NEEUKLIDOVSKÉ GEOMETRIE
JARO 2007
ÜVOD
První otázka zní: Co je euklidovská geometrie? Odtud pak víme, co není euklidovská
geometrie a můžeme domýšlet, co asi je neeuklidovská geometrie
Závěrem těchto úvah byla všeobecná shoda, že neeuklidovská geometrie je skoro
euklidovská geometrie, akorát je nějak modifikován požadavek rovnobežnosti. V
každém případě zůstává možnost měření vzdáleností a úhlů. Je zajímavé, že Euklidův
axiomatický systém vylučuje možnost ,,žádná rovnoběžka", viz 1.2. (Ještě
zajímavější je stopovat důvody tohoto pozorování...) Modifikací požadavku rovnobežnosti
v tomto rámci dostáváme právě Lobačevského neboli hyperbolickou geometrii,
jak je to představeno v kapitole 2. Eliptická geometrie je studována o dost
méně zevrubně v 3.
První dvě a část třetí kapitoly představují jakýsi elemantární přístup a nevyžadují
žádné speciální předběžné znalosti. Ve zbylém textu potřebujeme lineární
algebru včetně kvadratických forem...
1. ZÁKLADY EUKLIDOVSKÉ GEOMETRIE
1.1. Euklidovy základy.
-- některé definice, zejména definice pravého úhlu a rovnobežnosti:
D10 když přímka na přímce postavená tvoří vedlejší úhly sobě rovné, každý z
těchto rovných úhlů se zove pravým, ...
D23 rovnoběžky jsou přímky, které jsouce v téže rovině a do nekonečna na obě
strany prodlouženy, nesetkají se v žádném směru
-- postuláty:
(I) aby každé dva body šlo spojit přímkou,
(II) aby každou přímku šlo neomezeně prodloužit na obě strany,
(III) aby z každého bodu pro každý poloměr šla sestrojit kružnice...,
(IV) aby všechny pravé úhly byly stejné,
(V) aby když přímka protínající dvě jiné přímky tvoří vnitřní úhly na jedné pý postulát
straně menší než dva pravé, pak tyto dvě přímky jsouce prodlouženy do
nekonečna setkají se na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých.
-- axiomy vyslovené a nevyslovené...
-- standardní model euklidovského prostoru: E3
= afinní prostor R3
se standardním
skalárním součinem
1.2. Pátý postulát a jeho ekvivalentní podoby.
-- (V) je ekvivalentní s následujícím tvrzením, kterým je (V) nejčastěji nahrazován:
* každým bodem ke každé přímce jde právě jedna rovnoběžka.
Date: 16. května 2007, verze 2.0.
Warning: text se průběžně vyvíjí a upravuje, při čtení buďte obezřetní.
1
2 JARO 2007
DŮLEŽITÝ POSTŘEH: Bez (V) lze každým bodem ke každé přímce sestrojit ně- POSTŘEH
jakou rovnoběžku, viz [E, kniha I, tvr. 31]. (V) je potřeba pouze k důkazu jednoznačnosti
takové rovnoběžky!!!!
-- (V) je ekvivalentní s tvrzeními:
* součet vnitřních úhlů libovolného trojúhelníka je roven n (lépe asi dvěma
pravým), dúi
o součet vnitřních úhlů jednoho trojúhelníka je roven n,
* součet vnitřních úhlů je v každém trojúhelníku konstantní, dů2
* existují podobné a neshodné trojúhelníky,
* pro každý bod uvnitř lib. nepřímého úhlu existuje přímka, která tímto bodem
prochází a protíná obě ramena daného úhlu. dů3
Druhé tvrzení jsme nedokazovali, pouze citovali jako druhou Legendrovu větu. Při
této příležitosti jsme taky definovali defekt trojúhelníka a obecněji n-úhelníka jako de
fekt
rozdíl
(n -- 2)n -- součet vnitřních úhlů.
Jeden směr každé ekvivalence je ve všech případech buď triviální nebo je řešen
Euklidem v některém z prvních tvrzení Základů. Opačný směr většinou vyžaduje
nějaký rafinovaný nápad. Např. u předposledního tvrzení by předpoklad podobných
neshodných trojúhelníků znamenal existenci čtyřúhelníka a odtud i trojúhelníka s
nulovým defektem. Tento závěr je založen na pozorování, které jsme formulovali
jako první Legendrovu větu, a jehož důkaz nezávisí na (V):
* Součet vnitřních úhlů libovolného trojúhelníka je menší nebo roven n,
tj. defekt > 0. Poslední tvrzení ze seznamu se objevuje jako skrytý předpoklad v
Legendrově důkazu, že defekt trojúhelníka nikdy není kladný...
-- Uvažujeme-li euklidovskou geometrii formálně jako všechny důsledky nějaké sady
axiomů a hyperbolickou geometrii jako všechny důsledky stejné sady axiomů s tím,
že (V) je nahrazen jeho negací, pak dostáváme následující jednoduchý a užitečný
princip:
* Jestliže nějaké tvrzení platí v euklidovské geometrii a jeho negace platí v
hyperbolické geometrii, pak toto tvrzení je ekvivalentní s (V).
Uvědomte si, že vzhledem k důležitému postřehu na str. 2, negace (V) spolu s ostat- POZOR
nimi Euklidovými axiomy znamená: ,,existuje bod a přímka tak, že tímto bodem
jdou aspoň dvě různé přímky rovnoběžné s tou přímkou"!! Kromě již dokázaných
tvrzení, lze díky tomuto principu docela jednoduše charakterizovat další tvrzení
ekvivalentní s (V), např.:
o Pythagorova věta (viz (17), str. 7),
o existuje trojúhelník s libovolně velkým obsahem (viz 2.4, str. 6),
o každému trojúhelníku jde opsat kružnice (viz 2.2, str. 4),
o množina bodů, které leží v jedné polorovině a mají stejnou vdálenost od
dané přímky, je přímka (viz 2.2, str. 4)
o a další.
1.3. Shrnutí. Nezávisle na (V) jsou v Euklidových Základech dokázána všechna
tvrzení 1-28 v první knize a samozřejmě řada dalších. Tahle tvrzení budou platit
i v hyperbolické geometrii a patří mezi ně např.:
o T4 = věta SUS,
o T8 = věta SSS,
o T12 = sestroj kolmici k přímce z bodu, který na ní neleží,
* T16 = věta o vnějším úhlu,
o T17-20 = známé nerovnosti v trojúhelníku,
o T26 = věta USU,
NEEUKLIDOVSKÉ GEOMETRIE 3
* T27 = věta o střídavých úhlech
a zejména již zmiňované
* T31 = konstrukce rovnoběžky
Z všelijakých závislostí připomínám, že T31 záviselo zejména na T27 a T27 pouze
na T16. Toto je cesta k pochopení neexistence rovnoběžných přímek v eliptické
geometrii, doporučuji dorozmyslet podrobnosti... cvičení
Naopak, řada dalších tvrzení je přímo závislá na (V), tedy nebudou platná v
hyperbolické geometrii, např.:
* T29 = přímka protínající dvě rovnoběžné přímky ,
* T32 = vnější úhel trojúhelníka je oloven součtu protějších vnitřních a součet
vnitřních úhlů trojúhelníka je roven dvěma pravým,
o T47 = Pythagorova věta.
Dále samozřejmě nebude platit, žádné z předchozích tvrzení, u něhož jsme odhalili
ekvivalenci s (V). Takto napřed můžeme např. tvrdit, že v hyperbolické geo­
metrii:
* budou existovat přímky, které mají víc rovnoběžek,
* všechny trojúhelníky bodou mít kladný a nekonstatntní defekt,
* nebudou existovat podobné neshodné trojúhelníky (tj. jakási UUU věta)
* a pod.
2 . ZÁKLADY HYPERBOLICKÉ GEOMETRIE
2.1. Úvodní pozorování. Základní vstup do této kapitoly, tj. do studia hyperbolické
geometrie, je tvrzení, které dostáváme negací (V) spolu s ostatními Euklidovými
axiomy a jež jsme tak pečlivě diskutovali výše:
* Existuje bod a přímka tak, že tímto bodem jdou aspoň dvě různé rovnoběžky
k té přímce.
Odtud pak docela snadno odvozujeme, že:
* každým bodem ke každé přímce jdou aspoň dvě různé rovnoběžky,
* každým bodem ke každé přímce jde nekonečně moc různých rovnoběžek.
-- Připomínáme, že, podle definice, přímky jsou rovnoběžné, když leží ve společné
rovině a neprotínají se. Nyní pozorujeme, jak jsou všechny přímky procházející daným
bodem v hyperbolické rovině rozděleny na přímky různoběžné a rovnoběžné s
nějakou danou přímkou. Vidíme dvě hraniční přímky, které jsou nutně rovnoběžky
a těm budeme říkat souběžky, ostatní rovnoběžky budeme jmenovat rozběžkami. souběiky a roAěíky
Vzhledem ke vstupním objektům bychom správně měli říkat, že ,,přímka je souběžná
k přímce p z bodu B v tom/onom směru". Vzhledem k následujícím elementárním,
ale ne vždy úplně triviálním, faktům se vyjadřování poněkud usnadní:
o je-li q souběžka k přímce p z bodu B a C je lib. bod na q, pak q je taky
souběžka k přímce p z bodu C (říkáme ,,q je souběžná kp"),
o je-li q souběžná kp, pak je p souběžná ke q (říkáme ,,p a (/jsou souběžné").
Následuje očekávaná tranzitivnost souběžnosti, jak ji známe pro rovnoběžky v euklidovské
rovině. Nic podobného samozřejmě neplatí pro rozběžky!
o Jsou-li dvojice přímek p,q a q,r souběžné (v tomtéž směru!), pak i p a r
jsou souběžné.
-- Podobnými úvahami, jako před definicí souběžnosti, dostáváme:
* pro každé dvě různoběžné polopřímky (svírající ostrý úhel) existuje jediná
přímka, která je kolmá k jedné a souběžná s druhou polopřímkou, f"~*>ni
kolmice
* pro každé dvě různoběžné polopřímky existuje jediná přímka souběžná s
oběma polopřímkami.
4 JARO 2007
úhel souběžnos
cvičeni
Druhé tvrzení mimo jiné ukazuje, že nevlastní body hyperbolické roviny netvoří
přímku, jak jsme zvyklí říkat v euklidovské rovině; v dalším textu lze vystopovat,
co je to za křivku... Předchozí dvě tvrzení zřejmě platí, když nahradíme různoběžné
polopřímý soubězkami a nějakou analogii bychom snadno zformulovali i pro
rozběžky. Místo toho raději uvádíme následující charakterizaci rozběžnosti:
* přímky jsou rozběžné právě když mají společnou kolmici, tato kolmice je pak
nutně jediná.
-- Diskuze o ,,vzdálenostech" mezi dvojicemi přímek různého typu úpně přeskaku­
jeme:
o vzdálenost mezi soubězkami monotónně klesá k nule ve směru souběžnosti
a monotónně neomezeně roste proti směru souběžnosti,
o podobně pro různoběžky: vzdálenost monotónně a neomezeně roste na obě
strany od společného bodu,
o podobně pro rozběžky: vzdálenost monotónně a neomezeně roste na obě
strany od společné kolmice.
-- Na závěr jedna zásadní definice: Pro přímku a bod definujeme úhel souběžnosti
jako úhel, který svírá libovolná souběžka s kolmicí z bodu na danou přímku. Následující
fakta by se měla dokázat:
o úhel souběžnosti není konstantní a závisí pouze na vzdálenosti x bodu od
přímky, píšeme a = H(x),
o funkce II je definovaná pro x G (0, oo), všude rostoucí a lim ÍI(x) = ^ a
lim n(x) = 0.
x-->oo
Ze symetrických důvodů definujeme II(--x) = n -- ÍI(x).
-- POZNÁMKY: Funkci II budeme jmenovat funkcí Lobačevského (Lobačevský
jí říkal F). Podoba funkce II má zásadní význam pro všechny metrické vztahy v
hyperbolické geometrii, viz 2.6, představíme ji v odstavci 2.5, viz též 5.2.2.
2.2. Zobecněné svazky přímek, kružnice, sféry.
-- klasický pojem svazku přímek, zobecnění v euklidovském prostoru; zobecnění v
hyperbolickém prostoru ~-> obyčsvazek = svazek různoběžných přímek, horosvazek
= svazek souběžných přímek, hyposvazek = svazek přímek kolmých ke společné
přímce.
* Osy stran libovolného trojúhelníka patří do některého zobecněného svazku. dů5
-- pojem kružnice, alternativní definice, zobecnění ~-> obyčcykl = obyčejná kružnice, zobecnené cykiy
horocykl = mezní kružnice, hypocykl = zámezní kružnice.
Přímo z definice (a předchozího) máme:
* existují trojúhelníky, kterým nejde opsat kružnice,
* dvě zobecněné kružnice ze stejného svazku mají konstantní vzdálenost,
* každá zobecněná kružnice je kolmá ke všem přímkám odpovídajícího svazku,
Odtud zejména:
* skoro žádná zobecněná kružnice není přímka!
Jediné zobecněné kružnice, které jsou přímkami, jsou společné kolmice v hyposvazcích;
v tomto případě jsou hypocykly odpovídajího hyposvazku právě ekvidistanty
dané společné kolmice... Je-li ekvidistantou dané přímky přímka, pak platí (V),
sr. 1.2, str. 2.
-- Podobná pozorování v prostoru ~-> sféra, horosféra, hyposféra... zobecněné sféry
-- Už tady lze dokázat následující podstatná tvrzení:
* všechny horosféry jsou shodné (sféry a hyposféry nikoli),
zobecnené ;
NEEUKLIDOVSKÉ GEOMETRIE 5
* na horosféře je indukovaná euklidovská geometrie (na sféře je sférická
a na hyposféře hyperbolická geometrie).
ZÁSADNÍ POSTŘEH: Předposlední tvrzení je napsané tlustě, protože je skutečně
důležité! Tato skutečnost byla pozorována jak Lobačevským, tak Bolyaiem a euklidovská
geometrie na horosféře má zásadní význam při odvozování skoro všech
metrických závislostí v dalším textu; první ukázka viz 2.3. Tvrzení se často formuluje
jako ,,horosféra je modelem euklidovské rovinné geometrie". K důkazu potřebujeme
diskutovat zejména (V) nebo nějakou jeho ekvivalentní podobu s tím, že roli
bodů hrají body horosféry a roli přímek hrají horocykly. Uvědomíme-li si, že každý
horocykl je průnikem horosféry a roviny obsahující nevlastní střed odpovídajího
horosvazku, lze docela snadno ukázat, že ke každému horocyklu každým bodem
(na každé horosféře) vede jediná ,,rovnoběžka"... Jiný argument je představen v
2.4, str. 6.
2.3. Délka horocyklu.
-- Ozn. s' a s délky dvou různých horocyklu vymezené dvěma souběžkami odpovídajího
horosvazku a ozn. d vzdálenost těchto horocyklu. Pak
(1) ˇ s = se*
pro nějakou kladnou reálnou konstantu k.
-- První typická aplikace zásadního postřehu z minulého odstavce je následující POZOR
konstrukce, která řeší závislost délky s horocyklu na délce t odpovídající tětivy:
+ nakresli pravoúhlý trojúhelník AB^C s nevlastním vrcholem B^ a pravým
úhlem u C,
+ ozn. t = \AC\, potom ZA = U(t),
+ sestroj kolmici k k rovině ABooC z vrcholu A,
+ doplň souběžky ke A; z vrcholů B^ a C,
+ nakresli horosféru určenou tímto horosvazkem a C,
+ na ní horosférický trojúhelník A'B'C: ZC = § a LA' = ZA = II(ŕ),
+ ozn. délku horocyklu (odp. tětivě t) \A'C\ = s a délku \B'C\ = K,
+ konečně, euklidovská geometrie na horosféře dává:
(2) ˇ s = KCotn(í),
kde n je Lobačevského funkce.
-- Úplně analogicky lze odvodit vzorec závisející na délce ť odpovídající tečny:
(3) o s = Kcosn(ť).
-- POZNÁMKY: Ve vzorečku (1) se poprvé objevuje jistá neurčitá konstanta ozn.
k. Podobnou věc potkáme ještě několikrát, vždy budeme používat stejný symbol konstanta k
&'AŽv odstavci 5.2 dokážeme, že toto naše rozhodnutí je správné, tj. že se jedná
pořád o stejnou konstantu. Ve skutečnosti k představuje jakýsi ,,poloměr křivosti"
hyperbolické roviny, viz též postřeh na str. 8...
Veličina K V posledních dvou vzorcích odpovídá délce jistého speciálního horocyklu,
viz obr. Na str. 13 ukážeme, že
(4) o K = k,
takže celkem získáme jakousi názornou interpretaci charakteristické konstanty k... Díky
tomuto faktu a vztahům (11) budeme formule (2) a (3) používat ve tvaru: délka horocyklu
(5) ˇ s = fcsinh --,
k
ť
(6) ˇ s = fctanh --.
DÜ7
POSTŘEH
6 JARO 2007
2.4. Obsah mnohoúhelníka.
-- Elementárně a docela pracně lze odvodit, že pro libovolné dva trojúhelníky
(mnohoúhelníky) je poměr jejich obsahů a poměr defektů stejný, tj.
(7) o S = konst ˇ S
pro nějakou kladnou reálnou konstantu.
-- Pokud je to pravda, pak zřejmě
* neexistují trojúhelníky s libovolně velkým obsahem (sr. 1.2, str. 2)
-- S předpokladem, že obsah trojúhelníka s max. defektem, tj. se všemi vrcholy nevlastními,
je konečný (ozn. T), jsme na přednášce představili ideu Gaussova důkazu,
že dů6
(8) Š=--5.
TT
Ve skutečnosti platí T = k2
n, viz 5.2.3, str. 13, takže předchozí formuli se budeme
učit jako
(9) o S = k2
ö.
POSTŘEH: Podobný vztah platí i na sféře, viz 5.4 nebo taky postřeh na str. 8: POSTŘEH
o S = -r2
ö,
kde r je poloměr sféry a znamínko mínus proto, že ô < 0. Odtud lze jednoduše
ukázat, že defekt mezního trojúhelníka na mezní sféře (horosféře) je nulový, což je
slibovaný alternativní důkaz zásadního pozorování v 2.2... dů7
2.5. Úhel souběžnosti.
-- Popularizace Lobačevského fascinujícího důkazu, končícího slovy:
1
(10) ˇ tan-n(x) = e~fc
pro nějakou konstantu k; detaily časem v 5.6...
-- A; je stejné jako v (1), viz 5.2.2
-- (10) je ekvivalentní s:
x
* cosll(x) = tanh --,
k
(11) ˇ sinll(x) =
* tanll(x)
1
cosh | '
sinh |
2.6. Trigonometrie.
-- pravoúhlý trojúhelník ABC (pravý úhel u C), kolmice k k rovině trojúhelníka
z vrcholu A, horosféra určená k + B, souběžky sfcz vrcholů B a C, pravoúhlý (!)
trojúhelník A'BC na horosféře + euklidovská geometrie na horosféře + formule (5)
pro délku horocyklu ~-> vzorec pro sin a v pravoúhlém hyperbolickém trojúhelníku:
(12) ˇ sinacotn(c) = cotn(a)
nebo ekvivalentně vzhledem k (11):
c a
(13) ˇ sin a sinn -- = smh --.
k k
-- Podobně lze odvodit taky zbylé vztahy:
(14) o cosacosll(c) = cosII(6),
o tanacotn(6) = cos 11(a).
NEEUKLIDOVSKÉ GEOMETRIE 7
-- Dále např.: cvičení
(15) o siná = sin 11(6) cosß,
(16) o t a n a t a n / 3 = sinll(c).
-- Z předchozích vztahů dostáváme velice přímo a snadno hypebolickou verzi Pythagorovy
věty, tj. vztah, který porovnává jenom délky stran v pravoúhlém trojú­
helníku:
(17) ˇ SÍnlI(c) = SÍnlI(a) Sin 11(6) Pythagorova věta
nebo ekvivalentně
c a b
(18) ˇ cosh -- = cosh -- cosh --.
k k k
dú9
kosinová věta
-- Odtud lze podobnými úvahami jako v euklidovské rovině odvodit ještě sinovou
a kosinovou větu; zde je ta kosinová:
(19) o sin 11(a) = sin 11(6) sin 11(c) + cos 11(6) cos 11(c) sin 11(a) cos a
nebo ekvivalentně:
a , f r , c
, f r , c
(20) o cosh -- = cosh -- cosh - -- smh -- smh -- cos a.
ľv ľv ľv ľv rv
-- POSTŘEH: Ve všech odvozených vzorcích vystupují jenom analytické funkce a POSTŘEH
dosazením k --> oo nebo | --> 0 do příslušných nekonečných řad pozorujeme, že
v každém jednotlivém případě dostáváme odpovídající euklidovské vzorečky nebo
triviální rovnosti (jako např. pro (15),(16)). Jinými slovy, pro hodně velké k nebo na cvičení
hodně malé (vzhledem ke k) části hyperbolického prostoru pozorujeme euklidovskou
geometrii!
3. SFÉRICKÁ A ELIPTICKÁ G E O M E T R I E
Sférická geometrie je geometrie na sféře a sférická geometrie není totéž co eliptická.
.. Než začneme počítat, uvědomme si, že to, čemu říkáme geometrie na sféře
(21) S2
= {x2
+ y2
+ z2
= r2
} C E3
,
je právě geometrie indukovaná z okolního euklidovského prostoru, podobně jako
geometrie na horosféře byla indukovaná z okolního hyperbolického prostoru. K popisu
vlastní geometrie na sféře lze zaujmout různý postoj, což je poměrně detailně
představeno v 5.3. Prozatím lze zmiňovaný odstavec přeskočit, ale jeho částečné
pochopení bude nutné pro většinu konstrukcí v 4.
3.1. Trigonometrie n a sféře.
-- Úplně analogicky k odvozování v 2.6 můžeme dokázat v pravoúhlém trojúhelníku
na sféře s poloměrem r, že
c a
(22) o sin a sin - = sin --,
c a
(23) ˇ cos a tan - = tan --
a podobně až k Pythagorově a kosinové větě... Podstatným vstupem v těchto úvahách
je samozřejmě závislost délky s oblouku kružnice na délce t tětivy (sečny),
příp. na délce ť tečny:
(24) ˇ í = r s i n - ,
(25)  ť = r t a n
8 JARO 2007
-- Protože se na sféře v euklidovském prostoru cítíme o něco jistěji než na horosféře
v hyperbolickém prostoru (také díky povídání v 5.3), dokážeme odvodit kosinovu
větu rovnou přímo:
+ obecný sférický trojúhelník ABC, vrcholům odp. vektory ozn. x, y, z,
+ a = ZA = Z(y', z'), kde y' a z' jsou kolmé projekce y a z do x1
- = TAS2
,
tj,
[x,y) , (x,z)
* y =y Y~x
>
z
= z
Y~x
+ platí
(y',z')
* cos a = --, --, ,
+ dosaď za y' a z' a uprav výraz ~->
a b c b c
(26) o cos -- = cos - cos --h sin - sin - cos a.
-- ZAJÍMAVÝ POSTŘEH: Všechny odpovídající vzorečky v hyperbolické rovině a POSTŘEH
na sféře vypadají podezřele podobně! Ve skutečnosti stačí do jedněch dosadit k = ir
a dostaneme druhé nebo opačně pro r = --ik. (Plyne z definic hyperbolických cvičení
sinů a kosinů, viz 5.1.) Tuto skutečnost zmiňuje sám Lobačevský jako zřejmou
a podporující přesvědčení o bezespornosti jeho geometrie... Nás tohle pozorování
přivede k prvnímu modelu hyperbolické roviny, viz 4.1.
3.2. Eliptická geometrie.
-- Sférická geometrie není euklidovská a v duchu úplně úvodních úvah je to geometrie
eliptického typu, tj. ,,žádné rovnoběžky". Eliptickou geometrií se však obvykle
myslí následující modifikace sférické geometrie, která má za cíl přiblížit se více ostatním
Euklidovým axiomům, tj. vyloučit vlastnosti typu ,,existují dvojice bodů, které
spojuje nekonečně mnoho přímek", ,,každé dvě přímky se protínají ve dvou bodech"
a pod. Stejně jako pro sférickou geometrii, ani pro eliptickou geometrii se nesnažíme
o žádný pořádný axiomatický popis, spokojíme se s popisem standardního modelu:
-- Standardní model eliptické geometrie vznikne ze sféry identifikací protilehlých eliptická rovina
bodů, píšeme E2
= S2
/ ~, kde ~ je relace na S2
,,být protilehlý". Konkrétně, body
eliptické roviny jsou třídy tohoto rozkladu, tj. dvojice protilehlých bodů na S2
, tj.
průsečíky S2
s přímkami v E3
obs. počátek. Odtud E2
ztotožňujeme s projektivizací
R3
, tj. s reálnou projektivní rovinou, což píšeme E2
= P2
. (Přímky v E2
jsou zřejmě
právě projektivní přímky.)
Metrika, tj. vlastní geometrie na E2
, je určená ,,stáhnutím" metriky z S2
stejným
způsobem, jak uvidíme ještě mnohokrát v 4. V Kleinově pojetí je geometrie eliptické
roviny určená grupou Isom(i?2
) = 5*0(3), takže
(27) E2
= SO(3)/0(2),
viz 5.3.3 pro nápovědu...
-- Konstrukce eliptické roviny nám zaručuje, že
* každé dva body spojuje jediná přímka,
* každé dvě přímky se protínají v jednom společném bodě.
Odtud zejména:
* v eliptické rovině nejsou žádné rovnoběžky.
Ačkoli nemáme metriku v E2
explicitně popsanou, vzhledem k jejímu původu mů
žeme jednoduše prohlásit, že
* všechny přímky v eliptické rovině mají konečnou délku a to m.
cvičení
cvičení
NEEUKLIDOVSKÉ GEOMETRIE 9
Tato vlastnost představuje typickou odlišnost od přímek v euklidovské a hyperbolické
rovině, které jsou nekonečně dlouhé (což je implicitně zahrnuto v (II)). Ve
skutečnosti, přímky v E2
jsou uzavřené a z dalších topologických zvláštností eliptické
roviny zmiňujeme:
* přímka nerozděluje E2
na dvě části,
o E2
není orientovatelná,
o E2
není jednoduše souvislá.
4. MODELY HYPERBOLICKÉ ROVINY
4.1. První model. Postřeh na str. 8 nás nutká vyslovit následující větu, prozatím
ještě v uvozovkách:
o ,,geometrie hyperbolické roviny je geometrie na sféře s imaginárním poloměrem
ik."
Imaginární sféra
(28) {X2
+y2
+ Z2
= -k2
} C E3
imaginární sféra
se zdá být naším prvním modelem hyperbolické roviny. Nevýhodou tohoto modelu
je, že nemá ani jeden reálný bod. Místo, abychom analyzovali tento imaginární
model, vhodně jej transformujeme:
-- Uvažujme transformaci x' = x,y' = y, z' = iz. Tato transformace není shodnost
E3
a standardní norma x2
+ y2
+ z2
se transformuje na indefinitní x'2
+ y'2
-- z'2
.
Vektorový prostor R3
s touto normou se nazývá Minkovského a budeme ho značit prostor Minkovského
E2
'1
. V tomto prostoru máme nenulové vektory s nulovou velikostí, např. (0,1,1),
a všechny takové vektory tvoří kužel {x12
+ y'2
-- z'2
= 0}. Vektory uvnitř toho
kužele, např. (0, 0,1), mají imaginární velikost, vektory vně pak reálnou, jak jsme
zvyklí...
Obrazem imaginární sféry (28) vzhledem k uvažované transformaci je tedy kvad­
rika
(29) H2
= {x2
+y2
-Z2
= -k2
} C E2
'1
, hyperboloid H2
náš první reálný (skoro)model hyperbolické roviny, viz obr. ,,Skoro" říkáme proto,
že kvadrika H2
= H+ U H2
_ není souvislá, takže by zde neplatil hned (I)...
-- Všimněme si, že v každém bodě hyperboloidu H2
je tečný prostor tvořen vektory
s nenulovými reálnými velikostmi, tj. metrika indukovaná na H2
z Minkovského
metriky v E2
'1
je positivně definitní! H2
je tedy Riemannův prostor v duchu 5.3.1
a jako obvykle přímkami v modelu H2
myslíme geodetiky. Ale jak tady geodetiky
vypadají? Analogicky k myšlenkám v 5.3.2 postupně ukážeme:
* tečný prostor v každém bodě p G H2
splývá s kolmým doplňkem p1
-, důl
°
* Isom(ií2
) = 0(2,1) a H2
= 0(2, l)/0(2),
* geodetika určená bodem p G H2
a vektorem v  p1
- je právě (hlavní) hyperbola
H2
n (p, v) (resp. jedna její větev),
o navíc, pokud \\v\\ = k, pakcosht-p+smht-v je parametrizace této geodetiky
s konstantní rychlostí k.
-- Od hyperboloidu H2
ke skutečnému modelu hyperbolické roviny vede stejná
cesta jako v 3 od sférické k eliptické geometrii, totiž ztotožněním protilehlých bodů.
Naším prvním modelem hyperbolické roviny tedy rozumíme H2
/ ~, jež ztotožňujeme
s jednou z komponent hyperboloidu, řekněme s H+. Předchozí závěry se nijak první model H,
nemění až na
* Isom(ií2
) = 0'(2,1) a H\ = 0'(2, l)/0(2),
10 JARO 2007
kde 0'(2,1) značí podgrupu 0(2,1) zachovávající orientaci osy z, tj. každou komponentu
hyperboloidu. Pozor, 0'(2,1) ^ 5*0(2,1).
-- díky předchozí charakterizaci geodetik umíme zejména popsat všechny vzájemné
polohy ,,přímek" v H\ podle typu průsečnice odp. rovin: směr průsečnice má velikost
imaginární ~-> různoběžky, nulovou ~-> souběžky, reálnou ~-> rozběžky
-- díky homogennosti H+ vedeme další diskuzi pouze v okolí bodu (0, 0, k), nakonec
umíme charakterizovat všechny zobecněné kružnice jako průniky H\ s vhodnými
rovinami: ,,kružnice" = elipsy, ,,horocykly" = paraboly, ,,hypocykly" = hyperboly
4.2. Kleinův model. Jiná (standardní) realizace projektivizace z předchozího
odstavce vede k dalšímu, tzv. Kleinovu modelu hyperbolické roviny: uvažujeme
projekci z počátku do roviny z = 1, obraz H2
značíme K2
.
-- ,,body" = body uvnitř kruhu x2
+y2
= 1 (hranice představuje body v nekonečnu),
-- ,,přímky" = sečny kruhu,
-- ,,zobecněné kružnice" = kružnice nebo elipsy (typ zobecněné kružnice je určen
počtem dotykových bodů s hraniční kružnicí)
-- metrika v K2
je stáhnutá metrika z hyperboloidu H2
, ale než ji explicitně popíšeme,
všimneme si, že:
* přímky p, q jsou kolmé právě když q prochází pólem p (vzhledem k hraniční
kuželosečce),
* body A, A' jsou symetrické podle přímky p právě když (AA'PQ) = --í, kde
P = pól p a Q =pC\AA',
o vzdálenost bodů A, B = -| ln(ABUV), kde U, V jsou průsečíky AB s hraniční
kuželosečkou.
-- předchozím a předpředpředchozím tvrzením je metrika na K2
vpodstatě úplně
určena. Explicitně její kvadratická forma vypadá takto:
, , , , , ,(1 - y2
)dx2
+ 2xydxdy + (1 - x2
)dy2
30 o ds2
= k2
 ^ \ %-^ '-JL(1
-- x/ -- y^y
a odvodí se takto:
+ popíše se bijekce K2
--> H+, (x, y, 1) i--> (x1
, y', z'):
(i) zřejmě (x',y',z') = X(x,y, 1) pro nějakou funkci A = X(x,y),
(ii) aby (x1
, y', z') e H2
, musí být A = k
+ spočítají se diferenciály dx', dy', dz',
+ dosadí se do ds2
= dx'2
+ dy'2
- dz'2
+ a po čase se upraví na (30).
-- POSTŘEH: kromě bodů na souřadných osách nejsou kolmé směry v tomto modelu
euklidovsky kolmé, což koresponduje s pozorováním s pólem výše...
4.3. Polosférický model. Vznikne z K2
kolmou projekcí na polosféru pod K2
se společnou hranicí, značíme Sl2
_.
-- ,,body" = body polosféry {x2
+ y2
+ z2
= 1, z < 0} C R3
,
-- ,,přímky" = polokružnice kolmé k rovině xy (tedy k hraniční kružnici!),
-- ,,zobecněné kružnice" = všemožné kružnice nebo jejich části (viz poznámky v
4.4)
-- POZNÁMKY: Metrika není indukovaná z okolního E3
, ale zase přenesená z
předchozího modelu; v souřadnicích (x,y) tedy užíváme (30).
Tomuto modelu nevěnujeme příliš pozornosti, poslouží pouze jako cesta k ostatním:
další modely vznikají z Sl2
_ vhodnými projekcemi do vhodných rovin, uvažte
např. středovou projekci z počátku do roviny z = -- 1...
NEEUKLIDOVSKÉ GEOMETRIE 11
4.4. Poincarého model. Vznikne z Sl2
_ středovou projekcí ze severního pólu Poincarého disk D
(0,0,1) zpět do roviny xy (stereografická projekce!), značíme D2
:
-- ,,body" = body uvnitř kruhu x2
+ y2
= 1,
-- ,,přímky" = části kružnic kolmých k hranici,
-- ,,zobecněné kružnice" = části kružnic (viz poznámky níže)
-- podobně jako na konci 4.2 můžeme po nějakém počítání odvodit kvadratickou
formu metriky přetažené z předchozího modelu:
(31) o ds2
= -- -- ^-^(dx2
+ dy2
).
4fc2
(1 -- x2
-- y2
)2
POSTŘEH: Metrika v D2
je konformní se standardní euklidovskou metrikou, tj.
úhly vidíme, narozdíl od Kleinova modelu, všude nezkresleně! (Protože D2
vznikl z
Sl2
_ stereografickou projekcí, také odchylky na polosféře Sl2
_ odpovídají euklidovským
odchylkám v E3
.)
-- podobně jako v Kleinově modelu lze jednoduše popsat základní shodnosti a
určovat vzdálenosti:
o vzdálenost bodů = logaritmus nějakého dvojpoměru oblouků,
* symetrie podle přímek = kruhové inverze.
POZNÁMKY: Nyní je možné charakterizovat všechny zobecněné kružnice v D2
jako euklidovské kružnice. (Typ je určen počtem spol. bodů s hranicí.) (Pozor,
střed kružnice nemusí být ve středu odpovídajícího svazku!) Zdůvodnění ze zdá být
výrazně méně přímočaré, než jak jsme pozorovali v hyperboloidovém a Kleinově
modelu. Odtud pak můžeme zpětně popsat zobecněné kružnice v polosférickém
modelu a odtud pak víme, jak budou vypadat v polorovinovem modelu, pokud to
celé nejde rozmyslet nějak lépe... ?
4.5. Polorovinový model. Vznikne z Sl2
_ středovou projekcí z bodu (0,1,0) do
roviny xz (jiná stereografická projekce!), značíme R2
^:
-- ,,body" = body v polorovině z < 0 (hranici tvoří přímka z = 0 plus jeden
nevlastní bod ve směru osy z),
-- ,,přímky" = kružnice/přímky kolmé k hranici,
-- ,,zobecněné kružnice" = většinou kružnice, ale taky přímky...
-- Podle očekávání z předcházejících diskuzí musíme opět dostat konformní model;
po jistém počítání lze stejně jako v 4.4 odvodit kvadratickou formu metriky (místo
(x,z) píšeme (x,y)):
k2
(32) o ds2
= -- (dx2
+ dy2
).
yZ
Nad očekávání tak dostáváme nejjednodušší tvar, jaký můžeme potkat. Z tohoto
důvodu je polorovinový model jasným favoritem, kdykoli bude třeba něco integrovat,
viz 5.2. Odpovídající forma objemu v tomto modelu je
k2
(33) o dfj, = --dxdy.
ŽT
polorovina K_
4.6. Beltramiho pseudosféra.
12 JARO 2007
5. PŘÍLOHY
5.1. Hyperbolické funkce. Známe
ex
= l + x + | r + ---,
2 4
cos x = ^ l í + IÍ"---
/  ˇ J fVtO
sin x = X
- 3 ! +
5 ! " - - Eulerova
formule zní:
eix = cos x + isinx,
odkud pak
cos x = \{eix
+ e-ix
),
sin x = --(éx
-e-ix
).
Hyperbolické funkce definujeme
cosh x = - (ex
+ e
2 4
-X
) = l + -- + -- '
2! 4!
1, ,, /  ˇ J fVtO
a zřejmě platí
smhx = -{ex
-e x
) = x + ^ , ^
ex
= coshx + sinhx,
cosix = coshx,
sinix = isinhx.
Odtud a ze známého cos2
x + sin2
x = 1 máme
cosh x -- sinh x = 1.
Podobně jako (cost,siní) parametrizuje kružnici x2
+ y2
= 1, tak (cosht,sinht)
parametrizuje hyperbolu x2
-- y2
= 1, resp. jednu její větev...
5.2. Konstanta k. V této části konečně ukážeme, že neurčitá konstanta k, kterou
jsme několikrát při různých příležitostech potkávali, je pořád tatáž veličina. Veškerá
počítání děláme v polorovinovém modelu s metrikou (32)...
5.2.1. Délka horocyklu.
-- Pro porovnání délek horocyklu uvažujeme stejný obr. jako na začátku 2.3, str. 5:
+ souběžky x = 0, x = a a dva odp. horocykly y = b',y = b,
+ ozn. s, s' délky těch horocyklu a d jejich vzdálenost (pozor, a, 6, b' představují
euklidovské souřadnice v modelu, s, s', d jsou hyperbolické vzdálenosti),
+ jednoduše máme s = fc| a s ' = ky,
b
+ spočítáme d = J jdt = k\n^,
v
+ celkem pak ^ = y = ei, Q.E.D
-- Pro speciální délku K tamtéž stačí uvážit následující:
+ přímka x = 0, kolmice = půlkružnice (S = 0,r = lib.), společná souběžka
= přímka x = r,
+ horocyklus y = r, délku ozn. K,
NEEUKLIDOVSKÉ GEOMETRIE 13
+ triviálně K = k- = k Q.E.D
5.2.2. Úhel souběžnosti. Vhodně umístíme výchozí obrázek z 2.5, str. 6:
+ přímka x = 0, kolmice = půlkružnice k : (S = 0, r = 1), souběžka = přímka
x = a, 0 < a < 1,
+ ozn. d délku kolmice, a = 11(d) úhel souběžnosti,
+ kolmice-půlkružnice je parametrizována k(ť) = (cost,siní) a zřejmě a =
cos a,
a
+ odtud potom d = J ^ ˇ 1 dt = ˇ ˇ ˇ = -A; In tan f + 0, Q.E.D
TT/2
5.2.3. Obsah největšího trojúhelníka. Vzhledem k počítání v 2.4, str. 6, stačí spočítat
obsah T nějakého trojúhelníka s maximálním defektem (všechny jsou shodné);
uvažujme následující:
+ 1. strana = půlkružnice k : (S = 0,r = 1), 2. strana = přímka x = --1, 3.
strana = přímka x = 1,
+ integrujeme formu (33), meze jsou x G [--1,1], y G [A/1 -- x2
, oo]:
1 oo 1
dydx = k / -.dx = k n,
Q.E.D
y2
J Vi - x2
5.3. Geometrie na sféře.
5.3.1. Riemannova sféra. Podle stanoviska Riemannova je celá geometrie na sféře
určená právě Riemannovou metrikou1
indukovanou ze standardního skalárního součinu
v E3
, tj. v každém bodě p G S2
uvažujeme zúžení tohoto skalárního součinu na
tečný prostor TpS2
C E3
. V obvyklé poledníko-rovnoběžkové parametrizaci sféry
(i G [--f, f] je ,,zeměpisná šířka", 2 G [0, 2n] ,,zeměpisná délka")
(34) f(tii,U2) = r(cosMi COSM2,COSMI sin2, sinwi)
vektory
df
(35) vi = ---- = r(--sin i cos 2,--sin i sin 2, cos i),
df
( 3 6 ) V2 = 7; = r ( -- C O S M i SÍnM2, COSMi COSM2, 0 )
ÖM2
tvoří bázi tečného prostoru v každém bodě p = /(i, 2) (kromě pólů) a vzhledem
k této bázi má náš skalární součin v TpS2
matici
(i,i) (v1,v2)\ = (r2
0
(2,l) (v2,v2)J \ 0 r2
COS2
Mi( 3 7
) \ r,,,_ ,,,.\. r,,,_ ,,,_\. I - \ n ,, , 2 _ 2
odtud metrická kvadratická forma a forma objemu jsou
(38) ds2
= r2
(duf + cos2
u1 du2
,) a.
(39) d/j, = r cos Mi du\du2Obecně,
Riemannova metrika na abstraktní hladké varietě M je právě přiřazení p G M 1-->
skalární součin v tečném prostoru TPM, které závisí hladce na p. Riemannův prostor/varieta je
hladká varieta s Riemannovou metrikou.
14 JARO 2007
Takhle vypadají vstupní data pro veškerá další počítání v Riemannově duchu.
Odtud např. geodetiky na sféře jsou charakterizovány jako řešení následující soustavy
obyčejných diferenciálních rovnic:
(40) üi = --r2
sin i cos i (M2)2
,
(41) M2 = 2r tanMi M1M2.
Ačkoli málokdo na první pohled vidí, jak vypadají obecná řešení, geodetiky jsou
vždycky jednoznačně určeny jedním bodem a tečným vektorem v tomto bodě a
představují nejkratší spojnice dvou různých bodů. V rámci možností jsou geodetiky
ty nejméně křivé čáry... Z řečeného lze intuitivně odvodit, že
o geodetiky na sféře jsou hlavní kružnice.
5.3.2. Geodetiky. Vzhledem k tomu, co potřebujeme v 4.1, podpoříme předchozí
závěr ještě nějakým argumentem. Ozn. Isom(S'2
) grupu všech isometrií sféry, tj.
grupu všech transformací S2
--> S2
, které zachovávají danou metriku. Potom
* Isom^2
) = 0(3),
kde 0(3) značí grupu ortogonálních transformací E3
(shodnosti zach. počátek).
Důkaz. To, že každý prvek 0(3) určuje isometrii sféry je zřejmé z definice. Opačně,
že každá isometrie S2
je určená nějakou ortogonální transformací E3
, plyne z toho,
že
(a) v grupě 0(3) vždycky najdeme transformaci, která zobrazí libovolný bod
sféry na kterýkoli jiný2
a
(b) každá shodnost v každém tečném prostoru každého bodu sféry je určená
nějakou transformací z O(3).
Obě tyto vlastnosti můžeme zdůvodnit takto: víme, že
* tečný prostor TpS2
v každém bode p G S2
splývá s kolmým doplňkem p1
-.
Proto, když (1,^2) je ON báze TpS2
, pak (-p,vi,V2) je ON báze E3
. Ale každá
ON báze E3
lze zobrazit na kteroukoli jinou ON bázi pomocí nějaké transformace
zO(3)... Q.E.D
Odtud již očekávaná charakterizace geodetik jako hlavních kružnic:
* geodetika určená bodem p G S2
a vektorem   / = TpS2
je pravé hlavní
kružnice S2
P\ (p,v).
Důkaz. Ozn. g geodetiku na sféře určenou počáteční podmínkou (p, v). Ozn. p rovinu
(p, v) a uvažujme isometrii / sféry určenou zrcadlením podle roviny p v E3
.
Protože g je prodmínkou (p,v) určená jednoznačně a, p,v G p, platí f (g) = g. Ale
jediné pevné body zobrazení / leží na hlavní kružnici k = p C\ S2
, takže musí být
g C k. Protože g a k jsou souvislé křivky, máme g = k. Q.E.D
Jako cvičení doporučují čtyři z pěti geometrů rozmyslet, že:
o pokud \\v\\ =r, pak cost- p+sint- v je parametrizace (s konstantní rychlostí
r) geodetiky, tj. hlavní kružnice, určené bodem p  S2
a vektorem  e p 1
.
'Říkáme, že 0(3) působí tranzitivně na S2
.
NEEUKLIDOVSKÉ GEOMETRIE 15
5.3.3. Kleinova sféra. Jako vedlejší, ale docela zajímavý, produkt předchozích úvah
máme identifikaci sféry jako faktorové množiny
(42) S2
= 0(3)/0(2),
jež by měla reprezentovat fakt, že sféra je krásně homogenní. Jak tomu rozumět?
Homogenností sféry myslíme, že v okolí libovolného bodu vypadá sféra, resp. geometrie
na ní, vždycky stejně. Přesněji:
Díky podmínce (a) výše víme, že každý bod na sféře je obrazem např. e\ =
(r, 0,0) vzhledem k nějaké transformaci z 0(3). Hodně prvků 0(3) však e\ zachovává,
např. všechny rotace kolem osy ei, a když označíme H C 0(3) podgrupu
všech takových transformací, pak S2
= 0(3)/H. Každá transformace z H zachovává
ei, tedy i e\ a zúžení na e\ je opět shodnost. Vzhledem k (b) takto umíme
popsat každou shodnost e\, takže H = 0(2). Konkrétně, vložení H = 0(2) C 0(3)
vypadá takto
(43) ff={(j °A):AeO(2)].
Je jasné, že jiná volba e\ G S2
na začátku dává jiné vložení na konci, ale vždycky
máme H = 0(2) & S2
= 0(3)/0(2). Toto je, co rozumíme homogenností sféry.3
Při této identifikaci jde samozřejmě o víc, než jen popsat sféru jinak, studujeme
zejména geometrii:
* geometrie na sféře je studium vlastností, které se neméní "působením grupy
0(3),
jinými slovy geometrie na sféře je určená právě grupou, která na ní působí. Toto je
přístup Kleinův ke geometrii, viz též 3.2, 4.1 a následující cvičení:
o Popište geometrii euklidovské, afinní a projektivní roviny jako Kleinovu ge­
ometrii.
5.4. Gaussova--Bonnetova formule.
5.5. Formálnější axiomatika geometrie.
5.6. O načalach geometrii.
REFERENCE
[E] Euklides, Základy,
[H] V. Hlavatý, Úvod do neeuklidovské geometrie, Praha 1949
[Ka] V. F. Kagan, Osnovanija geometrii, Moskva 1956
[Ku] B. V. Kutuzov, Lobačevského geometrie a elementy základů geometrie, Praha 1953
[N] A. P. Norden (ed.), Ob osnovanijach geometrii, Moskva 1956
[T] W. P. Thurston, Three-dimensional geometry and topology, Princeton 1997
[V] E. B. Vinberg (ed.), Geometry II, Springer 1993
Obecně, homogenní prostor je hladká varieta M, na níž tranzitivně působí nějaká grupa G.
Pokud ozn. H G G podgrupu, zachovávající nějaký bod, pak M = Gj H.
REJSTŘÍK
E3
, viz prostor euklidovský
E2 , 1
, viz prostor Minkovského
n, viz funkce Lobačevskeho
K, 5, 13
sinh, cosh, 12
T, 6, 13
k, viz konstanta k
defekt, 2, 6
délka horocyklu, 5, 12
ekvidistanta, 4
eliptická rovina, 8
funkce Lobačevskeho, 4, 6, 13
horocyklus, 4
horosféra, 4
konstanta k, 5, 12
kosinová věta, 7
model hyperboloidový, 9
model Kleinův, 10
model Poincarého, 11
model polorovinový, 11
model polosférický, 10
prostor euklidovský, 1
prostor homogenní, 15
prostor Minkovského, 9
první kolmice, 3
Pythagorova věta, 7
pátý postulát, 1
sféra imaginární, 9
sféra Kleinova, 15
sféra Riemannova, 13
souběžky a rozběžky, 3
tročka, viz horocyklus
zobecněné svazky a kružnice, 4
úhel souběznosti, viz funkce Lobačevskeho
16