41
Metody prostorové interpolace
1. Základní pojmy
Prostorová interpolace slouží k odhadu hodnot určitého jevu či jeho intenzity v libovolném
místě studované plochy, pro niž existují známé hodnoty tohoto jevu pouze v určitých
lokalitách (meteorologické stanice, výškově zaměřené body apod.) Metod tedy lze využít ke
konstrukci spojitých polí, k následné analýze prostorových dat ­ morfometrické a
hydrologické modelování, optimální lokalizace apod.)
Interpolace ­ skupina metod, které slouží k odhadu neznámých hodnot proměnné v jistých
bodech (neměřených) na základě hodnot proměnné v bodech měřených.
Prostorová interpolace ­ skupina metod, které slouží k vytváření spojitých povrchů (polí)
z bodových měření. Body mohou být lokalizovány v 1, 2 i 3 rozměrném prostoru. Interpolace
se může týkat nejenom bodů, ale i linií a ploch. V rámci interpolace je často řešen také
problém extrapolace ­ tedy odhad hodnot proměnné vně oblasti definované krajními body
měření. Naprostá většina interpolačních postupů je založena na principu prostorové
autokorelace ­ tedy na předpokladu, že hodnoty odhadované veličiny v lokalitách blízkých si
boudou více podobné než hodnoty v lokalitách vzdálených.
Výběr reprezentativních vzorků
Lokalizace měřených (odměrných) bodů v zájmovém území. Rozmístění (tzv. sampling) je
důležité pro výběr interpolačního algoritmu a úspěšnost vlastní interpolace.
Rozmístění
ˇ Pravidelné - může být zavádějící v případě zcela rovnoměrně rozmístěného jevu, který je
studován (stromy, ...)
ˇ Náhodné - ze statistického hlediska je korektnější. Má ale i zápory - problematická
lokalizace a zaměření jednotlivých míst než u pravidelně rozmístěných uzlů mřížky.
Náhodné a nerovnoměrné rozmístění nemusí vystihovat základní rysy v rozložení měřené
charakteristiky a může být i nákladnější.
Obr. 1 Možné způsoby rozmístění reprezentativních vzorků
42
Jistým kompromisem mezi pravidelným a náhodným rozmístěním může být rozmístění
stratifikované náhodné (stratified random). Shlukové uspořádání umožňuje studovat jev na
několika měřítkových úrovních. V řadě případů je z různých důvodů (např. ekonomických,
dostupnost, ...) prováděno měření pouze v omezené míře (profily ­ transepty). Ve velké části
interpolačních úloh je rozmístění měřených bodů předem dáno, bez možnosti ho výrazně
ovlivnit vhodnou lokalizací a výběrem (např. síť meteorologických stanic apod.)
Prezentace spojitých polí - grid, TIN, izočáry, areály
Možné datové zdroje pro interpolaci
ˇ bodová měření v terénu
ˇ digitalizované izolinie či polygony
ˇ stereopár leteckých fotografií či družicových obrazových záznamů
Předpoklady úspěšné prostorové interpolace
ˇ existence dostatečně reprezentativního vzorku měřených dat
ˇ vhodné vlastnosti měřené veličiny a typ dat (ordinální, intervalová, poměrová)
ˇ teoretické i empirické znalosti o povaze prostorové diferenciace studovaného jevu
ˇ znalost podstaty použitelných interpolačních metod
ˇ znalost způsobu výběru nejvhodnější metody
Velmi důležitou fází interpolace je provedení tzv. průzkumové (explorační) analýzy
prostorových dat (ESDA). Jejím cílem je zjistit základní informace o charakteru vstupních
dat. Jedná se např. o prověření požadavků normality, stacionarity apod. ESDA většinou
představuje analýzu rozdělení hodnot - analýzu histogramu, výpočet základní popisné
statistiky včetně momentů vyššího řádu (asymetrie a špičatosti), analýzu kvantilového grafu
(Q-Q grafu), případná transformace (log), zkoumání odlehlých hodnot a jejich případné
odstranění, analýza trendu (a jeho případné odstranění u interpolačních metod, které to
vyžadují). ESDA je nezbytným předstupněm úspěšné aplikace metod krigingu.
Běžné problémy interpolace:
ˇ vymezení studované plochy ­ přirozené a administrativní hranice
ˇ dostupnost bodů měření vně studované plochy
2. Rozdělení metod prostorové interpolace
A. Podle prostorových entit, na které jsou aplikovány:
Metody interpolace bodů, linií a ploch. Dále jsou charakterizovány především metody
prostorové interpolace bodů
B. Metody lokální a globální
Uvedené hledisko zohledňuje způsob, jakým daná metoda nakládá se vstupními daty
(měřenými vzorky). Globální interpolace ­ aplikují jednu funkci na všechny měřené body ve
studované ploše. Využívají princip průměrování, redukují vliv bodů s extrémními hodnotami.
Produkují hladké povrchy bez náhlých zlomů.
Globální metody využívají všech měřených bodů. Bývají používány k vystižení obecných
tendencí v měřených datech - trendů, jako předstupeň vlastní interpolace lokálními
interpolátory, které interpolují rezidua - zbytek po odečtení trendu. Do této skupiny lze zařadit
také klasifikační metody, které využívají všech dostupných informací k rozdělení studované
oblasti do regionů, ve kterých je potom hodnota interpolovaného jevu charakterizována
43
statistickými momenty (průměrem, rozptylem), určenými z měřených bodů v rámci každého
regionu.
V závislosti na tom, co představuje nezávisle proměnnou lze globální modely interpolace dělit
do dvou skupin. První skupinu tvoří modely, u nichž nezávisle proměnnou jsou pouze
souřadnice měřených bodů interpolovaného atributu. Tyto metody se označují jako analýza
trendu (trend surface analysis). Druhou skupinu globálních metod tvoří regresní modely.
Zkoumají vztahy mezi atributy, které jsou pro dané území známé či dají se snadno změřit a
atributem, jehož hodnoty jsou pro danou plochu interpolovány. Sestavený regresní model
může mít podobu jednoduché i vícenásobné regrese a označuje se také jako funkce transferu
(např. sestavení pole teplot na základě nadmořských výšek.
Obr. 2 Globální a lokální metody interpolace
Lokální metody interpolace aplikují stejnou interpolační funkci opakovaně na malou část
měřených dat. Tato malá část vzorků představuje okolí interpolovaného bodu. Definování
okolí bodů (velikosti, tvaru) je podstatným problémem lokálních metod. Přes definici okolí
mohou lokální metody přecházet v globální. Lokální techniky lze definovat také jako postupy,
u kterých je nutné provést více než jeden běh algoritmu se vstupními daty. Příklady lokálních
interpolací: thiessenovy polygony, klouzavé průměry, kriging. Příklady globálních
interpolací: analýza trendu, fourierovy analýzy.
44
C. Metody exaktní a aproximující
Obr. 3 Exaktní a aproximující metody interpolace
Metody exaktní interpolace ve výsledném povrchu zachovávají hodnoty v bodech měření.
Jsou vhodné v případech, kdy existuje vysoká pravděpodobnost, že měřené hodnoty jsou
správným nestranným odhadem měřené veličiny.
Aproximační metody nahrazují hodnoty v měřených bodech hodnotou vypočtenou, která se
více méně liší od hodnoty měřené a je výsledkem použitého algoritmu. Jsou vhodné
v případech, kdy existuje jistá míra nejistoty o naší schopnosti naměřit stejnou hodnotu
v případě opakovaného měření v tomtéž bodě.
Příklady exaktních interpolací: line threading, thiessenovy polygony, kriging. Příklady
aproximujících interpolací: Analýza trendu, klouzavé průměry a všechny druhy založené na
filtracích.
D. Metody spojité a zlomové (abrupt)
Kritériem dělení je spojitost interpolovaných hodnot. Spojité interpolátory produkují hladké
povrchy na rozdíl od zlomových (thiessenovy polygony, generování obalových zón ­
bufferu). I spojité metody interpolace lze omezit tzv. bariérami (srázy a zlomy při modelování
terénu, atmosférické fronty při modelování některých polí met. prvků).
E. Metody deterministické a stochastické
Deterministické metody lze využít v případech, kdy existuje dostatek informací o
prostorovém chování studovaného jevu, které dovolují ho popsat matematickou funkcí. Tyto
metody umožňují extrapolaci za hranice vymezené měřenými vzorky. Tato extrapolace je
však možná pouze za předpokladu, že máme na zřeteli fyzikální podstatu jevu (např. záporné
hodnoty atmosférických srážek apod.)
Stochastické modely ­ zahrnují koncept náhodnosti za předpokladu, že hodnoty
interpolovaného povrchu z daného měřeného vzorku jsou jen jednou z nekonečného množství
možných variant. Do skupiny těchto metod patří např. metody krigingu či analýza trendu.
45
Obr. 4 Deterministické a stochastické metody interpolace
3. Přehled interpolačních metod
Metody analogové interpolace (line threading or eye balling)
Jedná se o metody vytváření izolinií na základě spojování míst s obdobnými hodnotami jevu
založené na expertním odhadu (geolog, synoptik). Dále využívají empirie, obecné teorie a
znalosti místních zvláštností (budování expertních systémů). Základní omezení (s ohledem na
počítačové zpracování):
ˇ problém zpracování velkého množství bodů
ˇ problém subjektivního přístupu
ˇ problém časové náročnosti
Globální interpolátory využívající klasifikačních modelů a ANOVA
analýzy
Jsou založeny na podmínce stacionarity výběru. To je předpoklad, že míry úrovně a
variability výběrového souboru nezávisí na velikosti výběru a rozmístění jednotlivých
měřených bodů.
Za výše uvedeného předpokladu lze k interpolaci v rámci studovaného území využít externě
definovaných prostorových jednotek (regionů). Klasifikace homogenními polygony
předpokládá, že rozptyl hodnot interpolovaného atributu v rámci externě definovaného
regionu je menší jak mezi dvěma regiony. Tohoto přístupu se často používá při mapování půd
či landscape units, ekotopů, kde jednotlivé objekty (půdní jednotky, říční terasy, dílčí povodí,
svahy, ...) jsou vhodné pro definování jiných (interpolovaných) atributů o daném území.
ANOVAR model:
( )z x k0 = + +  
z - hodnota atributu v lokalitě x0
- celkový průměr atributu na zpracovávaném území
k - odchylka mezi  a průměrem v regionu k
 - reziduum, šum
Model předpokládá, že v rámci každého regionu (třídy) k mají hodnoty interpolovaného
atributu normální rozdělení. Průměrný atribut pro třídu k je roven:
 + k
a je určen z výběrových měření v rámci třídy k. Uvedený přístup vychází z několika
předpokladů:
ˇ kolísání hodnot z v rámci jednotlivých tříd je náhodné
ˇ měřená hodnota v rámci každé mapované třídy se vyznačuje stejně velikou náhodnou
složkou 
46
ˇ studované atributy mají normální rozdělení
ˇ veškeré prostorové změny se dějí na hranicích mezi jednotlivými třídami, změny se
dějí skokem, ne postupně
Nevýhody: hodnoty mohou v rámci jedné třídy kolísat více (měně) jak v rámci jiné třídy.
Nelze mapovat prostorové změny ve větším měřítku. Data často nemají normální rozdělení.
Potom je nutná normalizace např. pomocí transformace přirozenými logaritmy.
Globální interpolátory využívající analýzy trendu
Jestliže se určitá vlastnost v prostoru mění kontinuálně a je spojitá (teplota , nadmořská výška,
apod.), lze body z tohoto povrchu interpolovat polynomickou funkcí. Body v neměřených
lokalitách lze vypočítat z koeficientů, vypočtených na základě bodů měřených a souřadnic
bodů neměřených (interpolovaných).
Nejjednodušší způsob - mnohonásobná regrese hodnot atributu vs. geografické souřadnice.
Metodou nejmenších čtverců lze nalézt nejvhodnější koeficienty pro daný polynom n-tého
řádu. Předpokládá se normální rozdělení.
Předpokládejme měření studované veličiny v transektu (profilu). Jestliže hodnoty obecně
rostou či klesají (zanedbáme-li náhodná kolísání) - lze hodnoty interpolovat pomocí
lineárního regresního modelu:
z(x) = b0 + b1x + 
b0 a b1 - koeficienty
 - náhodný šum - nezávislý na hodnotách x s normálním rozdělením
Není-li povrch rovinou, ale složitějším tvarem - lze ho interpolovat polynomem vyššího řádu,
např. kvadrátem:
z(x) = b0 + b1x + b2x2
+ 
Zvyšováním stupně polynomu lze vystihnout složitější tvary a redukuje se náhodná složka.
Uvedené rovnice platí pro 1D, ve dvourozměrném prostoru budou v rovnici začleněny obě
souřadnice x, y:
lineární trend: z = b0 +b1x + b2y
kvadratický trend: z = b0 + b1x+ b2y + b3x2
+ b4xy + b5y2
kubický trend: z = b0+ b1x + b2y + b3x2
+ b4xy+ b5y2
+ b6x3
+ b7x2
y+ b8xy2
+ b9y3
Obr.5 Proložení polynomu 1 až 3 stupně množinou měřených bodů
47
Obr. 6 Interpolace trendové složky polynomy 1 až 5 stupně
Trendový povrch prezentovaný polynomem vyššího řádu vykazuje značné chyby na okrajích
zpracovávaného povrchu (edge effects). Mimo zpracovávané území může nabývat extrémních
či dokonce záporných hodnot interpolované vlastnosti (nemajících fyzikální význam- např.
záporná hodnota atmosférických srážek).
Jde o globální interpolátor, který zřídka prochází měřenými body a který shlazuje lokální
odchylky. Protože lokální odchylky jsou prostorově závislé, často se tohoto postupu využívá
k definování částí povrchu, které se významně odlišují od obecného trendu. Druhý častý
způsob využití je odfiltrování obecného trendu a aplikace lokálních interpolátorů na reziduální
složku prostorových změn studovaného jevu. Vypočtený trend lze testovat z hlediska jeho
významnosti.
Globální interpolátory využívající regresní analýzy
V řadě případů existuje zřejmá vazba mezi hodnotami interpolované veličiny a vybranými
jinými atributy studovaného prostoru (teplota a nadmořská výška, srážky a vzdálenost od
moře, koncentrace znečištění a vzdálenost od zdroje apod.). Lze tedy sestavit empirický
model závislosti interpolované veličiny na hodnotách jedné či několika veličin nezávislých.
Tento model má následující obecnou formu:
z(x) = b0 + b1P1 + b2P2 + 
b0 ...bn - regresní koeficienty
P1 ... Pn - nezávisle proměnné
Sestavení regresní závislosti je založeno na metodě nejmenších čtverců, výsledný model může
být lineární i nelineární a jako nezávisle proměnné lze kombinovat geografické souřadnice
s jinými atributy.
Obr. 7 Příklad sestavení regresního modelu závislosti teplotních sum na nadmořské výšce,
zápis modelu v prostředí ArcView Map Calculator a vytvořená mapa teplotních sum pro ČR
48
Metody lokální interpolace (lokální interpolátory)
Výše uvedené globální interpolátory považovaly lokální efekty za náhodný šum. Lokální
interpolátory využívají k výpočtu hledané hodnoty pouze určitého počtu měření z předem
definovaného okolí počítaného bodu. Obecný postup se sestává z následujících kroků:
1. definování velikosti a tvaru zájmového okolí
2. nalezení měřených bodů v tomto okolí
3. nalezení matematické funkce vystihující kolísání hodnot nacházejících se v okolí
daného bodu
4. výpočet hodnoty pro uzly regulérní sítě (grid)
Uvedený postup je opakován do té doby, dokud nejsou vypočteny hodnoty interpolované
veličiny pro všechny uzly (buňky) gridu. Pro každý konkrétní postup lokální interpolace jsou
důležité následující skutečnosti:
ˇ druh použité interpolační funkce
ˇ velikost, tvar a orientace okolí
ˇ počet bodů v okolí zahrnutých do výpočtu
ˇ rozložení uvažovaných bodů (regulérní či nepravidelné)
ˇ možné začlenění externí informace např. o obecném trendu
Většina lokálních interpolátorů pracuje na principu ,,filtrovacího okénka", do jisté míry
počítají průměrnou hodnotu z bodů v okolí či v definované vzdálenosti.
Metoda nejbližšího souseda (thiessenovy polygony)
Hodnoty atributů v neměřených místech jsou určeny z hodnot nejbližšího místa měřeného.
Podle schématu uvedeného na obrázku je zpracovávané území rozděleno na nepravidelné
trojúhelníky (Delaunay triangulace). Z nich jsou poté definovány tzv. thiessenovy polygony.
V závislosti na rozmístění měřených dat mohou tyto polygony být pravidelné či nepravidelné.
V GIS se často využívají jako rychlý prostředek pro vztažení bodu k určitému okolí. Celá
metoda je založena na předpokladu např., že meteorologická data z určité oblasti mohou být
určena z nejbližší meteorologické stanice. Tato metoda je nevhodná pro spojitě se měnící jevy
(srážky, teplota, ...).
Obr. 8. Konstrukce thiessenových polygonů na pravidelně rozmístěných bodech
49
Obr. 9 Příklady interpolace množiny nepravidelně rozmístěných bodů v ploše metodou
thiessenových polygonů
Lokální, exaktní metoda interpolace. Metoda původě využívaná pro plošné odhady srážek. Je
to metoda robustní, vždy produkuje stejný povrch ze stejné množiny vstupních dat. Nelze při
ní však použít externí informace o faktorech, které mohou ovlivňovat hodnoty v místech
měření. Je vhodná k vymezování teritoria (oblasti vlivu). Forma výsledného povrchu (mapy)
je determinována rozdělením původních měřených bodů. Změny v hodnotách atributů se dějí
skokem, na hranicích každého polygonu. Postup však lze použít na kvalitativní data.
Metody konstrukce sítě nepravidelných trojúhelníků (TIN)
Exaktní metoda vhodná pro nepravidelně rozmístěné body měření. Tyto body jsou spojeny
liniemi a vytváří síť nepravidelných trojúhelníků. Protože hodnoty v bodech na počátku a
konci linií jsou známy, lze použít jednoduchou lineární závislost k interpolaci bodů mezi
dvěma body na linie. TIN je metoda interpolace i způsob vizualizace spojitých povrchů. Pro
některé druhy povrchů je vhodná ­ obecně pro povrchy které se vyznačují náhlými změnami
spádu (fluviálně erodované povrchy).
Proces vytváření spojitého povrchu metodou nepravidelné trojúhelníkové sítě zahrnuje:
ˇ výběr charakteristických bodů (ne z jakékoliv množiny nepravidelně rozmístěných
bodů lze vytvořit TIN)
ˇ způsob propojení bodů do trojúhelníkové sítě
ˇ způsob modelování povrchu uvnitř trojúhelníků
Výběr bodů ­ body by především měly reprezentovat významné rysy terénu ­ zlomy,
údolnice, hřbetnice. V závislosti na komplexnosti terénu může být hustota bodů značně
proměnlivá. Algoritmy pro výběr bodů:
ˇ algoritmus Fowler and Little
ˇ VIP algoritmus
ˇ Drop heuristic algoritmus
Princip algoritmů ­ viz http://www.ncgia.ucsb.edu/giscc/units/u056/
Způsob propojení bodů do trojúhelníkové sítě se řeší metodou Delaunay triangulace: Tři
body tvoří tzv. Delaunay trojúhelník pouze v případě, pokud kružnice, která je těmto třem
bodům opsaná neobsahuje žádný další bod. Tato podmínka zaručuje, že trojúhelníky jsou
50
přibližně rovnostranné a jakýkoliv vnitřní bod trojúhelníka je co možná nejblíže jednomu
z vrcholů ­ tedy bodu měření. Delaunaly triangulace může být také vytvořena z thiessenových
polygonů (viz. výše).
Obr. 10 Podmínka tzv. Delaunay triangulace
TIN je model vhodný k následné konstrukci izolinií. Nejprve se zvolí krok, se kterým budou
izolinie interpolovány, poté jsou identifikovány všechny linie, které bude protínat izolinie
s danou hodnotou. Poté se podél všech těchto linií vypočtou souřadnice x, y bodu ,,přechodu"
izočáry. Následně se body spojí. Pro ,,hladký" průběh izolinií se body spojují nelineární
funkcí. Metody není možné použít k extrapolaci ­ výsledný povrch má plochu, která vznikne
spojením vnějších měřených bodů (,,hull").
Obr. 11 Vytvoření TIN a konstrukce izolinií
Obr. 12 Příklad povrchu vytvořeného metodou TIN
Metoda inverzní vzdálenosti
Tato metoda kombinuje ideu vzdálenosti využívanou v thiessenových polygonech a ideu
postupných změn trendových povrchů. Je založena na předpokladu, že hodnota atributu
v určitém bodě je váženým aritmetickým průměrem hodnot okolních měřených bodů. Váhy
jsou určeny pro každý bod například jako inverzní vzdálenost měřeného bodu od bodu
interpolovaného (čím bližší bod, tím má větší váhu). Nejjednodušším je lineární interpolátor.
Jde většinou o exaktní interpolátor. Forma výsledného interpolovaného povrchu závisí na
shlucích bodů a na odlehlých měřeních. Dává nejlepší výsledky při dostatečném množství
měřených bodů pravidelně rozmístěných v interpolovaném prostoru.
Obecný vzorec pro odhad hodnoty Z:
51


=
=
= n
i
i
n
i
ii
w
zw
Z
1
1^ kde váhy se nejčastěji určují ze vztahu k
d
w
1
= a nebo kd
ew -
=
hodnoty vah wi představují funkci vzdálenosti d. Hodnota exponentu k se nejčastěji volí 1 či 2
a ovlivňuje, v jakém poměru klesá hodnota váhy měřeného bodu s rostoucí vzdáleností od
bodu interpolovaného.
Obr. 13 Odhad hodnoty v bodě metodou inverzní vzdálenosti
Obr. 14 Příklad interpolace metodou inverzní vzdálenosti
Metoda IDW často produkuje povrch, který je charakteristický koncentrickými strukturami
kolem interpolovaných bodů (tzv. ,,bulls eyes"). Protože IDW je založena na lokálním
průměrování, neposkytuje odhady mimo rozsah hodnot měřených bodů. Výsledkem jsou
často nereálné tvary výsledného povrchu (viz. následující obr).
Obr. Metoda inverzní vzdálenosti efekt ,,průměrování"- potlačení lokálních extrémů
52
Modifikace metody inverzní vzdálenosti implementovaná např. v ArcGIS je založena na
následujícím modelu:
Obr. 15 Modifikace metody inverzní vzdálenosti- způsob odhadu optimální hodnoty exponentu
vah p výpočtem RMSPE. Závislost mezi hodnotou váhy () a vzdáleností bodu měřeného
bodu od bodu interpolovaného pro různé hodnoty exponentu p
Váhy () jsou v tomto případě definovány podle výše uvedeného vzorce, ve kterém exponent
p vyjadřuje jejich změnu v závislosti na vzdálenosti interpolovaného bodu od bodu měřeného.
Tuto závislost ukazuje obr. vlevo. Metoda dále umožňuje prostřednictvím minimalizace tzv.
RMSPE ­ root mean square prediction error ­nalézt optimální hodnotu p.
Způsob definování velikosti okolí ­ ve většině případů se uvažuje kruhové okolí
interpolovaného bodu a pro odhad hodnoty se berou všechny body bez ohledu na směr, ve
kterém se nachází (povrch se považuje za izotropní). Pokud však existuje reálný předpoklad,
že body v jistém směru mohou mít na interpolovanou hodnotu jinou váhu než ve směru jiném,
potom může mít okolí tvar elipsy. Je-li například takovýmto vlivem převládající směr větru,
potom okolí interpolovaného bodu je definováno jako elipsa, jejíž hlavní osa je rovnoběžná
s tímto směrem. Předpokládáme, že v tomto směru si budou hodnoty interpolované veličiny
více podobné na větší vzdálenost než ve směru kolmém.
Dále je řešena otázka počtu bodů (minimální a maximální počet bodů uvažovaných pro
výpočet nové hodnoty) a také jejich rozmístění v rámci definovaného okolí. To bývá děleno
na kvadranty či oktanty a takovém případě je min. a max. počet vztažen k těmto sektorům.
Metoda IDW je senzitivní na shluky měřených bodů a také na odlehlé hodnoty. Jistou
nevýhodou také je, že minimální a maximální hodnota interpolované veličiny se může
nacházet pouze v bodech měření (viz. dále - porovnání s metodami RBF).
Jistou modifikací výše popsané metody je tzv. Shepardova metoda. Ta navíc provádí
vyrovnání interpolovaných hodnot metodou nemenších čtverců. Výsledkem je potlačení
efektu koncentrických izolinií.
Prostorové klouzavé průměry
Za modifikaci metody inverzní vzdálenosti lze považovat metodu prostorových klouzavých
průměrů. Nová hodnota může být prostým průměrem či váženým průměrem ale též např.
modální hodnotou. Stěžejní úlohou této metody je definování velikosti, tvaru a charakteru
53
okolí. Okolí je nejčastěji navrhováno ve tvaru kruhu či pravoúhelníka. Jako váhy se nejčastěji
využívá vzdálenosti od středu definovaného okolí a váhy se mohu měnit lineárně i nelineárně.
Vzhledem k často omezenému počtu bodů měření je vedle velkosti okolí důležitá otázka také
počtu bodů v okolí (minimálního i maximálního). Borrough (1986) navrhuje použít 4 až 12
bodů s optimem 6 až 8 bodů. Větší počet bodů produkuje značně shlazený povrch, u malého
počtu bodů dominují extrémní hodnoty.
Obr. 16 Příklad interpolace metodou prostorových klouzavých průměrů
Metody je vhodné použít za těchto podmínek:
ˇ existuje nejistota s ohledem na reprodukovatelnost výsledků opakovaných měření
v daném bodě (vlastní proměnlivost pole hodnot měření)
ˇ samotná technická stránka měření je zatížena jistou chybou
ˇ je známo, že skutečné prostorové pole daného jevu vykazuje kromě obecného trendu
také lokální variabilitu.
Příkladem může být měření rychlosti větru.
Interpolace metodou lokálních polynomů
Polynom n-tého stupně je aplikován ne na celý interpolovaný povrch, ale vždy na část
povrchu definovanou jako okolí interpolovaného bodu přičemž tato okolí se překrývají. Stejně
jako v případě IDW je specifikován tvar okolí, min. a max. počet bodů v okolí resp. rozdělení
okolí na sektory. Body definovaného okolí je proložen polynom n-tého stupně a interpolovaná
hodnota je použita pro střední bod okolí. V následném kroku se okolí posouvá po
interpolované ploše stejně jako v případě klouzavých průměrů. Jedná se o aproximativní
metodu interpolace, která však více zohledňuje lokální vlivy než metoda ,,globálních"
polynomů. Obrázek ukazuje v transektu čtyři kroky postupného prokládání přímky třemi
nejbližšími body.
54
Obr. 17 Interpolace metodou lokálních polynomů
Model lokálních polynomů je optimalizován výpočtem RMSPE a může počítat s efektem
anizotropie stejně jako v případě metody inverzní vzdálenosti. Metoda je závislá na správné
volbě velikosti okolí interpolovaného bodu.
Lokální interpolátory využívající regresní analýzy
Spočívají v sestavení empirického modelu závislosti interpolované veličiny na hodnotách
jedné či několika veličin nezávislých a to pro jisté okolí interpolovaného bodu. Regresní vztah
je tedy na rozdíl od globální varianty této metody sestaven pouze pro body v předem
definovaném okolí bodu. Interpolovaná hodnota je použita pro střední bod okolí, které se
posouvá stejně jako v případě klouzavých průměrů.
Splinové funkce (piece wise polynomial function)
Splinové funkce jsou matematicky definované křivky, které po částech interpolují jednotlivé
body povrchu a to exaktně, přitom navíc zajišťují kontinuální spojení jednotlivých částí
interpolovaného povrchu. Se spliny lze modifikovat část povrchu aniž bychom museli
přepočítávat celý povrch (toto například neumožňují trendy). Pro interpolování linií se
používá tzv. kubických splinů, pro interpolování povrchů se využívá jejich 2D analogie
označované jako ,,thin plate splines"
Obr. 18 Interpolace splinovými funkcemi
Kubické spliny používané ke shlazování čar dávají v případě interpolovaných povrchů značný
počet chyb (výrazně malých či velkých hodnot), ať již v důsledku chyb měření či v důsledku
komplexnosti interpolovaného povrchu. V tomto případě se na místo přesných splinů používá
tzv. ,,thin plate splines". Ty nahrazují části povrchů interpolované přesným splinem lokálně
shlazenou průměrnou hodnotou. Povrch je interpolován tak, aby procházel co nejblíže
měřeným bodům a také aby zachoval podmínku minimální křivosti. Spliny jsou tedy
55
lokálním interpolátorem - používají v daném čase pouze několika málo bodů, na rozdíl od
trendových funkcí a povrchů interpolovaných metodou vážené inverzní vzdálenosti spliny
zachovávají řadu lokálních rysů interpolované proměnné. Spliny interpolované povrchy jsou
často značně shlazené a jsou tedy vhodné pro interpolaci jevů, které se mění spojitě (např. tak
vzduchu). Jistou nevýhodou splinových funkcí je, že produkují ,,falešná" lokální minima a
maxima.
Obr. 19 Příklad izolinií vytvořených interpolací gridových hodnot přízemního pole tlaku
vzduchu splinovými funkcemi
Následující stránka prezentuje názorně způsob interpolace metodou splinů:
http://www.math.ucla.edu/~baker/java/hoefer/Spline.htm
Metody radiálních funkcí (RBF)
V prostředí ArcGIS jsou tyto metody interpolace označovány jako ,,radial basis functions"
(RBF). Jedná se o skupinu pěti exaktních interpolátorů označovaných: thin plate splines,
spliny s tenzí, regularizované spliny, multikvadratické spliny, inverzní multikvadratické
spliny. Tyto postupy k interpolaci využívají m.j. umělých neuronových sítí za podmínky
mimimalizování křivosti povrchu (analogie ,,přetažení" gumové membrány přes body
v prostoru). Obr. XX uvádí porovnání RBF metod s metodou inverzní vzdálenosti. Jak je
z obrázku patrné, výsledkem interpolace metodou inverzní vzdálenosti nikdy nejsou body,
které by byly větší než maximální hodnota v měřeném bodě resp. menší než minimální
hodnota v měřeném bodě.
Obr. 20 Porovnání výsledků interpolace metodami splinových funkcí (RBW) a metodou
inverzní vzdálenosti (IDW).
Parametry konkrétní interpolující funkce jsou optimalizovány výpočtem RMSPE. RBF jsou
exaktní metodou a jsou vhodné pro hladké povrchy generované z velkého počtu bodů (např.
modely terénu). Naopak se nehodí pro interpolaci jevů, které se v prostoru mění skokem
56
(abrupt) a dále pro interpolaci jevů, u nichž existuje jistá míra nejistoty ohledně přesnosti
měřených bodů.
Obr. 21 Princip interpolace metodou multiquadric RBF (vysvětlivky viz text)
RBF jsou funkce které se mění se vzdáleností od interpolovaného bodu. Jsou konstruovány
pro každý měřený bod. Na obrázku jsou vykresleny různou barvou tři RBF funkce pro tři
body v prostoru. V tomto případě jsou RBF jednoduchou funkcí vzdálenosti od měřeného
bodu a mají tvar obráceného kužele. Budeme uvažovat řez v rovině os X a Z pro bod y = 5.
Předpokládejme, že budeme interpolovat bod o souřadnicích x = 7 a y = 5. Hodnotu každé
RBF v predikovaném bodě můžeme odečíst z grafu jako 1, 2, 3 . Prediktor má podobu
váženého průměru, tedy:
...332211 +++  www
Doposud nebylo využito hodnot v měřených bodech. Proto váhy w1, w2 w3 jsou nalezeny na
základě podmínky, že pokud je odhadován bod v bodě měření, je interpolován přesně. Tato
podmínka umožňuje sestavit soustavu N rovnic o N neznámých, která má jednoznačné řešení.
Všechny metody interpolace využívající RBF dávají velmi podobné výsledky. Metody mají
možnost nastavit parametr, který ovlivňuje shlazení výsledného povrchu. U všech metod RBF
platí, že čím větší hodnota vyhlazovacího parametru, tím více shlazený je povrch. Opačně je
tomu pouze pro tzv. inverzní multiquadric RBF.
Nejčastěji využívanou je multikvadriková metoda (multiquadric RBF), která vychází z řešení
následující rovnice:
22
),(),( RyxdyxB ii +=
kde Bi(x,y) ­ radiální funkce vzdálenosti di(x,y)
di(x,y) ­ relativní vzdálenost měřeného bodu v místě xi, yi od místa odhadu x, y
R2
­ vyhlazovací parametr
Pro funkce Bi(x,y) jsou během výpočtu v každém interpolovaném bodě stanovovány váhy
řešením soustavy lineárních rovnic.
Kriging
Je to lokální interpolátor, který optimalizuje výběr bodů okolí, ze kterých je odhadována nová
hodnota. K této optimalizaci se provádí tzv. strukturní analýza založená na studiu tzv.
semivariogramu a konstrukci teoretického modelu. Parametry tohoto modelu jsou použity ve
vlastním krigování. Kriging je založen na odhadu závislosti průměrné změny v hodnotách
57
studované veličiny a vzdálenosti měřených bodů. Strukturní analýze a metodě korigování je
věnována zvláštní kapitola.
Metody prostorové interpolace ploch (area based)
Mnoho jevů se vztahuje k plošným jednotkám spíše než k bodům (hustota obyvatelstva států,
kvalita pitné vody...). Metody řeší způsob, jakým lze odhadnout hodnoty jistého jevu na
základě hodnot jiného jevu vázaných na plošné jednotky. Přitom mohou nastat dvě situace:
1. plošné jednotky se shodují
2. zdrojové jednotky jsou podmnožinou (nested) jednotek výstupních
Metody lze dělit do dvou skupin:
1. metody zachovávající objem studovaného jevu (volume preserving)
2. metody nezachovávající objem studovaného jevu (non-volume preserving)
Metody nezachovávající objem studovaného jevu (non-volume preserving)
Příklad ­ mapa A vyjadřuje celkový počet obyvatel ve čtyřech administrativních jednotkách
určitého území. Mapa B potom záplavovou oblast kolem vodního toku. Cílem je zjistit, jaká je
hustota obyvatelstva uvnitř záplavové zóny.
Obr. 22 Princip metody prostorové interpolace ploch nezachovávající objem studovaného
jevu
Postup:
1) výpočet hustoty obyvatelstva pro každou plochu
2) určení centroidu každé plochy
3) interpolace hustoty obyvatelstva výše popsanými metodami
58
Metody zachovávající objem studovaného jevu (volume preserving)
Provede se překrytí cílových zón (oblastí) přes oblasti zdrojové a určí se poměrná část cílové
zóny, která spadá do zóny zdrojové. Celková hodnota atributu v cílové zóně je určena
v závislosti na plošném zastoupení zón zdrojových.
Pycnophylatic method
Jeden z hlavních problémů metody thiessenových polygonů je, že měřený prvek se považuje
za homogenní v rámci jedné třídy, veškeré prostorové změny jsou vázány na hranice.
V případě spojitých či relativně spojitých prvků jde o naprosto nevhodný způsob interpolace.
Modifikací je metoda, která v rámci každé třídy zachovává sumu studovaného prvku, avšak
dovoluje kontinuální změnu směrem k hranicím každé třídy. Metoda bere v úvahu hodnotu
atributu sousedních tříd. Nepředpokládá se existence bariér a hodnoty sousedních tříd jsou
shlazeny bez skokových změn v hodnotách daného atributu pomocí pravděpodobnostní
funkce (density function). Metoda byla použita na demografická data. Jde o neexaktní
interpolátor. Minimální i maximální hodnoty vypočtené touto metodou jsou výrazně menší
resp. větší než skutečně naměřené hodnoty.
Obr. 23 Princip metody prostorové interpolace ploch zachovávající objem studovaného jevu