy kladná. -<► AT »í □ 14 nému referenčnímu datu. Řešíme ji vzhledem k příslušné neznámé. <► at * * n 15 Důchody jsou systémy pravidelných plateb, bez ohledu na okolnosti, vždy jisté. Podle toho, kdy dochází k uvažované platbě rozlišujeme předlhůtný a polhůtný důchod - platba „na začátku", či „na konci" roku či jiného výplatního období. Dále budeme přepokládat, že výplatní období se shodují s úro-kovacími obdobími a že splátky v počtu n mají konstatní výši K. Potom současná hodnota předlhůtního důchodu je 1 — vn PV = K + Kv + Kv2 + ... + Kvn-1 = K--------= Karn a'—\ ■ <► at * * n Současná hodnota polhůtního důchodu je 1 — vn PV = Kv + Kv2 + ... + Kvn = K--------= Ka, 'm kde 1 + í Koncová hodnota důchodu sn = (1 + *)™an^ Sn = (í + 'l)nan, Obecně není úroková míra konstantní, proto současnou notu k-té splátky ve výši K musíme počítat takto PVk= (l + ii)(l + i2)...(l + ifc) Dále uvažujeme další modifikace. Například <► at * * n 17 • odložený důchod Počátek vyplácení posunut o k období. Pak současná hodnota předlhůtního důchodu je 1 — vn PV = Kk\an,=Kvk-------- 1 — v a polhůtního je 1 — vn PV = Kk\an~i = Kv a„i = Kv -----:— = Kk1\a'ň~i • Področní důchody Hm) = 3~^m~ ^°k m^ m stejně dlouhých výplatních období shodných s úrokovacími obdobími. Dále je j(m) = j nominální úroková míra. <► at * * n 18 U předlhůtního důchodu je současná hodnota určena vztahem to + 1 2to U polhůtního je to TO — 1 2to PV = Ka'mn< ± ~ íím(1 + -^ZrÍ)an^j PV = Kamn^ « #™(1 + -^T-J)Vj • Speciální typy důchodů — aritmetický růst pateb, tj. K, 2K,..., nK U předlhůtního důchodu je současná hodnota PV = K + 2Kv + 3Kv2 + ... + nKvn~x ann -nvn = K—---------- = K(Ia „i 1 — v <► at * * n 19 U polhůtního PV = Kv+2Kv2+.. .+nKvn = K-^—,------= K(Ia)rr i aritmetický pokles plateb Současná hodnota předlhůtního důchodu je PV = nK + (n- í)Kv + ... + Kv n-l K\^f = K(Da-\ U polhůtního PV = nKv+(n-í)Kv2+.. .+Kvn = K™ .°'n = K(Da)n> -<► AT »í □ 20 — geometrický růst plateb, tj. K(l + q),K(l + q)2,... q - Kvn 2 K K v"-1 Kií-v"-1) Kan_r - Kv"-1 n-1 K Kv2 K(l-v2) Ka2, - Kv2 n K Kv K(í-v) Kar - K v = 0 5.2 Výpočet počtu splátek Počáteční výše úvěru je D = Kan = K— i <► at * * n 23 Platí ? = — >-= i -f ln(l - f) n= -----:---------- In í; pokud Di < K, jinak n = oo, tedy nikdy nedojde ke splacení dlužné částky. Pokud nastane rovnost Di = K, tak dlužník splácí pouze úrok. Dlužná částka sice neroste, ale ani neklesá. <► at * * n 24 Obligace je závazek emitenta splatit v jistém časovém okamžiku její nominální hodnotu F a mezitím platit kupónové platby C. Kupónová sazba je C C=F-Obligace jsou obchodovatelné a mají na trhu cenu P. Pro aktuální úrokovou míru lze vypočítat současnou hodnotu po k-té kupónové platbě (viz 3) diskontovaním očekávaných pla- -<► AT »í □ 25 teb. _ C . C . C C+F í + i (í + i)2 '" (í + 'Í)n-k-1 (l + i)n-k c c c c + 1 f1 1 + i (í + i)2 '" (l + i)™-^1 (l + i)"-fc 1 = F can_k-'i + (1 + 0 n—k Opět se dá vypočítat vnitřní míra výnosnosti i* po k-té kupónové platbě P = F' C ■ C C ■ C+1 í+i* (1 + í*)2 '" (1 + i*)n-k-l (l + i*)n-k kde P je cena obligace po k-té kupónové platbě. Někdy se nazývá <► at * * n výnosnost do splatnosti a platí PV = F PV F P = F P F PV = P PV

P ■& i ■& i ■& i = c > c < c = c <& i* > c <$ i* < c <$ i = i* <(=> i > i* nevýhodná investice <(=> i < i* výhodná investice <► at * * n 27 6.1 Vypověditelné obligace Eminent může splatit obligaci dříve, než je doba splatnosti. Tato skutečnost má význam zejména v případě změn úrokových měr. 6.2 Spotové a forwardové úrokové míry, výnosová křivka Předpokládáme, že pro několik následujících let budou různé úrokové míru «i, «2, • • • a chceme je formálně nahradit jedinou úrokovou mírou, která by platila n let od současnosti, tedy aby platilo Kil + sn)n = Kil + n)(l + i2) • • • (1 + i„) Forwardová úroková míra fn/. má platit od roku n do roku <► at * * n 28 n + k, tedy K(í + fnk)k = K(í + in+1) ■ ■ • (l+n+fc) Je vidět, že platí (1 + Sn+k)n+k = (1 + Sn)n(í + fnk)k, Sn = f0n Posloupnost s1; s2, ■ ■ ■ je spotová výnosová křivka, fnl, fn2,... je forwaralová výnosová křivka. Současná hodnota obligace pak je C C C C+F PV = 1 + Sl (1 + S2)2 (1 + Sn-l)™-1 (1 + Sn)» 1 + ii (l + ii)(l + i2) (l + ii)---(l + in_i) C + f1 (1 + íi) •••(! + «„) <► at * * n 29 Durace Obligace je popsána časem a výší jednotlivých plateb. Výši charakterizuje současná hodnota. Durace je časová charakterizace obligace 5. Tedy při rovnoměrném vyplácení kupónových plateb je durace D i+i* J(i+i*)2 c+l 1+i* ' (1+i*)2 ' ' (1+i*)" Tento vzorec lze upravit několika způsoby, jeden z nich je D = 1 n(c-i*) + l + i* c(í + i*)n - (c-i*) Jde o vážený průměr časů plateb, vahou je jejich diskontovaná výše. <► at * * n 30 7.1 Zvláštní případy • Bezkupónová obligace D = n, c = 0 • Konzola (tj. nekonečný systém kupónových plateb). Pro n oo je D=l-±l- Durace je přitom funkcí ceny, neboť i* je funkcí ceny. Vztah mezi změnou i* a cenou lze odvodit z Taylorova rozvoje derivováním. AP Ai* P í + i* <► at * * n 31 Vytvoříme-li portfolio ze sady obligaci se stejnou výnosností, které mají duraci D^ a cenu Pi5 má portfolio duraci = P1D1 + ■■■+ PnDn Pi + ---+P„ Platí d« Očekávaná cena obligace v čase D závisí málo na změně výnosnosti i*. <► at * * n 32 8 Vlastník akcie má právo na • spolurozhodování na činnosti firmy • dividendy (v předem neznámé výši) • podíl na likvidačním zůstatku Prioritní akcie zaručují dividendy, akcie nemusí mít nominální hodnotu. Může dojít ke štěpení akcií. cena akcie = očekávaná cena fundamentální, technická analýza - snaží se předpovědět vývoj cen akcií. <► at * * n 33 8.1 Odběrní právo na akcie Předkupní právo akcionářů k nákupu (nově) emitovaných akcií a to za danou (zvýhodněnou cenu). S tímto právem lze obchodovat, má cenu. i?-cena odběrního práva -PVpřed=cena akcie před datem odběru (jmenuje se datum bez odběrního práva) PVp0=cena akcie bez odběrního práva po datu bez odběrního práva S - zvýhodněná cena N - počet odběrních práv potřebných k zakoupení akcie za cenu S <► AT * * n 34 Platí i-R = NR + S PVpo = NR + S ^ R N+l R PVpo-S N před datem bez odběrního práva po datu bez odběrního práva <► at * * n 35 lze obchodovat s komoditami (pšenice, kráva, plyn) měnami (tj. jejich kurzy) úrokovými mírami akciemi indexy cenných papírů a to ve spotových kontraktech - obchod se uskutečňuje ihned a ve forwardových kontraktech - v dohodnutém termínu včetně placení, ty jsou obchodovatelné 9.1 Forwardové kontrakty Jde o smlouvu mezi dvěma partnery o budoucím prodeji a nákupu v daném termínu za dohodnutou cenu, obvyklý je obchod za měnu. <► at * * n 36 9.2 Termínový měnový kurz Termínový měnový kurz je určen vztahem TKA/B=AKA/B\±^-1 + iBt kde TKA/B je termínový kurz jednotek měny A za jednotku měny B , např 39 CZK/USD a AKA/B aktuální kurz. 6 Nákup a prodej valut je obvykle prováděn s různými kurzy a úvěr a vklady jsou 6 Jde o to, jak se bude měnit (předpoklad, skutečnost může být značně odlišná) kurz v závislosti na čase, lze odvodit úvahou, jak by se měnila hodnota peněz uložených v jednotlivých měnách. Právě uvedený vzorec je pak zřejmý, následující dva jsou již nepatrně složitější. <► at * * n 37 úročeny různou úrokovou míru . Pak TKNA/B = AK/b 1 + 1 + TKPA/B = AKPA/B 1 + 1 + i"At i%t kde ú je úvěr, v vklad, N nákup od banky měny B klientem za měnu A, P prodej měny B bance za měnu A. Nákup zahraniční měny B klientem za měnu A. Protože je ^v ^ ^ú J*^ AKA/B1-±^středkov; atel žádný centrální - umožňuje vyvázání z kontraktu neobchodovatelné obchodovatelné Na začátku klient zaplatí zálohu centrálnímu zprostředkova- teli. <► at * * n 40 Clearingový dům = vymazání kontraktu = odprodej komodit Ve skutečnosti se platby týkaji jen rozdílu cen mezi kontrakty = diferenční obchody. <► at * * n 41 je cenný papír, jehož majitel má právo koupit (opce na koupi) od prodejce opce nebo prodat (opce na prodej) prodejci opce ve stanoveném termínu nějaký cenný papír za předem stanovenou cenu. Kupec opce ztratí nejvýše to, co za opci zaplatil. Ztráta prodejce může být (libovolně) velká. Zisk kupce je ztráta prodejce. Cena opce je rovna očekávané diskontované hodnotě hrubého zisku kupce opce, to jest střední hodnota zisku kupce opce při započtení ceny opce je rovna nule. <► at * * n 42 X S Graf zisku kupce opce na koupi <► at * * n 43 X S Graf zisku kupce opce na prodej X prováděcí cena. -<► AT »í □ 44 S cena akcie v době platnosti opce. 11.1 Blackuv-Scholesuv vzorec Blackův-Scholesův vzorec určuje cenu opce na koupi PT_ŕ = Sr-Mdi.) - Xe-iŕ$(d2) ]n(ST_t/X) + (* + a2/2)t dl =------------^řt------------ , ]n(ST-t/X) + (i - a2/2)t d2- ^Tt a cenu opce na prodej PT_ŕ = Xe-iŕ$(-d2) - Sr-M-di) kde -<► AT »í □ 45 • Pt-í cena opce ů v čase T — t • St-í cena akcie v čase T — t • X prováděcí cena opce • i roční míra zisku při spojitém úročení bezrizikových investic • a volatilita ceny akcie • $ distribuční funkce standardního normálního rozdělení Cenu opce lze vypočítat jen ze známého rozložení pravděpodobnosti ceny akcie v době platnosti opce. Blackův-Scholesův vzorec předpokládá logaritmicko-normální rozložení diskontované ceny akcie s konstantní střední hodnotou. Můžeme však počítat příklady s libovolným heuristickým rozložením. -<► AT »í □ 46 Pro spojité rozložení ceny akcie s frekvenční funkcí ip(s) dostáváme pro opci na koupi P = e-jT / (s - X) ■ cp(s)ds Jx Pro opci na prodej ľx P = e~jT / (X - s) ■ ip(s)ds Jo <► at * * n 47 Totéž jako opce, ale jejich cena se platí v rozhodném dni (tj. době „akce"). Například buďto odeberu zboží za 480 kč, nebo zaplatím 60kč. <► at * * n 48 Zákonná transakce za účelem zisku, spekuluji na rozdílné ceny na různých místech, nebo v různém čase. Obvykle se obchoduje na burze cenných papírů i zboží, které prodejci nepatří, nebo i reálně neexistuje. 13.1 Účastníci burzovních obchodů Makléři obchodují pro klienty svým jménem na jejich účet dealeři obchodují pro sebe svým jménem na svůj účet banky oboje dohodci zprostředkávají obchody Klient má u makléře účet (peníze, akcie), makléř může se souhlasem klienta s cennými papíry provádět transakce, třeba je i <► at * * n 49 zapůjčit třetí straně. Krátký prodej: Klient dá makléři pokyn k prodeji akcií jiného klienta s tím, že je za předepsanou dobu vrátí. 13.2 Indexy cenných papírů Indexy cenných papírů jsou tvořeny váženými průměry aktuálních cen cenných papírů (libovolně vybraných, obvykle tradiční — Dow Jones, PX 50 , ...). <► at * * n 50 Portfolio je soubor různých investic vytvořený k omezení rizika. Střední míra zisku je * = HPi H-------\- «A, kde ii je konkrétní možná hodnota míry zisku zisku a pi pravděpodobnost, že nastane7. Platí Pi-\-------\-p„ = í 7 Třeba očekávám, že s pravděpodobností pi = 0, 5 vydělám s mírou zisku 10% ,tj i\ = 0, 1 a s pravděpodobností p2 = 0,5 vydělám s mírou zisku 20% ,tj i2 = 0, 2, pak i = 0, 15. -<► AT »í □ 51 Dále určujeme směrodatnou odchylku míry zisku O" = y («1 - Í)2V\ H--------\-(in- Í)2Pn Příklad: Dvě portfolia A,B byla zakoupena za stejnou cenu 106. <► at * * n 52 Cena portfolia, včetně výnosů míra zisku A (prst) B (prst) 7.105 -0,3 0 0,02 8.105 -0,2 0 0,03 9.105 -0,1 0,4 0,09 10.105 0 0,23 0,13 11.105 0,1 0,38 0,19 12.105 0,2 0,31 0,20 14.105 0,3 0,04 0,34 Střední míra zisku 0,11 0,14 Riziko 0,09 0,16 Nejlepší portfolio je to, které leží na přímce nejdále směrem severozápadním. Protože tato dvě portfolia neleží na této přímce, nelze je srovnat objektivně (subjektivně: chci větší zisk a riziko, nebo jistotu, ale nižší zisk). Snažíme se předpovědět, jaká bude míra zisku v budoucích <► at * * n 53 letech, na základě pozorovaných hodnot míry zisku v čase t. Tedy ze souboru {it},t = l,...,T vypočteme - 1 T r=l Konkrétní investor, který se musí rozhodnout, může uvažovat křivky (nazývané indiferenční křivky) spojující body (a, i). Protože ideální porfolio s gradientem ve směru S Z tj. s vysokým ziskem při <► at * * n 54 žádném riziku neexistuje, volíme podle směru gradientu od směru S Z až po směr severní (ten je již nerozumný, protože zvýšením rizika neroste zisk). Od směru severního po východní klesá míra zisku při růstu rizika. Většinou tedy chceme, aby indiferenční křivky byly rostoucí funkce. 14.1 Konstrukce portfolia Portfolio tvořeno z n investic s jejich střední mírou zisku ix a vahou vk- Pak pro střední míru zisku portfolia platí i = iiVi -\--------\-ÍnVn <► at * * n 55 přičem pro váhy platí n ^vK = 1, vK > 0 K=l a = \jv\au + V1V2V12 H-------h "^™ kde akí = GkGiPki, —1 < yOfcí < 1 je kovariance mezi fc-tou a /-tou investicí. Pokud yO^; < 0, větší míře zisku jedné investice odpovídá menší míra zisku druhé investice. Zřejmě je a^ = a\. Diverzifikace portfolia. Na obrázku je eficientní množina, což je severozápadní hranice množiny všech možných portfolií a přitom optimální portfolio je bod dotyku eficientní množiny s indiferenční křivkou. <► at * * n 56 Přidáním bezrizikové investice do portfolia můžeme rozšířit efi-cientní množinu tak, že spojíme bod na ose střední míry zisku s bodem dotyku původní eficientní množiny. Nový bod dotyku je pak nové optimální portfolio. Pokud se navíc dá se stejnou mírou zisku vypůjčit a investovat do portfolia, je eficientní množina celá polopřímka. Tržní portfolio je portfolio všech dostupných investic v rozsahu jejich zastoupení na trhu. Ukážeme si, jaké jsou vlastnosti portfolia ze dvou investic [Si, ii] s vahou ů a, [62, i2] s vahou 1 — ů, jejichž korelační koeficient je g. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat «i < «2 1 = ůli + (1 - ů)l2 S= ^ů25\ + (1 - ů)252 + 2ů(í - ů)SiS2g -<► AT »í □ 57 Pokud u < i2, dosadíme ů = - l? a dostaneme «l-«2 J(i) = -=-----=r-a/(« - «2)2<52 + (n -1)51 + 2(1 - i2)(íi - *)5i(52^ 1*1 -*2| V Je tedy ô odmocninou kvadratické funkce argumentu i. Pro g = 1 dostáváme s(j\ = l(»-»2)^i)+_(ň -»)č2| 1*1 -*2| a pro g = — 1 dostáváme ,/^ (*' -'h)Si) + (i -ii)62\ Derivace je rovna 1 (2Ů5\ - 2(1 - Ů)S22), 2 • ^/ů252 + (1 - ů)252 <► at * * n a tedy stacionární bod najdeme řešením rovnice to jest a odtud ů = ŮSJ = (1 - ů)5l <5,2 9 5\ + 522 9+1 = 0,9 ůii + (1 - ů)i2 = 0, 9 • 1 + 0,1 • 2 = 1,1 68 Ö = ^0,92 -1 + 0, l2 -9 = v^ = 0, 94 13. Opce Jaká je cena opce na koupi akcie s prováděcí cenou 1000, <► at * * n 69 jestliže rozložení pravděpodobnosti ceny akcie v době platnosti opce je odhadnuto frekvenční funkcí, jejíž grafem je trojúhelník se základnou 600,1500 a vrcholem ve 1200. <► at * * a 70 <► at * * n 71 Nejprve vypočítáme výšku trojúhelníka ů -$(1200 - 600) + -$(1500 - 1200) = 1 $ = ^ 450 <► at * * n 72 Cena opce v době platnosti je P (s - Í000)cp(s)ds ů 6ÖÖ ů 3ÖÖ (s- 1000)(s-600)tžs 1000 1500 / (s-1000)(1500-s)ds = J1200 lOOOOtf 6 10000 6-450 10000 3-450 lOOOOtf r(r-4)eřr +--------- o -i (t + 2)(3-t)dt = \t: 2 f2] 2 + 4 [:í\ 0 2\ 0 \t3] 3 \f2 — + -- L 3 J 0 [2 C ■ 6[*]o = <► at * * a 73 10000 f 8 \ 10000 / 9 8 + ——- -9+- + 18 = 6-450 V3 J 3-450 V 2 1000-32 10000-27-3 1130000 11300 6-450-3 3-450-2-3 8100 81 139 <► at * * a 74 139 1000 /