Link: OLE-Object-Data

   Relativistická kvantová mechanika

   

   

   

                                            Michal Lenc













                            Poznámky k přednášce v jarním semestru 2007

   1      Obrazy. 3

   1.1       Postulát o kvantové kausalitě. 3

   1.2       Evoluční operátor  3

   1.3       Schrödingerův a Heisenbergův obraz. 4

   1.4       Interakční obraz. 5

   2      Relativita a antičástice podle Feynmana. 6

   3      Feynmanův integrál po trajektoriích. 8

   3.1       Schrödingerova rovnice. 8

   3.2       Feynmanův integrál po trajektoriích. 8

   3.3       Propagátor ve více dimenzích. 10

   4      Volná relativistická částice - parametrizace. 12

   5      Relativistická kvantová mechanika. 13

   5.1       Historický přístup. 13

   6      Diracova rovnice v elektromagnetickém poli  14

   6.1       Vlastnosti spinorů. 14

   6.2       Lorentzova transformace spinorů. 16

   6.3       Vlnová rovnice pro částice se spinem 1/2 - Diracova rovnice. 17

   6.4       Diracova rovnice v elektromagnetickém poli  18

   6.5       Heisenbergův obraz.  19

   6.6       Rovnice kontinuity.  20

   7      Rovinné vlny. 21

   8      Transformace Diracovy rovnice. 23

   8.1       Rovnice volné částice (Foldyova - Wouthuysenova transformace)  23

   8.2       Rovnice částice v elektromagnetickém poli  24

   9       Rozptyl elektronu na jádře. 27

   10        Invariantní účinný průřez. 30

   11        Spinová matice hustoty. 31

   12        Spinové středování.  34



                                         1          Obrazy

1.1         Postulát o kvantové kausalitě

   

   Postulát o kvantové kausalitě říká, že:

   (a)                Stav systému v čase  jednoznačně určuje stav systému v libovolném okamžiku
    i v okamžiku .

   (b)               Platí princip superposice: Jsou-li stavy  a   časové evoluce stavů  a  , pak
   také stav  má časovou evoluci .

   (c)                Norma stavového vektoru se běhen časové evoluce nemění.

   

1.2         Evoluční operátor

   Podle postulátu o kvantové kausalitě existuje jednoznačný vztah mezi vektory  a   a lze tedy
   definovat evoluční operátor

                                                                           (1.1)

   Ze zachování normy dostáváme

                                                 (1.2)

   a platí tak

                                                           
                                                    (1.3)

   Dále porovnáním

                                                           (1.4)

   dostáváme

                                                                                                
   (1.5)

   Evoluční operátor je unitární, neboť také

                                                             
                                                      (1.6)

   a dále máme

                                                            
                                                     (1.7)

   Pro Taylorův rozvoj  dostáváme

                                                                                                
   (1.8)

   kde  je nějaký hermiteovský operátor. Evoluční operátor splňuje rovnici

                                                                   (1.9)

1.3         Schrödingerův a Heisenbergův obraz

   

   Ve Schrödingerově obraze předpokládáme, že se v čase mění stavový vektor. Pro stavový vektor
   platí přirozeně ta samá rovnice, jako pro evoluční operátor (Schrödingerova rovnice)

                                                                                              
   (1.10)

   a pokud operátory závisí na čase, tak pouze explicitně. V Heisenbergově obraze naopak
   předpokládáme, že se stavový vektor v čase nemění. Požadavek rovnosti vyjádření střední
   hodnoty libovolné fyzikální veličiny v obou obrazech vede ke vztahu mezi operátory

                         (1.11)

   tedy

                                                                                              
   (1.12)

   Rovnici pro časovou změnu operátoru v Heisenbergově obraze získáme derivováním předchozího
   vztahu

                                                                     (1.13)

   S uvážením (1.6) máme

                                                                                           (1.14)

   

1.4         Interakční obraz

   

   Velmi důležitým pro aplikace je interakční obraz. Předpokládáme, že hamiltonián je složen ze
   dvou částí, , kde  je na čase nezávislá základní část a  je interakční část, která může
   explicitně záviset na čase. Zvolíme

                                                 (1.15)

   a dostáváme pak

                                   (1.16)

   

                         2          Relativita a antičástice podle Feynmana

   Amplituda pravděpodobnosti přechodu

                                                    (2.1)

   Předpokládáme

                                                                                              
   (2.2)

   Působení v čase  označme , působení v čase  jako  atd. Máme pak

                                       (2.3)

   Za  vezmeme rovinné vlny. S označeními

                                   (2.4)

   kde (ne nutně kladná větev odmocniny), můžeme psát

                      (2.5)

   Proč jsme vydělili člen s energií, je vidět z úpravy relativisticky invariantního výrazu

                                           (2.6)

   Označme  a  a všimněme si chování funkce

                                                                       (2.7)

   Předpokládejme  a prostorupodobný interval . Integrací přes úhlové proměnné dostaneme

                                                (2.8)

   Substituce  a označení  převedou integrál na

                  (2.9)

   kde  je Besselova funkce. Pomocí vztahu  přepíšeme (2.9) na

                                                        
                                               (2.10)

   

                           3          Feynmanův integrál po trajektoriích

3.1         Schrödingerova rovnice

   

   Odvodíme nerelativistickou Schrödingerovu rovnici pro jednorozměrný případ

                                                          (3.1)

   z výrazu pro amplitudu pravděpodobnosti přechodu z bodu x do bodu y za infinitesimálně malý
   časový interval ε

                           (3.2)

   Musí tedy platit (po substituci )

                (3.3)

   Rozvoje do prvního řádu včetně podle mocnin ε (přitom η je úměrné ε^1/2 )
   dají


   přičemž všechny funkce jsou počítány pro argument x, t. U ε^0 je identita, výraz u
   ε^1/2 je roven nule a výraz u ε je právě Schrödingerova rovnice.

3.2         Feynmanův integrál po trajektoriích

   

   Amplituda pravděpodobnosti přechodu z bodu x[a] do bodu x[b] je

                                     (3.4)

   Míra v nejjednodušším případě: rozdělíme časový interval na N stejných dílů

           (3.5)

   Při dělení je třeba opatrnosti (Wiener, Ito). Proměnná Brownova pohybu  a integrál

      (3.6)

   "Normální" chování dostaneme jenom pro . Klasické pohybové rovnice dostáváme z variačního
   principu

                                      (3.7)

   odkud pak

                                                                 (3.8)

   Pro kvantově mechanické kvasiklasické přiblížení je

                  (3.9)

   Druhou variaci můžeme upravit integrací per partes do tvaru

                                                       (3.10)

   kde skalární součin je definován jako (máme takto Hilbertův prostor!)

                                                                                                
   (3.11)

   Napišme teď v ortonormální bázi

                           (3.12)

   Potom je

                                                           (3.13)

   a pro amplitudu přechodu máme

                           (3.14)

   Jakobián J má tu důležitou vlastnost, že se nemění při volbě báze. Integrál se snadno spočte a
   je tedy

                                                 (3.15)

   Zavedeme si něco jako neporušenou úlohu („volná částice“), kde bude

        (3.16)

   pak konečný výsledek je

                (3.17)

3.3         Propagátor ve více dimenzích

   

   Variace účinku je

                                                     (3.18)

   Používáme sumační konvenci. V okolí klasické trajektorie píšeme

                                                                                 (3.19)

   kde  a

                     (3.20)

   "Rozumné variace" dovolují definovat Hilbertův prostor se skalárním součinem

                                                                                              
   (3.21)

   Druhou variaci pak píšeme jako

                                                                                              
   (3.22)

   kde

                             (3.23)

   V ortonormální bázi

                           (3.24)

   Feynmanův integrál se pak snadno spočte () jako

                                                 (3.25)

   a po zavedení „volné částice“, charakterizované

                                                   (3.26)

   dostáváme konečný výsledek

                    (3.27)

   Označme  a  zaveďme funkce (z je komplexní proměnná)

   Potom platí (Coleman, Levit a Smilansky)

                                                                             (3.28)

   Pro  Jacobiho pole. S tím pak souvisí množství dalších možných vyjádření.

   

                      4          Volná relativistická částice - parametrizace

   

   Značení intervalu () je  . Účinek pro volnou částici píšeme jako

                                             (4.1)

   Variace vzhledem k  dá

                     (4.2)

   Přejděme teď ve výrazu (4.1) k nové parametrizaci, tj. nahraďme  . Dostáváme

                                                             (4.3)

   Rozdělení na intervaly a integrace vede u propagátoru k výsledku ()

             (4.4)

   Typická situace: integruje se přes nerozlišitelné veličiny, tedy

                                                           (4.5)

   odkud

                   (4.6)

   Vzhledem k asymptotickému vyjádření

                                                   
                                                  (4.7)

   je pro výrazně časupodobné intervaly (nerelativistická teorie)

                             (4.8)

   Interakce mimo světelný kužel – nikoliv, důležité jsou komutátory resp. antikomutátory.

   

   

   

                            5          Relativistická kvantová mechanika

5.1         Historický přístup

   V nerelativistické teorii máme

                                                                                   (5.1)

   a Schrödingerovu rovnici

                                                                                            
   (5.2)

   V relativistické teorii

                                                                                         (5.3)

   Invariantní délka čtyřvektoru impulzu je

                                                                                                
   (5.4)

   Hamiltonián je tedy

                                                       
                                                      (5.5)

   a analogie ke kvantování v souřadnicové representaci

                                                           
                                                          (5.6)

   Analogie ke Schrödingerově rovnici je ovšem

                                                                     (5.7)

   

                       6          Diracova rovnice v elektromagnetickém poli

6.1         Vlastnosti spinorů

   Připomeňme Pauliho matice (pro úplnost dodejme jednotkovou matici)

                                (6.1)

   V trojrozměrném případě je operace inverse provedená dvakrát návratem k původní souřadné
   soustavě, proto u tensorových veličin je . U trojrozměrných spinorů mohou nastat (rotace o  a
    nejsou ekvivalentní) dvě možnosti

                                                                 (6.2)

   Ve čtyřrozměrném prostoru však prostorová inverse mění znaménko pouze tří ze čtyř
    časoprostorových souřadnic a nekomutuje tedy s rotacemi souřadnic, které obsahují časovou
   osu. Speciálně pro Lorentzovu transformaci platí

                                                           
                                                    (6.3)

   Při transformaci z vlastní Lorentzovy grupy transformuje se spinor jako

                                                   (6.4)

   Koeficienty α, β, γ a δ jsou funkcemi úhlů rotace čtyřrozměrné
   souřadné soustavy. Bilineární forma

                                                                   
                                                            (6.5)

   je invariantem (částice se spinem nula, složená ze dvou částic se spinem 1/2). Je užitečné
   zavést matici, která umožňuje snižovat a zvedat indexy a tak využívat součtové konvence

                         (6.6)

   Potom můžeme psát místo (6.5)

                                                          
                                                   (6.7)

   V nerelativistické teorii určuje  hustotu pravděpodobnosti, a je tedy skalární veličinou,
   proto musí být spinorová transformace (6.4) unitární (). V relativistické teorii je hustota
   pravděpodobnosti časupodobnou složkou čtyřvektoru a podmínka unitarity nevzniká. Proto musíme
   uvažovat ne jeden spinor, ale dvojici spinorů ξ a η, transformujících se podle
   komplexně sdružených representací Lorentzovy grupy, ξ podle (6.4) a η podle

                                         (6.8)

   Komponenty spinoru, který se transformuje podle komplexně sdružené representace Lorentzovy
   grupy budeme značit tečkou nad velkým písmenem. Pro zvedání a snižování indexů platí i tady
   vztah (6.6). Působení operátoru prostorové inverse můžeme nyní zapsat jako (volíme
   representaci, kde )

                                                        
                                                 (6.9)

   neboli

                                                                                           (6.10)

   Dvojice bispinorů  a  representuje mimo jiné skalární a vektorové veličiny. Pro skalární
   veličiny (skalár a pseudoskalár) je

                                                                                 (6.11)

   Pro vektorové veličiny

                                                                           (6.12)

   Vzhledem k relacím

                                          (6.13)

   odpovídá první případ čtyřrozměrnému vektoru (s trojrozměrným polárním vektorem) a druhý
   případ čtyřrozměrnému pseudovektoru (s trojrozměrným axiálním vektorem)

                                                                   (6.14)

6.2         Lorentzova transformace spinorů

   

   Vztahů mezi bispinorem ζ a čtyřvektorem  využijeme pro nalezení konkrétního tvaru
   koeficientů transformace. Označme

                           (6.15)

   Pro infinitesimální transformaci píšeme

                                                                        (6.16)

   Při infinitesimální Lorentzově transformaci máme jednak

                                                                             (6.17)

   a také

                                                                    (6.18)

   Porovnáním obou zápisů dostaneme

                                                           
                                                  (6.19)

   S využitím vztahu

                                                               
                                                      (6.20)

   můžeme psát pro konečné velikosti rychlosti

                             (6.21)

   Při infinitesimální rotaci souřadnic v geometrickém prostoru máme pak

                                                 (6.22)

   odkud

                                                          
                                                  (6.23)

   Pro konečné rotace potom

                                                         (6.24)

   

6.3         Vlnová rovnice pro částice se spinem 1/2 - Diracova rovnice

   Při známém vztahu mezi čtyřvektory a spinory můžeme operátoru čtyřimpulsu  přiřadit
   operátorový spinor  resp. . Jediné vhodné relativisticky invariantní výrazy jsou pak

                                                                                     (6.25)

   které se značením

                                                           
                                                  (6.26)

   můžeme přepsat na

                                                           (6.27)

   Zavedení bispinorů a γ matic je posledním krokem při odvození obvyklého tvaru Diracovy
   rovnice. Se značením

                                                              (6.28)

   přejde (6.27) na

                                                         
                                                (6.29)

   Zcela kompaktní zápis dostaneme po zavedení matic

                                                                                              
   (6.30)

   V souřadnicové representaci (na chvíli v SI jednotkách)

                                     (6.31)

   kde matice α a β jsou dány vztahy

                                                         (6.32)

   

6.4         Diracova rovnice v elektromagnetickém poli

   

   Se čtyřpotenciálem

                                                                                          (6.33)

   a záměnou (v komutačních relacích vystupuje zobecněný impulz) oproti volné částici

                                                               
                                                      (6.34)

   dostáváme Diracovu rovnici ve vnějším elektromagnetickém poli

                                                        
                                               (6.35)

   kde  je čtyřvektor matic, které mají ve spinorové representaci tvar (jsou možné i jiné
   representace, získané unitárními transformacemi)

                                                           (6.36)

   

   a  je čtyřkomponentový bispinor. V souřadnicové representaci je

                                                (6.37)

   

   a Diracova rovnice má tvar

                                                     (6.38)

   

   nebo po přepsání

                                                                         (6.39)

   kde jsme označili

                                                          
                                                 (6.40)

6.5         Heisenbergův obraz.

   

   Připomeňme si vztah pro časovou změnu operátoru v Heisenbergově obraze

                                                        
                                               (6.41)

   Zavedeme operátor mechanického impulzu

                                                               
                                                      (6.42)

   Výpočet komutátorů

                                                               
                                                      (6.43)

   a trochu komplikovaněji

                                            (6.44)

   S využitím vztahu

                       (6.45)

   dostaneme

                                                                          (6.46)

   Tedy

                                                                             (6.47)

   Charakter operátoru rychlosti dal vznik názvu Zitterbewegung.

6.6         Rovnice kontinuity.

   

   Diracovu rovnici

                                                                                          (6.48)

   komplexně sdružíme a s využitím vztahů , tedy

                                                        
                                               (6.49)

   napíšeme jako

                                                                                 (6.50)

   Rovnici (6.50) transponujeme na (diferenciální operátory působí doleva)

                                                                                     (6.51)

   a po zavedení Diracova sdružení  s využitím antikomutačních relací  matic máme

                                                                                     (6.52)

   S použitím symbolů  můžeme (6.48) a (6.52) zapsat jako

                                                                                 (6.53)

   Vynásobení první rovnice v (6.53) zleva  a druhé rovnice zprava dává výrazy, jejichž sečtením
   dostáváme rovnici kontinuity

                                                       
                                              (6.54)

   Časupodobná komponenta je .

   

                                      7          Rovinné vlny

   Dosadíme-li do (6.53) rovinné vlny (volba normovací konstanty  se ozřejmí později)

                         (7.1)

   dostáváme

                                                                           (7.2)

   a

                                                                     (7.3)

   podmínkou řešitelnosti je . Bispinory normujeme tak, že

                                                               (7.4)

   Násobení zleva první rovnice v (7.2)  a druhé rovnice  vede na

                           (7.5)

   Pro čtyřvektor toku pak

                                                                                 (7.6)

   Ve standardní representaci, kde píšeme

                                                                    
                                                             (7.7)

   se Diracova rovnice rozpadá na dvě vázané rovnice

                                                      
                                               (7.8)

   Máme pak

                         (7.9)

   kde  a  jsou libovolné dvoukomponentové veličiny, splňující . Pro relativisticky sdružené
   bispinory máme z (7.9)

                                                   (7.10)

                              8          Transformace Diracovy rovnice

8.1         Rovnice volné částice (Foldyova - Wouthuysenova transformace)

   Hamiltonián je

                                                           
                                                    (8.1)

   Ve standardní reprezentaci jsou matice a  dány vztahy

                                                                                     (8.2)

   Uvažujme o takové unitární (a na čase explicitně nezávislé) transformaci, která by odstranila
   operátory, které vážou velké komponenty s malými

                                                                         (8.3)

   Platí

                                 (8.4)

   Velké a malé komponenty spojuje operátor . Uhádneme tedy poměrně snadno potřebný tvar

                    (8.5)

   Pro transformovaný hamiltonián dostáváme

         (8.6)

   

   Položíme-li teď

                                                       
                                                      (8.7)

   dostáváme výsledný hamiltonián

                                                   
                                                  (8.8)

   

8.2         Rovnice částice v elektromagnetickém poli

   

   Hamiltonián v tomto případě je

                                                     (8.9)

   

   kde

                                                                                        (8.10)

   Platí

                                                                                           (8.11)

   Uvažujme opět o takové unitární (ale teď už možná na čase závislé) transformaci, která by
   odstranila liché operátory, které vážou velké komponenty s malými a ponechala jen operátory
   sudé

                                                                                            
   (8.12)

   Pro  dostáváme

                           (8.13)

   odkud pak

                                   (8.14)

   Mějme výraz (chápaný jako funkce parametru λ, který pak položíme roven jedné)

                                               (8.15)

   Derivováním (8.15) dostáváme

                                                                         (8.16)

   takže ponecháme-li v rozvoji pouze členy do třetího řádu (nebo čtvrtého, násobí-li člen 
   klidovou energii) v , dostáváme

                                     (8.17)

   

   Ponecháme-li v (8.17) jen členy nejnižšího řádu, máme

                                                                                 (8.18)

   Tento tvar vede k tomu, že zkusíme zvolit

                                                       
                                                    (8.19)

   S označením matice spinu (ta je stejná ve spinorové i standardní representaci)

                                                                   
                                                          (8.20)

   máme po delších výpočtech výsledný hamiltonián ve tvaru

                                       (8.21)

   Pro rotačně souměrné pole máme

                                                              
                                                     (8.22)

   a příslušný člen nabude tvaru

                                               (8.23)

   kterým popisujeme spin - orbitální interakci. Poslední člen se nazývá Darwinův, jeho vznik se
   dá se chápat jako rozmazání energie Coulombova působení

                         (8.24)

   Schéma nejnižších hladin je na obrázku:

                               9           Rozptyl elektronu na jádře

   Budeme počítat rozptyl elektronu na (nekonečně) těžkém jádře náboje Ze. Volba souřadné
   soustavy je velmi důležitá pro zjednodušení výpočtu. Impuls elektronu před rozptylem ať je ve
   směru osy x, impuls elektronu po rozptylu ať leží v rovině x-y (značíme )

                                                   (9.1)

   

   Čtyřvektor potenciálu je

                                                             (9.2)

   Připomeňme Diracovu rovnici

                                                                                   (9.3)

   Počáteční a koncový stav je, pokud píšeme i obvykle vynechávaný normovací faktor

                                               (9.4)

   Amplituda pravděpodobnosti přechodu je

                         (9.5)

   Pro integrály máme vyjádření

               (9.6)

   První integrál počítáme jako

                                         (9.7)

   Pro pravděpodobnost přechodu za jednotku času

                                                           (9.8)

   Jedním z vyjádření Diracovy delta funkce je

                                                          
                                                   (9.9)

   Využitím (9.9) upravíme vztah (9.8) na

                                                       (9.10)

   Hustota stavů v okolí koncového stavu (stav 2) je ()

                                                                                     (9.11)

   a tak můžeme psát (platí )

               (9.12)

   Poněvadž , máme pro hustotu toku částic výraz

                                                                  
                                                         (9.13)

   a pro diferenciální  účinný průřez pak

                                     (9.14)

   Nyní zvolme bispinory jako

               (9.15)

   Platí

                               (9.16)

   Obdobně spočteme další výrazy, takže máme

                                   (9.17)

   Pro diferenciální účinný průřez rozptylu je tedy konečný výraz

                 (9.18)

   

                                 10      Invariantní účinný průřez

   Mějme dva svazky částic, které se srážejí. Počítejme v klidové soustavě částice 2  počet
   srážek v objemu  za čas

                                                             (10.1)

   kde  je velikost rychlosti částice 1 v klidové soustavě částice 2,  a  jsou hustoty částic a
   konečně  je účinný průřez. Veličiny  a  jsou invarianty, musí tedy být invariantem také
   veličina , přičemž A musí v klidové soustavě jedné z částic přejít na . Máme

                                                                     (10.2)

   a tedy

                                                     (10.3)

   kde skalární součin označujeme jako . V klidové soustavě částice 2 je

                  (10.4)

   a dále

                                                 (10.5)

   Spojením vztahů dostáváme

                                                     (10.6)

   Účinný průřez dostaneme tedy z pravděpodobnosti přechodu za jednotku času

                                                           (10.7)

   V těžišťové soustavě je , a tedy

                                                                                         (10.8)

   

   v souladu s obvyklou definicí hustoty toku.

   

                                   11      Spinová matice hustoty

   Spinory vyhovují řešitelným (determinant je roven nule) soustavám algebraických rovnic

                                                                         (11.1)

   Normujeme je tak, aby platilo

                                                                       (11.2)

   Ve standardní representaci máme

                                 (11.3)

   Pro relativisticky sdružené výrazy pak

                                                             (11.4)

   V těchto výrazech jsou  a  libovolné normované dvoukomponentové veličiny. Uvedené volnosti
   můžeme užít pro vhodnou volbu vlnové funkce. Možnou volbou je například

                                     (11.5)

   Platí

                                               (11.6)

   Pro bispinory pak máme

                                   (11.7)

   Prvky spinové matice hustoty jsou v čistém stavu triviální výrazy

                                                        
                                               (11.8)

   Poněkud odlišně oproti běžné matici hustoty zde stopa není rovna 1

                                                             (11.9)

   Ze (11.8) je zřejmé, že matice hustoty v čistém i smíšeném stavu bude splňovat Diracovu
   rovnici

                                                                        (11.10)

   V čistém stavu spočteme střední hodnotu spinu podle vztahu

                                           (11.11)

   a odpovídající výraz pro stav částečné polarizace je pak

                                                                         (11.12)

   Polarizační vektor v klidové soustavě označme , platí tedy pro čistý stav , pro smíšený stav .
   Čtyřvektory impulsu a spinu v klidové soustavě jsou   a   a v libovolné inerciální souřadné
   soustavě tedy musí platit

                                                                           (11.13)

   Lorentzova transformace do laboratorní soustavy dává

                                                                                     (11.14)

   Matice hustoty pro nepolarizovaný svazek bude mít tvar (musí obsahovat pouze impuls jako
   jedinou charakteristiku a splňovat dané rovnice)

                                                            
                                                 (11.15)

   Pro obecný smíšený stav bude mít tvar

                                                       (11.16)

   Připomeňme si, že platí . Matice  má na čtyřvektoru  záviset lineárně. Napišme tedy .
   Konstantní matici A určíme výpočtem střední hodnoty spinu v klidové soustavě

                         (11.17)

   a musí být tedy . Protože je , antikomutuje s  a komutuje s . Výraz pro spinovou matici
   hustoty lze přepsat do konečného tvaru

                                                                                            
   (11.18)

   Vektor spinové polarizace lze naopak z matice hustoty spočítat pomocí vztahu

                                                                                                 
   (11.19)

   Obdobně by bylo možné odvodit obecný vztah pro spinovou matici hustoty positronů

                                                                                         (11.20)

   

                                    12      Spinové středování.

   Máme-li ve Feynmanově diagramu jen jednu fermionovou čáru (rozptyl na vnějším poli, Comptonův
   rozptyl, anihilace nebo kreace páru), můžeme použít následujícího způsobu spinového středování
   (středování přes počáteční spinové stavy a součtu přes koncové spinové stavy pro rozptyl,
   středování přes spinové stavy elektronu a positronu při anihilaci nebo kreaci). Maticový
   element  je ve zmíněných případech možno zapsat jako

                                                                                          (12.1)

   Potom máme

                                                                 (12.2)

   kde jsme využili vlastností  a označili . Můžeme teď psát

                                                                     (12.3)

   Takže máme

                                      (12.4)