Simulace Poissonova procesu

   

   Zadání:

   V sobotu v době od 8 do 20 h sledujeme provoz v klidné ulici ve vilové čtvrti města. V tomto
   období vjíždějí auta do této ulice v průměru každých 8 minut. Předpokládejme, že intervaly
   mezi příjezdy aut se řídí exponenciálním rozložením. Pomocí MATLABu simulujte vjezd 20 aut do
   této ulice.

   a)      Zjistěte celkovou dobu simulace.

   b)      Vypočtěte průměrnou, maximální a minimální délku intervalu mezi vjezdy dvou aut.

   c)      Vypočtěte směrodatnou odchylku délek intervalů.

   d)      Porovnejte tvar histogramu délek intervalů (volte 5 třídicích intervalů) s tvarem
   hustoty exponenciálního rozložení s patřičným parametrem.

   e)      Znázorněte nasimulovaný Poissonův proces graficky.

   

   Návod:

   Zavedeme Poissonův proces , kde , když v intervalu  vjede do ulice právě j aut, j = 0, 1, 2, …
   Parametr .

   Pomocí funkce unifrnd vygenerujeme 20 náhodných čísel z intervalu (0,1):

   r = unifrnd(0,1,20,1);

   Proměnnou r transformujeme vztahem :

   x = -8*log(1-r);

   V proměnné x jsou nyní uloženy délky intervalů mezi vjezdy aut.

   Celková doba simulace:

   doba = sum(x)

   Průměrná délka intervalu:

   prumer = mean(x)

   Maximální délka intervalu:

   maximum = max(x)

   Minimální délka intervalu:

   minimum = min(x)

   Směrodatná odchylka délek intervalů:

   so = std(x)

   (Teoretická celková doba simulace by měla být 20.8 = 160 min, průměr = 8 min, směrodatná
   odchylka = 8 min.)

   Histogram délek intervalů s pěti třídicími intervaly znázorníme příkazem hist(x,5).

   Znázornění hustoty exponenciálního rozložení s parametrem 8:

   plot([0:0.01:maximum],exppdf([0:0.01:maximum],8))

   Znázornění nasimulovaného Poissonova procesu:

   Do proměnné počet uložíme celkový počet aut:

   pocet = [1:20]’;

   Do proměnné t uložíme  kumulované délky intervalů:

   t = cumsum(x);

   Pomocí funkce stairs znázorníme Poissonův proces:

   stairs(t,pocet)

   Celý postup můžeme zopakovat s větším počtem aut a sledovat, jak se zvyšujícím se počtem
   simulací se empirické charakteristiky procesu blíží teoretickým.