OBSAH Str. Předaluva ........... 3 Obsah ...........5 Kapitola 1. Systéay rozděleni. Postačující statistiky. ... 7 1.1. Doalnovaný systéa rozděleni ......... . .7 1.2. Postačující statistiky ............10 1.2.1.Charakterizace postaCItelnostl statistiky ... .11 1.2.2.Exponenciální systéa rozdělením .........16 1.2.3.Úplní postačující statistiky...........24 Kapitola 2. Stejnoměrně nejsilnější testy..........26 2.1. Foraulace probléau..........• .26 2.2. Neyaan-Pearsonovo fundamentální leaaa • • • • . .30 2.3. Testy jednostranné hypotézy proti jednostranné alternativ* .......... . .33 2.4. Zobecněni Neyaan-Pearsonova leaaatu •••••• .38 2.5. Testy oboustranných hypotéz • •••••.••• .43 2.6. Nejaoně příznivé rozděleni . ..........47 2.7. Aplikace na testováni hypotéz o rozptylu noraálnlho rozděleni . . .........30 2.8. Doplňky a cvičeni ..••••-... .55 Kapitola 3. Stejnoaěrně nejsilnější nestranné testy • • • • .57 3.1. Nestranné testy a podobné testy .........57 3.2. Testy hypotézy H^ a H^ v jednopara-aetrlckéa exponendálnla systéau. ....... .60 "5- 3.3. Testy hypotéz v exponenciálním systému za přítomnosti rušivého parametru. •»•••••66 3.4. Testy hypotéz o rozptylu normálního rozděleni« . 71 3.5. Testy hypotéz o průměru normálního rozděleni • . 73 3.6. Srovnáni rozptylů dvou normálních rozděleni. . . 75 3.7. Srovnáni průměrů dvou normálních rozděleni • • . 78 3.8. Testy nezávislosti ve dvourozměrné« normálním rozděleni .....•.....80 3.9« Srovnáni dvou binomických populaci ....... 82 3.10. Srovnáni dvou Polssonových populaci« ...... 84 3.11. Test nezávislosti ve čtyřpolni kontingenčni tabulce ••• • ••••••• 86 3.12. Doplnky a cvičeni ............89 Kapitola 4. Testy dobré shody ............91 4.1. Pearsonův V-test dobré shody ........ 92 4.2. Ko Imogo rov-Smi rnovův test...........94 4.3. Doplňky a cvičeni ...........97 Literatura ...........100 -6- UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE Fakulta matematicko-fyzikální TESTY PARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ RNDr. Jana Jurečková, CSc. Státní pedagogické nakladatelství Praha Kapitola 2 §£SÍS2!ŽI2Ž-S2Í2Íi2ŽÍS!-ÍS2ÍZ Nacht X ja pozorovatelná náhodná veličina nebo náhodný vektor; viae, že rozděleni pravdepodobnosti X tvoři sys-téa (P * \ P., »€©} pravděpodobnostních měr na (3£,(Ě>) . Necht H a K jsou dva disjunktni podsystémy (r takové, že H u K = (P . Řekne»»/ že vektor x splňuje hypotézu, jestliže rozděleni pravdepodobnosti X patři do H a že splňuje alternativu, jestliže jeho rozděleni patři do K. Pro hypotézu a alternativu použije»* rovněž syabolu H a K; tedy H i K označuji jak výrok, tak systéa rozděleni výrok splňujících. Předpokládejme, Že znáte-li hodnotu 0, jednoznačně viae, zda PgéH nebo PQeK. Označae ®H » {ôe©s P^e h} a & ■ ^9fe© : P^e Kj anožiny bodů paraaetrického prostoru, odpovídající hypotéze nebo alternativě. Stojiae před následující» probléaea: na základě pozorování x náhodného vektoru X aáae rozhodnout, zda platí hypotéza H nebo alternativa K. Rozhodnutí o přijeti H označae dQ a rozhodnuti o zaaitnutl H označae d.^. Každé pravidlo, které každéau bodu x €. 3t přiřadí právě jedno z roz- -26- hodnuti d a d-, nazvane (nerandoaiizovanýtt) testen hypotézy H proti alternativě K, Takový test rozdělí výběrový prostor x na dvě koBpleaentárni části: kritický obor (obor zaaitnutl) AK a obor přijeti AH. Jestliže xčA», test hypotézu zamitá a v případě x £ A„ ji nezaaitá. Jestliže provádíme nějaký test, «úže být naše rozhodnuti správné/ nebo se BŮŽene dopustit jedné ze dvou druhu chyb: (1) zaaltnene H, 1 když H platí (chyba I.druhu) (2) přljaeme H, i když H neplatí (chyba II.druhu). Je žádoucí použit takový test, který mk co nejnižší . pravděpodobnosti obou druhů chyb. Pravděpodobnost chyby I.druhu, je-tl 0e©u, j H e rovna (2.1) Pe(X€.AK) ; B €©H sup Pe(X€AK) nazýváie velikosti testu (nebo veli číslo SU[ h kosti kritického oboru AK)• pravděpodobnost chyby II.druhu při 8€©K jt rovna (2.2) Pe(X£AH) * 1 - pg(XC V' e Ä ® K* Hodnotu pravděpodobnosti (2.3) p>(8) = Pft(XCAK), e«©K nazýváme sílou testu proti alternativě Pg (nebo stručně 8), 6 6@r Funkci ß(B) :Q—» (o,l) nazýváme silofunkci příslušného tastu» -27- Jestliže je pevně stanoven počet pozorováni, nemůžeme současně Minimalizovat pravděpodobnosti obou druhů chyb. Test,který by aět minimální pravděpodobnost chyby I.druhu, by odpovídal prázdnému kritickému oboru, a jeho chyba II.druhu by měla pravděpodobnost 1. Proto obvykle omezujeme pravděpodobnost chyby i.druhu pevně zvoleným aalým číslem -\0/1/ / zvanou testová (nebo kritická) funkce,, takovou, že 0 íŠL* 1. Ü nerandomi- zovaných testů ^(x) nabývá jen hodnot 0 (pro x€ Au) H -2ft- a 1 (pro xeAK); $(x) ja pak indikátore« kritického oboru« Množina všech tastů se pak ztotožňuje 8 anožlnou všech funkci ÍÍ(x) : 0 ^5Ó lj- Tato anožina je zřejaě konvexní a krone toho kompaktní vzhlede« ke slabé konvergenci (viz napr. tehaan l6]). Hodnota testové funkce $ (x) jt vlastně podalněná pravděpodobnost zaaitnutl H při danéa X « x. Jestliže Pfl je skutečné rozděleni X, pak celková pravděpodobnost zaaitnutl hypotézy testea £ (tj. silofunkce testu v bodě 9) je rovna (2.6) ß_(») * jl(x)dPe(x) - Eel>(X). Optiaálni volba testu je pak ekvivalentní následující aaxiaa-lizačnl úloze : aez1 všeal testy splňuj1cia1 (2.7) {^(G) - E0$(X) * * pro VŠ. 06©H nalézt takový, pro který (2.8) Psí9) * Ee ^(X) * "ax stejnoaěrně pro •*©)<• Test, který splňuje (2.7) a (2.8), se nazývá stejnoaěrně nejsilnější test velikosti ^ k p0(x) p+PJ o ' 1 (2.9) $(x) když p.CxXk p0(x) kde konstanta k a hodno tv_ í(x) na {m : p.(x) » k.p0(x)J jsou určeny tak, že platí (2.10) 5 (x) = oL . -30- Test X je nejsilnější« testen H proti K veUkotti £«*.. (?) Je-li £ nejsilnéiži test H proti K velikosti <*C P0(x>j' tato funkce je nerostoucí, zprava spojitá a taková. Že li» oL(c) = 1 a li* «U c) = 0. Pak k libovolnému «L6 ( 0,1) c-y-Ctfc v c-v« existuje k^O tak,že (2.11) k p0(x) k<*y2 P^x) =■ k p0(x) když Pl(x)< k p0(x) Střední výraz na (2.12) neni definován, pokud je k bode« spojitosti oL(c) ; pak je vSak (P1(X) k P0(x)} ■ 0. Velikost testu (2.12) je (2.13) E0£(X) • Po- P,(X) p^TT > k * ^(k-Uj^ílc) po(pJJT " k, a tedy test -X splňuje (2.9) a (2.10). Zbývá dokázat, že test £ je nejsilnější. Necht $* je libovolný jiný test takový, že E05*(X) <* 0 J a S" = |x€ £: & x) -$*( x)< o] -31- Jestliže x€S+, je $(x) > O, a tedy p^x) * k P0(x); podobně je p^(x) * k P0(x) pro x€ s" ; odtud plyne (2.1*) \d - i")(pr k p0>d(^ = i (?-i*)(prkp0>d^>o J s V S+uS" a tedy • test 1 je nejvýše stejně silný jako § . (/2) Nechí ^* je nejsilnější test H proti K vdllkostl ^oLa nechl $ vyhovuje (2.9) a (2.10). Nechí S* a s" jsou definovány stejně jako v důkazu části (1) a nechí S = - (S*üS")n{x : p,(x) * k P0(x)} . Předpokládejme Ms)> 0. Protože je ($(x)- ?*(»))• . (p1(x)-k P0(x))> 0 pro tes, platí \ ( I - i^XP^k P0>°> - J($- 5")(Prk Po><^>0, s+us-a tedy *i\$M - $"(«)] > k E0t^(x) - 5Ä(x)J * o • Udy t H silnější než $* proti alternativě K. To je viak spor, a tedy Ms) a 0, coi bylo třeba dokázat. Kdyby velikost 2. * byla <^ nebo P0 = Pr Důkaz : Test $-(x) » 8 . Ani v tomto jednoduchém případě nemusi obecně existovat stejnoměrně nejsilnější test. Ukážeme, že SN test existuje, pokud je (P dominovaný systém, jehož věrobodnostni poměr je monotónní funkci vhodné statistiky T(x). Tuto vlastnost má např. expoenciál-ni systém s jediným reálným parametrem. nova- Definice 2.1. Necht (P « jpfl, 8 9Q, který aé tvar f 1 když T(x) > C (2.15) J(x) r 0 když T(x) = C když T(x) < C kd e konstanty C a lf jsou určeny tak, aby platilo (2.16) Ee £(X) -oC . (2) Silofunkce ß(0) ■ Ea(X) ■nožině iö :ß(«)< i} estu

C1 ( neboli T( x) > C 5(x) - 9 ľ když 0 když T(x) = C T(x)< C kde C a V jsou určena tak, aby platilo EB <£(X) - JL . Podle věty 2.1, čest (1) déle platí, že test $ je také nejsilnější pro hypotézu P«> proti alternativě PQ' na hladině -34- oL = ß(8) pro viečka e' , ö" ; 8< *H . Z důsledku věty 2.1 dále plyne, že sUofunkce 6(0) testu £ je rostoucí v Q • Z této nonotonie dále plyne (2.17) E65(x)^ «*- pro 8 £ 8Q. Třída A testů splňujících (2.17)je části třídy B testů splňujících E« ik(X) ^ cL ; proto test 5 * který Maximalizuje 6(9,,) na třídě B, tin spiäe ■axiaalizuje ž> (B1) na třídě A. Tin je zatla dokázáno, že $_ je nejsilnější« oL -teste« hypotézy H : 8 ^ 8Q proti jednoduché alternativě 910 Protože vSak test 9 ve skutečnosti nezávisí na speciální alternatíve 8^, je stejnoměrně nejsiWjžl pro 8<8 . Q.E.O. Přiklad 1. Nechí partie N výrobků obsahuje H zmetků. Z partie vybereme náhodně n výrobků, které zkontrolujeme. Nechí X je počet zmetků zjištěných ve výběru. Chcené testovat hypotézu H : H ^ HQ proti K : M>M0. X aa hyper-geometrické rozděleni MM (2.18) PM(X*x) « P„(x) ■ -žlln~x/ , x celé, a*x*b o ■ 0 jinak kde a»nax( M+n-N,0) a b-»in(M,n). Interpretujeme %(*) J«ko hustotu vzhlede« k citaci »1ře, která přiřazuje libovolné podnnožině R počet nezáporných celých čišel v ni obsažených. Pak platí PM+1(x) s «+1 N-H-n+x Pm(x) N^íí ' H+1-X -35- a systéa mě aonotonni poaěr věrohodnosti vzhlede« k T(xJ=x. Stejnoaěrně nejsilnější test H proti K zaaitá H , když X>C. Poznáaka. Uvažujae duálni probléa H : 8 > 8Q proti K : B<8 • Pak SN test dostaneae převrácenia nerovnosti ve o (2.15). VETA 2.3. Hecht systéa rozděleni náhodného vektoru X je jednoparaaetrický exponenciálni syatéa s reálnýa paraaetrea B a hustotaai (vzhlede* k nějaké aiře ajj ) tvaru (2.19) pe(x) » ex r p{c(8)T(x) + A(8) + B(x)J kde c(8) je ryze aonotonni funkce. Pak existuje stejnoaěrně nejsilnější test $ hypotézy H : B * BQ proti K : B >Bo. Jestliže Je c(B) rostoucí, aá test tvar 1 když T(x) < C (2.20) $(«) T 1° když T(x) « C když T(x) > C kde c 5- X 380U určena *«k/ *• E0 <£(*) B °^ • Jestliže je c(B) klesajici/ je nejsilnějii test analogický (2.20); příslušné nerovnosti jsou převrácené. Důkaz. Snadno vidiae, že systéa (2.19) aá aonotonni poaěr vě rohodnosti vzhlede» k T(x). Věta pak plyne z věty 2.2. Přiklad 2. Systéa binoaických rozděleni jb(p,n), 0p0 zaaitá H, jestliže počet úspěchů X překročí vhodnou konstantu C. Podobnou hypotézu můžeae také testovat na základe jinak uspořádaného pokusu« Opakovaně provádiae alternatívni pokus s pravděpodobnosti úspěchu p , dokud nedosáhneae celkového počtu n úspěchů. Necht Y^ je počet pokusů, které provedené aezi (1-1)-n1n a 1-týa úspěchea. Pak P( Yj«y)*»( 1-p)y, y*0,1,..., a tedy sdružené rozděleni Y,,...,Y je fy Vy1'-"'y») E P"<1"p) %4 1 ' v0*1'— ; k"1*' M To je exponenciální systéa s T(y) ■ >~~ y, a c( p) -log(1-p) 1-1 1 y Protože c( p) je klesající v p, SN test pro H : p4 p proti K : p>p0 zaaitá, když T je pMlii aalé. T(y) ai negativně binomické rozděleni P(t) ■ (" J p" (1-p)*# ±=0,1,... . přiklad 3. Necht X.|,»..,Xn je nezávislý náhodný výbor z Poissonova rozděLeni s EX^ =A^. Pak sdružené rozděleni *« / • • "'*n * * P (X./...,x J - -2--------- c v— v a tvoři tedy exponenciálni sjstéa, ve kteréa je T( x) ■ /— x>. i»1 c(X) ■ log X • Napr. A aůže označovat hustotu prpvozu telefónni centrály a X{ jsou počty signálů, které dojdou do centrály během n stejně dlouhých nepřekrývajících se časových intervalů délky ^C . SN test hypotézy H : X^ X zaaitá H při velkých hodnotách T(x) = ]f~ xf. Statistika -37- T(x) »á rovněž Poissonovo rozděleni s parametre« «XT. Hypotézu »ůže»e také testovat na základě -inverzně uspořádaného pokutu: sledujeme centrálu tak dlouho, dokud nedojde ■ signálů. Necht V-^,...^ jsou délky Intervalů do prvního signálu, od prvního do druhého signálu, atd. Pak Y.,..., ...,Y jsou nezávislé a Yi ai exponenciální hustotu Ae Ay, y*0, 1«1,...,». Sdružená hurtota Y1,...,YH je p (y1#...,yj ■ X- exp(-\Xy4 \ * yw.-./y. * o, a tvoři exponenciální systé», kde T(/1/...//„) ■!>" yl a c(A) ■ - X . SN test pro H : X * X0 za»itá H pH »a-lých hodnotách T ■ j>" y^ Protože 2\ Y1 »á hustotu I e" u/2 pro u*0, což Je X2"rozdělen1 ° 2 «tupnlch vol- no stí, mh 2\T rozděleni y^ o 2« stupních volnosti.Kritlc- 2 kou hodnotu testu tedy »ůžene najit v tabulkách \ rozděleni £•*._ ^Zobecněni_Ney«an-Pegrsonova_le»»atu_ Následující věta je zobecněni« Ney»an-Pearsonova le»»atu; podle této věty existuje test hypotézy, složené z konečně «noha rozda\en1, proti jednoduché alternativě. Věta rovněž udává explicitní tvar testu. VĚTA 2.4. Necht P.,...,P - jsou rozděleni pravděpodobnosti na euklidovské» výběrové» prostoru (£>(b) s hustota-■1 f1*-»-ftl+i vzhlede» k aire AjJ . Necht ol^..., £ f «é tvar n když *.♦!<*) > 2" Vlíx) (2.23) fox) .0 í**- Wx) < ^kifi Maximalizuje (2.22) na P • Jestliže kroaě toho platí k1/.../k- * 0, pak lf>" «axlaaUzuje (2.22) na «možlnč viech testových funkci splňujících (2.24) \V(*) f^^djU^ * oL^ 1«1 (111) Množina HCR1/ daná výraze» f •••/' (2.25) H «|( (J(x)fi(x)d>u ,.../^(x)fB(x)du}:^2# kde or) j« «nožlna viech testových funkci, je konvexní a uzavřená. Jestliže ( oĹj,...,oC^) je vnitřní bod «nožíny M , pak existuje optlaálnl test 9 vyhovující vztahů« (2.21), (2.23), který aaxlnallzuje (2.22). Důkaz: (1) NecnMX.n\ *e PO«loupnost testových funkci -39- taková, že lim n-*oo 5)In(íl) Wx>d(^ = 8UP S Icx)f,,+1(x)d^ . Protože množina testových funkci je kompaktní vzhledem ke slabé konvergenci, existuje podposloupnost 1 X. n. j • testová funkce £_ tak, ie i;Äfj T = ^5fid^- ^......«• Z (2.21) plyne, že 5L fc t a že 9 maximalizuje integrál (2.22) na Č. . (ii) Machl tast T je tvaru (2.23) ánechí § * je libovolný jiný test. Nechl S+ » í x € í. : J - J* > 0 J a S~ » jx f«i drÄS kii(5" P)fi v Jestliže y* é. r , je pravá strana (2.26) rovna 0 pro libovolná k1,...,k ; pri obecných k.,...,k tedy test (j> maximalizuje (2.22) na £ • Jestliže kromě toho k.,-., ...,ka ^ 0, je pravá strana (2.26) nezáporná pro libovolný test 3T * splňující (2.24). Ti« je dokázána část (ii). -40- (111) Konvexita množiny H je zřejaé a uzavřenost H plyne z toho, ie wnožlna «1*2)}. Pak N je také konvexní a uzavřené a «nožina je uzavřený Interval \oL*, có**/ - Uvaiujae zvléií případ e- a) Nechí cC * < ot** . Pak bod (o^,..., et^ 06** ) i ži na hranici N, a tedy existuje nadrovlna s rovnici ^ki°i -foki *-\ +k.*i J-mm > které prochézl bode« ( ct^..., ~ k^f^ s.v.L^; necht 0 < oL < 1. Pak existuj» test ^ tak,že E^ cL. Důkaz provedeme indukci podle ». Pro m*1 plyne tvrzeni v důsledku věty 2.1. Předpokládejme, ie tvrzeni platí pro lib.systém ■ rozděleni a necht jsou dány lineárně nezávislé hustoty f-,.»«,*^«!« Pak jsou 1 fj,...,^ lineárně nezávislé a pro každé J«1,...,m podle indukčního předpokladu existuji testy 5 j * £j tek,že E1 £j(x) ■ ^IjCX)» > » odtud vyplývá, že bod (,£,,,..., ct ) 6 r" je vnitřním bodem množiny M definované v části (111) věty (2.4), a platí tvrzeni (111) věty 2.4. Protože te*t ;$>(x) * L, splňuje podmínku E^ £(X) « J^ , 1«1,...,m+1, existuje alespoň jeden test, pro který je E>41£(X) * cL . Kdyby tato nerovnost platila pouze jako rovnost pro věecky testy, byl by test J_(x) = d optimálni a vyhovoval by (2.23). Protože 0 nný£h_hYipotJz Jestliže 8 je reálný parametr, pak kromě jednostranné hypotézy uvažované ve 2.3 přicházejí v úvahu dalěi přirozené hypotézy a alternativy: -43- H H H2 : Ô ^ 81 nebo 8 ^ 82 (#f < &2) proti K2 : 8-< 8<82 ; 91 * e * 82 prot1 K3 s 8ô 8=8 proti K4 : 8 jí 8 Jestliže uvažovaný a/s tea rozděleni je jednoparaaetrlcký exponenciálni syst*«, dovedeae nalézt stejnoaěrně nejsilnější test hypotézy H- proti alternativě K-; k toau použijeme větu 2.4. Bohužel neexistuji stejnpaěrně nejsilnější testy H, proti K3 ani H4 proti K^. Z věty 2.2 vyplývá, že testy , nesilnějěl proti alternativen 9>92 ■•!* rostoucí silofukd, zatlaco testy nejsilnější proti alternativa» 8<81 aaj1 klesající silofunkci; neexistuji tedy testy stejnoaěrně nejsilnější proti viea alternativa« 8<8- nebo 8>82. Chceae-li nalézt vhodné testy hypotéz H. a H4, au-s1ae oaezlt třídu testů, aez1 kterýal hledáae optiaua, např. na tMdu nestranných testů« 0 toato probléau bude pojednávat aásledujld kapitola. V této kapitole zkonstruujeae stejnoaěrně nejsilnější test H- proti K2 v jednoparaaetrlckéa exponenciálni» sys-téau. VETA 2.5. Hecht rozděleni pravděpodobnosti náhodného vektoru X tvoři jednoparaaetrlcký exponenciální systéa s reálný« paraaetrea 8 a s hustotami (vzhledea k nějaké a1ř« u^ ) (2.29) pft(x) » exp£c(8)T(x) + A(8) + B(x)j kde c(8) je ryze rostoucí funkce. -44- (1) Pak existuje stejnoměrně nejsilnější test hypotézy H2 : e * 9- nebo 8 - 82 (§- < 92) proti alternativ» K2 : e1<ö<92 daný vztahea (2.30) £(x) ■ h když když když Ct^T(x) < C2 cet< c2) T(x) = Ci# 1-1,2 T(x) < c1 nebo T( x) > C2 kde_ C^C,,^ a T2 jsou určeny tak, aby platilo (2.31) e. £(X) ■ Ee £(X) » JL, 082- Důkaz, Protože T je postačující statistika, stačí hledat nejsilnější test mezi testy, které jsou funkce«! "Vp (T) postačující statistiky, 0 * V< T> 6 1 ■ H«s*otu (2.29) nůžeae psát jako hustotu vzhlede» k «iře e v JäuX%) ve tvaru exp{c(9)T(x) + A(9)J . Přenose« integrace odtud dostavané, že statistika T : (£,(£) —> (ÍT/jfc ■• hustotu Pe(t) * exp-[c(8)t + A(9)j (2.32) vzhlede« k nějaké miře V na Zvolse pevně nějakou alternativu 9 €(8«,9.) a hle-dejie test ij/ (T), který ataxinalizuje Ee'U)(I) neži vše- 1 testy vyhovujiciai je «nožina všech bodů (Ea th(T), E 91 y (T) * EQ -iu(T) = J, . Necht N zľ 9 1i/(T)), kde ly probíhá -45- všecky testové funkce- Podle tvrzeni (111) věty 2.4 nuslae ověřit, zda CoL/oL) je vnitřní bod M. Podle důsledku věty 2.4 vsak existuji u-^u. ; 0 < u.< <4. 1- Dokážeme spore«, že a. > 0 1 a.>0 : kdyby a<,a_ - D, test by pořád zamítal; kdyby a^ * 0^*2 nebo a2 é °^ai/ byla by levá strana (2.33) ryze monotónní v t a výsledný test by byl jednostranného typu uvažovaný ve větě (2.3), jehož silofunkce by však byla ryze monotónni a který by tedy nemohl vyhovovat podmínce (2.31). Tedy kritický obor má tvar (2.33), kde ■1#«2 > ° a bi<0<íb2' co2 vede k te»tu (2*3°> Test nezávisí na speciálně zvolené alternativě 9 ; tím jsme zatím dokázali. Že (2.30) je nejsilnější test pro hypotézu H2 : e =6,, nebo 9 = 92 proti K2 : 8^< 6<92. Podle (11) věty 2.4 je test Y také nejsilnější pro H2 mezi všemi testy vyhovujícími Ee y(l) * oL (1=1,2). -46- Abychoa ověřiti, že 1p je také nejsiLnějši pro celou hypotézu H, zbývá dokázat, že Ee"tp(T) * 92 , což je tvrzeni(il). Srovnáni« s testen V( t) * oL pak dostáváae EgluCO £ et* pro 9 * 91 a 0 * B2. Tli je dokázáno (1). Q.E.D. K toau, abychoa určili C1'/T' C2'/Tž' *U8*B* oviea stanovit rozděleni testové statistiky T. Ale ani pak není volba zi'tz*X\'Tz 2C*la Průhledná. Podmínky (2.31) aůžeae pak přepsat ve tvaru p<*i> " S *•/« + Ji VT-Ci) +^2 Pe/T"c2> * •<" C1 1-1,2. V praxi aůžeae postupovat tak, že vyjdene z nějakých počátač-nich hodnot C?, ?*?, a k nia určiae C?',H> tak' že &*(8 C* nebo C1 = C* a Yi 'Q ) = 1. Necht 2_ Je test daný vztahy (2.35)5^ »)■ M jestliže fe (x) > k j fe(x)d ^X(G) jestliže fg(x) < k (X) = cL VV e © » M Bfe® e -u v pak je nejsilnější- oL "teste« H proti K. Poznáaka. Věty 2.3 a 2.5 jsou jednoduchýai apUkaceai věty 2.6. Hnožina (3)Q/ na které je soustředěno nejaéně příznivé rozděleni, je v prvnia případě složena z jediného bodu 0Q a ve druhéa případě ze dvou bodů 8^ a 9-, 2.7._ _Aglikace na_testováni_hjřpotéz_o_roz|>t)rlu noraálniho rozděleni Mechl X./.-.^X je náhodný výběr z noraálniho rozdě leni N( f , G2), n > 3 . Uvažujme hypotézy -50- ", i{(j^)|€» ff0J Proti K, i{(^C)i $<^J H2 :{( $,€),£ * 6 0] proti 14 :{($,Gq} . Hypotézy se týkají pouze paraaetru k , zatímco € je rušivý« parametre«. Obvykle pišeae hypotézy a alternativ ve zkrácené« tvaru H. : S * O apod. S použitím teorie dosud odvozené v této kapitole «ůžeae odvodit stejnoměrně nejsilnější test hypotézy H- proti K-a ukázat, že neexistuje stejnoaěrně nejsilnější test H- pro- ti s- tivě Uvažujae nejprve hypotézu H. proti jednoduché alterna- K1 : \ a *M' ^ * ^1 í^i<^o^' Bud*»e hledat nejaéně příznivé rozděleni pro hypotézu H. vzhledea ke K.. Očekévéae, že rozděleni v rovině (^,6) , nejaéně příznivé vzhle ke bud e soustředěno na přiaee "[(t^)2^* = * \ • Nejaéně příznivé rozděleni % ai být takové, že rozděleni (X.,...,Xn) za hypotézy H. je co nejblíže rozděleni (X1,...,Xn) za alternativy KÍ, které aá hustotu n (2.37) rJ^(2Tf)*n/2 exp l-í?t&'.-í.'2. Poaocí důsledku věty 2.6 dokižeae, že nejaéně příznivé rozděleni X přiřazuje pravděpodobnost 1 bodu ( !-,£). Skutečně, dosadiae-li takové % do (2.35), dostaneme -51- (2.38) (x) « \ r 1 jestliže (2ir6^rn/2 exp \ ■ 26 í v O jestliže platí opačná nerovnost. est ^ ■ůžeme přepsat ve tvaru (2.39) L(x) - '1 jestliže líc»*- le)8 ť C n ^0 jestUže Zľ("|- U)* > c Podle důsledku věty 2.6 Je rozděleni X nejaéně příznivé, jestliže platí (2-40) Vsítil- Sl)26"0 2* c Při libovolné« pev néa S je P <-| 21 (*V ^)2 é c j rovna pravděpodobnosti, že náhodný výběr z N(a,«. , S" ) padne do koule se střede« j^ a poloaěrea Vč. Maxiaua této pravděpodobnosti při pevné« 6 nastane pro í = í. a je rovno «•«> vImV1 -4 ■p (&*' 'S»j kde X?,...,X° jsou nezávislé náhodné veličiny s rozdelenia N(0,1). Pravá strana (2.42) je klesající v £ a tedy nabývá aaxiaa pro t> * o ; konstanta C je dána vztahea -52- C ■ S^.Xn(1-oL)j kde XŽC1-*) je 100(1-oC)-procentni kritická hodnota rozdelení Vz o n stupních volnosti. Ze (2.40) a z důsledku věty (2.6) vyplývá, že test £<(2.39) je nejsilnějším testen hypotézy H^ : £ š f proti alternativě K,| : i = *.,, ČT = S'1( ff0). Stejně jako v prvním případě očekáváme, že nejméně příznivé rozděleni bude soustře děno na přímce 6 ■ O . n Z faktorizačni věty plyne, že statistiky Y = i/_ *is ^ ~ 2 ^ = X a Z => (X^-X) jsou postačující pro parametr (f ,£) , Stačí tedy omezit své úvahy na tyto postačující statistiky. Jak je známo (viz např. Anděl [i J ,kap.V,věta 18), jsou Y a Z nezávislé, Y má rozdělení N( k , 2_) a i. má rozdělení *)f2(n-1). Jestliže %(í) Je rozděleni v ro- vině (£,£), soustředěné na přímce £ = o , pak sdružené rozdělení Y,Z za platnosti hypotézy HA má hustotu (2.42) (^r)1/2 (-|-)^n-^/2p(£ÍÍL) Z(n-3)/2 expi- j-t-^jCr-j)' <*Cj> 2G zatímco za platnosti Ky ná hustotu -53- 2.*3) C-^)1'2 Z*-«'2 T(^) (|^)(n"3)/2exp{ - * { Ukážeae, ze nejaéně příznivé rozděleni X(í) hypotézy H2 vzhlede« ke k' je nor«áln1 N( í .,( Si-Ö^/n). Dosad1«e-U toto A do (2.42), dostaneme za integralem konvolucl dvou nor ■éLnich rozděleni (až na nornalizačni konstantu) N( 0, S /n) a l( ^/(&i - 6$n), což je N( ^,6,/n). Sdružené roz- děleni {1,1) za H ■á pak hustotu ( n ji/2 2(n-1)/2 P/«-1w £.Jn-3) /2 fi-Z /2Sjf 1 (T, expi - í-ŕT'-^} "e «t Lvy > jádřený v závislosti na postačujících Statisti- kich Y,Z, «á pak tvar £*<*♦«) -1 jestliže z * C, neboli (2.44) 3\(x) = 1 jestliže zl(x.-x)2 * C. A - 1-1 5 77x2 Pravdipodoono.t P^j £<«,-«>■ > c]= fc{jl£<«r»*£} nezávisí na í a je rostoucí v S . Jsou tedy splněny předpoklady důsledku věty (2.6) a test £\ (2.44) je stejnoměrně nejsilnější« teste« H2 : C * 6*0 proti K2 : 6" >6>0; pM-to« C = ^2# ^^yj, kde Ot^^flU je 100oL-procentn1 -54- kritická hodnota rozděleni ^ o (n-1) stupních volnosti. £•§•- _D2Pi"Sy-a_clí1žeG^-. (1) Necht K1#«.»#XB a rl#...#YB jsou nezávislé výběry z N( 1,1) a N("),1)« Uvažujme hypotézu H : *] * í proti alternativě K : *\ > É . Pak existuje stejnoměrně nejsilnější test, který zamítá H při velkých hodnotách Y - X. [_Návod : Zvoli«e-li pevnou alternativu k': l^")«! Sl<")l/ pak existuje nejméně přiznivé rozděleni H vzhledem ke K1, které přiřazuje pravděpodobnost 1 bodu í = ") « -i-2------11 .( (2) Necht xi'-*-/xM a Yi'"-'Yn j50u dva nezav1slé výběry z N( i-, 6"?) a N( i2'^\)m Uvažui"e hypotézu H : ff| ^ 6*. (a) Jestliže jsou znány hodnoty í, a ^., existuje stejnoměrně nejsilnější test s kritický» oborem n . &"<- 5-' (b) Jestliže hodnoty í. a í. nejsou známy, neexis tuje stejnoměrně nejsilnější test. (3) Stanovte silofunkci testu (2.45) hypotézy M : 6á6q proti K-: GT >(T o rozptylu normálního rozděleni. z o (4) Nechi X-,...,X je náhodný výběr z rozděleni gama s hustotou -55- •p,*<*> Pírt > o, 'X >o, p>o jinde. Předpokládejme, že p je známo a I je neznámý parametr ■ ěMtka. Ukažte, že stejnoměrně nejsilnější test H : i * — n A X* proti K i i>4- *'*o á kritický obor X1 > C, kde 1 C «-i- 9np(1-cC) a gnp(1-oL) ja 100(1-aL)-Přoe«ntni kri A o tická hodnota rozděleni gama s parametry np,1- -56-