Obsah 1 Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Formulace úloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Řešení nehomogenní okrajové úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Speciální funkce 11 2.1 Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Besselovy funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Legendreovy polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Čebyševovy-Laguerreovy polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 Čebyševovy-Hermiteovy polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Distribuce 37 4 Metody charakteristik 43 4.1 Parciální diferenciální rovnice prvního řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 Klasifikace lineárních parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3 Kanonický tvar lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu ve dvou nezávisle proměnných 48 4.4 Počáteční úloha pro hyperbolickou rovnici ve dvou nezávisle proměnných . . . . . . . . . . . . . . 51 4.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5 Metody integrálních transformací 57 5.1 Fourierova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2 Laplaceova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6 Metoda separace proměnných (Fourierova) 63 6.1 Hyperbolické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2 Parabolické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.3 Eliptické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.4 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7 Metody řešení eliptické rovnice 79 7.1 Integrace per partes a Greenovy vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.2 Jednoznačnost řešení Dirichletovy a Neumannovy úlohy pro Poissonovu rovnici . . . . . . . . . . 80 7.3 Laplaceova rovnice a harmonické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 7.4 Metoda potenciálů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.5 Greenova funkce Laplaceova operátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.6 Vlastní čísla a vlastní funkce Laplaceova operátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.7 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1 Následující text není ničím více, než zápisem přednášky předmětu M4010 Rovnice matematické fyziky. Má sloužit především k tomu, aby student-ky/i nebyl-y/i během přednášky nucen-y/i si dělat podrobné poznámky, přepisovat často komplikované formule z tabule do svých papírů (což je natolik intenzivním zdrojem chyb, že se jim prakticky nelze vyhnout). Poté může posloužit jako rychlá připomínka toho, co člověk již zná. V žádném případě nemůže být považován za zdroj, z něhož se lze rovnicím matematické fyziky naučit. Sám o sobě bez komentářů během přednášky je málo srozumitelný až nesrozumitelný (aby byl s komentáři srozumitelný, je mým přáním a snahou; nakolik se to skutečně zdaří, nechám k posouzení laskavým student-kám/ům). V textu asi zůstaly nějaké nedůslednosti, formulační nejasnosti nebo dokonce chyby. Budu vděčný každému, kdo mě na ně upozorní. Zdeněk Pospíšil únor 2003 V češtině existuje několik učebnic parciálních diferenciálních rovnic (rovnic matematické fyziky): 1. A. N. Tichonov, A. A. Samarskij: Rovnice matematické fysiky, ČSAV, Praha 1955, 765 stran. Důkladná učebnice, v podstatě encyklopedie klasických metod řešení parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu. 2. R. Rychnovský, J. Výborná: Parciální diferenciální rovnice a jejich některá řešení, SNTL, Praha 1963, 167 stran. Stručný úvod do problematiky parciálních diferenciálních rovnic. Pěkně jsou zpracovány rovnice prvního řádu. 3. S. Míka, A. Kufner: Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice, Edice Matematika pro VŠT, sešit XIX, SNTL, Praha 1981, 88 stran. 4. S. Míka, A. Kufner: Parciální diferenciální rovnice I. Stacionární rovnice, Edice Matematika pro VŠT, sešit XX, SNTL, Praha 1983, 181 stran. 5. J. Barták, L. Herrmann, V. Lovicar, O. Vejvoda: Parciální diferenciální rovnice II. Evoluční rovnice, Edice Matematika pro VŠT, sešit XXI, SNTL, Praha 1988, 220 stran. 6. J. Franců: Parciální diferenciální rovnice, VUT, PC-DIR Real s.r.o., Brno 2000, 155 str. Přehledná a srozumitelná skripta. Jejich rozsah se zhruba shoduje s rozsahem předmětu M4010. 7. P. Čihák a kol.: Matematická analýza pro fyziky (V), Matfyzpress, Praha 2001, 320 str. Skripta, podle nichž se učí na spřátelené fakultě. 8. J Kopáček a kol.: Příklady z matematiky pro fyziky [V], Matfyzpress, Praha 2003, 306 str. Užitečná sbírka úloh. 2 Kapitola 1 Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 1.1 Formulace úloh Označení: Ck (0, ) -- množina funkcí k-krát diferencovatelných na (0, ), R . 1.1.1 Diferenciální operátor Buďte a, b, c C0 (0, ), a(x) = 0 pro x (0, ). Lineární diferenciální operátor druhého řádu L = L(a, b, c) : C2 (0, ) C0 (0, ) definujeme předpisem Ly(x) = a(x)y (x) + b(x)y (x) + c(x)y(x) , x (0, ) . Rovnice Ly = g C0 (0, ) je lineární diferenciální rovnice druhého řádu; v případě g 0 homogenní, v opačném nehomogenní. Buďte p C1 (0, ), q C0 (0, ). Pak operátor L(-p, -p , q) daný vztahem L(-p, -p , q)y(x) = -p(x)y (x) - p (x)y (x) + q(x)y(x) = -(p(x)y (x)) + q(x)y(x) nazveme samoadjungovaný. Každý lineární diferenciální operátor druhého řádu L(a, b, c), pro jehož koeficienty a, b platí b(x) = a (x) , x (0, ) je samoadjungovaný. Rovnice -(p(x)y (x)) + q(x)y(x) = f(x) , x (0, ) se nazývá samoadjungovaná nebo Sturmova - Liouvilleova rovnice. Každou lineární diferenciální rovnici lze vyjádřit v samoadjungovaném tvaru. D.: Buď h(x) = b(x) - a (x) a(x) dx , (x) = eh(x) . Pak ((x)a(x)) = eh(x) a(x) = eh(x) h (x)a(x) + eh(x) a (x) = (x) b(x) - a (x) a(x) a(x) + (x)a (x) = = (x)b(x) , tedy (x)a(x)y (x) + (x)b(x)y (x) + (x)c(x)y(x) = (x)g(x) je samoadjungovaná rovnice (p = -a, q = c, f = g). 3 1.1.2 Okrajové podmínky Budeme hledat řešení rovnice Ly(x) = f(x) , které splňuje některé z následujících podmínek. Newtonovy podmínky: 0y(0) + 0y (0) = y0 , 1y() + 1y () = y1 , přičemž 2 0 + 2 0 = 0 = 2 1 + 2 1 . Dirichletovy podmínky: y(0) = y0 , y() = y1 . (Jsou zvláštním případem Newtonových podmínek pro 0 = 1 = 1, 0 = 1 = 0.) Neumannovy podmínky: y (0) = y0 , y () = y1 . (Jsou zvláštním případem Newtonových podmínek pro 0 = 1 = 0, 0 = 1 = 1.) Podmínky periodičnosti: y(x) = y(x + ) pro každé x R . Podmínky omezenosti: y(x) je omezená pro x 0+ , 1y() + 1y () = y1 , nebo 0y(0) + 0y (0) = y0 , y(x) je omezená pro x - . Jakoukoliv okrajovou podmínku nazveme homogenní, jestliže s libovolnými dvěma funkcemi y1, y2, které této podmínce vyhovují, vyhovuje téže podmínce i jejich libovolná lineární kombinace k1y1 + k2y2. Newtonovy podmínky s y0 = y1 = 0, podmínky periodičnosti i podmínky omezenosti s y1 = 0 nebo y0 = 0 jsou homogenní. Okrajová úloha, v níž rovnice i okrajové podmínky jsou homogenní se nazývá homogenní okrajová úloha, v opačném případě nehomogenní okrajová úloha. 1.1.3 Symetrický diferenciální operátor Řekneme, že operátor L je symetrický na množině M C2 (0, ), jestliže pro všechny u, v M platí 0 Lu(x)v(x)dx = 0 u(x)Lv(x)dx . Buď L = L(-p, -p , q) samoadjungovaný operátor. Pak platí (s využitím integrace ,,per partes ) 0 Lu(x)v(x)dx - 0 u(x)Lv(x)dx = = 0 [(-(p(x)u (x)) + q(x)u(x))v(x) - u(x)(-(p(x)v (x)) + q(x)v(x))] dx = = 0 [(p(x)v (x)) u(x) - (p(x)u (x)) v(x)] dx = = [p(x)v (x)u(x)] 0 - 0 p(x)v (x)u (x)dx - [p(x)u (x)v(x)] 0 + 0 p(x)u (x)v (x)dx = = p()v ()u() - p(0)v (0)u(0) - p()u ()v() + p(0)u (0)v(0) = = p()(v ()u() - u ()v()) - p(0)(v (0)u(0) - u (0)v(0)) . 4 ˇ Samoadjungovaný operátor L = L(-p, -p , q) je symetrický na množině funkcí, které splňují homogenní Newtonovy podmínky. D.: Je-li 0 = 0, pak u (0) = - 0 0 u(0), v (0) = - 0 0 v(0), takže v (0)u(0) - u (0)v(0) = 0. Je-li 0 = 0, pak u(0) = - 0 0 u (0), v(0) = - 0 0 v (0), takže opět v (0)u(0) - u (0)v(0) = 0. Analogicky ověříme, že v ()u() - u ()v() = 0. ˇ Pokud funkce p je -periodická, pak samoadjungovaný operátor L = L(-p, -p , q) je symetrický na množině -periodických funkcí. 1.1.4 Homogenní okrajová úloha s parametrem Nechť R. Uvažujme homogenní okrajovou úlohu pro rovnici Lv(x) = v(x) . Tato úloha má vždy triviální řešení v 0. Pokud existuje netriviální řešení v = v(x), nazveme ho vlastní funkcí okrajové úlohy a parametr nazveme vlastním číslem operátoru L. Je-li vlastní číslo operátoru L a v = v(x) je příslušná vlastní funkce uvažované okrajové úlohy, pak také funkce cv je pro libovolnou konstantu c R vlastní funkcí. Jestliže vlastnímu číslu odpovídá k lineárně nezávislých vlastních funkcí, řekneme, že je k-násobné vlastní číslo. Označme ML množinu funkcí splňujících příslušné homogenní okrajové podmínky. Je-li operátor L symet- rický na množině ML a 0 = 1 = 2 jsou jeho dvě vlastní čísla, pak odpovídající vlastní funkce jsou ortogonální v prostoru L2 (0, ). D.: 0 v1(x)v2(x)dx = 1 1 0 1v1(x)v2(x)dx = 1 1 0 Lv1(x)v2(x)dx = 1 1 0 v1(x)Lv2(x)dx = = 2 1 0 v1(x)v2(x)dx . Kdyby 0 v1(x)v2(x)dx = 0 pak by 2 1 = 1, což by byl spor. 1.1.5 Sturmova-Liouvilleova úloha -(p(x)y (x)) + q(x)y(x) = y(x) , x (0, ) , 0y(0) + 0y (0) = 0 = 1y() + 1y () . ˇ Každému vlastnímu číslu Sturmovy-Liouvilleovy úlohy přísluší právě jedna normovaná vlastní funkce. ˇ Sturmova-Liouvilleova úloha má nekonečně mnoho vlastních čísel 1, 2, . . . , pro která platí min{q(x) : x [0, l]} 1 < 2 < ; lim n n = . ˇ Vlastní funkce vn = vn(x) odpovídající vlastnímu číslu n má v intervalu (0, ) právě n nulových bodů. Mezi každými dvěma nulovými body vlastní funkce vn leží právě jeden nulový bod vlastní funkce vn+1. ˇ Posloupnost {vn} n=1 normovaných vlastních funkcí Sturmovy-Liouvilleovy úlohy tvoří úplnou ortonor- mální posloupnost na [0, ]. Tj. je-li funkce f L2 (0, ), pak Fourierova řada funkce f vzhledem k orto- normální posloupnosti {vn} n=1 konverguje k funkci f podle středu (konvergence v prostoru L2 (0, )). Je-li funkce f navíc spojitá a splňuje homogenní okrajové podmínky, je tato konvergence stejnoměrná. D.: J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice, MU Brno 1995, str. 158­163. Důkaz je tam proveden pro případ p 1. 5 1.2 Řešení nehomogenní okrajové úlohy 1.2.1 Nehomogenní rovnice s homogenními Newtonovými podmínkami -- Fourierova metoda Ly(x) -(p(x)y (x)) + q(x)y(x) = f(x) , x (0, ) , 0y(0) + 0y (0) = 0 = 1y() + 1y () . ˇ Najdeme posloupnost vlastních čísel {n} n=1 a ortogonální posloupnost příslušných vlastních funkcí {vn} n=1 Sturmovy-Liouvilleovy úlohy, tj. rostoucí posloupnost čísel {n} n=1 a posloupnost funkcí {vn} n=1, které splňují: Lvn(x) = nvn(x) , 0vn(0) + 0v n(0) = 0 = 1vn() + 1v n() . ˇ Funkci f vyjádříme ve tvaru f(x) = n=1 dnvn(x) , kde dn = 1 ||vn|| 2 l 0 f()vn()d . ˇ Řešení úlohy hledáme ve tvaru y(x) = n=1 cnvn(x) . Musí tedy platit Ly(x) = L n=1 cnvn(x) = n=1 cnLvn(x) = n=1 cnnvn(x) , takže n=1 cnnvn(x) = n=1 dnvn(x) , z čehož plyne cn = dn n , n = 1, 2, . . . , pokud všechna vlastní čísla jsou nenulová. Hledané řešení tedy je y(x) = n=1 vn(x) n ||vn|| 2 0 f()vn()d = 0 f() n=1 vn()vn(x) n ||vn|| 2 d . Označíme-li G(x, ) = n=1 vn()vn(x) n ||vn|| 2 , lze řešení zapsat y(x) = 0 f()G(x, )d . 6 1.2.2 Nehomogenní rovnice s homogenními Newtonovými podmínkami -- metoda variace konstant Ly(x) -(p(x)y (x)) + q(x)y(x) = f(x) , x (0, ) , 0y(0) + 0y (0) = 0 = 1y() + 1y () . ˇ Najdeme řešení u, v dvou pomocných homogenních úloh Lu = - (pu ) + qu = 0 , 0u(0) + 0u (0) = 0 , Lv = - (pv ) + qv = 0 , 1v() + 1v () = 0 . Funkce u, v nejsou určeny jednoznačně. Vezmeme ty, které jsou lineárně nezávislé. ˇ Pro Wronskián W(x) = u(x)v (x) - u (x)v(x) funkcí u, v platí p(x)W(x) K, kde K je nenulová konstanta, neboť (pW) = (p(uv - u v)) = p uv + pu v + puv - p u v - pu v - pu v = = (pv + p v )u - (pu + p u )v = (pv ) u - (pu ) v = qvu - quv = 0 , kdyby K = 0, pak by W 0, což by byl spor s lineární nezávislostí. ˇ Řešení nehomogenní úlohy hledáme metodou variace konstant, tedy ve tvaru y(x) = c1(x)u(x) + c2(x)v(x) . Funkce y má být řešením dané nehomogenní rovnice, takže musí platit f = L(c1u + c2v) = - p(c1u) + qc1u - p(c2v) + qc2v = = -p (c 1 u + 2c 1u + c1u ) - p (c 1u + c1u ) + qc1u - -p (c 2 v + 2c 2v + c2v ) - p (c 2v + c2v ) + qc2v = = c1 (-pu - p u + qu) - pc 1u - p (c 1 u + c 1u ) - p c 1u + c2 (-pv - p v + qv) - pc 2v - p (c 2 v + c 2v ) - p c 2v = = c1Lu - pc 1u - p(c 1u) + c2Lv - pc 2v - p(c 2v) = = -p(c 1u + c 2v ) - p(c 1u + c 2v) . Tato rovnost bude splněna zejména tehdy, když funkce c1, c2 splňují soustavu rovnic c 1(x)u(x) + c 2(x)v(x) = 0 , (1.1) c 1(x)u (x) + c 2(x)v (x) = - f(x) p(x) . Platí tedy c 1(x) = 1 W(x) 0 v(x) -f(x) p(x) v (x) = f(x)v(x) K , c 2(x) = 1 W(x) u(x) 0 u (x) -f(x) p(x) = - f(x)u(x) K . (1.2) ˇ Funkce y(x) má splňovat okrajové podmínky, tj. 0 [c1(0)u(0) + c2(0)v(0)] + 0 [c 1(0)u(0) + c1(0)u (0) + c 2(0)v(0) + c2(0)v (0)] = 0 , 1 [c1()u() + c2()v()] + 1 [c 1()u() + c1()u () + c 2()v() + c2()v ()] = 0 , po úpravě s využitím (1.1) c1(0)(0u(0) + 0u (0)) + c2(0)(0v(0) + 0v (0)) = 0 , c1()(1u() + 1u ()) + c2()(1v() + 1v ()) = 0 ; 7 každá z funkcí splňuje jednu okrajovou podmínku, tedy c2(0)(0v(0) + 0v (0)) = 0 , c1()(1u() + 1u ()) = 0 , takže c1() = 0 , c2(0) = 0 . (1.3) ˇ Funkce c1, c2 jsou řešením rovnic (1.2) s počátečními podmínkami (1.3) a jsou tedy dány výrazy c1(x) = 1 K x f()v()d , c2(x) = - 1 K x 0 f()u()d . ˇ Řešení úlohy je y(x) = - u(x) K x f()v()d - v(x) K x 0 f()u()d . Označíme-li G(x, ) = - u(x)v() K , 0 x < - v(x)u() K , 0 < x , lze řešení zapsat y(x) = 0 f()G(x, )d . 1.2.3 Greenova funkce Funkci G : [0, ] × [0, ] R nazveme Greenovou funkcí homogenní okrajové úlohy Ly(x) -(p(x)y (x)) + q(x)y(x) = 0 , x (0, ) , 0y(0) + 0y (0) = 0 = 1y() + 1y () . kde p(x) > 0 pro x [0, l], jestliže (i) G je spojitá pro x [0, ] × [0, ], (ii) G je symetrická, tj. G(x, ) = G(, x), (iii) pro každé [0, ] má funkce G(, ) spojité derivace druhého řádu, (iv) pro každé [0, ] je funkce G(, ) řešením uvažované okrajové úlohy, (v) lim x+ Gx(x, ) - lim x- Gx(x, ) = - 1 p() pro (0, ). Platí: Má-li uvažovaná homogenní okrajová úloha jen triviální řešení y 0 a jsou-li p C1 (0, ), q C2 (0, ), existuje právě jedna její Greenova funkce. Nehomogenní okrajová úloha Ly(x) -(p(x)y (x)) + q(x)y(x) = f(x) , x (0, ) , 0y(0) + 0y (0) = 0 = 1y() + 1y () . má pak jediné řešení tvaru y(x) = 0 f()G(x, )d . D.: I. Kiguradze: Okrajové úlohy pro systémy lineárních obyčejných diferenciálních rovnic, MU Brno 1997, str. 82. Důkaz je proveden pro mnohem obecnější situaci. 8 1.2.4 Úloha s nehomogenními okrajovými podmínkami Ly(x) -(p(x)y (x)) + q(x)y(x) = f(x) , x (0, ) , 0y(0) + 0y (0) = y0 , 1y() + 1y () = y1 . Jestliže funkce w = w(x) splňuje okrajové podmínky 0w(0) + 0w (0) = y0 , 1w() + 1w () = y1 a funkce u = u(x) je řešením úlohy Lu(x) = f(x) - Lw(x) s homogenními okrajovými podmínkami 0u(0) + 0u (0) = 0 = 1u() + 1u () , pak funkce y(x) = u(x) + w(x) je řešením uvažované úlohy. Funkci w je vhodné volit v co nejjednodušším tvaru, například polynom. 1.3 Cvičení Řešte okrajové úlohy 1) -y - 2 x y = 0, x (0, 1); y(1) = y0, y je omezená pro x 0+. 2) - x2 y = 0, x (1, ); y(1) = y0, lim x y(x) = 0. 3) - (xy ) = 0, x (1, ); y(1) = y0, y je omezená pro x . 4) -xy - y = 0, x (1, 2); y(1) = y1, y(2) = 0. 5) -x2 y - xy + k2 y = 0, x (0, ); y() = 1, y je omezená pro x 0+; k je parametr. 6) -xy - y = -x, x (0, ); y(0) = y() = 0. 7) -y = sin x, x (0, 2); y (0) = y (2) = 0. Najděte vlastní funkce okrajových úloh a vlastní čísla příslušných operátorů 8) -v = v, x (0, ); v (0) = v () = 0. 9) -v = v, x R; v(x) = v(x + 2). 10) -v + qv = v, x (0, ); v (0) = 0, v() = 0; q je parametr. Řešte okrajové úlohy 11) -y - 2 y = f(x), x (0, ); y(0) = y() = 0; je parametr. 12) -y - 3y = - x 2 , x (0, ); y(0) = y() = 0. 13) Najděte Greenovu funkci úlohy -y + y = 0, y(0) = y(1) = 0. Výsledky: 1) y(x) = y0 2) y(x) = y0 x 3) y(x) = y0 4) y(x) = y1 ln 2-ln x ln 2 5) y(x) = x |k| 6) nemá řešení 7) y(x) = sin x - x + C, C je libovolná konstanta 8) n = n 2 , vn(x) = cos n x, n = 0, 1, 2, . . . 9) n = n2 , vn(x) = Cn cos nx+Dn sin nx, Cn, Dn jsou libovolné konstanty, C0 = 0, n = 0, 1, 2, . . . 10) n = q+ (2n+1) 2 2 , vn(x) = cos (2n+1) 2 x. 11) y(x) = B sin k x + 1 x 0 f() sin k l ( - x)d pro = k N a 0 f() sin k d = 0, B je libovolná konstanta; y(x) = 1 x 0 f() sin ( - x)d - sin x sin 0 f() sin ( - x)d = 2 x 0 f() k=1 sin k sin k x k22-22 d pro N 12) y(x) = k=1 sin kx k(k2-3) = 6 cos x - cotg 3 sin 3x + 1 6 (x-) 13) G(x, ) = sh(1-x) sh sh 1 , 0 x 1 sh x sh(1-) sh 1 , 0 x < 1 9 10 Kapitola 2 Speciální funkce 2.1 Funkce 2.1.1 Poznámky 1. Nevlastní integrál 0 e-t tx-1 dt absolutně konverguje pro každé x > 0. D.: Je-li x 1, integrál 1 0 e-t tx-1 dt není nevlastní. Je-li x < 1, vezmeme (0, x). Pak lim t0+ t1- e-t tx-1 = lim t0+ e-t tx- = 0 a podle limitního srovnávacího kriteria pro nevlastní integrály druhého druhu a vzhledem k tomu, že nevlastní integrál 1 0 t-k dt konverguje pro k < 1, také nevlastní integrál 1 0 e-t tx-1 dt konverguje. Dále je lim t ((x + 1) ln t - t) = lim 0+ (x + 1) ln 1 - 1 = - lim 0+ (x + 1) ln + 1 = -, neboť podle de l'Hospitalova pravidla platí lim 0+ ln = lim 0+ ln 1 = lim 0+ 1 - 1 2 = - lim 0+ = 0, takže podle věty o limitě složené funkce dostaneme lim t t2 e-t tx-1 = lim t e-t tx+1 = lim t e(x+1) ln t-t = 0 < . Podle limitního srovnávacího kriteria pro nevlastní integrály prvního druhu a z toho, že 1 dt t2 kon- verguje, nyní dostáváme, že také integrál 1 e-t tx-1 dt konverguje. 2. Pro x > 0 položme (x) = 0 e-t tx-1 dt . (2.1) Pro každé x > 0 a každé n N {0} pak platí (x) = (x + n + 1) x(x + 1) (x + n) . (2.2) 11 D.: Úplnou indukcí: Integrací ,,per partes dostaneme (x+1) = 0 e-t tx dt = - [e-t tx ] t=0 +x 0 e-t tx-1 dt = x(x), takže (2.2) platí pro n = 0. Podobně (x + n + 2) = 0 e-t tx+n+1 dt = - e-t tx+n+1 t=0 + (x + n + 1) 0 e-t tx+n dt = = (x + n + 1)(x + n + 1), což je indukční krok. Podle (2.1) je (1) = 0 e-t dt = - e-t 0 = 1 . Z (2.2) nyní pro každé n N {0} plyne 1 = (1) = (n + 2) 1 2 (n + 1) = (n + 2) (n + 1)! , tj. (n + 2) = (n + 1)!, tedy pro každé n N je (n) = (n - 1)! . 2.1.2 Definice Funkce je pro každé x > 0 definována vztahem (2.1), pro x < 0, x Z je funkce definována vztahem (2.2), kde za n vezmeme [-x] = -[x] - 1, t.j. (x) = (x - [x]) x(x + 1) (x - [x] - 1) . Dom = R \ {0, -1, -2, . . .}. 2.1.3 Věta 1. Pro každé x Dom platí (x + 1) = x(x) neboli (x) = (x - 1)(x - 1) a pro každé n N platí (x) = (x - 1)(x - 2) (x - n)(x - n) . 2. Pro každé x R \ Z platí (x)(1 - x) = sin x . D.: 1. Pro x > 0 byl první vztah dokázán v 2.1.1.2, pro x (-1, 0) je podle definice (x) = (x + 1) x , což je první vztah a pro x < -1 je x(x) = x (x - [x]) x(x + 1) (x - [x] - 1) = (x + 1 - [x + 1]) (x + 1)(x + 2) (x + 1 - [x + 1] - 1) = (x + 1) , což je opět první vztah. Ten druhý z něho plyne indukcí. 2. Nechť x (0, 1). Pak (x)(1 - x) = 0 e-t tx-1 dt 0 e-s s-x ds = [0,)×[0,) e-(t+s) s-x tx-1 dsdt . 12 Položíme u = s+t, v = t s , neboli s = u v + 1 , t = uv v + 1 . Podle věty o transformaci dvojného integrálu dostaneme (x)(1 - x) = 0 0 e-u v + 1 u x uv v + 1 x v + 1 uv u (v + 1)2 du ds = = 0 e-u du 0 vx-1 v + 1 dv = 0 vx-1 v + 1 dv . Podle známého vzorce z teorie integrálu [Jarník, I2, str. 277­281] je 0 vx-1 v + 1 dv = sin x . Nechť x > 1. Pak podle 1. je (x) = (x - 1)(x - 2) (x - [x])(x - [x]). 1 - x < 0, takže podle definice (1 - x) = (1 - x + [x]) (1 - x)(2 - x) ([x] - x) = (-1)[x] (1 - x + [x]) (x - 1)(x - 2) (x - [x]) , x - [x] (0, 1), takže podle již dokázaného je (x)(1 - x) = (-1)[x] (x - [x])(1 - x + [x]) = (-1)[x] sin (x - [x]) = = (-1)[x] sin x cos [x] - cos x sin [x] = (-1)[x] (-1)[x] sin x = sin x . Nechť x < 0. Pak podle definice je (x) = (x - [x]) x(x + 1) (x - [x] - 1) a podle 1. je (1 - x) = -x(-x - 1) (-x + 1 + [x])(1 - x + [x]) = (-1)[x] x(x + 1) (x - [x] - 1)(1 - x + [x]). Opět x - [x] (0, 1) a podle již dokázaného (x)(1 - x) = (-1)[x] (x - [x])(1 - x + [x]) = (-1)[x] sin (x - [x]) = sin x . Známe-li (x) pro x [1 2 , 1], lze podle 2.1.3 vypočítat (x) pro jakékoliv x Dom . Již víme, že (1) = 1. Položíme-li v 2.1.3.2 x = 1 2 , dostaneme 1 2 2 = sin 2 = neboli 1 2 = . Odtud také plyne 0 e-x2 dx = 1 2 0 e-t t- 1 2 dt = 1 2 0 e-t t 1 2 -1 dt = 1 2 1 2 = 2 . (2.3) Podle vět z teorie integrálů závislých na parametrech platí lim x0+ (x) = lim x0+ 0 e-t tx-1 dt = 0 e-t t dt = , neboť lim t0+ e-t t 1 t = lim t0+ e-t = 1 > 0, a lim x0- (x) = lim x0- (x + 1) x = (1) lim x0- 1 x = - . 13 2.1.4 Logaritmická derivace funkce (x) = d dx ln (x) = (x) (x) Omezíme se na Dom = (0, ). Podle 2.1.3 platí (x + 1) = 1 x + (x) (x) = (x - n) + n k=1 1 x - k pro n N, n < x (x + n) = (x) + n-1 k=0 1 x + k pro n N (2.4) (1 - x) - (x) = cotg x Tyto vztahy lze využít pro výpočet hodnot funkce , známe-li (x) pro x 1 2 , 1 . Podle vět z teorie integrálů závislých na parametrech platí pro x > 0 (x) = d dx 0 e-t tx-1 dt = 0 e-t tx-1 ln tdt . (2.5) Položíme = - (1) = - 0 e-t ln tdt = 0.5772157 (Eulerova konstanta). Dosadíme-li v (2.4) 1 za x, dosta- neme (n + 1) = - + n k=1 1 k . Platí (tzv. Frullaniho integrál) ln t = 0 e- - e-t d . (2.6) Dosadíme do (2.5) a dostaneme (x) = 0 e-t tx-1 0 e- - e-t d dt = 0 1 e- 0 e-t tx-1 dt - 0 e-t(+1) tx-1 dt d = = 0 1 e- (x) - 0 e-t(+1) tx-1 dt d . Ve vnitřním integrálu zavedeme substituci u = t( + 1) a dostaneme 0 e-t(+1) tx-1 dt = 0 e-u u + 1 x-1 du + 1 = 1 ( + 1)x 0 e-u ux-1 du = 1 ( + 1)x (x) , takže (x) = (x) 0 1 e- - ( + 1)-x d = (x) 0 e- d - 0 d ( + 1)x , což znamená, že (x) = 0 e- d - 0 d ( + 1)x . 14 Ve druhém integrálu zavedeme substituci + 1 = et : 0 d ( + 1)x = 0 et dt (et - 1)etx = 0 e-tx 1 - e-t dt a v prvním přeznačíme integrační proměnnou. Dostaneme (x) = 0 e-t t - e-tx 1 - e-t dt . (2.7) Zejména pro x = 1 dostaneme - = 0 e-t t - e-t 1 - e-t dt . Odečteme-li poslední dvě rovnice, dostaneme (x) = - + 0 e-t - e-tx 1 - e-t dt . Zavedeme substituci = e-t : (x) = - + 1 0 1 - x-1 1 - d . (2.8) Buď s (0, 1) libovolné číslo. Funkce - x je na intervalu [0, s] spojitá, takže podle první Weierstrassovy věty je na tomto intervalu ohraničená. Existuje tedy konstanta c 0 taková, že n - n+x-1 = |n | | - x | sn c pro každé n 1 a každé [0, s]. Geometrická řada n=+ csn konverguje. Podle Weierstrassova kriteria tedy řada n=0 n - n+x-1 = 1 - x-1 + n=1 n - n+x-1 konverguje absolutně a stejnoměrně na intervalu [0, s]. Odtud plyne, že následující výpočet je korektní. s 0 1 - x-1 1 - d = s 0 1 - x-1 n=0 n d = s 0 n=0 n - n+x-1 d = = n=0 s 0 n - n+x-1 d = n=0 sn+1 n + 1 - sn+x n + x . (2.9) Přitom poslední řada konverguje stejnoměrně na intervalu [0, s]; vzhledem k tomu, že s bylo libovolné číslo z intervalu (0, 1), tato řada konverguje lokálně stejnoměrně na intervalu [0, 1). Řada n=0 1 n + 1 - 1 n + x = n=0 x - 1 (n + 1)(n + x) konverguje podle Cauchyova-Maclaurinova Kriteria. Z 2.9 nyní plyne 1 0 1 - x-1 1 - d = lim s1- n=0 sn+1 n + 1 - sn+x n + x = n=0 lim s1- sn+1 n + 1 - sn+x n + x = n=0 1 n + 1 - 1 n + x . Odtud a z 2.8 dostáváme vyjádření logaritmické derivace funkce ve tvaru (x) = - + n=0 1 n + 1 - 1 n + x . (2.10) 15 2.1.5 Rozvoj funkce ve Weierstrassův nekonečný součin Podle (2.10) je d dt ln (t) = - + n=0 1 n + 1 - 1 n + t . Integrujeme-li tuto rovnost podle t v mezích od 1 do x + 1, dostaneme ln (x + 1) = -x + n=1 x n - ln 1 + x n . Odtud dostaneme (x + 1) = e-x n=1 e x n 1 1 + x n , 1 (x + 1) = ex n=1 e- x n 1 + x n . 2.1.6 Asymptotické vyjádření funkce Z (2.7) s využitím (2.6) dostaneme ( + 1) ( + 1) = 0 e-t t - e-t e-t 1 - e-t dt = 0 e-t t - e-t et - 1 dt = = 0 e-t - e-t t dt + 1 2 0 e-t dt - 0 1 2 - 1 t + 1 et - 1 e-t dt = ln + 1 2 - 0 1 2 - 1 t + 1 et - 1 e-t dt . Zintegrujeme tuto rovnost podle v mezích od 1 do x: ln (x + 1) - ln (2) = x ln x - x + 1 + 1 2 ln x - 0 1 2 - 1 t + 1 et - 1 e-t - e-tx t dt . Při označení f(t) = 1 2 - 1 t + 1 et - 1 1 t a s využitím (x + 1) = x(x), (2) = 1 máme ln (x) = x - 1 2 ln x - x + 1 - 0 f(t)e-t dt + 0 f(t)e-tx dt . (2.11) Označme I = 0 f(t)e-t dt, J = 0 f(t)e-t/2 dt, (x) = 0 f(t)e-tx dt . Platí J - I = 0 f(t)e-t/2 dt - 0 f(t)e-t dt = 0 f(t)e-t/2 dt - 1 2 0 f t 2 e-t/2 dt = = 0 1 2 - 1 t + 1 et - 1 1 t - 1 2 1 2 - 2 t + 1 et/2 - 1 2 t e-t/2 dt = = 0 1 t + 1 - (et/2 + 1) et - 1 e-t/2 t dt = 0 e-t/2 t - 1 et - 1 dt t , 16 takže (při výpočtu využijeme (2.6)) J = 0 1 2 - 1 t + 1 et - 1 e-t + e-t/2 t - 1 et - 1 dt t = = 0 e-t 2 - e-t - e-t/2 t + e-t - 1 et - 1 dt t = 0 e-t/2 - e-t t + e-t 2 + e-t (1 - et ) et - 1 dt t = = 0 e-t/2 - e-t t - e-t 2 dt t = = 0 e-t/2 - e-t t - e-t 2 - e-t 2 + e-t/2 2 1 t + 1 2 e-t - e-t/2 t dt = = 0 2 e-t/2 - e-t - t 2e-t - e-t/2 2t2 dt + 1 2 0 e-t - e-t/2 t dt = = 0 -e-t + 1 2 e-t/2 t - e-t - e-t/2 t2 dt + 1 2 ln 1 2 = = 0 d dt e-t - e-t/2 t dt - 1 2 ln 2 = e-t - e-t/2 t 0 - 1 2 ln 2 = = - lim t0 e-t - e-t/2 t - 1 2 ln 2 = lim t0 - 1 2 e-t/2 + e-t - 1 2 ln 2 = 1 2 - 1 2 ln 2 . Položíme-li v (2.11) x = 1 2 , dostaneme ln = 1 2 - I + J , což spolu s předchozím výsledkem dá I = 1 2 - 1 2 ln + 1 2 - 1 2 ln 2 = 1 - 1 2 ln 2 . Dosadíme do (2.11) a dostaneme ln (x) = x - 1 2 ln x - x + 1 2 ln 2 + (x) . Funkce f je na intervalu (0, ) klesající, lim t f(t) = 0 a lim t0+ f(t) = lim t0+ tet - t - 2et + 2 + 2t 2t2 (et - 1) = lim t0+ et + tet - 2et + 1 4t (et - 1) + 2t2et = = lim t0+ -et + et + tet (4 + 4t)et + (4t + 2t2) et - 4 = lim t0+ et + tet (8 + 4t + 4 + 8t + 2t2) et = 1 12 , což znamená, že |(x)| = 0 f(t)e-tx dt 0 |f(t)|e-tx dt 1 12 0 e-tx dt = - 1 12x e-tx 0 = 1 12x , z čehož plyne, že lim x (x) = 0, takže pro velká x lze psát ln (x) x - 1 2 ln x - x + 1 2 ln 2 , neboli (x) 2 xx- 1 2 e-x . (2.12) 17 Odtud dostaneme n! = (n + 1) 2 (n + 1)n+ 1 2 e-n-1 a poněvadž lim n (n + 1)n+ 1 2 e-n-1 nn+ 1 2 e-n = 1 e lim n 1 + 1 n n 1 + 1 n = 1 e e 1 = 1 , lze psát n! 2n n e n pro velká n (Stirlingova formule). 2.2 Besselovy funkce 2.2.1 Definice Obyčejná lineární homogenní rovnice druhého řádu x2 y (x) + xy (x) + (x2 - 2 )y(x) = 0 , (2.13) kde R, x (0, ) se nazývá Besselova rovnice řádu . Rovnici (2.13) lze ekvivalentně zapsat x (xy (x)) + (x2 - 2 )y(x) = 0 . 2.2.2 Řešení rovnice (2.13) Frobeniovou metodou Hledáme nějaké řešení rovnice (2.13). Budeme předpokládat, že je tvaru y(x) = a0x + a1x+1 + a2x+2 + = k=0 akx+k , (2.14) kde R je tzv. charakteristický součinitel, jehož hodnotu určíme později. Pak je x2 y = a0( - 1)x + a1( + 1)x+1 + k=2 ak( + k)( + k - 1)x+k , xy (x) = a0x + a1( + 1)x+1 + k=2 ak( + k)x+k , x2 y(x) = k=2 ak-2x+k , -2 y(x) = -2 a0x - 2 a1x+1 + k=2 (-2 ak)x+k . Tedy a0(2 - 2 )x + a1(2 + 2 + 1 - 2 )x+1 + k=2 ak(2 + 2k + k2 - 2 ) + ak-2 x+k = 0 , takže (2.14) je formálním řešením Besselovy rovnice (2.13) pokud platí rovnosti a0(2 - 2 ) = 0 a1(2 + 2 + 1 - 2 ) = 0 ak(2 + 2k + k2 - 2 ) + ak-2 = 0 , k = 2, 3, . . . První z těchto rovností je splněna, pokud a vyhovují tzv. charakteristické rovnici 2 - 2 = 0 , tj. = . (2.15) 18 Položíme = a dosadíme do zbývajících rovností. Dostaneme a1(2 + 1) = 0 (2.16) ak(2 + k)k = ak-2 , k = 2, 3, . . . . (2.17) Rovnost (2.16) a rovnosti (2.17) s lichými indexy k, tj. k = 2m + 1 pro vhodné m N, jsou zřejmě splněny, pokud a2m+1 = 0, m = 0, 1, 2, . . .. Najdeme podmínky, za jakých jsou splněny rovnosti (2.17) se sudými indexy k. Pokud 2 + k = 0 pro k = 2, 4, 6, . . ., 2m, pak a2m = - a2(m-1) 22m(m + ) = - - a2(m-2) 22(m - 1)(m - 1 + ) 22m(m + ) = a2(m-2) 24m(m - 1)(m + )(m - 1 + ) = = = (-1)m a0 22mm(m - 1) 1 (m + )(m - 1 + ) (1 + ) = (-1)m a0(1 + ) 22mm!(m + )(m - 1 + ) (1 + )(1 + ) = = (-1)m a0(1 + ) 22m(m + 1)(m + + 1) . Tento výpočet naznačuje, že lze volit a0 = 1 2( + 1) , a2m = (-1)m 22m+(m + 1)(m + + 1) . Pokud 2 + k = 0 pro nějaké k = 2m1, pak 2 + k je celé záporné číslo pro všechna k = 2, 4, 6, . . ., 2(m1 - 1) a 2 + k > 0 pro všechna k = 2(m1 + 1), 2(m1 + 2), . . . . Tedy 1 + , 2 + , . . . , m1 + nejsou v definičním oboru funkce a m1 + + 1, m1 + + 2, . . . v něm jsou. V takovém případě lze volit a0 = a2 = = a2(m1-1) = 0, a2m = (-1)m 22m+(m + 1)(m + + 1) pro m m1. Snadno ověříme, že při uvedené volbě budou rovnosti (2.17) splněny pro každý sudý index k. Formální řešení rovnice (2.13) je tedy tvaru y(x) = k=k0 (-1)k 1 (k + 1)(k + + 1) x 2 2k+ , (2.18) kde k0 = 0, (-, 0] Z, -, (-, 0] Z. Abychom ověřili, že se jedná o řešení, je potřeba ukázat, že tato řada konverguje pro každé x > 0. Pro poloměr konvergence r mocninné řady S(x) = k=0 (-1)k 1 22k(k + 1)(k + + 1) x2k podle Cauchyovy-Hadamardovy věty a s využitím (2.12) platí 1 r = lim sup k 2k 1 22k(k + 1)(k + + 1) = = 1 2 lim k 2k 1 2(k + 1)k+1/2(k + + 1)k++1/2e-2k+-1 = 0 , takže tato řada konverguje absolutně a stejnoměrně pro každé x R. Řada (2.18) tedy konverguje absolutně a stejnoměrně pro každé x > 0. (Pro x = 0 nemusí být y(x) = x S(x) vůbec definována.) 19 2.2.3 Definice Funkce J(x) = k=0 (-1)k 1 (k + 1)(k + + 1) x 2 2k+ se nazývá Besselova funkce prvního druhu řádu . Je-li pro nějaké k N {0} číslo k + + 1 celé nekladné (tj. k + + 1 Dom ), klademe k-tý člen uvažované řady roven 0. Označme u(x) = k=0 (-1)k 1 (k + 1)(k + + 1) x 2 2k Pak je J(x) = x 2 u(x). 2.2.4 Poznámka u(0) = 1 ( + 1) , u (0) = 0 . D.: První vzorec plyne z toho, že (1) = 1. u (x) = k=0 (-1)k 2k 2(k + 1)(k + + 1) x 2 2k-1 = k=1 (-1)k k (k + 1)(k + + 1) x 2 2k-1 = = k=1 (-1)k 1 (k)(k + + 1) x 2 2k-1 . (Poslední rovnost plyne z faktu, že (k + 1) = k(k).) 2.2.5 Vlastnosti Besselovy funkce prvního druhu 1. Funkce J(x) je spojitá na (0, ). D.: Plyne z toho, že u(x) jakožto součet mocninné řady je funkce spojitá. 2. lim x0+ J(x) = 1 , = 0 0 , > 0 nebo Z \ {0} (-1)[] , (-, 0) \ Z . D.: Plyne bezprostředně z 2.2.4. 3. Pro n N platí Jn(x) = (-1)n Jn(x) pro všechna x (0, ). D.: J-n(x) = k=n (-1)k (k + 1)(k - n + 1) x 2 2k-n = k=0 (-1)k+n (k + n + 1)(k + 1) x 2 2k+n = (-1)n Jn(x). 4. (x- J(x)) = -x- J+1(x) , (x J(x)) = x J-1(x) . 20 D.: Platí: x- J(x) = 2- k=0 (-1)k 1 (k + 1)(k + + 1) x 2 2k = = 2- k=0 (-1)k 2k 2(k + 1)(k + + 1) x 2 2k-1 = = 2- k=1 (-1)k k (k + 1)(k + + 1) x 2 2k-1 = = 2- x 2 k=1 (-1)k 1 (k)(k + + 1) x 2 2(k-1) = = 2- x 2 k=0 (-1)k+1 1 (k + 1)(k + + 2) x 2 2k = = -2- k=0 (-1)k 1 (k + 1)(k + + 2) x 2 2k+1 = = -x- x 2 k=0 (-1)k 1 (k + 1)(k + + 2) x 2 2k+1 = = -x- k=0 (-1)k 1 (k + 1)(k + ( + 1) + 1) x 2 2k++1 Druhý vztah lze dokázat analogicky. 5. J+1(x) = 2 x J(x) - J-1(x) , J (x) = 1 2 (J-1(x) - J+1(x)). První formule (rekurentní vzorec) umožňuje vypočítat J+1(x) ze znalosti J(x) a J-1(x); druhá formule je vzorec pro derivaci Besselovy funkce prvního druhu. D.: První formuli z 4. vynásobíme x , druhou x- a rozepíšeme derivaci součinu. Tím dostaneme J (x) - x J(x) = -J+1(x) , J (x) + x J(x) = J-1(x) . Odečtením těchto rovnic dostaneme první formuli, sečtením druhou. 6. Platí J0(x) = k=0 (-1)k (k + 1)(k + 1) x 2 2k = k=0 (-1)k (k!)2 x 2 2k , J1(x) = k=0 (-1)k (k + 1)(k + 2) x 2 2k+1 = x 2 k=0 (-1)k (k + 1)(k!)2 x 2 2k . 7. J-1/2(x) = 2 x cos x , J1/2(x) = 2 x sin x . D.: Poněvadž podle 2.1.3 je pro každé k N {0} k + 1 2 = k - 1 2 k - 3 2 k - 2k - 1 2 1 2 = (2k - 1)(2k - 3) 1 2k = = (2k)! (2k)!!2k = (2k)! k!22k , 21 kde (2k)!! = 2k(2k - 2)(2k - 4) 2, tak platí (k + 1) k + 1 2 = k! (2k)! k!22k = (2k)! 22k a tedy J-1/2 = k=0 (-1)k 1 (k + 1) k + 1 2 x 2 2k-1/2 = 2 x k=0 (-1)k 22k (2k)! x 2 2k = = 2 x k=0 (-1)k x2k (2k)! = 2 x cos x . Druhý vztah se dokáže analogicky. Rekurentní formule uvedené v 5 spolu s vyjádřením funkcí J0, J1, J-n, J-1/2, J1/2 uvedenými v 6, 3 a 7 umožňují vypočítat Besselovy funkce 1. druhu libovolného celočíselného a poločíselného řádu. 2.2.6 Věta (Nulové body Besselových funkcí celočíselného řádu) Funkce Jn, n = 0, 1, 2, . . . má jednoduché nulové body xn1, xn2, xn3, . . . takové, že 0 < xn1 < xn2 < xn3 < , lim k xnk = a posloupnost {xnk} k=1 nemá hromadné body. Funkce Jn, n = 1, 2, . . . má navíc n-násobný nulový bod xn0 = 0. D.: Viz např. G.N.Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922, kap. XV. 2.2.7 Věta (Orthogonalita Besselových funkcí celočíselného řádu) Besselovy funkce Jn, n = 0, 1, 2, . . . splňují pro každé a > 0 a všechna k, l N rovnost a 0 Jn xnk a Jn xnl a d = 0, k = l 1 2 a2 (Jn+1(xnk)) 2 , k = l kde xnk (resp. xnl) je k-tý (resp. l-tý) jednoduchý nulový bod funkce Jn. D.: Položme f() = Jn xnk a , g() = Jn xnl a . Pak df() d = xnk a J n xnk a , d2 f() d2 = xnk a 2 J n xnk a . Poněvadž Jn je řešením Besselovy rovnice (2.13), platí d2 f() d2 = xnk a 2 xnk a -2 - xnk a J n xnk a - xnk a 2 - n2 Jn xnk a = = - 1 2 df() d + xnk a 2 - n2 f() , tedy d2 f() d2 + 1 df() d + xnk a 2 - n2 2 f() = 0. Analogicky dostaneme d2 g() d2 + 1 dg() d + xnl a 2 - n2 2 f() = 0. První rovnost vynásobíme g, druhou vynásobíme f a odečteme je: (gf - fg ) + (gf - fg ) + fg xnk a 2 - xnl a 2 = 0. 22 Po úpravě (gf + g f - g f - fg ) + (gf - fg ) + fg x2 nk - x2 nl a2 = 0, d d ( (gf - fg )) = x2 nl - x2 nk a2 fg. Integrací poslední rovnosti v mezích od 0 do a dostaneme a (g(a)f (a) - f(a)g (a)) = x2 nl - x2 nk a2 a 0 f()g()d . Poněvadž f(a) = Jn xnk a a = 0 a g(a) = Jn xnl a a = 0, platí 0 = x2 nl - x2 nk a2 a 0 Jn xnk a Jn xnl a d , takže pro k = l je dokazovaná rovnost splněna. Poněvadž Jn splňuje Besselovu rovnici (2.13), platí pro každé x > 0 rovnost x2 Jn(x) = n2 Jn(x) - xJ n(x) - x2 J n (x). Integrací per partes s využitím této rovnosti dostaneme x (Jn(x)) 2 dx = 1 2 x2 (Jn(x)) 2 - x2 Jn(x)J n(x)dx = = 1 2 x2 (Jn(x))2 - n2 Jn(x)J n(x) - x (J n(x)) 2 - x2 J n (x)J n(x) dx = = 1 2 x2 (Jn(x))2 - n2 2 (Jn(x))2 - x2 2 (J n(x)) 2 dx = = 1 2 x2 (Jn(x)) 2 - n2 2 (Jn(x)) 2 + x2 2 (J n(x)) 2 = x2 2 (Jn(x)) 2 + (J n(x)) 2 - n2 2 (Jn(x)) 2 . Podle 2.2.5.5 je (Jn(x)) 2 + (J n(x)) 2 = (Jn(x)) 2 + (Jn-1(x) - Jn+1(x)) 2 a tento výraz je podle 2.2.5.2 pro x z pravého okolí nuly ohraničený. To znamená, že lim x0+ x2 2 (Jn(x)) 2 + (J n(x)) 2 = 0. Dále podle 2.2.5.2 je také lim x0+ 1 2 (nJn(x)) 2 = 0. Platí tedy a 0 Jn xnk a 2 d = a2 x2 nk xnk 0 x [Jn(x)] 2 dx = = a2 x2 nk x2 nk 2 (Jn(xnk)) 2 + (J n(xnk)) 2 - n2 2 (Jn(xnk)) 2 = a2 2 (J n(xnk)) 2 . Podle 2.2.5.4 je -x-n Jn+1(x) = x-n Jn(x) = - n xn+1 Jn(x) + x-n J n(x), takže J n(xnk) = -Jn+1(xnk). Celkem tedy a 0 Jn xnk a 2 d = a2 2 (Jn+1(xnk)) 2 , což je dokazovaná rovnost pro k = l. 23 2.2.8 Věta Nechť Z a v je řešením Besselovy rovnice (2.13) lineárně nezávislé na J. Pak lim x0+ v(x) = . D.: Označme W = W(x) = W(x; J, v) = J(x) v(x) J (x) v (x) = J(x)v (x) - J (x)v(x) wronskián funkcí J, v. S využitím faktu, že J a v jsou řešením rovnice (2.13) dostaneme d dx W = d dx (Jv - J v) = J v + Jv - J v - J v = Jv - J v = = J (2 - x2 )v - xv x2 - v (2 - x2 )J - xJ x2 = 1 x (J v - Jv ) = - 1 x W. Wronskián W tedy splňuje diferenciální rovnici W = - W x , což znamená, že W(x) = C x , kde C je nějaká nenulová konstanta (neboť funkce J, v jsou nezávislé). Dále platí d dx v J = v J - vJ J2 = W J2 = C xJ2 . Buď > 0 libovolná konstanta. Integrací poslední rovnosti v mezích od x do dostaneme v(x) J(x) = D - C x d (J())2 , kde D = v() J() je konstanta. Odtud plyne, že pro každé x (0, ) platí v(x) = J(x) D - C x d (J()) 2 a tedy lim x0+ v(x) = D lim x0+ J(x) - C lim x0+ J(x) x d (J()) 2 . (2.19) Buď > 0 libovolné. Položme = (1 + )2 , = 0 2 , Z \ {0} . Pak > 0 a podle 2.2.5.2 k němu existuje > 0 takové, že pro všechna (0, ) je (J())2 < . Odtud plyne, že pro x (0, ) platí x d (J()) 2 = x d (J()) 2 + d (J()) 2 > 1 x d + d (J()) 2 = 1 ln x + d (J()) 2 , tedy lim x0+ x d (J()) 2 d (J()) 2 + 1 lim x0+ ln x = . Odtud vzhledem k 2.2.5.2 a (2.19) dále plyne, že pro = 0 je lim x0+ v(x) = (- sgn C) 24 a pro Z \ {0} podle de l'Hospitalova pravidla a podle 2.2.5.5 je lim x0+ v(x) = -C lim x0+ J(x) x d (J()) 2 = -C lim x0+ x d (J())2 1 J(x) = -C lim x0+ - 1 x (J(x))2 - J (x) (J(x)) 2 = = -C lim x0+ 1 xJ = -C lim x0+ 2 x (J-1(x) - J+1(x)) . Podle 2.2.5.2 je funkce x J-1(x) - J+1 v pravém okolí nuly ohraničená a tedy lim x0+ v(x) = . 2.2.9 Věta Je-li Z, jsou Besselovy funkce prvního druhu J a J- řešením rovnice (2.13) a jsou lineárně nezávislé. D.: Funkce J, J- byly v 2.2.2 nalezeny jako řešení rovnice (2.13). Stačí tedy ověřit tvrzení o nezávislosti. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že > 0. Wronskián funkcí J, J- je W(x, J, J-) = J(x) J-(x) J (x) J -(x) = J(x)J -(x) - J-(x)J (x) = = x 2 u(x) x 2 - u-(x) - x 2 - u-(x) x 2 u(x) = = x 2 u(x) - 2 x 2 --1 u-(x) + x 2 - u -(x) - - x 2 - u-(x) 2 x 2 -1 u(x) + x 2 u (x) = = u(x)u -(x) - u-(x)u (x) - 2 x u(x)u-(x) . Podle 2.2.4 pro Z platí lim x0+ W(x, J, J-) = , což znamená, že pro nějaké x > 0 je W(x, J, J-) = 0 a tedy podle známé věty z teorie lineárních homogenních obyčejných diferenciálních rovnic funkce J, J- tvoří fundamentální systém řešení rovnice (2.13). Pro Z tedy Besselovy funkce prvního druhu J a J-nu tvoří fundamentální systém řešení rovnice (2.13). V případě Z máme pouze jedno bázové řešení (sr. 2.2.5.3). 2.2.10 Definice Funkce Y definovaná pro každé R a každé x (0, ) vztahem Y(x) = lim J(x) cos - J-(x) sin se nazývá Besselova funkce druhého druhu řádu . (Někdy také Neumannova funkce.) Pokud Z, je jmenovatel zlomku za limitou nenulový a tedy pro Z lze psát Y(x) = J(x) cos - J-(x) sin . Je-li = n Z, jsou čitatel i jmenovatel zlomku za limitou nulové a limitu lze tedy vypočítat podle de l'Hospital- ova pravidla: Yn(x) = 1 J(x) =n - (-1)n J-(x) =n . 25 2.2.11 Věta Funkce Y je řešením rovnice (2.13) pro libovolné R. Pro wronskián funkcí J a Y platí W(x, J, Y) = 2 x . (Funkce J a Y tedy tvoří fundamentální systém řešení rovnice (2.13).) D.: Viz např. G.N.Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922, str. 58­76. 2.2.12 Poznámka Besselovy funkce druhého druhu splňují stejné vztahy, jako funkce prvního druhu: x- Y(x) = -x- Y+1(x) , (x Y(x)) = x Y-1(x) , Y+1(x) = 2 x Y(x) - Y-1(x) , Y (x) = 1 2 (Y-1(x) - Y+1(x)) 2.3 Legendreovy polynomy 2.3.1 Definice Legendreův polynom stupně n N {0} je pro každé x R definován vztahem Pn(x) = 1 2nn! dn dxn (x2 - 1)n . Zejména P0(x) = 1 P2(x) = 1 2 (3x2 - 1) P4(x) = 1 8 (35x4 - 30x2 + 3) P1(x) = x P3(x) = 1 2 (5x3 - 3x) P5(x) = 1 8 (63x5 - 70x3 + 15x) Poněvadž (x2 - 1)n = n k=0 n k (-1)k x2(n-k) = n k=0 (-1)k n! k!(n - k)! x2n-2k = n! n k=0 (-1)k k!(n - k)! x2n-2k , platí Pn(x) = 1 2n dn dxn n k=0 (-1)k k!(n - k)! x2n-2k . 26 Tedy pro m N je P2m = d2m dx2m 2m k=0 (-1)k 22mk!(2m - k)! x4m-2k = = d2m-1 dx2m-1 2m k=0 (-1)k (4m - 2k) 22mk!(2m - k)! x4m-2k-1 = = d2m-1 dx2m-1 2m-1 k=0 (-1)k (4m - 2k) 22mk!(2m - k)! x4m-2k-1 = = d2m-2 dx2m-2 2m-1 k=0 (-1)k (4m - 2k)(4m - 2k - 1) 22mk!(2m - k)! x4m-2k-2 = = d2m-2 dx2m-2 2m-1 k=0 (-1)k (4m - 2k)! 22mk!(2m - k)!(4m - 2k - 2)! x4m-2k-2 = = = m k=0 (-1)k (4m - 2k)! 22mk!(2m - k)!(2m - 2k)! x2(m-k) , analogicky P2m-1 = m-1 k=0 (-1)k (4m - 2k - 2)! 22m-1k!(2m - k - 1)!(2m - 2k - 1)! x2(m-k)-1 , souhrnně Pn = [n 2 ] k=0 (-1)k (2n - 2k)! 2nk!(n - k)!(n - 2k)! xn-2k . (2.20) 2.3.2 Věta Legendreův polynom Pn je pro každé n N {0} řešením diferenciální rovnice (1 - x2 )y (x) - 2xy (x) + n(n + 1)y(x) = 0 . D.: Položme (x) = 1 2nn! (x2 - 1)n . Pak (x) = 2xn(x2 - 1)n-1 2nn! , takže (x2 - 1) (x) = 2xn(x). Derivujme tuto nerovnost (n + 1)-krát (s využitím Leibnizovy formule): (x2 - 1)(n+2) (x) + (n + 1)2x(n+1) (x) + n(n + 1) 2 2(n) (x) = 2n x(n+1) (x) + (n + 1)(n) (x) , (x2 - 1)(n+2) (x) + 2x(n+1) (x) - n(n + 1)(n) (x) = 0 , a poněvadž (n) (x) = Pn(x), tvrzení je dokázáno. Rovnici z tvrzení věty lze také zapsat ve tvaru (1 - x2 )y (x) + n(n + 1)y(x) = 0 . (2.21) 2.3.3 Věta (Orthogonalita Legendreových polynomů) Pro Legendreovy polynomy platí 1 -1 Pn(x)Pm(x)dx = 0, m = n, 2 2n + 1 , m = n. 27 D.: Buďte n, m N {0}. Rovnici (2.21) jednou napíšeme pro y(x) = Pm(x) a vynásobíme Pn(x), podruhé ji napíšeme pro y(x) = Pn(x) a vynásobíme Pm(x): (1 - x2 )P m(x) Pn(x) + m(m + 1)Pm(x)Pn(x) = 0 , (1 - x2 )P n(x) Pm(x) + n(n + 1)Pn(x)Pm(x) = 0 . Tyto rovnice odečteme, upravíme a zintegrujeme v mezích od -1 do 1. Dostaneme (1 - x2 )P m(x) Pn(x) - (1 - x2 )P n(x) Pm(x) + (m(m + 1) - n(n + 1))Pn(x)Pm(x) = 0 , (1 - x2 )(P m(x)Pn(x) - Pm(x)P n(x)) + (m - n)(m + n + 1)Pn(x)Pm(x) = 0 , (1 - x2 )(P m(x)Pn(x) - Pm(x)P n(x)) 1 -1 + (m - n)(m + n + 1) 1 -1 Pn(x)Pm(x)dx = 0 , a poněvadž první sčítanec se rovná nule, platí pro m = n 1 -1 Pn(x)Pm(x)dx = 0 . Pro výpočet ||Pn||2 = 1 -1 (Pn(x))2 dx použijeme n-krát metodu per partes. Pro zjednodušení zápisu ozna- číme Q(x) = (x2 - 1)n a uvědomíme si, že 1 a -1 jsou 2n-násobné kořeny polynomu Q. 1 -1 (Pn(x))2 dx = 1 2nn! 2 1 -1 Q(n) (x)Q(n) (x)dx = = 1 2nn! 2 Q(n-1) (x)Q(n) (x) 1 -1 - 1 -1 Q(n+1) (x)Q(n-1) (x)dx = = - 1 2nn! 2 1 -1 Q(n+1) (x)Q(n-1) (x)dx = = (-1)n 1 2nn! 2 1 -1 Q(2n) (x)Q(x)dx = = (-1)n 1 2nn! 2 1 -1 (2n)!(x2 - 1)n dx = (-1)n (2n)! 22n(n!)2 1 -1 (x + 1)n (x - 1)n dx . Pro výpočet integrálu 1 -1 (x + 1)n (x - 1)n dx opět použijeme n-krát metodu per partes: 1 -1 (x + 1)n (x - 1)n dx = (x + 1)n (x - 1)n+1 n + 1 1 -1 - 1 -1 n(x + 1)n-1 (x - 1)n+1 n + 1 dx = = - n n + 1 1 -1 (x + 1)n-1 (x - 1)n+1 dx = = - n n + 1 (x + 1)n-1 (x - 1)n+2 n + 2 1 -1 - n - 1 n + 2 1 -1 (x + 1)n-2 (x - 1)n+2 dx = = n(n - 1) (n + 1)(n + 2) 1 -1 (x + 1)n-2 (x - 1)n+2 dx = = n(n - 1) 1 (n + 1)(n + 2) (2n) (-1)n 1 -1 (x - 1)2n dx = = (n!)2 (2n)! (-1)n (x - 1)2n+1 2n + 1 1 -1 = - (n!)2 (2n)! (-1)n (-2)2n+1 2n + 1 = (-1)n (n!)2 22n+1 (2n)!(2n + 1) 28 Celkem tedy 1 -1 (Pn(x))2 dx = (-1)n (2n)! 22n(n!)2 (-1)n (n!)2 22n+1 (2n)!(2n + 1) = 2 2n + 1 . 2.3.4 Rekurentní vztahy pro Legendreovy polynomy Pomocí (2.20) lze odvodit: Pn+1(x) = 2n + 1 n + 1 xPn(x) - n n + 1 Pn-1(x) , n = 1, 2, . . . P n(x) = n 1 - x2 (Pn-1(x) - xPn(x)) , n = 1, 2, . . . . 2.4 Čebyševovy-Laguerreovy polynomy 2.4.1 Definice Čebyševův-Laguerreův polynom stupně n N {0} je pro každé x > 0 definován vztahem Ln(x) = ex n! dn dxn e-x xn . Zejména L0(x) = 1 L2(x) = 1 2 x2 - 2x + 1 L4(x) = 1 24 x4 - 2 3 x3 + 3x2 - 4x + 1 L1(x) = -x + 1 L3(x) = -1 6 x3 + 3 2 x2 - 3x + 1 L5(x) = - 1 120 x5 + 5 24 x4 - 5 3 x3 + 5x2 - 5x + 1 2.4.2 Explicitní vyjádření Čebyševova-Laguerreova polynomu Nechť Ln(x) = n k=0 ankxk . S využitím Leibnizovy formule dostaneme Ln(x) = ex n! n k=0 n k dk dxk e-x dn-k dxn-k xn = ex n! n k=0 n k (-1)k e-x n! k! xk = n k=0 (-1)k n k xk k! , (2.22) takže ank = (-1)k k! n k . Odtud dostaneme an(k+1) ank = - k! (k + 1)! n k + 1 n k = - k!n!k!(n - k)! (k + 1)!n!(k + 1)!(n - k - 1)! = k - n (k + 1)2 , tedy an(k+1) = k - n (k + 1)2 ank , k = 0, 1, 2, . . ., n - 1, an0 = n 0 = 1 . 29 2.4.3 Rekurentní vztahy pro Čebyševovy-Laguerreovy polynomy S využitím (2.22) dostaneme nLn(x) = n k=1 (-1)k n k n k! xk + n , xL n(x) = x n k=0 (-1)k n k k k! xk-1 = n k=1 (-1)k n k 1 (k - 1)! xk , tedy nLn(x) - xL n(x) = n + n k=1 (-1)k n k 1 (k - 1)! n k - 1 xk = n + n-1 k=1 (-1)k n k n - k k! xk = = n-1 k=0 (-1)k n k n - k k! xk = n-1 k=0 (-1)k n! k!(n - k)! n - k k! xk = = n n-1 k=0 (-1)k (n - 1)! k!(n - k - 1)! xk k! = nLn-1(x) . Odtud dostaneme vyjádření derivace Čebyševova-Laguerreova polynomu pomocí tohoto polynomu a polynomu nižšího stupně: L n(x) = n x (Ln(x) - Ln-1(x)) . (2.23) S využitím (2.22) také dostaneme L n(x) - L n-1(x) = n-1 k=1 (-1)k n k - n - 1 k xk-1 (k - 1)! + (-1)n xn-1 (n - 1)! = = n-1 k=1 (-1)k (n - 1)! k!(n - k - 1)! n n - k - 1 xk-1 (k - 1)! + (-1)n xn-1 (n - 1)! = = n-1 k=1 (-1)k (n - 1)! (k - 1)!(n - k)! xk-1 (k - 1)! + (-1)n xn-1 (n - 1)! = = n-1 k=0 (-1)k+1 (n - 1)! k!(n - k - 1)! xk k! = - n-1 k=0 (-1)k n - 1 k xk k! = -Ln-1(x) . Máme tedy další rekurentní formuli L n(x) - L n-1(x) + Ln-1(x) = 0 . (2.24) Z formulí (2.23) a (2.24) dostaneme n x (Ln(x) - Ln-1(x)) = L n-1(x) - Ln-1(x) , tedy Ln(x) = 1 - x n Ln-1(x) + x n L n-1(x) , (2.25) což je formule pro výpočet Čebyševova-Laguerreova polynomu pomocí Čebyševova-Laguerreova polynomu stup- ně nižšího a jeho derivace. Napíšeme-li tuto formuli pro n+1 místo pro n a za L n dosadíme z (2.23), dostaneme Ln+1(x) = 1 - x n + 1 Ln(x) + x n + 1 n x (Ln(x) - Ln-1(x)) . Tuto rovnici upravíme na tvar (n + 1)Ln+1(x) = (2n + 1 - x)Ln(x) - nLn-1(x) . Tento vzorec lze použít k postupnému výpočtu Čebyševových-Laguerreových polynomů z prvních dvou L0(x) = 1, L1(x) = 1 - x. 30 2.4.4 Diferenciální rovnice pro Čebyševovy-Laguerreovy polynomy Derivováním rovnice (2.23) dostaneme L n(x) = - n x2 (Ln(x) - Ln-1(x)) + n x L n(x) - L n-1(x) . Do této rovnice dosadíme z (2.24) za výraz L n(x) - L n-1(x) a upravíme: xL n(x) = - n x (Ln(x) - Ln-1(x)) - nLn-1(x) , xL n(x) = - n x Ln(x) + n x - n Ln-1(x) . Za výraz Ln-1(x) v poslední rovnici dosadíme z (2.23) a dostaneme xL n(x) = - n x Ln(x) + n(1 - x) x - x n L n(x) + Ln(x) , po úpravě xL n(x) = (x - 1)L n(x) - nLn(x) . To znamená, že Čebyševovy-Laguerreovy polynomy Ln jsou řešením diferenciální rovnice xy (x) + (1 - x)y (x) + ny(x) = 0, nebo v samoadjungovaném tvaru xe-x y + ne-x y = 0. Čebyševovy-Laguerreovy polynomy jsou řešením této rovnice s okrajovými podmínkami y(0) = 1, lim x e-x y(x) = 0. 2.4.5 Věta (Orthonormalita Čebyševových-Laguerrových polynomů) Pro Čebyševovy-Laguerreovy polynomy platí 0 Lm(x)Ln(x)e-x dx = 1, m = n 0, m = n . D.: Pro každé 0 < l < n platí dn-l dxn-l e-x xn = dn-l dxn-l k=0 (-1)k k! xk+n = k=0 (-1)k k! (k + n)(k + n - 1) (k + l + 1)xk+l = = k=0 (-1)k k! (k + n)! (k + l)! xk+l , takže lim x0+ dn-l dxn-l e-x xn = 0 ; (2.26) také platí dn-l dxn-l (e-x xn ) = P(x)e-x , kde P(x) je nějaký polynom, takže lim x Lm(x) dn-l dxn-l e-x xn = 0 (2.27) pro každé m N. Nechť pro určitost je m n. Uvažujme integrál J = 0 Lm(x)Ln(x)e-x dx = 1 n! 0 Lm(x) dn dxn e-x xn dx . 31 K jeho výpočtu použijeme m krát metodu per partes a vztahy (2.26), (2.27): J = 1 n! Lm(x) dn-1 dxn-1 e-x xn 0 - 0 L m(x) dn-1 dxn-1 e-x xn dx = = - 1 n! 0 L m(x) dn-1 dxn-1 e-x xn dx = = (-1)m n! 0 dm dxm Lm(x) dn-m dxn-m e-x xn dx . S využitím 2.4.2 dostaneme J = (-1)m n! 0 (-1)m m! m m m! dn-m dxn-m e-x xn dx = 1 n! 0 dn-m dxn-m e-x xn dx . Je-li m = n, pak podle 2.1.2 je J = 1 n! 0 e-x xn dx = 1 n! (n + 1) = 1 n! n! = 1 , Jeli m < n, pak podle (2.26) a (2.26) je J = 1 n! dn-m-1 dxn-m-1 e-x xn 0 = 0 . Z věty plyne, že funkce n(x) = e-x/2 Ln(x), n = 0, 1, 2, . . . tvoří ortonormální posloupnost v prostoru L2 (0, ). 2.4.6 Zobecněné Čebyševovy-Laguerreovy polynomy Zobecněný Čebyševův-Laguerreův polynom stupně n N {0} je pro všechna reálná x > 0 a s > -1 definován vztahem Qs n(x) = ex n! x-s dn dxn e-x xn+s . Tyto polynomy jsou řešením diferenciální rovnice xy (x) + (s + 1 - x)y (x) + ny(x) = 0, nebo v samoadjungovaném tvaru xs+1 e-x y + ne-x xs y = 0. Zobecněné Čebyševovy-Laguerreovy polynomy splňují rekurentní formule (n + 1)Qs n+1(x) = (2n + s + 1 - x)Qs n(x) - (n + s)Qs n-1(x) d dx Qs n(x) = 1 x nQs n(x) - (n + s)Qs n-1(x) , Qs+1 n (x) - Qs+1 n-1(x) = Qs n(x) , d dx Qs n(x) = -Qs+1 n-1(x) a rovnici 0 Qs m(x)Qs n(x)e-x xs dx = (n + s + 1) n! , m = n 0, m = n . 32 Z poslední rovnice plyne, že funkce s n(x) = xs/2 e-x/2 n! (n + s + 1) Qs n(x), n = 0, 1, 2, . . . tvoří ortonormální posloupnost v prostoru L2 (0, ). 2.5 Čebyševovy-Hermiteovy polynomy 2.5.1 Definice Čebyševův-Hermiteův polynom stupně n N {0} je pro každé x R definován vztahem Hn(x) = (-1)n ex2 dn dxn e-x2 . Zejména H0(x) = 1 H2(x) = 4x2 - 2 H4(x) = 16x4 - 48x2 + 12 H1(x) = 2x H3(x) = 8x3 - 12x H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x 2.5.2 Rekurentní vztahy pro Čebyševovy-Hermiteovy polynomy S využitím Leibnizovy formule pro výpočet vyšší derivace součinu funkcí dostaneme pro každé n 1 Hn+1(x) = (-1)n+1 ex2 dn+1 dxn+1 e-x2 = (-1)n+1 ex2 dn dxn -2xe-x2 = 2(-1)n ex2 dn dxn xe-x2 = = 2(-1)n ex2 n k=0 n k dk dxk x dn-k dxn-k e-x2 = 2(-1)n ex2 n 0 x dn dxn e-x2 + n 1 dn-1 dxn-1 e-x2 = = 2x(-1)n ex2 dn dxn e-x2 - 2n(-1)n-1 ex2 dn-1 dxn-1 e-x2 = 2xHn(x) - 2nHn-1(x) , tedy Hn+1(x) - 2xHn(x) + 2nHn-1(x) = 0 . (2.28) Této rovnice lze využít k postupnému výpočtu Čebyševových-Hermiteových polynomů pomocí prvních dvou. Dále platí H n(x) = d dx (-1)n ex2 dn dxn e-x2 = 2x(-1)n ex2 dn dxn e-x2 - (-1)n+1 ex2 dn+1 dxn+1 e-x2 = = 2xHn(x) - Hn+1(x). Odtud s využitím (2.28) dostaneme H n(x) = 2nHn-1(x) , (2.29) tj. vyjádření derivace polynomu Hn pomocí polynomu nižšího stupně. 2.5.3 Diferenciální rovnice pro Čebyševovy-Hermiteovy polynomy S využitím vztahů (2.29) a (2.28) dostaneme H n(x) = (2nHn-1(x)) = (2xHn(x) - Hn+1(x)) = 2Hn(x) + 2xH n(x) - H n+1(x) = = 2Hn(x) + 2xH n(x) - 2(n + 1)Hn(x) = 2xH n(x) - 2nHn(x) . Pro každé n N {0} je tedy Čebyševův-Hermiteův polynom Hn(x) řešením diferenciální rovnice y (x) - 2xy (x) + 2ny(x) = 0 , (2.30) 33 nebo v samoadjungovaném tvaru e-x2 y + 2ne-x2 y = 0 . Poznamenejme ještě, že Čebyševův-Hermiteův polynom je řešením rovnice (2.30) s okrajovými podmínkami lim x- e-x2 y(x) = lim x e-x2 y(x) = 0 . 2.5.4 Věta (Orthogonalita Čebyševových-Hermiteových polynomů) Pro Čebyševovy-Hermiteovy polynomy platí - Hm(x)Hn(x)e-x2 dx = 2n n! , n = m 0, n = m . D.: Pro určitost budeme předpokládat, že m n. Označme J = - Hm(x)Hn(x)e-x2 dx = (-1)n - Hm(x) dn dxn e-x2 dx . Pro výpočet tohoto integrálu použijeme m krát metodu per partes; přitom využijeme (2.29) a skutečnost, že pro libovolný polynom P platí lim x- e-x2 P(x) = lim x e-x2 P(x) = 0 . J = (-1)n Hm(x)e-x2 - - - H m(x) dn-1 dxn-1 e-x2 dx = = (-1)n-1 2m - Hm-1(x) dn-1 dxn-1 e-x2 dx = (-1)n-2 2m2(m - 1) - Hm-2(x) dn-2 dxn-2 e-x2 dx = = = (-1)n-m 2m m! - dn-m dxn-m e-x2 dx . Je-li m < n, pak J = (-1)n-m 2m m! dn-m-1 dxn-m-1 e-x2 - = 0 ; je-li m = n, pak podle (2.3) je J = 2n n! - e-x2 dx = 2n n! . Z věty plyne, že funkce n = e-x2 /2 2nn! Hn(x) , n = 0, 1, 2, . . . tvoří ortonormální posloupnost v prostoru L2 (-, ). 34 2.5.5 Rekurentní vztahy pro koeficienty Čebyševových-Hermiteových polynomů Hledáme řešení rovnice (2.30) ve tvaru mocninné řady y(x) = k=0 ankxk . Platí 2ny(x) = k=0 2nankxk , 2xy (x) = 2x k=0 kankxk-1 = k=0 2kankxk , y (x) = k=0 k(k - 1)ankxk-2 = k=2 k(k - 1)ankxk-2 = k=0 (k + 2)(k + 1)an(k+2)xk . Po dosazení do rovnice (2.30) dostaneme k=0 (k + 2)(k + 1)an(k+2) - 2kank + 2nank xk = 0 , a tedy an(k+2) = 2(n - k) (k + 2)(k + 1) ank , n = 0, 1, 2, . . ., n - 2. 35 36 Kapitola 3 Distribuce 3.1.1 Základní pojmy Nechť : Rn R je funkce n proměnných definovaná na celém prostoru Rn . Nosič funkce definujeme jako uzávěr množiny {x Rn : (x) = 0} a značíme ho Supp . Symbolem D označíme množinu funkcí definovaných na Rn , které zde jsou třídy C (mají spojité všechny parciální derivace libovolného řádu) a jejichž nosič je kompaktní množina. Na množině D definujeme metriku vztahem (, ) = sup i1+i2++in xi1 1 xi2 2 xin n ((x) - (x)) : x Rn , (i1, i2, . . . , in) (N {0}) n . Množinu D s touto metrikou nazýváme prostor testovacích funkcí, jeho prvky nazýváme testovací funkce. Zobrazení T : D R, pro které platí T ( + ) = T () + T (), T (c) = cT () , c R nazýváme lineární funkcionál na prostoru testovacích funkcí. Obraz funkce při zobrazení T budeme značit T (), T , T . Množinu všech lineárních funkcionálů D R nazýváme prostor duální k D a značíme ji D . 3.1.2 Definice Spojitý lineární funkcionál na prostoru testovacích funkcí se nazývá distribuce. Podrobněji: Zobrazení T : D R nazveme distribuce, jestliže (, D) T ( + ) = T + T , ( D) (c R) T (c) = cT , ({n} D) ( D) n v prostoru (D, ) T n T v R s přirozenou metrikou. 3.1.3 Příklady distribucí 1. Nechť f : Rn R je funkce taková, že pro každou kompaktní množinu K Rn existuje konečný integrál K f(x)dx (tzv. lokálně integrabilní funkce). Definujme Tf D vztahem Tf = Rn f(x)(x)dx . Tf budeme také značit f , nebo podrobněji f(x) (x) . Distribuce T D taková, že existuje lokálně integrabilní funkce f pro niž T = f pro všechny D, se nazývá regulární distribuce. Distribuce, která není regulární, se někdy nazývá singulární. Každou funkci D lze považovat za regulární distribuci. Tedy D D . Proto se distribuce někdy nazývají zobecněné funkce. 37 2. Diracova distribuce přiřadí každé testovací funkci D hodnotu (0). Diracova distribuce není regu- lární. Přesto se používá zápis = (x) (x) = Rn (x)(x)dx = (0) . 3.1.4 Nosič distribuce Řekneme, že distribuce T D je na množině Rn nulová, jestliže T = 0 pro každou testovací funkci D takovou, že Supp . Nosič distribuce T je nejmenší (vzhledem k množinové inklusi) uzavřená množina taková, že na jejím komple- mentu je T nulová. 3.1.5 Základní operace v prostoru distribucí ˇ Součet distribucí T, S D : T + S D je distribuce, pro niž platí (T + S) = T + S pro každou testovací funkci D. ˇ Násobení distribuce T D funkcí a : Rn R třídy C : Je-li D testovací funkce, pak má kompaktní nosič. To znamená, že také funkce a má kompaktní nosič, tedy a D. aT D je distribuce, pro niž platí (aT ) = T (a) pro každou testovací funkci D. ˇ Translace (posunutí) distribuce T D o vektor h Rn : Je-li D, pak funkce h definovaná vztahem h(x) = (x + h) má kompaktní nosič, je tedy také testovací funkcí. Translace distribuce T D o h je distribuce hT D , pro niž platí hT = T h pro každou testovací funkci D. Pro regulární distribuci určenou funkcí f platí hTf = Rn f(x)(x + h)dx = Rn f(x - h)(x)dx . Nechť x0 = 0 + h. Translace Diracovy distribuce o vektor h, je distribuce (x - x0), pro niž platí (x - x0) (x) = (x) (x + h) = (x0) pro každou D. Tato distribuce se nazývá Diracova distribuce soustředěná v bodě x0. 3.1.6 Derivování distribucí Nechť f je diferencovatelná (a tedy lokálně integrabilní) funkce, D. Pak platí Rn f x1 (x)(x)dx = - - - - f x1 (x)(x)dx1 dx2 . . . dxn-1dxn = = - - - [f(x)(x)] x1=- - - f(x) x1 (x)dx1 dx2 . . . dxn-1dxn = = - - - - f(x) x1 (x)dx1dx2 . . . dxn-1dxn = - Rn f(x) x1 (x)dx , 38 poněvadž Supp(f) je kompaktní. Jako zobecnění této úvahy definujeme: Parciální derivace podle první proměnné distribuce T D je distribuce x1 T , pro niž platí x1 T = -T x1 pro každou D. Obecně i1+i2+in xi1 1 xi2 2 xin n T = (-1)i1+i2+in T i1+i2+in xi1 1 xi2 2 xin n . Každá distribuce má derivace libovolného řádu. Každá lokálně integrabilní funkce f určuje regulární distribuci. Tato distribuce má derivaci libovolného řádu. V tomto smyslu lze říci, že každá lokálně integrabilní funkce f má derivaci libovolného řádu. Tato distribuce však obecně není funkcí ale distribucí. Nazýváme ji distributivní derivací funkce f. 3.1.7 Heavisidova skoková funkce (distribuce) Funkce H : R R definovaná vztahem H(x) = 1, x 0 0, x < 0 je lokálně integrabilní. Určuje tedy regulární distribuci, pro niž platí H = - H(x)(x)dx = 0 (x)dx . Dále platí H = - H = - 0 (x)dx = - [(x)] 0 = (0) = , tedy distributivní derivací funkce H je Diracova distribuce (soustředěná v bodě 0). Obecně: Funkce H : Rn R definovaná vztahem H(x1, x2, . . . , xn) = 1, x1 0, x2 0, . . . xn 0 0, jinak určuje regulární distribuci: H = - - - H(x1, x2, . . . , xn)(x1, x2, . . . , xn)dx1dx2 dxn = = 0 0 0 (x1, x2, . . . , xn)dx1dx2 dxn . 39 Poněvadž n x1x2xn H = (-1)n H n x1x2xn = = (-1)n 0 0 0 n x1x2 xn (x1, x2, . . . , xn)dx1dx2 dxn = = (-1)n 0 0 0 n-1 x2x3 xn (x1, x2, . . . , xn) x1=0 dx2dx3 dxn = = -(-1)n 0 0 0 n-1 x2x3 xn (0, x2, x3, . . . , xn)dx2dx3 dxn = = = (-1)2n (0, 0, . . . , 0) = (0, 0, . . . , 0) , je n x1x2xn H = . 3.1.8 Distributivní derivace funkcí jedné proměnné Nechť funkce f : R R je třídy C na každém z intervalů (-, 0), (0, ) a nechť každá její derivace je lokálně integrabilní. Tato funkce určuje regulární distribuci Tf . Označme m = lim x0+ f(m) (x) - lim x0- f(m) (x) a T f = x T, T f = 2 x2 T . . . , T (k) f = k xk T . Pro každou D platí T f = - f(x) (x) = - - f(x) (x)dx = - 0 - f(x) (x)dx - 0 f(x) (x)dx = = - [f(x)(x)] 0 - + 0 - f (x)(x)dx - [f(x)(x)] 0 + 0 f (x)(x)dx = = lim x0+ f(x)(x) - lim x0- f(x)(x) + - f (x)(x)dx = = (0) lim x0+ f(x) - lim x0- f(x) + - f (x)(x)dx = = 0(0) + - f (x)(x)dx = 0 + f = 0 + Tf , symbolicky T f = 0 + Tf . Obecně T (k) f = k-1 m=0 (-1)k-m-1 m(k-m-1) (0) + - f(k) (x)(x)dx , Symbolicky T (k) f = k-1 m=0 m(k-m-1) + Tf(k) . 40 3.1.9 Konvergence distribucí Řekneme, že posloupnost distribucí {Tk} k=1 D konverguje pro k k distribuci T D a píšeme lim k Tk = T , jestliže pro každou testovací funkci D je lim k Tk = T (v tomto případě jde o konvergenci číselných posloupností). Nechť {Tk} k=1 D je posloupnost distribucí taková, že pro každou testovací funkci D existuje limita posloupnosti čísel {Tk} k=1. Definujme zobrazení T : D R předpisem T () = lim k Tk . Pak T je lineární (to plyne z linearity každé z distribucí Tk a z linearity operátoru limity posloupností) a spojité (důkaz např. v: Laurent Schwartz: Théorie des distributions, Paris 1973). To znamená, že T je distribuce. 3.1.10 -vytvořující posloupnosti Nechť {fk} k=1 je posloupnost lokálně integrabilních funkcí na Rn takových, že lim k Tfk = , tj. lim k fk = (0) pro každou testovací funkci D. Pak {fk} k=1 se nazývá -vytvořující posloupnost, funkce fk se nazývají impulsní funkce. Příklady -vytvořujících posloupností: fk(x) = k, |x| 1 2k 0, |x| > 1 2k , fk(x) = k - k2 |x|, |x| 1 k 0, |x| > 1 k , fk(x) = k 2 e-kx2 /2 , fk(x) = sin kx x , fk(x) = 1 k x2 + 2 k , kde {k} k=1 je libovolná posloupnost kladných čísel taková, že lim k k = 0 , fk(x) = 1 2 + 1 k m=1 cos m x, |x| 0, |x| > . Na následujících obrázcích je znázorněno několik prvních členů některých -vytvořujících posloupností. S ros- toucím k se zmenšuje síla čáry. 41 fk x fk x fk(x) = k, |x| 1/(2k) 0, jinak fk(x) = k - k2 |x|, |x| 1/k 0, jinak fk x fk x fk(x) = k 2 e- 1 2 kx2 fk(x) = sin kx x fk x fk x fk(x) = 1 k2 k4x2 + 1 fk(x) = 1 2 + k n=1 cos nx, |x| 1 0, jinak 42 Kapitola 4 Metody charakteristik 4.1 Parciální diferenciální rovnice prvního řádu 4.1.1 Lineární homogenní parciální diferenciální rovnice ve dvou nezávisle pro- měnných a(x, y) u x + b(x, y) u y = 0 (4.1) Řešením je funkce u = u(x, y). Hledáme vrstevnice funkce u. Nechť mají parametrické vyjádření x = x(t), y = y(t). Pak u (x(t), y(t)) = const a tedy d dt u (x(t), y(t)) = u x x t + u y y t = 0. Porovnáním s (4.1) vidíme, že pokud funkce x = x(t), y = y(t) jsou řešeními systému autonomních obyčejných diferenciálních rovnic x = a(x, y), y = b(x, y), (4.2) pak jsou parametrickými rovnicemi vrstevnic řešení rovnice (4.1). Systém (4.2) se nazývá charakteristická sou- stava rovnic rovnice (4.1), jeho trajektorie se nazývají charakteristiky rovnice (4.1). Nechť rovnice (x, y) = c je implicitním popisem charakteristik rovnice (4.1), tj. vrstevnic řešení této rovnice, a je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné. Pak u = u(x, y) = ((x, y)) je obecným řešením rovnice (4.1). D.: Podle ,,řetězového pravidla pro parciální derivaci složené funkce je u x = x , u y = y , na charak- teristikách x = x(t), y = y(t) platí (x(t), y(t)) = c a tedy a u x + b u y = ((x, y)) a x + b y = ((x, y)) dx dt x + dy dt y = = ((x, y)) d dt (x(t), y(t)) = 0. 4.1.2 Okrajová úloha pro lineární homogenní parciální diferenciální rovnice ve dvou nezávisle proměnných Nechť x = (), y = () je parametrický popis rovinné křivky, která protíná každou z charakteristik rovnice (4.1) právě jednou, a nechť f je funkce se stejným definičním oborem jako a . Podmínka u ((), ()) = f() (4.3) 43 se nazývá okrajová podmínka pro rovnici (4.1). Heuristická úvaha: Podmínku (4.3) si lze představit jako prostorovou křivku. Dále si lze představit, že máme vrstevnice řešení, tj. charakteristiky, vytvořené např z drátu. Tyto vrstevnice umisťujeme na křivku vyjadřující okrajovou podmínku. Nechť charakteristiky rovnice (4.1), tj. trajektorie systému (4.2), mají parametrické vyjádření x = x(t, c1, c2), y = y(t, c1, c2), (4.4) kde c1, c2 jsou nějaké konstanty. Dále nechť okrajová podmínka je parametricky vyjádřena rovnicemi x = (), y = (), u = f(). (4.5) Pro jednu hodnotu parametru t, řekněme pro t = 0, vrstevnice protíná křivku, na níž je zadána okrajoví podmínka, tedy x(0, c1, c2) = (), y(0, c1, c2) = (). Z těchto rovnic vypočítáme konstanty c1, c2 v závislosti na parametru , tedy c1 = c1(), c2 = c2(). Toto vyjádření dosadíme do (4.4) a dostaneme soustavu dvou rovic pro dvě neznámé t, : x = x(t, c1(), c2()), y = y(t, c1(), c2()). Tuto soustavu vyřešíme; zejména vyjádříme pomocí x a y, tj. = (x, y) a dosadíme do poslední z rovnic (4.5). Tím dostaneme řešení úlohy (4.1), (4.3) ve tvaru u(x, y) = f ((x, y)). 4.1.3 Quasilineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu ve dvou nezávisle proměnných a(x, y, u) u x + b(x, y, u) u y = c(x, y, u). (4.6) Řešením je opět funkce u = u(x, y). Předpokládejme, že toto řešení je implicitně dáno rovnicí F(x, y, u) = 0, tedy F(x, y, u(x, y)) = 0. Odtud dostaneme d dx F(x, y, u(x, y)) = F x + F u u x = 0, d dy F(x, y, u(x, y)) = F y + F u u y = 0. První z těchto rovnic vynásobíme funkcí a, druhou z nich funkcí b, sečteme je a upravíme s využitím (4.6): 0 = a F x + b F y + F u a u x + b u y = a F x + b F y + c F u . Pokud funkce x = x(t), y = y(t) a u = u(t) jsou řešením následující charakteristické soustavy rovnic rovnice (4.6) x = a(x, y, u), y = b(x, y, u), u = c(x, y, u), (4.7) pak podle předchozí rovnosti platí x t F x + y t F y + u t F u = d dt F (x(t), y(t), u(t)) = 0. 44 Trajektorie systému autonomních obyčejných diferenciálních rovnic (4.7) -- prostorové křivky -- se nazývají charakteristiky rovnice (4.6). Z předchozího výpočtu plyne, že podél charakteristik je funkce F konstantní. Nechť rovnice 1(x, y, u) = c1 a 2(x, y, u) = c2 jsou implicitním popisem charakteristik rovnice (4.6) (jednorozměrné variety v třírozměrném prostoru) a je libovolná diferencovatelná funkce dvou proměnných. Pak funkce u = u(x, y) implicitně zadaná rovnicí (1(x, y, u), 2(x, y, u)) = 0 (4.8) je obecným řešením rovnice (4.6). D.: Rovnici (4.8), v níž u považujeme za funkci proměnných x a y, derivujme parciálně podle proměnné x: 0 = 1 1 x + 1 u u x + 2 2 x + 2 u u x = = 1 1 x + 2 2 x + 1 1 u + 2 2 u u x . Označíme-li A = 1 1 u + 2 2 u , dostaneme z předchozí rovnosti u x = - 1 A 1 1 x + 2 2 x . Analogickým postupem bychom dostali u y = - 1 A 1 1 y + 2 2 y . Poněvadž na charakteristikách platí d dt 1 (x(t), y(t), u(t)) = 0, d dt 2 (x(t), y(t), u(t)) = 0 dostaneme vzhledem k (4.7): a u x + b u y = - 1 A 1 1 x a + 1 y b + 2 2 x a + 2 y b = = - 1 A 1 1 x x t + 1 y y t + 2 2 x x t + 2 y y t = = - 1 A 1 d dt 1 (x(t), y(t), u(t)) - 1 u u t + 2 d dt 2 (x(t), y(t), u(t)) - 2 u u t = = 1 A 1 1 u + 2 2 u u t = c. Nechť x = (), y = () je parametrický popis nějaké rovinné křivky, a nechť f je reálná funkce se stejným definičním oborem jako funkce , . Podmínka u ((), ()) = f() (4.9) se nazývá okrajová podmínka pro rovnici (4.6). Okrajovou úlohu řešíme analogicky jako okrajovou úlohu (4.1), (4.3): Nechť charakteristiky rovnice (4.6) mají parametrické vyjádření x = x(t, c1, c2, c3), y = y(t, c1, c2, c3), u = u(t, c1, c2, c3), (4.10) 45 kde c1, c2, c3 jsou nějaké konstanty. Má-li soustava rovnic x(0, c1, c2, c3) = (), y(0, c1, c2, c3) = (), u(0, c1, c2, c3) = f() (4.11) pro neznámé c1, c2, c3 řešení c1 = c1(), c2 = c2(), c3 = c3(), dosadíme je do prvních dvou rovnic soustavy (4.10): x = x(t, c1(), c2(), c3()), y = y(t, c1(), c2(), c3()). Má-li tato soustava rovnic řešení = (x, y), t = t(x, y), dosadíme je do třetí z rovnic (4.10). Tím dostaneme řešení úlohy (4.6), (4.9) ve tvaru u = u (t(x, y), c1((x, y)), c2((x, y)), c3((x, y))) . 4.1.4 Quasilineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu Rovnici a1(x1, . . . , xn, u) u(x1, . . . , xn) x1 + + an(x1, . . . , xn, u) u(x1, . . . , xn) n = f(x1, . . . , xn, u) , (4.12) kde a1, . . . , an, f jsou spojité funkce n+1 proměnných a u je (hledaná) funkce n proměnných, nazýváme quasili- neární parciální diferenciální rovnice prvního řádu; v případě f 0 homogenní, v opačném nehomogenní. Pokud funkce a1, . . . , an nezávisí na poslední proměnné a funkce f závisí na poslední proměnné lineárně, nazýváme tuto rovnici lineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu. Soustavu obyčejných diferenciálních rovnic d dt x1(t) = a1(x1(t), . . . , xn(t), u(t)) , ... d dt xn(t) = an(x1(t), . . . , xn(t), u(t)) , d dt u(t) = f(x1(t), . . . , xn(t), u(t)) , nazýváme (rozšířená) charakteristická soustava rovnice (4.12). Trajektorie x1(t), . . . , xn(t), u(t) řešení charak- teristické soustavy (křivky v prostoru Rn+1 ) nazýváme charakteristiky rovnice (4.12). Buď D Rn-1 otevřená množina a = {(x1, . . . , xn) Rn : x1 = 1(s1, . . . , sn-1), . . . , xn = n(s1, . . . , sn-1), (s1, . . . , sn-1) D} regulární (n - 1)-rozměrná nadplocha v n-rozměrném prostoru Rn . Dále buď u0 = u0(s1, . . . , sn-1) spojitá funkce definovaná na D. Podmínka u(1(s1, . . . , sn-1), . . . , n(s1, . . . , sn-1)) = u0(s1, . . . , sn-1) , (s1, . . . , sn-1) D (4.13) se nazývá okrajová podmínka pro rovnici (4.12). Ze spojitosti funkcí a1, . . . , an, f plyne, že charakteristická soustava s Cauchyovými podmínkami x1(0) = 1(s1, . . . , sn-1) , ... xn(0) = n(s1, . . . , sn-1) , u(0) = u0(s1, . . . , sn-1) , 46 má pro každé (s1, . . . , sn-1) řešení (podle Peanovy věty, viz např. Kalas J., Ráb M.: Obyčejné diferenciální rovnice, MU 2001, str. 67). Označme toto řešení (1(t, s1, . . . , sn-1), . . . , n(t, s1, . . . , sn-1), n+1(t, s1, . . . , sn-1)) . Platí 1(0, s1, . . . , sn-1) = 1(s1, . . . , sn-1), . . . , n(0, s1, . . . , sn-1) = n(s1, . . . , sn-1) , n+1(0, s1, . . . , sn-1) = u0(s1, . . . , sn-1) tedy i sj (0, s1, . . . , sn-1) = i sj (s1, . . . , sn-1) , i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . .n - 1, pro každé (s1, . . . , sn-1) D a dále i t (0, s1, . . . , sn-1) = ai(1(s1, . . . , sn-1), . . . , n(s1, . . . , sn-1), u0((s1, . . . , sn-1)) . Funkcemi 1, . . . , n je určeno zobrazení : R × D Rn . Jacobián J = J(s1, . . . , sn-1) zobrazení v bodě (0, s1, . . . , sn-1) je a1(1(s1, . . . , sn-1), . . . , n(s1, . . . , sn-1) . . . an(1(s1, . . . , sn-1), . . . , n(s1, . . . , sn-1) 1 s1 (s1, . . . , sn-1) . . . n s1 (s1, . . . , sn-1) ... ... ... 1 sn-1 (s1, . . . , sn-1) . . . n sn-1 (s1, . . . , sn-1) . Je-li J(s1, . . . , sn-1) = 0 pro každé (s1, . . . , sn-1) D, existuje inversní zobrazení -1 : Rn R × D (podle věty o existenci inversního zobrazení, viz např. Došlá Z., Došlý O.: Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU 1999, str. 84). Položme u(x1, . . . , xn) = n+1 -1 (x1, . . . , xn) . Pak u je řešení úlohy (4.12), (4.13): n k=1 ak u xk = n k=1 dxk dt du dt t xk + n-1 j=1 u sj sj xk = du dt n k=1 t xk dxk dt + n-1 j=1 u sj n k=1 sj xk dxk dt = = du dt t t + n-1 j=1 u sj sj t = du dt = f . Toto řešení je jediné. 4.2 Klasifikace lineárních parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu Rovnici n i,j=1 aij(x) 2 u(x) xixj + n i=1 bi(x) u(x) xi + c(x)u(x) = f(x) , (4.14) kde u je (hledaná) funkce a aij, bi, c, f, i = 1.2, . . . , n, j = 1, 2, . . ., n jsou funkce n proměnných takové, že jejich definiční obory mají neprázdný průnik D, aij(x) = aji(x) pro všechna x D a existuje dvojice indexů i, j, pro něž aij 0 nazýváme lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu; v případě f 0 homogenní, v opačném nehomogenní. Pro homogenní rovnici platí princip superpozice: Je-li libovolná konstanta a u1, u2 jsou řešení rovnice n i,j=1 aij(x) 2 u(x) xixj + n i=1 bi(x) u(x) xi + c(x)u(x) = 0 , 47 pak také u1 a u1 + u2 jsou řešením této rovnice. (Platnost tohoto tvrzení lze ověřit přímým dosazením.) Funkce u 0 je zřejmě také řešením této rovnice. Odtud plyne, že množina všech řešení homogenní rovnice tvoří vektorový prostor. Buď x0 D libovolný bod. Pak A = (aij(x0)) je symetrická matice typu n × n. Touto maticí je definována kvadratická forma : Rn R, (1, 2, . . . , n) = (1, 2, . . . , n) A (1, 2, . . . , n)T = n i,j=1 aij(x0)ij . Platí Sylvesterův [1814 ­ 1897] zákon setrvačnosti kvadratických forem: Existuje regulární matice B typu n × n a jednoznačně určená přirozená čísla k, m, 0 k m n taková, že po transformaci (1, 2, . . . , n)T = B (1, 2, . . . , n)T má kvadratická forma tvar k i=1 2 i - m i=k+1 2 i . (Přitom klademe q i=p i = 0 pro p > q.) Rovnice (4.14) se nazývá eliptická m = n a k {0, n}, hyperbolická m = n a k {1, n - 1}, ultrahyperbolická v bodě x0 D, jestliže m = n a 2 k n - 2, parabolické m < n, parabolická v užším smyslu m = n - 1 a k = 0, nebo k = m = n - 1. Rovnice (4.14) se nazývá eliptická, hyperbolická, ... v otevřené množině G D, je-li eliptická, hyperbolická, ... v každém bodě x G. 4.3 Kanonický tvar lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu ve dvou nezávisle proměnných A(x, y)uxx + 2B(x, y)uxy + C(x, y)uyy = F(x, y, u, ux, uy) , (4.15) pro funkce A, B, C platí |A(x, y)|+|B(x, y)|+|C(x, y)| > 0 pro všechna (x, y) D = Dom ADom BDom C, funkce F je lineární v každém z argumentů u, ux, uy. Uvažujme kvadratickou formu (r, s) = Ar2 +2Brs+Cs2 . Pokud A = 0, platí Ar2 + 2Brs + Cs2 = A r + B A s 2 - B2 A s2 + Cs2 = A r + B A s 2 - 1 A (B2 - AC)s2 , pokud C = 0, platí Ar2 + 2Brs + Cs2 = C s + B C r 2 - B2 C r2 + Ar2 = C s + B C r 2 - 1 C (B2 - AC)r2 , pokud A = C = 0, pak B = 0 a platí Ar2 + 2Brs + Cs2 = 2Brs = B 2 (r + s)2 - B 2 (r - s)2 . Odtud plyne: Je-li pro každé (x, y) z otevřené množiny G D (B(x, y))2 - A(x, y)C(x, y) > 0 hyperbolická (B(x, y))2 - A(x, y)C(x, y) = 0 pak rovnice (4.15) je parabolická v G (B(x, y))2 - A(x, y)C(x, y) < 0 eliptická 4.3.1 Transformace rovnice (4.15) Buďte , : G R takové funkce, že x(x, y)y(x, y) - y(x, y)x(x, y) = 0 pro všechna (x, y) G. Pak transformace = (x, y) , = (x, y) (4.16) 48 bijektivně zobrazí množinu G na otevřenou množinu a rovnici (4.15) transformuje na tvar (využíváme formule pro druhé parciální derivace složené funkce) a(, )u + 2b(, )u + c(, )u = ~F(, , u, u, u) , (4.17) kde a = A2 x + 2Bxy + C2 y = 2 y A - x y 2 - 2B - x y + C , b = Axx + B(xy + yx) + Cyy , c = A2 x + 2Bxy + C2 y = 2 y A - x y 2 - 2B - x y + C . (4.18) a funkce ~F je lineární v každém z argumentů u, ux, uy. Při hledání inversní transformace k transformaci (4.16) řešíme soustavu rovnic (4.16) pro neznámé x, y. Přitom první z rovnic je implicitně dána funkce y1 = y1(x), pro jejíž derivaci platí y 1 = - x y , a druhou z rovnic je implicitně dána funkce y2 = y2(x), pro jejíž derivaci platí y 1 = - x y (podle vzorce pro derivaci implicitně zadané funkce, viz např. Došlá Z., Došlý O.: Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU 1999, str. 96). 4.3.2 Charakteristiky rovnice (4.15) Obyčejná diferenciální rovnice A(x, y)y2 - 2B(x, y)y + C(x, y) = 0 (4.19) se nazývá charakteristická rovnice parciální diferenciální rovnice (4.15). Její řešení se nazývají charakteristiky. Z předchozích úvah je vidět, že platí: Je-li rovnice (4.15) hyperbolická, má dvě jednoparametrické množiny charakteristik, které jsou řešeními obyčejných diferenciálních rovnic y = B(x, y) + (B(x, y))2 - A(x, y)C(x, y) A(x, y) a y = B(x, y) - (B(x, y))2 - A(x, y)C(x, y) A(x, y) . (4.20) Je-li rovnice (4.15) parabolická, má jednu jednoparametrickou množinu charakteristik, které jsou řešením oby- čejné diferenciální rovnice y = B(x, y) A(x, y) . (4.21) Je-li rovnice (4.15) eliptická, nemá reálné charakteristiky. 4.3.3 Kanonický tvar hyperbolické rovnice Jsou-li (x, y) = C1 a (x, y) = C2 implicitní popisy řešení rovnic (4.20) (tedy charakteristiky rovnice (4.15), pak - x y a - x y jsou kořeny charakteristické rovnice (4.19), takže v (4.18) dostaneme a = c = 0. Kanonický tvar hyperbolické rovnice (4.15) je u = F1(, , u, u, u) , kde F1 je funkce lineární v každém z argumentů u, u, u. 4.3.4 Kanonický tvar parabolické rovnice Je-li (x, y) = x a (x, y) = C1 je implicitní popis řešení rovnice (4.21), pak x = 1, y = 0, - x y = B A a - x y je kořenem charakteristické rovnice (4.20), takže v (4.18) dostaneme c = 0, a = A a b = Ax + By = y A x y + B = y(-B + B) = 0 . 49 Kanonický tvar parabolické rovnice (4.15) je u = F2(, , u, u, u) , kde F2 je funkce lineární v každém z argumentů u, u, u. 4.3.5 Kanonický tvar eliptické rovnice Je-li (x, y) + i(x, y) = C implicitní popis řešení obyčejné diferenciální rovnice y = B(x, y) + i A(x, y)C(x, y) - (B(x, y))2 A(x, y) , pak transformace (4.16) převede eliptickou rovnici (4.15) na její kanonický tvar u + u = F3(, , u, u, u) , kde F3 je funkce lineární v každém z argumentů u, u, u. 4.3.6 Kanonický tvar lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu ve dvou nezávisle proměnných s konstantními koeficienty auxx + 2buxy + cuyy = dux + euy + fu + g(x, y) , (4.22) kde a, b, c, d, e, f R a g : R2 R. Výše popsané transformace převedou tuto rovnici na některý z tvarů u = d1u + e1u + f1u + g1(, ) , pokud b2 - ac > 0 , u = d2u + e2u + f2u + g2(, ) , pokud b2 - ac = 0 , u + u = d3u + e3u + f3u + g3(, ) , pokud b2 - ac < 0 . (4.23) Zavedeme novou neznámou funkci v vztahem u = v e+ , kde , jsou zatím neurčené konstanty. Pak je u = e+ (v + v) , u = e+ (2 v + 2v + v) , u = e+ (v + v) , u = e+ (v + v + v + v) , u = e+ (2 v + 2v + v) . Dosadíme do rovnic (4.23) a vykrátíme výrazem e+ = 0: v = (d1 - )v + (e1 - )v + (d1 + e1 - + f1)v + ~g1(, ) pro hyperbolickou rovnici, v = (d2 - 2)v + e2v + (d2 + e2 - 2 + f2)v + ~g2(, ) pro parabolickou rovnici, v + v = (d3 - 2)v + (e3 - 2)v + (d3 + e3 - 2 - 2 + f3)v + ~g3(, ) pro eliptickou rovnici. Konstanty , zvolíme tak, aby pravé strany byly co nejjednodušší. Konkrétně: ˇ Pro hyperbolickou rovnici = d1, = e1. Dostaneme v = (e1d1 + f1)v + ~g1(, ) . ˇ Pro parabolickou rovnici = d2 2 , = - 4f2 + d2 2 4e2 . Dostaneme v = e2v + ~g2(, ) . ˇ Pro eliptickou rovnici = d3 2 , = e3 2 . Dostaneme v + v = d2 3 + e2 3 + 4f3 4 v + ~g3(, ) . 50 4.4 Počáteční úloha pro hyperbolickou rovnici ve dvou nezávisle proměnných 4.4.1 Řešení počáteční úlohy pro homogenní hyperbolickou rovnici ve dvou nezá- visle proměnných (kmity nekonečné struny) utt(t, x) = a2 uxx(t, x) , (t, x) (0, ) × (-, ) , (4.24) u(0, x) = (x) , ut(0, x) = (x) , x (-, ) , (4.25) kde a > 0, funkce je dvakrát diferencovatelná a funkce je diferencovatelná. Charakteristická rovnice parciální rovnice (4.24) je x2 - a2 = 0, tedy x = a, z čehož x(t) = at + const. Transformací = x - at , = x + at přejde rovnice (4.24) na tvar u(, ) = 0 . Odtud plyne, že u nezávisí na , tedy u(, ) = f() . Tuto rovnici zintegrujeme podle a dostaneme u(, ) = F() + G() , kde F je funkce primitivní k f a G je libovolná funkce. Zpětnou transformací tedy dostaneme řešení rovnice (4.24) ve tvaru u(t, x) = F(x - at) + G(x + at) , (4.26) kde F, G jsou libovolné dvakrát diferencovatelné funkce. Určíme je tak, aby byly splněny počáteční podmínky (4.25), tedy F(x) + G(x) = (x) , -aF (x) + aG (x) = (x) . Integrací druhé rovnice dostaneme F(x) - G(x) = - 1 a x x0 ()d , kde x0 je nějaké číslo. Řešíme tedy soustavu rovnic F(x) + G(x) = (x) , F(x) - G(x) = - 1 a x x0 ()d a dostaneme F(x) = 1 2 (x) - 1 2a x x0 ()d , G(x) = 1 2 (x) + 1 2a x x0 ()d . Dosazením do (4.26) nyní dostaneme řešení úlohy (4.24), (4.25) ve tvaru u(t, x) = (x - at) + (x + at) 2 + 1 2a x+at x-at ()d . Poslední formule se nazývá d'Alembertův vzorec. 51 4.4.2 Řešení počáteční úlohy pro homogenní hyperbolickou rovnici ve dvou nezá- visle proměnných s obecným počátkem utt(t, x) = a2 uxx(t, x) , (t, x) (, ) × (-, ) , (4.27) u(, x) = (x) , ut(, x) = (x) , x (-, ) , (4.28) kde a > 0, R, funkce je dvakrát diferencovatelná a funkce je diferencovatelná. Transformací = t - tato úloha přejde na u (, x) = a2 uxx(, x) , (, x) (0, ) × (-, ) , u(0, x) = (x) , u (0, x) = (x) , x (-, ) . Podle 4.4.1 má tato úloha řešení u(, x) = 1 2 ((x - a) + (x + a)) + 1 2a x+a x-a ()d , takže řešení úlohy (4.27), (4.28) je u(t, x) = (x - a(t - )) + (x + a(t - )) 2 + 1 2a x+a(t-) x-a(t-) ()d . 4.4.3 Řešení počáteční úlohy pro nehomogenní hyperbolickou rovnici ve dvou proměnných s homogenní počáteční podmínkou (buzené kmity nekonečné struny) utt(t, x) = a2 uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) (0, ) × (-, ) , (4.29) u(0, x) = 0 , ut(0, x) = 0 , x (-, ) , (4.30) kde a > 0, funkce je dvakrát diferencovatelná, funkce je diferencovatelná a funkce f je spojitá. Řešení hledáme ve tvaru u(t, x) = t 0 w(t, x, )d. Platí u(0, x) = 0 , a ut(t, x) = w(t, x, t) + t 0 wt(t, x, )d . Ke splnění podmínky ut(0, x) = 0 stačí, aby pro všechna > 0 funkce w = w(t, x, ) splňovala w(, x, ) = 0 . (4.31) Dále platí 2 t2 u(t, x) = t w(t, x, t) + t 0 w|1(t, x, )d = t 0 + t 0 w|1(t, x, )d = = w|1(t, x, t) + t 0 w|1,1(t, x, )d , 2 x2 u(t, x) = t 0 w|2,2(t, x, )d . 52 Má platit utt(t, x) - a2 uxx(t, x) = f(t, x), tedy f(t, x) = w|1(t, x, t) + t 0 w|1,1(t, x, ) - a2 w|2,2(t, x, ) d . Poslední rovnice bude splněna například pro funkci w = w(t, x, ), která splňuje pro každé > 0 wtt(t, x, ) = a2 wxx(t, x, ) , (t, x) (, ) × (-, ) , (4.32) wt(, x, ) = f(, x) , x (-, ) . (4.33) Podle 4.4.2 je řešení úlohy (4.32), (4.31), (4.33) dáno formulí w(t, x, ) = 1 2a x+a(t-) x-a(t-) f(, )d , takže řešení úlohy (4.29), (4.30) je u(t, x) = 1 2a t 0 x+a(t-) x-a(t-) f(, )d d . 4.4.4 Řešení obecné počáteční úlohy pro hyperbolickou rovnici ve dvou nezávisle proměnných utt(t, x) = a2 uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) (0, ) × (-, ) , (4.34) u(0, x) = (x) , ut(0, x) = (x) , x (-, ) , (4.35) kde a > 0, funkce je dvakrát diferencovatelná, funkce je diferencovatelná a funkce f je spojitá. Přímým výpočtem ověříme, že je-li v = v(t, x) řešením úlohy (4.24), (4.25) a v = v(t, x) je řešením úlohy (4.29), (4.30), pak u = u(t, x) = v(t, x) + w(t, x) je řešením úlohy (4.34), (4.35). Podle 4.4.1 a 4.4.3 je řešení dané úlohy u(t, x) = (x - at) + (x + at) 2 + 1 2a x+at x-at ()d + 1 2a t 0 x+a(t-) x-a(t-) f(, )d d . Ještě ukážeme, že úloha (4.34), (4.35) nemá jiné řešení. Jsou-li u1 = u1(t, x) a u2 = u2(t, x) řešení úlohy (4.34), (4.35), pak u0 = u0(t, x) = u1(t, x) - u2(t, x) je řešením homogenní rovnice (4.24) s homogenními počátečními podmínkami (4.30). Analogicky jako v 4.4.1 ukážeme, že u0(t, x) = F(x - at) + G(x + at) a pro funkce F, G platí F(x) + G(x) = 0 , neboli G(x) = -F(x) , F (x) - G (x) = 0 pro všechna x R. Odtud plyne, že F(x) const a dále u0(t, x) = F(x - at) + G(x + at) = F(x - at) - F(x + at) const - const = 0 . Tedy u1 u2. 4.4.5 Řešení hyperbolické rovnice ve dvou nezávisle proměnných s obecnými po- čátečními podmínkami a s jednou okrajovou podmínkou utt(t, x) = a2 uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) (0, ) × (0, ) , (4.36) u(0, x) = (x) , ut(0, x) = (x) , x (0, ) , (4.37) u(t, 0) = 0 , t (0, ) , (4.38) 53 kde a > 0, funkce je dvakrát diferencovatelná, funkce je diferencovatelná a platí (0) = (0) = 0. Definujme liché rozšíření funkcí , , f(t, ): ~(x) = (x), x 0 -(-x), x < 0 , ~(x) = (x), x 0 -(-x), x < 0 , ~f(t, x) = f(t, x), x 0 -f(t, -x), x < 0 . Řešení úlohy (4.36), (4.37), (4.38) je u(t, x) = ~(x - at) + ~(x + at) 2 + 1 2a x+at x-at ~()d + 1 2a t 0 x+a(t-) x-a(t-) ~f(, )d d . Řešení úlohy (4.36), (4.37) s nehomogenní okrajovou podmínkou u(t, 0) = (t) , t (0, ) , (4.39) kde je dvakrát diferencovatelná funkce, je tvaru u(t, x) = v(t, x) + (t), kde funkce v je řešením úlohy vtt(t, x) = a2 vxx(t, x) + f(t, x) - (t) , (t, x) (0, ) × (0, ) , v(0, x) = (x) - (0) , vt(0, x) = (x) - (0) , x (0, ) , v(t, 0) = 0 , t (0, ) . 4.4.6 Řešení hyperbolické rovnice ve dvou nezávisle proměnných s obecnými počá- tečními podmínkami a s okrajovými podmínkami Dirichletova typu (kmity konečné struny upevněné na obou koncích) utt(t, x) = a2 uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) (0, ) × (0, ) , (4.40) u(0, x) = (x) , ut(0, x) = (x) , x (0, ) , (4.41) u(t, 0) = u(t, ) = 0 , t (0, ) , (4.42) kde a > 0, funkce je dvakrát diferencovatelná, funkce je diferencovatelná a platí (0) = () = (0) = () = 0 . Definujme 2-periodické liché rozšíření funkcí , , f(t, ). Toto rozšíření je dáno sinovými řadami ~(x) = 2 n=1 0 () sin n d sin n x , ~(x) = 2 n=1 0 () sin n d sin n x , ~f(t, x) = 2 n=1 0 f(t, ) sin n d sin n x , Platí 1 2 ( ~(x - at) + ~(x + at)) = 1 n=1 0 () sin n d sin n (x - at) + sin n (x + at) = = 2 n=1 0 () sin n d sin n x cos na t , 54 1 2a x+at x-at ~()d = 1 a n=1 0 () sin n d x+at x-at sin n d = = 1 a n=1 0 () sin n d n cos n x-at =x+at = = 1 a n=1 1 n 0 () sin n d cos n (x - at) - cos n (x + at) = = 2 a n=1 1 n 0 () sin n d sin n x sin na t , 1 2a t 0 x-a(t+) x-a(t-) ~f(, )d d = 1 a n=1 t 0 0 f(, ) sin n d x+a(t-) x-a(t-) sin n d d = = 1 a n=1 t 0 0 f(, ) sin n d n cos n x+a(t-) =x-a(t+) d = = 1 a n=1 1 n t 0 0 f(, ) sin n d cos n (x - a(t - )) - cos n (x + a(t - )) d = = 2 a n=1 1 n t 0 0 f(, ) sin n d sin n x sin na (t - )d = = 2 a n=1 1 n sin n x t 0 sin na (t - ) 0 f(, ) sin n d d . Označíme-li tedy = a , An = 2 0 () sin n d , Bn = 2 na 0 () sin n d , G(x, , t - ) = 2 a n=1 1 n sin n x sin n sin na (t - ) , lze řešení úlohy (4.40), (4.41), (4.42) zapsat ve tvaru u(t, x) = n=1 (An cos nt + Bn sin nt) sin n x + t 0 0 f(, )G(x, , t - )dd . Označíme-li dále n = A2 n + B2 n a n = arctg Bn An , platí An cos nt + Bn sin nt = n cos(nt - n) 55 a řešení úlohy (4.40), (4.41), (4.42) lze zapsat ve tvaru u(t, x) = n=1 n cos(nt - n) sin n x + t 0 0 f(, )G(x, , t - )dd . Řešení úlohy (4.40), (4.41) s nehomogenní okrajovou podmínkou u(t, 0) = 0(t) , u(t, ) = 1(t) , t (0, ) , (4.43) kde , jsou dvakrát diferencovatelné funkce, je tvaru u(t, x) = v(t, x)+U(t, x), kde funkce U = U(t, x) splňuje podmínky (4.43) a funkce v = v(t, x) je řešením úlohy vtt(t, x) = a2 vxx(t, x) + f(t, x) - Utt(t, x) + a2 Uxx(t, x) , (t, x) (0, ) × (0, ) , (4.44) v(0, x) = (x) - U(0, x) , vt(0, x) = (x) - Ut(0, x) , x (0, ) , (4.45) v(t, 0) = v(t, ) = 0 , t (0, ) , (4.46) Za funkci U stačí vzít U(t, x) = 0(t) + x (1(t) - 0(t)) . Při této volbě je Uxx 0. 4.5 Cvičení Najděte obecné řešení rovnice 1) ux = 6x2 uy 2) (z + y - x)ux + (z + x - y)uy + zuz = 0 Najděte řešení rovnice, které splňuje danou podmínku 3) ux + yzy = 0, u(0, y) = 1 y 6) yux - xuy = y2 - x2 , u(x, a) = x2 - a2 4) ut + aux = 0, u(x, 0) = sin x 7) xzux + yzuy + xy = 0, u(x, 1 x ) = 1 5) ut + aux = x2 t + 1, u(x, 0) = x + 2 8) 2xux + yuy = 4z + 1, u(x, 1) = x2 Určete typ lineární rovnice druhého řádu 9) uxx + yuyy = 0 10) x2 uxx - 2x sin y uxy + sin2 y uyy = 0 Danou rovnici převeďte na kanonický tvar 11) e2x uxx + 2ex+y uxy + e2y uyy = 0 12) xyuxx - (x2 + y2 )uxy + xyuyy + yux + xuy = 0, x = y 13) y2 uxx + x2 uyy = 0 14) uxx + uxy + uyy + ux = 0 Najděte obecné řešení rovnice 15) x2 uxx - 2xyuxy + y2 uyy + xux + yuy = 0 16) x2 uxx - y2 uyy = 0 17) Řešte počáteční úlohu utt = uxx + sin x; u(0, x) = x, ut(0, x) = 1 x . Výsledky: 1) u(x, y) = (2x3 + y) 2) u(x, y, z) = (x + y - 2z, z2 (x - y)) 3) u(x, y) = ex y 4) u(x, t) = sin(x - at) 5) u(x, t) = a2 12 t4 - ax 3 t3 + x2 2 t2 - (a - 1)t + x + 2 6) u(x, y) = x2 + y2 + xy - 2a2 - a x2 + y2 - a2 7) u(x, y) = 2 - xy 8) u(x, y) = x2 + 1 4 (y4 - 1) 9) hyperbolická pro y < 0, eliptická pro y > 0 10) parabolická 11) u = ( 1 -2 -1)u -u 12) u = 2-2 u 13) u + u + 1 2 u + 1 2 u = 0 14) v + v = 4 9 , v = e 1 3 + 1 3 , = 1 2 x - y, = 3 2 x 15) u(x, y) = (xy) ln y + (xy) 16) u(x, y) = (y x ) xy + (xy) 17) u(t, x) = x + ln x+t x-t + sin x - cos x sin t 56 Kapitola 5 Metody integrálních transformací 5.1 Fourierova transformace Fourierova transformace F převádí reálnou funkci f jedné reálné proměnné na komplexní funkci ^f jedné reálné proměnné definovanou vztahem ^f() = - f(x)e-ix dx. O funkci f předpokládáme, že je definovaná na R a konverguje dostatečně rychle k nule pro |x| tak, aby nevlastní integrál na pravé straně konvergoval. Inversní Fourierova transformace F-1 převádí funkci ^f zpět na funkci f na celém R; funkce f je přitom dána vztahem f(x) = 1 2 - ^f()eix d. Konvoluce funkcí f, g definovaných na R je funkce f g daná vztahem f g(x) = - f(y)g(x - y)dy. (O nevlastním integrálu opět předpokládme, že konverguje.) Fourierův obraz konvoluce funkcí f, g je F(f g)() = - f g(x)e-ix dx = - - f(y)g(x - y)e-ix dy dx = R2 f(y)g(x - y)e-ix dxdy. V tomto dvojném integrálu zavedeme substituci x = y + z. Pak dxdy = 1 1 0 1 dzdy, e-ix = e-iy e-iz , tedy F(f g)() = R2 f(y)g(z)e-iy e-iz dzdy = - f(y)e-iy dy - g(z)e-iz dz = ^f()^g(). To znamená, že f g = ^f^g. (5.1) 57 5.1.1 Řešení počáteční úlohy pro homogenní parabolickou rovnici ve dvou nezá- visle proměnných (vedení tepla v tenké homogenní nekonečné tyči) ut(t, x) = a2 uxx(t, x), (t, x) (0, ) × (-, ), (5.2) u(0, x) = (x), x (-, ). (5.3) O všech funkcích i jejich derivacích opět předpokládáme, že ,,jdou dostatečně rychle k nule pro |x| . Na rovnici (5.2) aplikujeme Fourierovu transformaci (funkci u považujeme za funkci proměnné x; t považujeme za parametr): F(ut)() = - ut(t, x)e-ix dx = ^ut(t, ), F(uxx)() = - uxx(t, x)e-ix dx = ux(t, x)e-ix x=- - - ux(t, x)e-ix (-i)dx = = i - ux(t, x)e-ix dx = i u(t, x)e-ix x=- - - u(t, x)e-ix (-i)dx = = -2 - u(t, x)e-ix dx = -2 ^u(t, ). Rovnice (5.2) se tedy transformuje na rovnici ^ut(t, ) = -a2 2 ^u(t, ), (5.4) což je obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu ( hraje roli parametru). Její řešení je ^u(t, ) = Ce-a2 2 t , kde C je konstanta. Určíme ji z transformované počáteční podmínky (5.3), tj. z podmínky ^u(0, ) = ^(). (5.5) Je tedy C = ^u(0, ) = ^() = - (x)e-ix dx. Označme G(t, x) vzor funkce ^G(t, ) = e-a2 2 t při Fourierově transformaci, tedy G(t, x) = 1 2 - e-a2 2 t eix d = 1 2 - e - ,, a2t - ix 2 a2t 2 - x2 4a2t d = 1 2 e- x2 4a2t - e - ,, a2t - ix 2 a2t 2 d. Substitucí = a2t - ix 2 a2t a s využitím (2.3) dostaneme G(t, x) = 1 2 a2t e- x2 4a2t - e-2 d = 1 2 a2t e- x2 4a2t . Řešení úlohy (5.4), (5.5) lze zapsat ve tvaru ^u(t, ) = ^() ^G(t, ). 58 Inversní Fourierovou transformací s využitím (5.1) dostaneme řešení úlohy (5.2), (5.4) ve tvaru u(t, x) = () G(t, )(x) = - (y)G(t, x - y)dy , tedy u(t, x) = 1 2 a2t - (y) exp - (x - y)2 4a2t dy. Na závěr ještě poznamenejme, že řešení počáteční úlohy ut(t, x) = a2 uxx(t, x), (t, x) (, ) × (-, ), u(, x) = (x), x (-, ), kde R, je u(t, x) = 1 2 a2(t - ) - (y) exp - (x - y)2 4a2(t - ) dy. 5.1.2 Řešení počáteční úlohy pro nehomogenní parabolickou rovnici ve dvou ne- závisle proměnných Nejprve uvažujme úlohu s homogenní počáteční podmínkou: ut(t, x) = a2 uxx(t, x) + f(t, x), (t, x) (0, ) × (-, ), (5.6) u(0, x) = 0, x (-, ). (5.7) Řešení budeme hledat ve tvaru u(t, x) = t 0 w(t, x, )d. Pak je počáteční podmínka (5.7) splněna. Dále platí ut(t, x) = w(t, x, t) + t 0 wt(t, x, )d, uxx(t, x) = t 0 wxx(t, x, )d. Aby byla splněna rovnice (5.6), musí platit 0 = ut(t, x) - a2 uxx(t, x) - f(t, x) = w(t, x, t) + t 0 wt(t, x, ) - a2 wxx(t, x, ) d - f(t, x) pro všechna (t, x) (0, ) × (-, ). Tato rovnost bude splněna zejména tehdy, když pro každé (0, ) bude funkce w řešením úlohy wt(t, x, ) = a2 wxx(t, x, ), (t, x) (, ) × (-, ), w(, x, ) = f(, x), x (-, ). Avšak řešení této úlohy je podle 5.1.1 dáno vzorcem w(t, x, ) = 1 2 a2(t - ) - f(, y) exp - (x - y)2 4a2(t - ) dy. To znamená, že řešení úlohy (5.6), (5.7) je u(t, x) = 1 2 a2 t 0 - 1 t - f(, y) exp - (x - y)2 4a2(t - ) dyd. 59 Řešení obecné počáteční úlohy pro parabolickou rovnici ve dvou nezávisle proměnných (5.6), (5.3) je součtem řešení úloh (5.2), (5.3) a (5.6), (5.7), tj. u(t, x) = 1 2 a2t - () exp - (x - )2 4a2t d + 1 2 a2 t 0 - f(, ) t - exp - (x - )2 4a2(t - ) dd. Při označení G(x, , ) = 1 2 a2 exp - (x - )2 4a2 lze řešení zapsat ve tvaru u(t, x) = - ()G(x, , t)d + t 0 - f(, )G(x, , t - )dd. 5.2 Laplaceova transformace Buď M množina reálných funkcí definovaných na intervalu (0, ) takových, že integrál 0 f(t)e-pt dt konverguje a lim t f(t)e-pt = 0 pro všechna p > 0. Laplaceova transformace L převádí reálnou funkci f M na reálnou funkci Lf definovanou na intervalu (0, ) vztahem Lf(p) = 0 f(t)e-pt dt. Z uvedeného definičního vztahu plyne, že Laplaceův obraz funkce f M je funkcí ohraničenou. Obrazy někte- rých funkcí v Laplaceově transformaci jsou uvedeny v tabulce 5.1. Vypočítáme Laplaceův obraz derivace funkce: L (f ) (p) = 0 f (t)e-pt dt = f(t)e-pt t=0 + p 0 f(t)e-pt dt = - lim t0+ f(t) + pLf(p). Při označení f(0+) = lim t0+ f(t) tedy platí L (f ) (p) = pLf(p) - f(0+). (5.8) 5.2.1 Řešení počáteční úlohy pro homogenní parabolickou rovnici ve dvou nezá- visle proměnných s jednou okrajovou podmínkou ut(t, x) = a2 uxx(t, x), (t, x) (0, ) × (0, ), (5.9) u(0, x) = 0, x (0, ), (5.10) u(t, 0) = (t), t (0, ). (5.11) Na rovnici (5.9) aplikujeme Laplaceovu transformaci (funkci u považujeme za funkci nezávisle proměnné t a x považujeme za parametr). S využitím (5.8) a (5.10) dostaneme pLu(p, x) = a2 Luxx(p, x), což je obyčejná lineární rovnice druhého řádu pro neznámou funkci Lu; nyní roli parametru hraje p. Fundamen- tální systém řešení této rovnice je tvořen funkcemi e- p |a| x , e p |a| x . 60 f(t) Lf(p) = 0 f(t)e-pt dt f(t) Lf(p) = 0 f(t)e-pt dt 1 1 p t sin t 2p (p2 + 2)2 t 1 p2 t cos t p2 - 2 (p2 + 2)2 tn , n = 1, 2, . . . n! pn+1 eat sin t (p - a)2 + 2 ta , a > -1 (a + 1) pa+1 eat cos t p - a (p - a)2 + 2 eat 1 p - a sin2 t 22 p(p2 + 42) teat 1 (p - a)2 cos2 t p2 + 22 p(p2 + 42) tn eat , n = 1, 2, . . . n! (p - a)n+1 sh at a p2 - a2 t eat , > -1 ( + 1) (p - a)+1 ch at p p2 - a2 sin t p2 + 2 t sh at 2ap (p2 - a2)2 cos t p p2 + 2 t ch at p2 + a2 (p2 - a2)2 J(at), > -1 p2 + a2 - p a p2 + a2 Tabulka 5.1: ,,Operátorový slovník pro Laplaceovu transformaci Pouze první z nich je ohraničená. Obecné řešení transformované rovnice tedy je Lu(p, x) = C(p)e- p |a| x . Aby byla splněna podmínka (5.11), musí být C(p) = L(p). Laplaceův obraz řešení úlohy (5.9) (5.10) (5.11) tedy je Lu(p, x) = L(p)e- p |a| x . 5.3 Cvičení Řešte úlohu 1) ut = a2 uxx, t > 0, x > 0 u(0, x) = T, x > 0; u(t, 0) = 0, t > 0 2) ut = a2 uxx, t > 0, x > 0 u(0, x) = 0, x > 0; u(t, 0) = K, t > 0 3) ut = a2 uxx, t > 0, x > 0 u(0, x) = 0, x > 0; u(t, 0) = A(t), t > 0 Výsledky: 1) T x 2 a2t 2) K 1 - x 2 a2t , přitom (z) = 2 z 0 e-2 d je integrál chyb 3) A x 2 a2t3 ex2 /(4a2 t) 61 62 Kapitola 6 Metoda separace proměnných (Fourierova) 6.1 Hyperbolické rovnice 6.1.1 Homogenní hyperbolická rovnice ve dvou proměnných s obecnými počáteč- ními a homogenními okrajovými podmínkami utt(t, x) = a2 uxx(t, x) , (t, x) (0, ) × (0, ) , (6.1) u(0, x) = (x) , ut(0, x) = (x) , x (0, ) , (6.2) 0u(t, 0) + 0ux(t, 0) = 0 = 1u(t, ) + 1ux(t, ) , t (0, ) , (6.3) kde a > 0, , jsou spojité funkce splňující okrajové podmínky 0(0) + 0x(0) = 0 = 1() + 1x() , 0(0) + 0x(0) = 0 = 1() + 1x() . Řešení úlohy budeme hledat ve tvaru součinu, ve kterém jeden činitel závisí pouze na t a druhý pouze na x, tedy u(t, x) = T (t)X(x) . Pak je utt = T X, uxx = T X a tedy T X = a2 T X , po úpravě 1 a2 T (t) T (t) = X (x) X(x) . Levá strana poslední rovnosti závisí pouze na t, pravá pouze na x. To znamený, že tyto výrazy na nezávisle proměnných nezávisí, tedy 1 a2 T (t) T (t) = X (x) X(x) = - . Odtud dostaneme T (t) + a2 T (t) = 0 , (6.4) - X (x) = X(x) . (6.5) K tomu, aby funkce u = T X splňovala okrajové podmínky (6.3) stačí, aby tyto podmínky splňovala funkce X, tedy 0X(0) + 0X (0) = 0 = 1X() + 1X () . (6.6) Rovnice (6.5) s okrajovou podmínkou (6.6) je Sturmova-Liouvilleova úloha (sr. 1.1.5). Existuje tedy posloupnost vlastních čísel {n} n=1 a posloupnost vlastních funkcí {vn} n=1, že 0 1 < 2 < , lim n n = 63 0 0 1 1 n vn(x) ||vn|| 2 1 0 1 0 n 2 sin n x 2 1 0 0 1 (2n + 1) 2 2 sin (2n + 1) 2 x 2 0 1 1 0 (2n + 1) 2 2 cos (2n + 1) 2 x 2 0 1 0 1 0, n 2 1, cos n x , 2 1 0 h 1 kladné kořeny rovnice n = -h tg n sin n x (h2 + n) + h 2(h2 + n) 0 1 h 1 kladné kořeny rovnice h = n tg n cos n x (h2 + n) + h 2(h2 + n) h 1 h 1 kladné kořeny rovnice n h - h n = 2 cotg n n cos n x + h sin n x n + h2 + 2h 2 Tabulka 6.1: Vlastní hodnoty a vlastní funkce úlohy (6.5), (6.6) pro speciální tvary okrajových podmínek a Fourierova řada každé funkce splňující podmínky (6.6) stejnoměrně k této funkci konverguje. Vlastní čísla a vlastní funkce úlohy (6.5), (6.6) jsou uvedeny v tabulce 6.1. Řešení rovnice (6.4), ve které klademe = n je Tn(t) = An cos n at + Bn sin n at . Odtud plyne, že každá z funkcí un(t, x) = An cos n at + Bn sin n at vn(x) je řešením rovnice (6.1) s okrajovými podmínkami (6.3). Tedy také jejich lineární kombinace, tj. funkce u(t, x) = n=1 An cos n at + Bn sin n at vn(x) (6.7) je řešením rovnice (6.1) s okrajovými podmínkami (6.3). Aby byly splněny počáteční podmínky (6.2), musí platit u(0, x) = n=1 Anvn(x) = (x) , ut(0, x) = n=1 Bn n avn(x) = (x) , 64 což znamená, že An a Bnn jsou Fourierovy koeficienty funkcí a vzhledem k ortogonálnímu systému {vn} n=1, tedy An = 1 ||vn|| 2 0 ()vn()d , Bn = 1 a n ||vn|| 2 0 ()vn()d , kde ||vn|| 2 = 0 (vn())2 d . (6.8) Řešení úlohy (6.1), (6.2), (6.3), je tedy dána řadou (6.7), jejíž koeficienty jsou dány formulemi (6.8). 6.1.2 Nehomogenní hyperbolická rovnice ve dvou nezávisle proměnných s homo- genními počátečními i okrajovými podmínkami utt(t, x) = a2 uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) (0, ) × (0, ) , (6.9) u(0, x) = 0 , ut(0, x) = 0 , x (0, ) , (6.10) 0u(t, 0) + 0ux(t, 0) = 0 = 1u(t, ) + 1ux(t, ) , t (0, ) , (6.11) kde f je po částech spojitá funkce. Nechť 1, 2, . . . jsou vlastní čísla a v1 = v1(x), v2 = v2(x), . . . jsou vlastní funkce Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (6.5), (6.6). Funkci f(t, ) vyjádříme jako Fourierovu řadu vzhledem k systému funkcí v1, v2, . . . : f(t, x) = n=1 Fn(t)vn(x) , kde Fn(t) = 1 ||vn||2 0 f(t, )vn()d . Analogicky jako v metodě variace konstant pro obyčejné lineární rovnice (viz např. Ráb M.: Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MU 1998, str. 67) budeme řešení úlohy (6.9), (6.10), (6.11) hledat ve tvaru u(t, x) = n=1 Cn(t)vn(x) . Tato funkce splňuje okrajovou podmínku (6.11). Dále utt(t, x) = n=1 C n(t)vn(x) , uxx(t, x) = n=1 Cn(t)v n(x) = - n=1 Cn(t)nvn(x) , neboť vn splňuje (6.5). Aby byly splněny také (6.9) a (6.10), musí platit n=1 C n(t) + a2 nCn(t) vn(x) = n=1 Fn(t)vn(x) , n=1 Cn(0)vn(x) = 0 , n=1 C n(0)vn(x) = 0 . To znamená, že funkce Cn = Cn(t) jsou řešením Cauchyovy úlohy pro obyčejnou diferenciální rovnici C n(t) + a2 nCn(t) = Fn(t) , Cn(0) = C n(0) = 0 . Tuto úlohu lze vyřešit např. metodou variace konstant. Její řešení je Cn(t) = 1 a n t 0 Fn() sin a n (t - )d , po dosazení za Fn Cn(t) = 1 a n ||vn|| 2 t 0 0 f(, )vn() sin a n (t - )dd . 65 Řešení úlohy (6.9), (6.10), (6.11) tedy je u(t, x) = 1 a n=1 1 n ||vn||2 t 0 0 f(, )vn() sin a n (t - )dd vn(x) . Označíme-li G(x, , ) = 1 a n=1 1 n ||vn|| 2 vn(x)vn() sin a n , lze řešení úlohy (6.9), (6.10), (6.11) zapsat ve tvaru u(t, x) = t 0 0 f(, )G(x, , t - )dd . 6.1.3 Nehomogenní hyperbolická rovnice ve dvou proměnných s obecnými počá- tečními a homogenními okrajovými podmínkami utt(t, x) = a2 uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) (0, ) × (0, ) , (6.12) u(0, x) = (x) , ut(0, x) = (x) , x (0, ) , (6.13) 0u(t, 0) + 0ux(t, 0) = 0 = 1u(t, ) + 1ux(t, ) , t (0, ) , (6.14) Řešení je tvaru u(t, x) = v(t, x)+w(t, x) kde v(t, x) je řešením úlohy (6.1), (6.2), (6.3) a w(t, x) je řešením úlohy (6.9), (6.10), (6.11). 6.1.4 Obecná úloha pro nehomogenní hyperbolickou rovnici ve dvou proměnných utt(t, x) = a2 uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) (0, ) × (0, ) , (6.15) u(0, x) = (x) , ut(0, x) = (x) , x (0, ) , (6.16) 0u(t, 0) + 0ux(t, 0) = 0(t) , 1u(t, ) + 1ux(t, ) = 1(t) , t (0, ) , (6.17) Řešení je tvaru u(t, x) = v(t, x) + U(t, x), kde funkce U = U(t, x) splňuje okrajové podmínky (6.17) a funkce v = v(t, x) je řešením úlohy (4.44), (4.45), (4.46). Za funkci U = U(t, x) stačí vzít U(t, x) = (01(t) - 10(t))x + (1 + 1)0(t) - 01(t) 01 + 01 - 10 . (6.18) Při této volbě je Uxx 0. 6.1.5 Hyperbolické rovnice s nehomogenitou tvaru ut (tlumené kmity konečné struny) utt(t, x) = a2 uxx(t, x) - ut(t, x) , (t, x) (0, ) × (0, ) , (6.19) u(0, x) = (x) , ut(0, x) = (x) , x (0, ) , (6.20) 0u(t, 0) + 0ux(t, 0) = 0 = 1u(t, ) + 1ux(t, ) , t (0, ) , (6.21) Zavedeme novou neznámou funkci w = w(t, x) vztahem u(t, x) = e-(/2)t w(t, x) (sr. 4.3.6). Pak je ut(t, x) = e-(/2)t wt(t, x) - 2 w(t, x) , 66 utt(t, x) = e-(/2)t wtt(t, x) - wt(t, x) + 2 4 w(t, x) , uxx(t, x) = e-(/2)t wxx(t, x) . Dosadíme do rovnice (6.19), do podmínky (6.21) a upravíme: wtt(t, x) = wxx(t, x) + 2 4 w(t, x) , (6.22) 0w(t, 0) + 0wx(t, 0) = 0 = 1w(t, ) + 1wx(t, ) , t (0, ) , (6.23) Řešení okrajové úlohy (6.22), (6.23) budeme opět hledat ve tvaru w(t, x) = T (t)X(x). Po dosazení do rovnice (6.22) a úpravě dostaneme T (t) - 2 4 T (t) a2T (t) = X (x) X(x) . Pravá strana poslední rovnice závisí pouze na x, levá strana závisí pouze na t a to znamená, že výrazy na obou stranách jsou konstantní. Opět je položíme rovny -. Funkce X je opět řešením Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (6.5), (6.6) a funkce T je řešením rovnice T (t) + a2 - 2 4 T (t) = 0 . Předpokládejme, že < 4a2 n (tlumení je malé). Pak řešení poslední rovnice pro = n je Tn(t) = An cos 4na2 - 2 2 t + Bn sin 4na2 - 2 2 t . Řešení úlohy (6.22), (6.23) tedy je w(t, x) = n=1 An cos 4na2 - 2 2 t + Bn sin 4na2 - 2 2 t vn(x) , kde 1, 2, . . . jsou vlastní čísla a v1, v2, . . . jsou vlastní funkce Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (6.5), (6.6). Řešení rovnice (6.19) s okrajovou podmínkou (6.21) je u(t, x) = e-(/2)t n=1 An cos 4na2 - 2 2 t + Bn sin 4na2 - 2 2 t vn(x) . (6.24) Platí u(0, x) = n=1 Anvn(x) . takže ke splnění první z podmínek (6.20) stačí, aby An = 1 ||vn|| 2 0 ()vn()d . (6.25) Dále ut(t, x) = - 2 e-(/2)t n=1 An cos 4na2 - 2 2 t + Bn sin 4na2 - 2 2 t vn(x) + +e-(/2)t n=1 -An 4na2 - 2 2 sin 4na2 - 2 2 t + Bn 4na2 - 2 2 cos 4na2 - 2 2 t vn(x) , takže ut(0, x) = n=1 Bn 4na2 - 2 2 - 2 An vn(x) . 67 Aby byla splněna druhá z podmínek (6.20) stačí, aby Bn 4na2 - 2 2 - 2 An = 1 ||vn|| 2 0 ()vn()d , neboli Bn = 2 4na2 - 2 ||vn|| 2 0 () + 2 (x) vn()d . (6.26) Řešení úlohy (6.19), (6.20), (6.21) je tedy dáno řadou (6.24), kde 1, 2, . . . jsou vlastní čísla a v1, v2, . . . jsou vlastní funkce Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (6.5), (6.6) a koeficienty An, Bn jsou dány formulemi (6.25) a (6.26). 6.2 Parabolické rovnice 6.2.1 Parabolická rovnice ve dvou proměnných (vedení tepla v tenké tyči) Budeme řešit parabolickou rovnici homogenní ut(t, x) = a2 uxx(t, x) , (t, x) (0, ) × (0, ) , (6.27) nebo nehomogenní ut(t, x) = a2 uxx(t, x) + f(t, x) , (t, x) (0, ) × (0, ) , (6.28) s počáteční podmínkou nehomogenní u(0, x) = (x) , x (0, ) , (6.29) nebo homogenní u(0, x) = 0 , x (0, ) , (6.30) a okrajovými podmínkami homogenními 0u(t, 0) + 0ux(t, 0) = 0 = 1u(t, ) + 1ux(t, ) , t (0, ) , (6.31) nebo nehomogenními 0u(t, 0) + 0ux(t, 0) = 0(t) , 1u(t, ) + 1ux(t, ) = 1(t) , t (0, ) . (6.32) Přitom předpokládáme, že a > 0, funkce a f jsou po částech spojité a funkce 0, 1 jsou diferencovatelné. Nejdříve budeme řešit úlohu (6.27), (6.29), (6.31). Řešení budeme opět předpokládat ve tvaru u(t, x) = T (t)X(x) . Dosazením do (6.27) a (6.31) ukážeme, že funkce X = X(x) je řešením Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (6.5), (6.6) a funkce T = T (t) splňuje rovnici T (t) + a2 T (t) = 0 , tedy T (t) = Ce-a2 t . Jsou-li 1, 2, . . . vlastní hodnoty a v1, v2, . . . vlastní funkce úlohy (6.5), (6.6), pak řešení rovnice (6.27) splňující podmínku (6.31) je u(t, x) = n=1 Cne-a2 nt vn(x) . (6.33) Aby byla splněna podmínka (6.29), musí platit n=1 Cnvn(x) = (x) , 68 což znamená, že Cn = 1 ||vn||2 0 ()vn()d , kde ||vn|| 2 = 0 (vn())2 d . (6.34) Řešení úlohy (6.27), (6.29), (6.31) je tedy dáno řadou (6.33), jejíž koeficienty jsou dány formulemi (6.34), tedy u(t, x) = n=1 1 ||vn|| 2 0 ()vn()d e-a2 nt vn(x) . Při označení G(x, , t) = n=1 1 ||vn|| 2 vn(x)vn()e-a2 nt (6.35) lze řešení zapsat ve tvaru u(t, x) = 0 ()G(x, , t)d . Analogicky jako při metodě variace konstant u obyčejných diferenciálních lineárních nehomogenních rovnic budeme řešení úlohy (6.28), (6.30), (6.31) hledat ve tvaru u(t, x) = n=1 Cn(t)vn(x) , kde v1, v2, . . . jsou vlastní funkce Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (6.5), (6.6). Pak je ut(t, x) = n=1 C n(t)vn(x) , uxx(t, x) = n=1 Cn(t)v n(x) = - n=1 nCn(t)vn(x) , neboť funkce vn je řešením rovnice (6.5) s = n. Funkci f(t, ) vyjádříme jako součet Fourierovy řady vzhledem k ortogonálnímu systému funkcí v1, v2, . . . : f(t, x) = n=1 Fn(t)vn(x) , kde Fn(t) = 1 ||vn|| 2 0 f(t, )vn()d , Dosazením do rovnice (6.28) a podmínky (6.30) dostaneme n=1 C n(t) + a2 nCn(t) vn(x) = n=1 Fn(t)vn(x) , n=1 Cn(0)vn(x) = 0 . Přitom n je vlastní hodnota úlohy (6.5), (6.6), jíž přísluší vlastní funkce vn, n = 1, 2, . . .. Funkce Cn jsou tedy řešením Cauchyovy úlohy pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici prvního řádu C n(t) + a2 nCn(t) = Fn(t) , Cn(0) = 0 . Řešení této úlohy je Cn(t) = e-a2 nt t 0 Fn()ea2 n d , po dosazení za Fn dostaneme Cn(t) = 1 ||vn|| 2 t 0 0 f(, )vn()e-a2 n(t-) dd . 69 Řešení úlohy (6.28), (6.30), (6.31) je tedy u(t, x) = n=1 1 ||vn|| 2 t 0 0 f(, )vn()e-a2 n(t-) dd vn(x) . Při označení (6.35) lze řešení zapsat ve tvaru u(t, x) = t 0 0 f(, )G(x, , t - )dd . Řešení úlohy (6.28), (6.29), (6.31) je tvaru u(t, x) = v(t, x) + w(t, x) , kde v = v(t, x) je řešením úlohy (6.27), (6.29), (6.31) a w = w(t, x) je řešením úlohy (6.28), (6.30), (6.31). Řešení úlohy (6.28), (6.29), (6.31) je tedy u(t, x) = 0 ()G(x, , t)d + t 0 0 f(, )G(x, , t - )dd . Řešení úlohy (6.28), (6.29), (6.32) je tvaru u(t, x) = v(t, x) + U(t, x) , kde funkce U = U(t, x) splňuje okrajové podmínky (6.32) a v = v(t, x) je řešením rovnice ut(t, x) = a2 uxx(t, x) + f(t, x) - (Ut(t, x) - a2 Uxx(t, x)) , (t, x) (0, ) × (0, ) s počáteční podmínkou u(0, x) = (x) - U(0, x) , x (0, ) a homogenními okrajovými podmínkami (6.31). Za funkci U = U(t, x) opět stačí vzít (6.18). Interpretace funkce G: Uvažujme úlohu ut(t, x) = a2 uxx(t, x), u(0, x) = (x), u(t, 0) = u(t, ) = 0, (t, x) (0, ) × (0, ), x (0, ), t (0, ). (Vedení tepla v homogenní tyči, která byla zahřáta na teplotu (x) a jejíž konce udržujeme na nulové teplotě.) Množství tepla, kterým se teplota tělesa o hmotnosti m změní o u, je Q = cmu, kde c je specifické teplo. Má-li těleso na počátku děje nulovou teplotu a je zahřáto na teplotu u, pak u = u. Je-li tedy tyč v bodě vzdáleném od jejího začátku zahřáta z nulové teploty na teplotu (), je množství tepla dodaného části tyče o malé délce ve vzdálenosti od jejího začátku rovno Q = c () (), kde je lineární hustota tyče. Limitním přechodem 0 dostaneme dQ = c()d, takže celkové množství tepla dodaného tyči je Q = c 0 ()d. 70 Představme si nyní, že tyč měla nulovou teplotu a v čase t = 0 vznikl v bodě (0, ) bodový teplotní impuls, který ,,zahřál bod na teplotu u0, zbytek tyče ponechal na teplotě 0, tj. (x) = u0(x - ) ( je Diracova distribuce). Velikost tohoto impulsu byla Q = c 0 ()d = cu0 0 ( - )d = cu0. Pak u(t, x) = 0 ()G(x, , t)d = u0 0 (x - )G(x, , t)d = u0G(x, , t) = Q c G(x, , t). Odtud plyne, že G(x, , t) vyjadřuje teplotní účinek okamžitého bodového zdroje tepla mohutnosti Q = c umístěného v bodě intervalu [0, ]. 6.3 Eliptické rovnice 6.3.1 Laplaceova rovnice ve dvou proměnných s okrajovými podmínkami na ob- délníku Budeme řešit rovnici u(x, y) = 0 , (x, y) (0, a) × (0, b) (6.36) s některými z okrajových podmínek 0u(0, y) + 0ux(0, y) = 0 = 1u(a, y) + 1ux(a, y) , y (0, b) , (6.37) 0u(0, y) + 0ux(0, y) = 0(y) , 1u(a, y) + 1ux(a, y) = 1(y) , y (0, b) , (6.38) 0u(x, 0) + 0uy(x, 0) = 0 = 1u(x, b) + 1uy(x, b) , x (0, a) , (6.39) 0u(x, 0) + 0uy(x, 0) = 0(x) , 1u(x, b) + 1uy(x, b) = 1(x) , x (0, a) . (6.40) Řešení úlohy (6.36), (6.37), (6.40) budeme hledat ve tvaru součinu výrazů, z nichž jeden závisí pouze na x a druhý pouze na y, tedy u(x, y) = X(x)Y (y) . Pak je uxx = X Y , uyy = XY . Po dosazení do rovnice (6.36) a úpravě dostaneme X (x) X(x) = - Y (y) Y (y) . Výraz na levé straně nezávisí na y, výraz na pravé straně nezávisí na x a to znamená, že oba výrazy jsou rovny nějaké konstantě, řekněme -: X (x) X(x) = - Y (y) Y (y) = - . Opět vidíme, že funkce X = X(x) je řešením Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (6.5), (6.6). Funkce Y = Y (y) je řešením rovnice Y (y) - Y (y) = 0 . Jsou-li 1, 2, . . . vlastní hodnoty a v1, v2, . . . odpovídající vlastní funkce úlohy (6.5), (6.6), přičemž 1 > 0, je řešení poslední rovnice s = n tvaru Y (y) = Ane n y + Bne- n y , 71 a tedy řešení rovnice (6.36) s podmínkou (6.37) je tvaru u(x, y) = n=1 Ane n y + Bne- n y vn(x) . (6.41) Aby byla splněna podmínka (6.40), musí platit 0(x) = n=1 0(An + Bn) + 0 n (An - Bn) vn(x) , 1(x) = n=1 1 Ane n b + Bne- n b + 1 n Ane n b - Bne- n b vn(x) , což znamená, že koeficienty An, Bn jsou řešením soustavy rovnic (0 + 0 n )An + (0 - 0 n )Bn = 1 ||vn||2 a 0 0()vnd , (6.42) (1 + 1 n )e n b An + (1 - 1 n )e- n b Bn = 1 ||vn|| 2 a 0 1()vn()d . Řešení úlohy (6.36), (6.37), (6.40) je dáno řadou (6.41), kde 1, 2, . . . vlastní hodnoty a v1, v2, . . . odpoví- dající vlastní funkce úlohy (6.5), (6.6), přičemž 1 > 0. Koeficienty An, Bn řady (6.41) jsou řešením soustavy algebraických rovnic (6.42), pokud je tato soustava jednoznačně řešitelná. Řešení úlohy (6.36), (6.38), (6.39) lze najít analogicky. Řešení úlohy (6.36), (6.38), (6.40) je tvaru u(x, y) = v(x, y) + w(x, y) , kde v = v(x, y) je řešení úlohy (6.36), (6.37), (6.40) a w = w(x, y) je řešení úlohy (6.36), (6.38), (6.39). 6.3.2 Laplaceova rovnice ve dvou proměnných s Dirichletovými okrajovými pod- mínkami na kruhu u(x, y) = 0 , x2 + y2 < R2 , (6.43) u(x, y) = g(x, y) , x2 + y2 = R2 . (6.44) Předpokládáme, že R > 0 a funkce g je spojitá. Provedeme transformaci do polárních souřadnic x = r cos , y = r sin . Rovnice (6.43) se transformuje na tvar urr(r, ) + 1 r ur(r, ) + 1 r2 u(r, ) = 0 . (6.45) Označme f() = g(R cos , R sin ). Z podmínky (6.44) dostaneme u(R, ) = f() , [0, 2] . (6.46) Funkce u = u(r, ) musí být 2-periodická, tedy u(r, ) = u(r, + 2) , r (0, R] , R . (6.47) Hodnota funkce u = u(r, ) nemůže pro r = 0 záviset na úhlu a samozřejmě musí být konečná, tedy u(0, ) = const R , R . (6.48) 72 Řešení rovnice (6.45) budeme hledat ve tvaru součinu funkcí, z nichž jedna závisí pouze na r a druhá pouze na , tedy u(r, ) = X(r)() . Po dosazení do rovnice (6.45) dostaneme X (r)() + 1 r X (r)() + 1 r2 X(r) () = 0 , po vynásobení výrazem r2 X(r)() a jednoduché úpravě r2 X (r) X(r) + r X (r) X(r) = - () () . Výraz na levé straně závisí pouze na proměnné r, výraz na pravé straně pouze na proměnné a to znamená, že oba výrazy jsou rovny nějaké konstantě, řekněme . Funkce = () je tedy řešením rovnice () + () = 0 (6.49) a funkce X = X(r) je řešením rovnice r2 X (r) + rX (r) - X(r) = 0 . (6.50) Z podmínky (6.47) dostaneme () = ( + 2) , (6.51) tedy funkce je 2-periodická. Kdyby < 0, pak by řešení rovnice (6.49) bylo () = ae + be- ; v tomto případě by funkce nemohla být nenulová periodická. Pokud = 0, pak () = b0 + a0; aby tato funkce byla nenulová periodická, musí být b0 = 0, a0 = 0. Je-li > 0 a řešení rovnice (6.49) je () = a cos + b sin . Aby tato funkce byla 2-periodická, musí být ( + 2) = a cos cos 2 - a sin sin 2 + b sin cos 2 + b cos sin 2 = = cos (a cos 2 + b sin 2 ) + sin (b cos 2 - a sin 2 ) = = () , neboli a = a cos2 + b sin 2 , b = b cos2 - a sin 2 . Vyřešíme-li poslední soustavu rovnic pro neznámé cos 2 a sin 2 , dostaneme cos 2 = 1, sin 2 = 0, což znamená, že 2 = 2n, n Z. Odtud plyne, že netriviální řešení má úloha (6.49) (6.51) pouze pro hodnoty = n = n2 , n N {0}. Toto řešení je n() = an cos n + bn sin n , n = 0, 1, 2, . . . . Nyní budeme řešit rovnici (6.50) s = n2 : r2 X (r) + rX (r) - n2 X(r) = 0 . Jedná se o Eulerovu rovnici. Řešíme ji substitucí s = ln r, tedy d dr X = d ds X ds dr = 1 r d ds X , d2 dr2 X = d dr 1 r d ds X = - 1 r2 d ds X + 1 r2 d2 ds2 X , po dosazení d2 ds2 X - d ds X + d ds X - n2 X = 0 73 a po úpravě d2 ds2 X - n2 X = 0 . Řešení této rovnice je X(s) = c0 + d0s , pro n = 0 cnens + dne-ns , pro n > 0 , tj. X(r) = c0 + d0 ln r , pro n = 0 cnrn + dnr-n , pro n > 0 . Aby byla splněna podmínka (6.48), musí být dn = 0 pro n = 0, 1, 2, . . .. Je tedy Xn(r) = cnrn , n = 0, 1, 2, . . . . Řešení úlohy (6.45), (6.47), (6.48) je tedy lineární kombinací součinů funkcí n = n() a Xn = Xn(r), tj. u(r, ) = a0c0 + n=1 cnrn (an cos n + bn sin n) , při označení A0 = 2a0b0, An = ancn, Bn = bncn dostaneme u(r, ) = A0 2 + n=1 rn (An cos n + Bn sin n) Dosadíme do podmínky (6.46): u(R, ) = A0 2 + n=1 Rn (An cos n + Bn sin n) = f() takže An = 1 Rn 2 0 f() cos nd , n = 0, 1, 2, . . . , Bn = 1 Rn 2 0 f() sin nd , n = 0, 1, 2, . . . . Celkem je u(r, ) = 1 2 0 f() 1 2 + n=1 r R n (cos n cos n + sin n sin n) d = = 1 2 0 f() 1 2 + n=1 r R n cos n( - ) d . Výraz cos n( - ) je reálnou částí komplexního čísla ein(-) , tedy n=1 r R n cos n( - ) je reálnou částí výrazu n=1 r R n ein(-) = n=1 rei(-) R n = rei(-) R 1 1 - rei(-) R = rei(-) R - rei(-) = = r(cos( - ) + i sin( - )) R - r cos( - ) - ir sin( - ) = = r(cos( - ) + i sin( - ))(R - r cos( - ) + ir sin( - )) (R - r cos( - ))2 + r2 sin2 ( - ) . 74 Odtud dostáváme 1 2 + n=1 r R n cos n( - ) = 1 2 + Rr cos( - ) - r2 cos2 ( - ) - r2 sin2 ( - ) R2 - 2Rr cos( - ) + r2 cos2( - ) + r2 sin2 ( - ) = = 1 2 + Rr cos( - ) - r2 R2 - 2Rr cos( - ) + r2 = = R2 - 2Rr cos( - ) + r2 + 2Rr cos( - ) - 2r2 2(R2 - 2Rr cos( - ) + r2) = = R2 - r2 2(R2 - 2Rr cos( - ) + r2) . Řešení úlohy (6.45), (6.46), (6.47), (6.48) je tedy u(r, ) = 1 2 2 0 f() R2 - r2 R2 - 2Rr cos( - ) + r2 d , pro r < R , u(r, ) = f() , pro r = R . Výraz 1 2 2 0 f() R2 - r2 R2 - 2Rr cos( - ) + r2 d se nazývá Poissonův integrál, výraz K(r, , R, ) = R2 - r2 R2 - 2Rr cos( - ) + r2 se nazývá Poissonovo jádro. Vrátíme se k původním proměnným, tj. provedeme zpětnou transformaci r = x2 + y2 , cos = x x2 + y2 , sin = y x2 + y2 . Pak je R2 - 2Rr cos( - ) + r2 = R2 - 2Rr(cos cos + sin sin ) + r2 = = x2 + y2 - 2R(x cos + y sin ) + R2 (cos2 + sin2 ) = (x - R cos )2 + (y - R sin )2 . Řešení úlohy (6.43), (6.44) je tedy u(x, y) = R2 - x2 - y2 2R 2 0 g(R cos , R sin ) R (x - R cos )2 + (y - R sin )2 d . Označíme-li x = (x, y), SR (0,0) kružnici se středem v počátku a poloměrem R, S bod na této kružnici, lze řešení zapsat pomocí křivkového integrálu u(x) = R2 - ||x|| 2 2R SR (0,0) g(S) dS ||x - S|| 2 . (6.52) Tato formule se nazývá Poissonův vzorec. 75 6.3.3 Poissonova rovnice ve dvou proměnných s homogenními Dirichletovými okrajovými podmínkami na kruhu u(x, y) = G(x, y) , x2 + y2 < R2 , (6.53) u(x, y) = 0 , x2 + y2 = R2 . (6.54) Předpokládáme, že R > 0 a funkce G je spojitá. Rovnici transformujeme do polárních souřadnic x = r cos , y = r sin . Při označení F(r, ) = G(r cos , r sin ) se rovnice (6.53) transformuje na tvar urr(r, ) + 1 r ur(r, ) + 1 r2 u = F(r, ) . (6.55) Analogicky jako u Laplaceovy rovnice musí funkce u = u(r, ) splňovat podmínky u(R, ) = 0 , [0, 2] , (6.56) u(r, ) = u(r, + 2) , r (0, R] , R , (6.57) u(0, ) = const R , R . (6.58) Poněvadž podle (6.57) je funkce u(r, ) 2-periodická pro každé r (0, R], lze ji hledat ve tvaru u(r, ) = a0(r) 2 + n=1 (an(r) cos n + bn(r) sin n) . Pravá strana rovnice (6.55) bude a 0 (r) 2 + a 0(r) 2r + n=1 a n(r) + a n(r) r - n2 an(r) r2 cos n + b n(r) + b n(r) r - n2 bn(r) r2 sin n . Funkce F(r, ) je také 2-periodická, proto ji můžeme také vyjádřit ve tvaru Fourierovy řady F(r, ) = c0(r) 2 + n=1 (cn(r) cos n + dn(r) sin n) . kde cn(r) = 1 2 0 F(r, ) cos nd , n = 0, 1, 2, . . . , dn(r) = 1 2 0 F(r, ) sin nd , n = 0, 1, 2, . . . . Porovnáním koeficientů vidíme, že funkce an = an(r) a bn = bn(r) jsou řešením Eulerových obyčejných diferen- ciálních rovnic r2 a n(r) + ra n(r) - n2 an(r) = r2 2 0 F(r, ) cos nd , n = 0, 1, 2, . . . , r2 b n(r) + rb n(r) - n2 bn(r) = r2 2 0 F(r, ) sin nd , n = 1, 2, . . . s okrajovými podmínkami an(R) = 0 , an(r) je omezená pro r 0+ , bn(R) = 0 , bn(r) je omezená pro r 0 + . 76 Vyšetříme speciální případ, kdy pravá strana rovnice (6.53) je konstantní, G c. Pak také F c a tedy 2 0 cd = 2c , 2 0 c cosnd = 2 0 c sin nd = 0 pro n = 1, 2, . . . . Funkce a0 = a0(r) je řešením rovnice r2 a 0 (r) + ra 0(r) = 2cr2 , tedy a0(r) = c 2 r2 + A ln r + B. Poněvadž a0(r) je omezená pro r 0+, musí být A = 0; poněvadž a0(R) = 0, musí být B = - c 2 R2 . Celkem a0(r) = c 2 (r2 - R2 ) . Funkce an = an(r) pro n = 1, 2, . . . jsou řešením rovnice r2 a n(r) + ra n(r) - n2 an(r) = 0 , tedy an(r) = Arn + Br-n . Poněvadž a0(r) je omezená pro r 0+, musí být B = 0; poněvadž an(R) = 0, musí být A = 0. Analogické úvahy provedeme pro funkce bn = bn(r), n = 1, 2, . . . . Celkem dostaneme an(r) = bn(r) = 0 , n = 1, 2, . . . . Dosazením do řady vyjadřující funkci u = u(r, ) dostaneme u(r, ) = c 4 (r2 - R2 ) a návratem k původním proměnným dostaneme řešení úlohy (6.53), (6.54) s G c ve tvaru u(x, y) = c 4 (x2 + y2 - R2 ) . 6.4 Cvičení 1) Řešte úlohu o chvění struny délky l, je-li a) struna upevněna na obou koncích, na počátku je ve vzdálenosti c od jednoho konce vychýlena na vzdálenost h od rovnovážné polohy a nepohybuje se. b) struna upevněna na obou koncích a je rozechvěna úderem plochého tvrdého kladívka o šířce 2, jehož střed se struny dotkne ve vzdálenosti c od jednoho konce a jež se pohybuje rychlostí v. c) struna je upevněna na obou koncích a působí na ni konstatntní síla f; na počátku je struna v rovnovážné poloze a nepohybuje se. d) struna je upevněna na jednom konci, druhý konec vykonává harmonický pohyb s amplitudou A a frekvencí = a l . (Na počátku je druhý konec vychýlen na vzdálenost A a struna je v klidu.) 2) Řešte úlohu o chladnutí homogenní tyče délky l která byla stejnoměrně zahřáta na teplotu u0, na jejímž bočním povrchu nedochází k výměně tepla a a) jeden její konec udržujeme na teplotě 0, druhý je tepelně izolován. b) jeden její konec udržujeme na teplotě u1, druhý na teplotě u2. c) na koncích nastává výměna tepla s prostředím nulové teploty. 3) Homogenní koule o poloměru R byla zahřáta tak, že její počáteční teplota v libovolném bodě závisí pouze na vzdálenosti r tohoto bodu od středu koule, tj. u(0, x, y, z) = f x2 + y2 + z2 . Povrch koule udržujeme na nulové teplotě. Určete teplotu koule v libovolném bodě a libovolném čase. Řešte úlohu 4) uxx + uyy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b u(0, y) = Ay(b - y), u(a, y) = 0, 0 y b; u(x, 0) = B sin x a , u(x, b) = 0, 0 x a 77 5) uxx + uyy = -2, 0 < x < a, -b 2 < y < b 2 u(0, y) = u(a, y) = 0, -b 2 y b 2 ; u(x, -b 2 ) = u(x, b 2 ) = 0, 0 x a Výsledky: 1a)utt = a2 uxx u(0, x) = h c x, x [0, c) h c-l (x - l), x [c, l], , ut(0, x) = 0 u(t, 0) = u(t, l) = 0 u(t, x) = 2l2 h c(l-c)2 n=1 1 n2 sin(n l c) sin(n l x) cos(an l t) 1b)utt = a2 uxx u(0, x) = 0, ut(0, x) = v, x [c - , c + ] 0, jinak u(t, 0) = u(t, l) = 0 u(t, x) = 4lv a2 n=1 1 n2 sin(n l c) sin(n l ) sin(n l x) sin(an l t) 1c)utt = a2 uxx + f u(0, x) = ut(0, x) = 0 u(t, 0) = u(t, l) = 0 u(t, x) = 4l2 f a23 n=0 1 (2n+1)3 1 - cos a(2n+1) l t sin (2n+1) l x 1d)utt = a2 uxx u(0, x) = A l x, ut(0, x) = 0 u(t, 0) = 0, u(t, l) = A cos t u(t, x) = A l x cos(a l t) - at sin(a l t) + 4A n=2 (-1)n n3-n sin a(n+1) l t sin n l x 2a)ut = a2 uxx u(0, x) = u0; u(t, 0) = 0, ux(t, l) = 0 u(t, x) = 4u0 n=0 sin(2n+1 2l x) (2n + 1) exp (2n+1)a 2l 2 t , stacionární stav u 0 2b)ut = a2 uxx u(0, x) = u0; u(t, 0) = u1, u(t, l) = u2 u(t, x) = u2-u1 l x + u1 + 2 n=1 u0 - u1 + (-1)n+1 (u0 - u2)) sin(n l x n exp an l 2 t , stacionární stav u(x) = u1 + u2-u1 l x 2c)ut = a2 uxx u(0, x) = u0; ux(t, 0) = hu(t, 0), ux(t, l) = -hu(t, l) u(x, t) = 2u0 n=1 exp(-a2 nt) nl + h2l + 2h sin( n l) - h n cos( n l) - 1 n cos( n x) + h sin( n x) , kde 1, 2 . . . jsou kladné kořeny rovnice h - h = 2 cotg( l) 3)ut = a2 u u(0, x, y, z) = f x2 + y2 + z2 u(t, x, y, z) = 0 pro x2 + y2 + z2 = R2 u(t, x, y, z) = 2 R x2+y2+z2 n=1 exp - na R 2 t sin n x2+y2+z2 R R 0 f() sin(n R )d 4) u(x, y) = B sh (b-y) a sin x a sh b a + 8Ab2 3 n=0 sh (2n+1)(a-x) b sin (2n+1)y b (2n + 1)3 sh (2n+1)a b 5) u(x, y) = x(a - x) - 8a2 3 n=0 ch 2n+1 a y sin 2n+1 a x (2n + 1)3 ch 2n+1 2a b 78 Kapitola 7 Metody řešení eliptické rovnice 7.1 Integrace per partes a Greenovy vzorce Buď R2 oblast s dostatečně hladkou hranicí , = (1, 2) = (1(x, y), 2(x, y)) jednotkový vektor vnější normály k , f : R diferencovatelná funkce. Integrací podle jedné proměnné ověříme, že platí f x dxdy = f1 dS , f y dxdy = f2 dS . Položíme-li f = uv, kde u, v jsou diferencovatelné funkce na , dostaneme vzorce pro integraci per partes u dvojných integrálů: u v x dxdy = uv1 dS - v u x dxdy , u v y dxdy = uv2 dS - v u y dxdy . Odtud plyne u 2 v x2 dxdy = u v x 1dS - u x v x dxdy , u 2 v y2 dxdy = u v y 2dS - u y v y dxdy . Sečtením těchto rovnic dostaneme uv dxdy = u v x 1 + v y 2 dS - u x v x + u y v y dxdy . Výraz v x 1 + v y 2 je derivace funkce v ve směru jednotkového vektoru vnější normály. Označíme ho v a dostaneme první Greenův vzorec uv dxdy = u v dS - u x v x + u y v y dxdy . Analogicky odvodíme vu dxdy = v u dS - u x v x + u y v y dxdy . Odečtením prvních Greenových vzorců dostaneme druhý Greenův vzorec (uv - vu) dxdy = u v - v u dS . Analogické vzorce platí i pro funkce více proměnných: Nechť Rn je oblast s dostatečně hladkou hranicí , u, v diferencovatelné funkce na a = (1, 2, . . . , n) jednotkový vektor vnější normály k . Pak platí 79 ˇ Integrace per partes u v xi dV = uv i dS - v u xi dV , i = 1, 2, . . . , n . ˇ První Greenův vzorec uv dV = u v dS - n i=1 u xi v xi dV = u v dS - u v dV . ˇ Druhý Greenův vzorec (uv - vu) dV = u v - v u dS . 7.2 Jednoznačnost řešení Dirichletovy a Neumannovy úlohy pro Po- issonovu rovnici Buď Rn oblast s dostatečně hladkou hranicí . Uvažujme Poissonovu rovnici u(x) = f(x), x (7.1) s Dirichletovou u(x) = g0(x), x (7.2) nebo Neumannovou u(x) = g1(x), x (7.3) okrajovou podmínkou. Nechť funkce u1, u2 současně splňují rovnici (7.1) s některou z podmínek (7.2) nebo (7.3). Položme u = u1 - u2. Pro x platí u(x) = u1(x) - u2(x) = f(x) - f(x) = 0, tedy funkce u splňuje na Laplaceovu rovnici. Pro x platí u(x) = u1(x) - u2(x) = g0(x) - g0(x) = 0, nebo u(x) = u1(x) - u2(x) = g1(x) - g1(x) = 0, zejména tedy u(x) u(x) = 0 na . S využitím prvního Greenova vzorce dostaneme 0 = u u dS = uudV + u udV = 0 + |u| 2 dV. Odtud plyne, že u(x) = 0 pro x a tedy, že u(x) = const. To dále znamená, že u1(x) - u2(x) = const pro x , neboť řešení každé z úloh (7.1), (7.2) a (7.1), (7.3) je spojité na . V případě Dirichletovy podmínky je const = 0, neboť u1(x) - u2(x) = 0 pro x . Platí tedy: Všechna řešení úlohy (7.1), (7.2) jsou shodná, tj. úloha (7.1), (7.2) má nejvýše jedno řešení; všechna řešení úlohy (7.1), (7.3) se liší o aditivní konstantu. 7.3 Laplaceova rovnice a harmonické funkce Buď Rn oblast (otevřená souvislá množina). Řekneme, že funkce u definovaná na je harmonická, má-li spojité parciální derivace druhého řádu, na splňuje Laplaceovu rovnici u = 0 = 2 x2 1 + 2 x2 2 + + 2 x2 n a je-li neohraničená, platí navíc lim sup x,|x| |x|n-2 u(x) < . (|x| = x2 1 + x2 2 + + x2 n je euklidovská vzdálenost bodu x = (x1, x2, . . . , xn) od počátku (0, 0, . . ., 0).) 80 7.3.1 Laplaceův operátor v křivočarém souřadném systému Souřadnice x1, x2, . . . , xn transformujeme na souřadnice q1, q2, . . . , qn. Pak je xi = xi(q1, q2, . . . , qn) , qi = qi(x1, x2, . . . , xn) , u xi = n j=1 u qj qj xi , 2 u x2 i = n j=1 xi u qj qj xi = n j=1 qj xi n k=1 2 u qjqk qk xi + u qj 2 qj x2 i = = n j=1 n k=1 2 u qjqk qj xi qk xi + n j=1 u qj 2 qj x2 i pro i = 1, 2, . . . , n. Tedy q1,q2,...,qn u = n i,j,k=1 2 u qjqk qj xi qk xi + n i,j=1 u qj 2 qj x2 i . Speciální případy: ˇ Polární souřadnice v rovině x = r cos , y = r sin , r = x2 + y2, = arctg y x + 2 (1 - sgn x) + 2k r, u = 1 r r r u r + 1 r2 2 u 2 ˇ Cylindrické souřadnice v trojrozměrném prostoru x = r cos , y = r sin , z = z, r = x2 + y2, = arctg y x + 2 (1 - sgn x) + 2k, z = z r,,z u = 1 r r r u r + 1 r2 2 u 2 + 2 u z2 ˇ Sférické souřadnice v trojrozměrném prostoru x = r cos cos , y = r sin cos , z = r sin , r = x2 + y2 + z2, = arctg y x + 2 (1 - sgn x) + 2k, = arcsin z x2 + y2 + z2 r,, u = 1 r2 r r2 u r + 1 r2 cos2 2 u 2 + 1 r2 cos cos u 7.3.2 Jednoduché harmonické funkce v rovině Rovnice uxx + uyy = 0 má v polárních souřadnicích x = r cos , y = r sin tvar urr + 1 r2 u + 1 r ur = 0 . Snadno ověříme, že funkce u(r, ) = rk cos k a v(r, ) = rk sin k , k = 0, 1, 2, . . . jsou řešením poslední rovnice. Vyjádříme tyto funkce v kartézských souřadnicích 81 u(r, ) 1 r cos r sin r2 cos 2 r2 sin 2 r3 cos 3 r3 sin 3 . . . u(x, y) 1 x y x2 - y2 2xy x3 - 3xy2 3x2 y - y3 . . . Získáme polynomy stupně k, které nazýváme jednoduché harmonické funkce stupně k. Nechť je ohraničená oblast, jejíž hranice je jednoduchá uzavřená křivka implicitně daná rovnicí P(x, y) = 0, kde P je polynom stupně nejvýše k. Řešení rovnice uxx(x, y) + uyy(x, y) = 0 , (x, y) s některou z okrajových podmínek u(x, y) = g1(x, y) , (x, y) , u (x, y) = g2(x, y) , (x, y) , u (x, y) = h(g3(x, y) - u(x, y)) , (x, y) , g1 je polynom stupně nejvýše k; g2, g3 jsou polynomy stupně nejvýše k - 1 a značí derivaci ve směru vnější normály, lze v tomto případě hledat ve tvaru lineární kombinace jednoduchých harmonických funkcí stupně nejvýše k. 7.3.3 Kruhová a kulová inverse Kruhová inverse vzhledem ke kružnici x2 + y2 = a2 , v polárních souřadnicích r = a, je zobrazení : R2 R2 dané předpisem (x, y) xa2 x2 + y2 , ya2 x2 + y2 = a2 |(x, y)|2 (x, y) , v polárních souřadnicích (r, ) a2 r , . Kruhová inverse je prosté a vzájemně jednoznačné zobrazení množiny {(x, y) R2 : x2 + y2 a2 } na množinu {(x, y) R2 : 0 < x2 + y2 a2 }, body kružnice jsou pevné (samodružné) body tohoto zobrazení. Funkce u = u(r, ) je harmonická na množině {(r, ) : r < a} právě tehdy, když funkce v = v(r , ) = u a2 r , = u(r, ) je harmonická na množině {(r , ) : r > a}. D.: r = a2 r , r r = - a2 r2 = - r2 a2 , tedy vr (r , ) = vr(r , ) r r = - r2 a2 ur(r, ) , vrr (r , ) = r vr (r , ) r r = r - r2 a2 ur(r, ) - r2 a2 = = r2 a4 2rur(r, ) + r2 urr (r, ) = 2r3 a4 ur(r, ) + r4 a4 urr(r, ) , r, v(r , ) = vrr (r , ) + 1 r2 v(r , ) + 1 r vr (r , ) = = 2r3 a4 ur(r, ) + r4 a4 urr(r, ) + r2 a4 u(r, ) - r3 a4 ur(r, ) = = r4 a4 urr(r, ) + 1 r ur(r, ) + u(r, ) = r4 a4 r, u(r, ) . 82 Tato vlastnost umožňuje převádět řešení úlohy u(x, y) = 0 , x2 + y2 < a2 na řešení úlohy u(x, y) = 0 , x2 + y2 > a2 . Kruhová inverse jednoduchých harmonických funkcí: 1, 1 r cos , 1 r sin , 1 r2 cos 2, 1 r2 sin 2, . . . . Kulová inverse vzhledem ke sféře x2 + y2 + z2 = a2 , ve sférických souřadnicích r = a, je zobrazení dané předpisem (x, y, z) a2 |(x, y, z)|2 (x, y, z) , ve sférických souřadnicích (r, , ) a2 r , , . Kulová inverse je prosté a vzájemně jednoznačné zobrazení množiny {(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 a2 } na množinu {(x, y, z) R3 : 0 < x2 + y2 + z2 a2 }, body sféry jsou pevné body tohoto zobrazení. Funkce u = u(r, , ) je harmonická právě tehdy, když funkce v = v(r , , ) = a2 r u a2 r , , = ru(r, , ) je harmonická. D.: r = a2 r , r r = - r2 a2 . Tedy 1 r2 r r2 v r = r2 a4 r a4 r2 ru r r r r r = r2 a4 r -a2 u + r u r - r2 a2 = = r4 a4 u r + u r + r 2 u r2 = r3 a4 2r u r + r2 2 u r2 = = r3 a4 r r2 u r = r5 a4 1 r2 r r2 u r , 1 r2 cos2 2 v 2 = r2 a4 1 cos2 2 ru 2 = r3 a4 1 cos2 2 u 2 = r5 a4 1 r2 cos2 2 u 2 , 1 r2 cos cos v = r2 a4 1 cos cos ru = r5 a4 1 r2 cos cos u , odtud r,, v = r5 a4 r,, u . Transformace v(r , , ) = ru(r, , ) , kde r = 1 r se nazývá Kelvinova. 83 7.3.4 Fundamentální harmonické funkce Hledáme symetrické řešení rovnice u(x) = 0 , x Rn \ {0} . Provedeme transformaci do sférických souřadnic x1 = r cos 1 . . . cos n-3 cos n-2 cos n-1 x2 = r cos 1 . . . cos n-3 cos n-2 sin n-1 x3 = r cos 1 . . . cos n-3 sin n-2 ... xn-1 = r cos 1 sin 2 xn = r sin 1 . Poněvadž funkce u má být symetrická, t.j. její hodnota závisí pouze na vzdálenosti argumentu od počátku, je u = u(r) a u i = 0, i = 1, 2, . . ., n - 1. Tedy u = n i=1 2 u x2 i = n i=1 xi u r r xi + n-1 j=1 u j j xi = n i=1 xi u r r xi = n i=1 r u r r xi r xi = = n i=1 2 u r2 r xi 2 + u r 2 r x2 i = 2 u r2 n i=1 r xi 2 + u r n i=1 2 r x2 i . Poněvadž r = x2 1 + x2 2 + + x2 n, platí r xi = xi x2 1 + x2 2 + + x2 n = xi r , tedy r xi 2 = x2 i r2 , 2 r x2 i = x2 1 + x2 2 + + x2 n - x2 i x2 1 + x2 2 + + x2 n x2 1 + x2 2 + + x2 n = r2 - x2 i r3 . Tedy n i=1 r xi 2 = n i=1 x2 i r2 = r2 r2 = 1 , n i=1 2 r x2 i = n i=1 1 r - x2 i r3 = n r - r2 r3 = n - 1 r . Celkem máme u = urr + n - 1 r ur = 0 . Řešení této rovnice je u(r) = C1 ln r + C2, n = 2 C1 rn-2 + C2, n 3 . Aby lim r rn-2 u(r) < , musí být C1 < 0 v případě n = 2. Volíme C2 = 0 a C1 = -1, n = 2 1, n 3 . Definice: Funkci v(x0, ) definovanou na Rn \ {x0} vztahem v(x0, x) = ln 1 |x0 - x| , n = 2 1 |x0 - x|n-2 , n 3 84 nazýváme fundamentální (elementární) harmonickou funkcí se singularitou v bodě x0. Speciální případy: v(x0, y0, x, y) = ln 1 (x0 - x)2 + (y0 - y)2 , v(x0, y0, z0, x, y, z) = 1 (x0 - x)2 + (y0 - y)2 + (z0 - z)2 . Z úvahy provedené před definicí plyne, že fundamentální harmonická funkce se singularitou v bodě x0 je harmonickou funkcí na oblasti Rn \ {x0}. Dále je zřejmé, že v(x0, x) = v(x, x0) a pro každé x = (x1, x2, . . . , xn) = x0 = (x01, x02, . . . , x0n) platí x1,x2,...,xn v(x0, x) = x01,x02,...,x0n v(x0, x) . (7.4) 7.3.5 Integrální representace dvakrát diferencovatelné funkce Buď Rn ohraničená oblast s dostatečně hladkou hranicí , u funkce definovaná na , která má na spojité parciální derivace druhého řádu. Pak pro každé x platí u(x) = 1 cn v(x, ) u - u v(x, ) dS - 1 cn v(x, )u dV , kde v(x, ) je fundamentální harmonická funkce se singularitou v x, je derivace ve směru jednotkového vektoru vnější normály = (1, 2, . . . , n), tj. = a cn = 2, n = 2 (n - 2)n, n 3 , kde n je (n-1)-rozměrná míra jednotkové sféry v Rn , 2k+1 = 2k+1 k (2k - 1)!! , 2k = 2k (k - 1)! . (Zejména c3 = 4.) Nevlastní integrál na pravé straně rovnosti definujeme vztahem v(x, )u dV = lim 0+ \K x v(x, )u dV , kde K x je koule se středem x a poloměrem . D.: Důkaz provedeme pro n 3, x = (x1, x2, . . . , xn). Označme Ka x, resp. Sa x kouli, resp. sféru se středem x a poloměrem a. Buďte x a > 0 takové, že K x . Podle druhého Greenova vzorce platí \K x (uv(x, ) - v(x, )u) dV = = u v(x, ) - v(x, ) u dS - S x u v(x, ) - v(x, ) u dS , Poněvadž funkce v(x, ) je na \ K x harmonická, je - \K x v(x, )u dV = u v(x, ) - v(x, ) u dS + S x v(x, ) u - u v(x, ) dS . 85 Normálový vektor k S x v bodě y má složky i = 1 (yi - xi), i = 1, 2, . . . , n. Pro x S x je v(x, x) xi = n - 2 n (xi - yi) , takže pro x S x je v(x, y) = - n - 2 n+1 n i=1 (xi - yi)2 = - n - 2 n-1 . Dále podle věty o střední hodnotě integrálního počtu existuje S x, že S x u v(x, ) dS = u() S x v(x, ) dS = -u() S x n - 2 n-1 dS = -u() n - 2 n-1 nn-1 = = -(n - 2)nu() , takže lim 0 S x u v(x, ) dS = -(n - 2)nu(x) . Poněvadž u je spojitá na S x, existuje podle 1. Weierstrassovy věty K R takové, že u K pro každý bod na S x. Tedy S x v(x, ) u dS K S x 1 |x - y|n-2 dSy = K n-2 nn-1 = Kn , takže lim 0 S x v(x, ) u dS = 0 . Důsledky: 1. Je-li funkce u navíc harmonická na , platí pro každé x u(x) = 1 cn v(x, ) u - u v(x, ) dS . (7.5) 2. Pro každou nekonečněkrát diferencovatelnou funkci s kompaktním nosičem (sr. 3.1.1) platí Rn v(x, )dV = -cn(x) , neboli yv(x, y) = -cn(y - x) , (7.6) kde je Diracova distribuce. D.: yv(x, y) je distribuce, která splňuje yv(x, y) (y) = v(x, y) (y) 86 pro každou nekonečněkrát diferencovatelnou funkci s kompaktním nosičem (sr. 3.1.6). Buď Rn taková oblast s hladkou hranicí, že Supp . Pak pro y je (y) = 0 = (y) a tedy s využitím předchozí věty dostaneme yv(x, y) (y) = v(x, y) (y) = Rn v(x, )dV = v(x, )dV = = -cn (x) - 1 cn v(x, ) - v(x, ) dS = -cn(x) . 7.3.6 Vlastnosti harmonických funkcí Buď Rn ohraničená oblast s dostatečně hladkou hranicí , u harmonická funkce se spojitými druhými parciálními derivacemi na . Pak platí 1. u dS = 0 . D.: Ve druhém Greenově vzorci stačí položit v 1. 2. Věta o střední hodnotě Buď x , Sa x sféra se středem x a poloměrem a taková, že Sa x . Pak u(x) = 1 2a Sa x u dS , pro n = 2 , u(x) = 1 4a2 Sa x u dS , pro n = 3 , u(x) = 1 nan-1 Sa x u dS , pro n > 3 , kde n je číslo zavedené v 7.3.5. D.: Důkaz provedeme pro n 3, x = (x1, x2, . . . , xn). Je i = 1 a (yi - xi). Pro y Sa x platí v(x, y) = 1 |x - y|n-2 = 1 an-2 , takže podle 1. je Sa x v(x, ) u dS = 1 an-1 Sa x u dS = 0 . Dále pro y Sa x je v(x, y) = n i=1 v(x, y) yi i = 1 a n i=1 (2 - n)(yi - xi) |x - y|n (yi - xi) = 2 - n a|x - y|n-2 = 2 - n an-1 , takže Sa x u v(x, y) dS = 2 - n an-1 Sa x u dS . 87 Podle (7.5) je u(x) = 1 cn Sa x v(x, ) u - u v(x, ) dS = n - 2 cnan-1 Sa x u dS = 1 nan-1 Sa x u dS . 3. Princip maxima Je-li harmonická funkce u nekonstantní na oblasti , pak nabývá své největší a nejmenší hodnoty na hranici , tj. pro každé x platí min{u(y) : y } < u(x) < max{u(y) : y } . D.: Plyne z předchozího tvrzení. 7.4 Metoda potenciálů V celém oddílu bude v(x, ) označovat fundamentální harmonickou funkci se singularitou v x, Rn oblast s hladkou hranicí , derivaci ve směru jednotkového vektoru vnější normály k , cn číslo zavedené v 7.3.5. 7.4.1 Objemový potenciál Nechť Rn je ohraničená a f1 : R je funkce. Funkce I : Rn R definovaná pro každé x = (x1, x2, . . . , xn) Rn vztahem I(x) = 1 cn f1v(x, ) dV se nazývá objemový potenciál. ˇ Je-li funkce f1 spojitá na , pak I je harmonickou funkcí na Rn \ pro n 3. Je-li n = 2 a funkce f1 je navíc nezáporná, je I harmonickou funkcí na R2 \ . D.: Z toho, že funkce f je spojitá na kompaktní množině plyne, že následující výpočet je korektní. I(x) = 1 cn x (fv(x, )) dV = 1 cn fxv(x, )dV = 1 cn f(y)yv(x, y)dVy = 0. Předposlední rovnost plyne z (7.4), poslední z toho, že pro x je v(x, y) harmonická v každém y . Dále pro n 3 platí lim |x| |x|n-2 I(x) = 1 cn f lim |x| |x|n-2 v(x, )dV = 1 cn fdV < . Je-li n = 2 a f1 0 na , pak lim |x| I(x) = 1 2 f1 lim |x| v(x, )dV = -. ˇ Má-li funkce f1 spojité parciální derivace prvního řádu na a je spojitá na , pak I má spojité parciální derivace druhého řádu na a platí I = -f1 . 88 D.: Pro x dostaneme s využitím (7.4) a (7.6) I (x) = 1 cn x (fv(x, )) dV = 1 cn fxv(x, )dV = 1 cn fxv(, x)dV = = 1 cn f(y)xv(y, x)dVy = - 1 cn f(y)cn(y - x)dVy = -f(x). 7.4.2 Řešení Dirichletovy úlohy pro Poissonovu rovnici u(x) = f(x) , x , u(x) = g(x) , x , kde je ohraničená oblast s dostatečně hladkou hranicí. Řešení hledáme ve tvaru u(x) = w(x) - (x), kde (x) = (x1, . . . , xn) = 1 cn f(1, . . . , n)v(x1, . . . , xn, 1, . . . , n) d1 dn a w je řešením Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici w(x) = 0 , x , w(x) = g(x) + (x) , x . 7.4.3 Plošné potenciály Buďte f2, f3 : R funkce takové, že v případě neohraničenosti platí lim x,|x| |x|n-2 f2(x) = 0 , lim x,|x| |x|n-2 f3(x) = 0 . Funkce II : Rn R definovaná pro každé x = (x1, . . . , xn) Rn vztahem II(x) = 1 cn f2v(x, ) dS se nazývá potenciál jednoduché vrstvy. Funkce III : Rn R definovaná pro každé x = (x1, . . . , xn) Rn vztahem III(x) = 1 cn f3 v(x, ) dS se nazývá potenciál dvojvrstvy. ˇ Jsou-li funkce f2, f3 spojité na , pak funkce II a III jsou harmonické na Rn \ . D.: Důkaz je analogií důkazu analogického tvrzení pro objemový potenciál. Každý z integrálů II, III určuje vlastně dvě funkce. Jednu funkci harmonickou na a druhou harmo- nickou na Rn \ . ˇ Buď x0 a funkce definovaná v okolí bodu x0. Označme [(x0)]I = lim xx0 (x) , [(x0)]E = lim Rn\xx0 (x) , 89 za předpokladu, že tyto limity existují. Pro každý bod x platí II(x) I = II(x) - 1 2 f2(x) , II(x) E = II(x) + 1 2 f2(x) , (7.7) [III (x)]I = III(x) - 1 2 f3(x) , [III(x)]E = III(x) + 1 2 f3(x) . (7.8) D.: A. N. Tichonov, A.A. Samarskij: Rovnice matematické fysiky, Praha 1955, str. 395­402. Derivace potenciálu jednoduché vrstvy ve směru vnější normály má tedy na nespojitost prvního druhu se skokem velikosti II(x) E - II(x) I = f2(x) , potenciál dvojvrstvy má na nespojitost prvního druhu se skokem velikosti [III(x)]E - [III (x)]I = f3(x) . Podle 7.3.5 lze každou dvakrát spojitě diferencovatelnou funkci u vyjádřit jako součet potenciálu objemového, jednoduché vrstvy a dvojvrstvy, přičemž f1 = -u , f2 = u , f3 = -u . Proto se 7.3.5 někdy nazývá věta o třech potenciálech. 7.4.4 Řešení okrajových úloh pro Laplaceovu rovnici Budeme řešit některou z rovnic u(x) = 0 , x , (7.9) u(x) = 0 , x Rn \ , (7.10) s některou z okrajových podmínek u(x) = f(x) , x , (7.11) u(x) = f(x) , x . (7.12) Úloha (7.9), (7.11) (7.10), (7.11) (7.9), (7.12) (7.10), (7.12) se nazývá vnitřní Dirichletova úloha vnější Dirichletova úloha vnitřní Neumannova úloha vnější Neumannova úloha . Řešení Dirichletovy úlohy hledáme ve tvaru potenciálu dvojvrstvy u(x) = 1 cn v(x, ) dS , kde je zatím neurčená funkce. Pro každé x je podle (7.8) [u(x)]I + 1 2 (x) = u(x) = [u(x)]E - 1 2 (x) . Označme K(x, s) = v(x, s) (s) = n i=1 v(x, s) si i(s) . Pak u(x) = 1 cn K(x, ) dS . 90 Při řešení vnitřní úlohy musí být [u(x)]I = f(x), tedy funkce musí splňovat integrální rovnici - 1 2 (x) + 1 cn K(x, ) dS = f(x) , při řešení vnější úlohy musí být [u(x)]E = f(x), tedy funkce musí splňovat integrální rovnici 1 2 (x) + 1 cn K(x, ) dS = f(x) . Řešení Neumannovy úlohy hledáme ve tvaru potenciálu jednoduché vrstvy u(x) = 1 cn v(x, ) dS , kde je zatím neurčená funkce. Pro každé x je podle (7.7) u(x) I + 1 2 (x) = u(x) = u(x) E - 1 2 (x) . Platí u(x) = u(x) (x) = 1 cn v(x, ) (x) dS . Označme K1(x, s) = v(x, s) (x) = n i=1 v(x, s) xi i(x) . Pak u(x) = 1 cn K1(x, ) dS . Při řešení vnitřní úlohy musí být u(x) I = f(x), tedy funkce musí splňovat integrální rovnici - 1 2 (x) + 1 cn K1(x, ) dS = f(x) , při řešení vnější úlohy musí být u(x) E = f(x), tedy funkce musí splňovat integrální rovnici 1 2 (x) + 1 cn K1(x, ) dS = f(x) . Výrazy K(, ) a K1(, ) nazýváme jádro příslušné integrální rovnice. Příklad: Dirichletova úloha na polorovině u(x, y) = 0 , x R, y > 0 . u(x, 0) = f(x) , x R . V tomto případě je v(x, y, , ) = - 1 2 ln((x - )2 + (y - )2 ) , v(x, y, , ) = x - (x - )2 + (y - )2 , v(x, y, , ) = y - (x - )2 + (y - )2 , 91 (, ) = (0, -1) , pro y = 0 , K(x, y, , ) = - y (x - )2 + (y - )2 . Jádro integrání rovnice je K(x, 0, , 0) = 0, takže funkce = (x) musí splňovat rovnici - 1 2 (x) = f(x) , tedy (x) = -2f(x) a řešení dané úlohy je u(x, y) = 1 - f() y (x - )2 + y2 d . 7.5 Greenova funkce Laplaceova operátoru Buď Rn oblast s hladkou hranicí , derivace ve směru vnější normály k . Greenova funkce Laplaceova operátoru s okrajovou podmínkou u(x) + u(x) = 0 , x (7.13) je funkce G = G(x, y) definovaná na × , pro niž platí (i) G(x, ) je harmonická na \ {x}; (ii) pro každou nekonečněkrát diferencovatelnou funkci s kompaktním nosičem (sr. 3.1.1) platí Rn G(x, ) dV = (x) , neboli yG(x, y) = (y - x) , kde je Diracova distribuce; (iii) pro každé y splňuje podmínku G(x, y) (y) + G(x, y) = 0 . Lemma: Nechť Gk(x, ) je pro každé k N řešením úlohy yGk(x, y) = dk(x, y) , y , Gk(x, y) (y) + Gk(x, y) = 0 , y , kde dk(x, y) = 0, y K 1/k x k, y K 1/k x , přičemž K 1/k x = y Rn : |x - y| 1 k je koule se středem x a poloměrem 1 k , k je převrácená hodnota n-rozměrné míry této koule, tedy K 1/k x k dV = 1. Pak Greenova funkce Laplaceova operátoru s počáteční podmínkou (7.13) je G(x, ) = lim k Gk(x, ) . 92 D.: Důkaz pouze naznačíme. Nebudeme dokazovat, že všechny použité záměny limitních operací jsou korektní. (i) Existuje k0 N, že pro každé k k0 je funkce Gk(x, ) harmonická na oblasti \ y Rn : |x - y| 1 k . (ii) Platí G(x, ) = lim k Gk(x, ) , Rn G(x, ) dV = lim k Rn Gk(x, ) dV = lim k Rn dk(x, ) dV = = lim k (xk) K 1/k x k dV = lim k (xk) , kde xk K 1/k x je číslo z věty o střední hodnotě integrálního počtu. Ze spojitosti funkce plyne lim k (xk) = (x) . Odtud již plyne platnost podmínky. (iii) Je zřejmé. 7.5.1 Řešení okrajové úlohy pro Poissonovu rovnici u(x) = f(x) , x , (7.14) u(x) + u(x) = g(x) , x . (7.15) Nechť Gk jsou funkce z předchozího lemma. Podle druhého Greenova vzorce je (uGk(x, ) - Gk(x, )u) dV = u Gk(x, ) - Gk(x, ) u dS . Dále platí lim k uGk(x, ) dV = uG(x, ) dV = u(x) , lim k Gk(x, )u dV = G(x, )f dV , lim k u Gk(x, ) - Gk(x, ) u dS = u G(x, ) - G(x, ) u dS . Pro každé x tedy řešení úlohy (7.14), (7.15) splňuje rovnici u(x) = G(x, )f dV + u G(x, ) - G(x, ) u dS . Speciální případy podmínek (7.15): ˇ = 0, = 1 (Dirichletova úloha) Pro y je G(x, y) = 0 podle podmínky (iii) v definici Greenovy funkce a u(y) = g(y) podle (7.15). Tedy pro x je u(x) = fG(x, ) dV + g G(x, ) dS . 93 ˇ = 1, = 0 (Neumannova úloha) Pro y je G(x, y) (y) = 0 podle podmínky (iii) v definici Greenovy funkce a u(y) (y) = g(x) podle (7.15). Tedy pro x je u(x) = fG(x, ) dV - gG(x, ) dS . ˇ = 0 = (Newtonova úloha) Pro y je G(x, y) (y) = - G(x, y) podle podmínky (iii) v definici Greenovy funkce a u(y) (y) = 1 (g(y) - u(y)) podle (7.15), tedy u G(x, ) - G(x, ) u dS = - uG(x, ) - 1 (g - u)G(x, ) dS = = - 1 gG(x, ) dS . Pro x je tedy u(x) = fG(x, ) dV - 1 gG(x, ), dS . 7.5.2 Vyjádření Greenovy funkce Nechť h = h(y) je řešením úlohy h(y) = 0 , y , (7.16) h(y) (y) + h(y) = cn v(x, y) (y) + cn v(x, y) , y , (7.17) kde cn je číslo z 7.3.5 a v(x, ) je fundamentální harmonická funkce se singularitou v x. Potom funkce G(x, y) = - 1 cn v(x, y) + h(y) je Greenovou funkcí Laplaceova operátoru s okrajovou podmínkou (7.13). D.: Podmínky (i) a (iii) jsou zřejmé, podmínka (ii) plyne z (7.6). 7.5.3 Řešení úlohy (7.16), (7.17) ve speciálním případě Nechť oblast má vlastnost: Ke každému x existuje x Rn \ takové, že pro všechna y podíl v(x, y) v(x, y) = (x) nezávisí na y. Nechť dále = 0, = 1. V tomto případě je funkce h(y) = 1 cn (x)v(x , y) řešením úlohy (7.16), (7.17). D.: Poněvadž x = , je yh(y) = y 1 cn (x)v(x , y) = 1 cn (x)yv(x , y) = 0 pro každé y . Pro y je h(y) = 1 cn (x)v(x , y) = 1 cn v(x, y) v(x, y) v(x , y) = 1 cn v(x, y) . 94 7.5.4 Dirichletova úloha pro Poissonovu rovnici na poloprostoru Nechť = {(x1, . . . , xn-1, xn) Rn : xn > 0} je poloprostor. Pro x = (x1, . . . , xn-1, xn) položme x = (x1, . . . , xn-1, -xn) -- symetrie podle nadroviny xn = 0. Pak x Rn \ . Buď y = (y1, . . . , yn-1, 0) . Pro n = 2 je v(x, y) v(x, y) = ln |x - y| ln |x - y| = ln((x1 - y1)2 + x2 2 ln((x1 - y1)2 + (-x2)2) = 1 , pro n 3 je v(x, y) v(x, y) = |x - y|n-2 |x - y|n-2 = (x1 - y1)2 + + (xn-1 - yn-1)2 + (-xn)2 (x1 - y1)2 + + (xn-1 - yn-1)2 + x2 n (n-2)/2 = 1. Tedy 1 a Greenova funkce Laplaceova operátoru s okrajovou podmínkou u(x1, . . . , xn-1, 0) = 0 je G(x, y) = 1 cn (v(x , y) - v(x, y)) . Jednotkový vektor vnější normály k je = (0, . . . , 0, -1), takže G(x, y) = - G(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) yn . ˇ Řešení úlohy u(x, y) = f(x, y) , x R, y > 0 , u(x, 0) = g(x) , x R . Máme (x, y) = (x, -y) , cn = 2 , v(x, y, , ) = - 1 2 ln((x - )2 + (y - )2 ) , G(x, y, , ) = 1 2 - 1 2 ln((x - )2 + (-y - )2 ) + 1 2 ln((x - )2 + (y - )2 ) = = 1 4 ln (x - )2 + (y - )2 (x - )2 + (y + )2 , G(x, y, , ) = 1 4 (x - )2 + (y + )2 (x - )2 + (y - )2 -2(y - )((x - )2 + (y + )2 ) - 2(y + )((x - )2 + (y - )2 ) ((x - )2 + (y + )2)2 = = - 1 2 2y(x - )2 + 2y(y2 - 2 ) ((x - )2 + (y - )2)((x - )2 + (y + )2) = = - y (x - )2 + (y2 - 2 ) ((x - )2 + (y - )2)((x - )2 + (y + )2) , G(x, y, , 0) = - y (x - )2 + y2 ((x - )2 + y2)2 = - y 1 (x - )2 + y2 , takže řešení dané úlohy je u(x, y) = 1 4 R, >0 f(, ) ln (x - )2 + (y - )2 (x - )2 + (y + )2 dd + y - g() d (x - )2 + y2 . 95 ˇ Řešení úlohy u(x, y, z) = f(x, y, z) , x R, y R, z > 0 , u(x, y, 0) = g(x, y) , x R, y R . Máme (x, y, z) = (x, y, -z) , cn = 4 , v(x, y, z, , , ) = 1 (x - )2 + (y - )2 + (z - )2 , G(x, y, z, , , ) = 1 4 1 (x - )2 + (y - )2 + (-z - )2 - 1 (x - )2 + (y - )2 + (z - )2 , G(x, y, z, , , ) = 1 8 -2(z - ) ((x - )2 + (y - )2 + (z - )2)3/2 - 2(z + ) ((x - )2 + (y - )2 + (z + )2)3/2 = = - 1 4 z - ((x - )2 + (y - )2 + (z - )2)3/2 + z + ((x - )2 + (y - )2 + (z + )2)3/2 , G(x, y, z, , , 0) = - 1 2 z ((x - )2 + (y - )2 + z2)3/2 , takže řešení dané úlohy je u(x, y, z) = = 1 4 ZZZ R, R, >0 f(, , ) ,, 1 ((x - )2 + (y - )2 + (z + )2)1/2 - 1 ((x - )2 + (y - )2 + (z - )2)1/2 ddd + + z 2 ZZ R2 g(, ) dd ((x - )2 + (y - )2 + z2)3/2 . 7.5.5 Dirichletova úloha pro Poissonovu rovnici na kouli Nechť = KR 0 = {(x1, x2, . . . , xn) Rn : x2 1 + x2 2 + + xn < R} je otevřená koule. Pro x = (x1, x2, . . . , xn) KR 0 položme x = R2 |x|2 x -- kulová inverse. Buď y = (y1, y2, . . . , yn) SR 0 = KR 0 , tedy n i=1 y2 i = R2 . Pak je R |x| x - |x| R y 2 = n i=1 R |x| xi - |x| R yi 2 = R |x| 2 n i=1 x2 i - 2 n i=1 xiyi + |x| R 2 n i=1 y2 i = = R2 - 2 n i=1 xiyi + |x|2 = n i=1 y2 i - 2 n i=1 xiyi + n i=1 x2 i = n i=1 (yi - xi)2 = |y - x|2 , tedy R |x| x - |x| R y = |x - y| . Pro n 3 s využitím předchozího vztahu dostaneme v(x, y) v(x, y) = x - y x - y n-2 = R2 |x|2 x - y x - y n-2 = R |x| n-2 R |x| x - |x| R y x - y n-2 = R |x| n-2 , 96 takže (x) = R |x| n-2 , což znamená, že G(x, y) = 1 cn R |x| n-2 v R2 |x|2 x, y - v(x, y) (7.18) je Greenovou funkcí Laplaceova operátoru s okrajovou podmínkou u(x1, x2, . . . , xn-1, R2 - x2 1 - x2 2 - - x2 n-1) = 0 . Jednotkový vektor vnější normály k SR 0 v bodě y = (y1, y2, . . . , yn) je 1 R (y1, y2, . . . , yn). Dále v(x, y) yi = yi |x - y|2-n = (2 - n)|x - y|1-n -2(xi - yi) 2|x - y| = (n - 2)(xi - yi) |x - y|n , v(x, y) (y) = n - 2 R|x - y|n n i=1 (xi - yi)yi = n - 2 R|x - y|n n i=1 xiyi - R2 , v R2 |x|2 x, y (y) = n - 2 R R2 |x|2 x - y n n i=1 R2 |x|2 xiyi - R2 = = n - 2 Rn+1 |x|n R |x| x - |x| R y n n i=1 R2 |x|2 xiyi - R2 = |x| R n n - 2 R|x - y|n n i=1 R2 |x|2 xiyi - R2 , G(x, y) (y) = 1 cn n - 2 R|x - y|n |x|2 R2 n i=1 R2 |x|2 xiyi - R2 - n i=1 xiyi - R2 = = n - 2 cnR|x - y|n R2 - |x|2 . Poněvadž cn = (n - 2)n, kde n je (n - 1)-rozměrná míra jednotkové sféry v Rn , platí G(x, y) (y) = R2 - |x|2 nR 1 |x - y|n . Označíme-li |SR | míru sféry o poloměru R, je |SR | = nRn-1 . Řešení úlohy u(x1, x2, . . . , xn) = f(x1, x2, . . . , xn) , x2 1 + x2 2 + + x2 n < R2 , u(x1, x2, . . . , xn) = g(x1, x2, . . . , xn) , x2 1 + x2 2 + + x2 n = R2 lze tedy zapsat ve tvaru u(x) = KR 0 f()G(x, ) dV + Rn-2 R2 - |x|2 |SR| SR 0 g() dS |x - |n , kde funkce G je dána vztahem (7.18). Pro f 0 dostaneme Poissonův vzorec u(x) = Rn-2 R2 - |x|2 |SR| SR 0 g() dS |x - |n . Zejména pro n = 3 je u(x) = R2 - |x|2 4R SR (0,0,0) g() dS |x - |3 . 97 7.5.6 Greenova funkce pro kruh Funkce G(x, y) = 1 2 ln R |x| R2 |x|2 x - y - ln 1 |x - y| = 1 2 ln |x - y| R |x| x - |x| R y je Greenovou funkcí Laplaceova operátoru s okrajovou podmínkou u x, R2 - x = 0 . D.: (i) G(x, y) = 1 2 ln R |x| + v R2 |x|2 x, y - v(x, y) . Pro y KR 0 \ {x} je y ln R |x| = 0, yv(x, y) = 0. Je-li x KR 0 , pak R2 |x|2 x KR 0 , a tedy yv R2 |x|2 x, y = 0. Je-li x KR 0 , pak |x| = R a tedy G(x, y) = 1 2 ln 1 |x - y| - ln 1 |x - y| = 0. (ii) Plyne z toho, že yv(x, y) = - 1 2 (y - x). (ii) Analogicky jako v 7.5.5 lze ukázat, že pro y KR 0 je R |x| x - |x| R y = |x - y|. Tedy pro y KR 0 je G(x, y) = 1 2 ln 1 R |x| x - |x| R y - ln 1 |x - y| = 1 2 ln |x - y| |x - y| = 0 . Řešení úlohy u(x, y) = 0 , x2 + y2 < R2 , u(x, y) = g(x, y) , x2 + y2 = R2 . tedy je u(x, y) = R2 - x2 - y2 2R SR (0,0) g() dS |(x, y) - |2 , což je Poissonův vzorec (6.52). 7.6 Vlastní čísla a vlastní funkce Laplaceova operátoru Buď Rn oblast s dostatečně hladkou hranicí . Číslo R nazveme vlastním číslem a funkci v definovanou na nazveme vlastní funkcí Dirichletovy úlohy pro Laplaceův operátor, je-li v 0 a platí v(x) = - v(x) , v(x) = 0 , x , x . (7.19) Jsou-li 1 = 2 vlastní čísla a v1, v2 příslušné vlastní funkce Laplaceova operátoru, pak jsou funkce v1, v2 ortogonální na , tj. platí v1v2dV = 0 . 98 D.: Poněvadž pro x je v1(x) = 0 = v2(x), dostaneme s využitím druhého Greenova vzorce v1v2dV = 1 1 - 2 (1 - 2)v1v2dV = 1 1 - 2 (1v1v2 - v12v2)dV = = 1 1 - 2 (-v2v1 + v1v2)dV = 1 1 - 2 v1 v2 - v2 v1 dS = 0 . Platí: ˇ Všechna vlastní čísla Laplaceova operátoru jsou nenulová. Úloha v(x) = 0 , x , v(x) = 0 , x má totiž podle 7.2 jediné řešení a toto řešení je v 0. ˇ Dirichletova úloha pro Laplaceův operátor má spočetnou množinu vlastních čísel. Množina příslušných vlastních funkcí tvoří úplnou ortogonální množinu v prostoru funkcí spojitých na . Řešení úlohy u(x) = f(x), u(x) = 0, x , x (7.20) hledáme ve tvaru u(x) = n=1 cnvn(x), kde vn, n = 1, 2, . . ., jsou vlastní funkce Dirichletovy úlohy pro Laplaceův operátor. Je-li funkce f integrovatelná ve druhé mocnině (f L2 ()), pak f(x) = n=1 fnvn(x), kde fn = 1 ||vn||2 fvndV. Buďte 1, 2, . . . vlastní čísla příslušná k vlastním funkcím v1, v2, . . . . Pak je n=1 cnvn(x) = n=1 fnvn(x), n=1 cnvn(x) = n=1 fnvn(x), - n=1 cnnvn(x) = n=1 fnvn(x). Odtud cn = - fn n = - 1 n ||vn|| 2 fvndV. Řešení úlohy (7.20) tedy je u(x) = n=1 - 1 n ||vn|| 2 fvndV vn(x) = f n=1 - vn(x)vn n ||vn|| 2 dV. To znamená, že Greenova funkce Laplaceova operátoru s okrajovou podmínkou u(x) = 0, x je G(x, y) = - n=1 vn(x)vn(y) n ||vn||2 , kde 1, 2, . . . jsou vlastní čísla a v1, v2, . . . jsou vlastní funkce úlohy (7.19). 99 7.7 Cvičení Řešte úlohu 1) uxx + uyy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b u(0, y) = Ay(b - y), u(a, y) = 0, 0 y b; u(x, 0) = B sin x a , u(x, b) = 0, 0 x a 2) uxx + uyy = 0, x2 + y2 > a u(a cos , a sin ) = 2 sin2 + 3 cos2 , u je ohraničená 3) uxx + uyy = c, x2 2 + y2 2 < 1; u(x, y) = 0, x2 2 + y2 2 = 1 Výsledky: 1) u(x, y) = B sh((b-y) a ) sin(x a ) sh(b a ) + 8Ab2 3 n=0 sh((2n+1)(a-x) b ) sin((2n+1)y b ) (2n + 1)3 sh((2n+1)a b ) 2) u(x, y) = 5 2 + a2 (x2 -y2 ) (x2+y2)2 3) u(x, y) = c 2 2 2 2+2 ( x2 2 + y2 2 - 1) 100