Úvodní technické poznámky pro přednášku Kosmologie

                                         Jarní semestr 2007

                                            Michal Lenc

   

   

   

   

   

   

   1..... Konvence, STR.. 2

   2..... Kalibrační pole. 3

   3..... Tensory. 5

   4..... Metrický prostor. 7

   5..... OTR.. 9

   6..... Schwarzschildovo řešení  10

   

   

   

   

                                        1.     Konvence, STR

   Uvažujeme Minkovskiho prostoročas s metrickým tensorem

                                                          
                                                   (1.1)

   takže interval zapisujeme pomocí kontravariantního čtyřvektoru

                                                                                           (1.2)

   jako

                                                                                     (1.3)

   Sumační konvenci užíváme tak, že opakuje-li se v součinu index jednou nahoře a jednou dole,
   sčítá se pro řecké indexy od 0 do 3, pro latinské od 1 do 3. Obecně skalární součin dvou
   čtyřvektorů  pak je zapsán jako

                                                             
                                                      (1.4)

   Operaci snižování indexů vidíme na příkladu

                                                                       (1.5)

   Protože , můžeme pomocí rovnic

                                                                   
                                                            (1.6)

   definovat tensor

                                                            
                                                     (1.7)

   a operaci zvyšování indexů, opět na příkladu

                                                                                 (1.8)

   Infinitesimální interval souvisí s intervalem vlastního času vztahem

                                                                                                
   (1.9)

   pro konečný interval na trajektorii  je

                                                                                              
   (1.10)

   Pokud zvolíme za parametr vlastní čas, definujeme čtyřvektor rychlosti

                                                                                 (1.11)

   což plyne ze vztahu (1.9). Při parametrizaci souřadnicovým časem  a značení máme podle (1.10)
   známý vztah pro „dilataci času“

                                                                                            
   (1.12)

   Pro částice o hmotnosti m je čtyřvektor hybnosti

                                             (1.13)

   Pro částice s nulovou hmotností je pak čtyřvektor hybnosti

                                                                                     (1.14)

   

                                       2.     Kalibrační pole

   Mějme lagrangián

                                                                     
                                                              (2.1)

   invariantní vzhledem k jednoparametrické grupě transformací

                                                          
                                                   (2.2)

   Značení parciálních derivací bývá zkracováno jako

                                                              
                                                       (2.3)

   Zde  je zmiňovaný parametr, Q hermiteovská matice. V infinitesimálním tvaru

                                                                                     (2.4)

   Pokud ale bude  záviset na prostoročasových souřadnicích, přestane být lagrangián invariantní,
   neboť

                                                                                 (2.5)

   Zavedeme proto další pole , budeme jej nazývat kalibrační (gauge), které se transformuje jako

                                                                         (2.6)

   Zavedeme kovariantní derivaci

                                                        
                                                  (2.7)

   kde e je konstanta. Pro kovariantní derivaci platí

                                                         
                                                   (2.8)

   Lagrangeova funkce

                                                                     (2.9)

   je invariantní. Podobnost elektromagnetického a gravitačního pole jako polí kalibračních
   uvidíme v následujícím srovnání (některé veličiny popisující gravitační pole jsou definovány
   v odstavci o OTR) :

   

   Potenciál   

   Christoffelovy symboly       

   Lorentzova transformace se zachováním kalibrace

    

   Kovariantní derivace (např.)

   Transformace souřadnic

   Kovariantní derivace (např.)

   

   

   Maxwellův tensor

                                              

       Riemannův tensor

        

   První pár Maxwellových rovnic

   Bohmův – Aharonův jev

                             

   Bianchiho identita

   Paralelní přenos vektoru

   

                                           3.     Tensory

   Používáme klasickou terminologii, tj. při transformaci souřadnic

                                                                   
                                                            (3.1)

   se kontravariantní tensor (např. druhého řádu) transformuje jako

                                                                                         (3.2)

   zatímco kovariantní tensor se transformuje jako

                                                                                            
   (3.3)

   Symetrická a antisymetrická část tensoru se při transformaci nemíchá, takže je účelné zavést
   značení (opět na příkladu druhého řádu)

                                                                   (3.4)

   Skalární veličina se při transformaci souřadnic transformuje triviálním způsobem

                                                                                            
   (3.5)

   její parciální derivace pak jako

                                                                                              
   (3.6)

   tedy jako kovariantní vektor

                                                         
                                                  (3.7)

   Pro jeho diferenciál však máme

                                                     (3.8)

   Tedy nikoliv transformaci tensorové veličiny. Zavedeme diferenciál, který se jako tensorová
   veličina chovat bude, tedy

                                                            
                                                     (3.9)

   Z předchozího vztahu vidíme, že musí být

                                                             
                                                    (3.10)

   tedy

                                                                                              
   (3.11)

   Integrací vztahu (3.10) po uzavřené křivce dostáváme výraz pro rozdíl původního a paralelně
   přeneseného vektoru

                                                           
                                                  (3.12)

   Zkrácený zápis (3.11) je

                                                                         (3.13)

   Požadavek

                                                                                                 
   (3.14)

   vede k požadavku na transformační vlastnosti Christoffelových symbolů :

                                                                      (3.15)

   Je pak

                         (3.16)

   a

                                                                   (3.17)

   A skutečně pak

                                                                                           (3.18)

   Na vztah (3.9) můžeme hledět názorně takto: porovnání dvou vektorů v různých (blízkých) bodech
   můžeme provést jen tak, že jeden z nich paralelně přeneseme. Máme-li v bodě  vektor , potom je
   jeho hodnota v sousedním bodě  rovna . Při paralelním přenosu vektoru  z  do  se tento změní
   na . Rozdíl mezi oběma vektory (nachází se oba ve stejném bodě ) je .

                                      4.     Metrický prostor

   Pro prostor s metrikou zapisujeme metrický tensor jako

                                                                                              
   (4.1)

   (signatura stejná jako u Minkowskiho metriky). Požadavek, aby kovariantní derivace metrického
   tensoru byla rovna nule, tj.

                                                            
                                                     (4.2)

   vede pak k existenci metrické konexe (Christoffelova symbolu), tj. možnost vyjádřit složky
   konexe pomocí složek metrického tensoru a jejich derivací

                                                                                (4.3)

   Vzhledem k symetrii v indexech  máme 40 nezávislých složek Christoffelova symbolu. Při
   transformaci souřadnic  je

                                            (4.4)

   Invariantní objemový element je tedy

                                                         
                                                  (4.5)

   Křivost prostoročasu je plně popsána Riemannovým tensorem

                                                                     (4.6)

   Jeho vznik můžeme nahlédnout z následující úvahy. Pro paralelní přenos tensoru  máme vztah

                                                                                        (4.7)

   Představme si, že tento tensor vznikl při paralelním přenosu vektoru , tj.

                                                                                            
   (4.8)

   Máme pak

                                                            (4.9)

   Provedeme-li paralelní přenos v opačném pořadí, máme

                                                          (4.10)

   Rozdíl těchto výrazů je úměrný změně při paralelním přenosu vektoru  po uzavřené křivce (při
   výpočtu využíváme toho, že Christoffelův symbol je symetrický při záměně dolních indexů)

                                                                                       (4.11)

   Křivka je tvořena spojením bodů , tedy . Riemannův tensor má 256 komponent, ale díky symetriím
   je jen 20 nezávislých. Symetrie se nejlépe vyjeví po snížení horního indexu, tj. pro .
   S využitím (4.3) můžeme psát

                                                   (4.12)

   Tensor je antisymetrický k záměně  a  a symetrický k záměně . Dále platí

                                                                     
                                                            (4.13)

   a především Bianchiho identita

                                                                
                                                       (4.14)

   Ricciho tensor vzniká zúžením Riemannova tensoru

                                                       
                                              (4.15)

   Vzhledem ke zmíněné symetrii Riemannova tensoru je Ricciho tensor symetrický k záměně indexů a
   má tedy 10 nezávislých komponent. Posledním možným zúžením vytvoříme Ricciho skalár

                                                          
                                                 (4.16)

   Rozepíšeme Bianchiho identitu

                                                                                  (4.17)

   a provedeme zúžení nejprve v indexech μ a α

                                                                                          (4.18)

   a potom v indexech ρ a β

                                                                 (4.19)

   Při úpravách jsme využili vlastností antisymetrie v první, případně druhé dvojici indexů.
   Konečně zavedeme Einsteinův tensor

                                                           
                                                  (4.20)

   pro který podle (4.19) platí

                                                                  
                                                         (4.21)

   Při úpravách jsme využili toho, že kovariantní derivace metrického tensoru je rovna nule.

   

                                             5.     OTR

   Einsteinův tensor  je spojen s geometrickou strukturou prostoročasu. Je to symetrický tensor
   druhého řádu, jehož kovariantní derivace je rovna nule. Rozložení hmoty je obecně popsáno
   symetrickým tensorem druhého řádu  (tensorem energie – impulsu ) s nulovou kovariantní
   derivací, tj. zobecněnou rovnicí kontinuity. Pro ideální kapalinu je tvar tensoru energie –
   impulsu velmi jednoduchý:

                                                     (5.1)

   Geniální Einsteinovou myšlenkou bylo ztotožnit „geometrickou“ a „gravitační“ charakteristiku
   prostoročasu a spojit ji se zdrojem tvořeným „hmotnostní“ charakteristikou prostoročasu.
   Einsteinovy rovnice gravitačního pole jsou tedy

                                                               
                                                        (5.2)

   kde G je Newtonova gravitační konstanta. Souvislost Einsteinových rovnic s Newtonovým
   gravitačním zákonem uvidíme nejlépe na příkladu pohybové rovnice částice. Částice se pohybuje
   po geodetice - nejkratší spojnici dvou bodů (vždy, pokud nejsou body příliš vzdáleny)

                                                                                     (5.3)

   nebo užijeme-li jako parametru vlastního času τ (obecně)

                                                           
                                                    (5.4)

   Předpokládáme-li, že částice se pohybují pomalu ve slabém gravitačním poli, nebude se metrický
   tensor příliš lišit od Minkowskiho. Interval píšeme ve tvaru

                                                                           (5.5)

   Vypočteme složky konexe a dosadíme do (5.4) (pro malá rychlosti je a  )

                                                             
                                                      (5.6)

   Se stejnou přesností spočteme  a  a dosadíme do (5.2)

                                                            (5.7)

   Stopa tensorů v (5.2) dává , takže Einsteinovy rovnice můžeme psát dvěma způsoby

                                                                                                
   (5.8)

   Druhý způsob je vhodnější, pokud  (elektromagnetické pole) nebo dokonce  (vakuum). Prostoročas
   je plochý, pokud jsou všechny komponenty Riemannova tensoru nulové.

                                   6.     Schwarzschildovo řešení

   Předpokládáme-li interval ve tvaru

                                                     (6.1)

   je řešení Einsteinových rovnic ve vakuu

                                     (6.2)

   M je konstanta. Její význam vidíme srovnáním pro slabé pole, kdy (porovnáním (6.2) a (5.5))

                                                                  
                                                            (6.3)

   Schwarzschildovo řešení má dvě singularity: souřadnicovou singularitu (tj. danou pouze volbou
   souřadnic) na „Schwarzschildově poloměru“  a podstatnou singularitu . Prostoročas popsaný
   Schwarzschildovým metrickým tensorem není plochý, nenulové komponenty Riemannova tensoru jsou

                                (6.4)

   Invariant křivosti má singularitu jen pro

                                                       
                                                (6.5)

   Trajektorii částice v rovině  získáme řešením Hamiltonovy – Jacobiho rovnice

                                                       (6.6)

   Dosadíme do (6.6)

                                                           
                                                    (6.7)

   a dostáváme

                                                                   (6.8)

   Závislost  získáme derivováním vztahu  podle

                         (6.9)

    je efektivní potenciální energie.