1
Statistická analýza liniových prvků
Linie mohou vystupovat na třech úrovních,
které představují jistou hierarchii:
1. ,,Prosté" linie ­ např. zlomy ­ lze určit jen délku a orientaci. Může
existovat jako jednoduchá spojnice dvou bodů či jako ,,řetězec"
2. ,,Trajektorie" ­ vektor pole větru ­ lze určit velikost (délku), orientaci
a směr
3. Sítě - dopravní sítě, říční síť ­ lze určit prostorové uspořádání ­
topologické vztahy, konektivitu, dostupnost, ...
Prostorové atributy liniových prvků
Délka linie může být definována jako:
ˇ přímá vzdálenost (vypočtená z Pythagorovy věty)
ˇ ,,skutečná" vzdálenost (součet přímých vzdáleností
jednotlivých segmentů)
Orientace linie - orientace neurčuje směr (např. JV = SZ) ­
orientace zlomů, ulic. Nemá smysl otázka odkud - kam?
Směr linie - typicky např. vektor pole větru
Uvedené atributy linií lze vyjádřit pro jednotlivé segmenty sítě
či pro celou síť jako celek (průměrná délka segmentů sítě,
převládající orientace či směr segmentů sítě, ...).
Topologie - atributy popisující jejich strukturu a uspořádání
jako celek a dále popisují vztahy segmentů uvnitř sítě
(topologii) ­ konektivita, segmentů, dostupnost, apod.
Směrová statistika
(Directional statistics)
Směrový průměr (directional mean).
Směr výsledného vektoru
ox
oy
R =tan
kde oy je suma délek vektorů ve směru osy y a ox suma délek vektorů ve
směru osy x.
Protože pracuje se směrem (úhlem) a ne s délkou, je možné linii prezentovat na
základě jednotkových vektorů. Vektorovým součtem ­ přidáním počátku druhého
vektoru na konec prvního dostaneme směrový průměr.
Délka ve směru osy y je v podstatě sin úhlu a délka na ose x je cosinus
úhlu. Potom, jsou-li vektory označeny a, b, c a odpovídající úhly a, b, c,
potom:
cba
cba
R



coscoscos
sinsinsin
tan
++
++
=
Obecně, máme-li n vektorů v a úhel vektoru v od osy x je v, výsledný
vektor OR má úhel R, měřený proti směru hodinových ručiček od osy x:

=
v
v
R



sin
sin
tan
což je tedy tangenta úhlu výsledného vektoru. Směrový
průměr je potom arctan z výše uvedeného výrazu.
Směrový průměr
Prostorové atributy liniových prvků
0 10 20 30 40 50 km
toky v povodí Jihlavy
po Oslavu
toky v povodí Oslavy
Vodní toky v povodí horní Jihlavy a v povodí Oslavy
2
Směrový rozptyl (Circular variance)
Pokud dáme dohromady vektory podobného směru, výsledný vektor
bude relativně dlouhý. Jeho délka se bude blížit n, pokud bude n
jednotkových vektorů. Naproti tomu, pokud dáme dohromady vektory
opačného či značně rozdílného směru, výsledný vektor bude
významně menší než n.
Délku výsledného vektoru můžeme použít jako statistiku, která
reflektuje variabilitu ve směru jednotlivých vektorů. Na základě výše
uvedeného tedy platí:
 += 22
)cos()sin( vvOR 
Stejně jako v případě klasické popisné statistiky je
charakterizování souboru prvků pouze měrou úrovně
často nedostatečné a může být i zavádějící. (např.
pokud dva vektory budou svírat úhel 180 stupňů).
Proto je nutné použít i měr variability (rozptylu).
Směrový rozptyl
Směrový rozptyl Sv se vypočte ze vztahu:
nORSv /1-=
kde n je počet vektorů. Sv může nabývat hodnot 0 až 1. Je-li Sv=0,
potom OR=n a všechny vektory mají stejný směr. Je-li Sv=1, potom
OR=0, všechny vektory mají opačný směr a výsledný vektor je bod.
Úvod do statistického popisu sítí
Základní pojmy používané v síťové analýze:
ˇ nódy
ˇ hrany (spoje)
Deskriptory sítě:
ˇ deskriptory sítě jako celku
ˇ deskriptory relací jednotlivých segmentů sítě.
Základním topologickým aspektem sítě je způsob propojení jednotlivých
segmentů ­ konektivita.
Vhodným nástrojem používaným k charakterizování konektivity je matice
konektivity.
Je to matice čtvercová, binární, symetrická o n řádcích (sloupcích), kde n je
počet segmentů sítě. Jednička v matici značí, že dva příslušné segmenty jsou
bezprostředně spojeny. Na hlavní diagonále matice jsou nuly.
Konektivita a matice konektivity
ID 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1
2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
3 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0
4 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
5 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0
6 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
7 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1
8 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0
9 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0
10 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
Konektivita a matice konektivity
Matice konektivity shrnuje informaci o tom, které segmenty sítě spolu souvisí
(jsou bezprostředně spojeny). Lze však charakterizovat i úroveň konektivity
sítě jako celku.
Pro fixní počet vrcholů má síť s větším počtem spojů lepší konektivitu. Dále
existuje minimální počet spojů, který zajišťuje spojení všech vrcholů.
Bude-li v ­ počet vrcholů sítě, e - počet hran sítě potom:
1min -= ve
Minimálně propojená síť (Minimally conneted network - MCN) ­
odstraníme­li jakoukoliv jednu hranu, síť se rozpadne na dva subsystémy.
Podobně lze pro daný počet vrcholů vytvořit maximální počet hran,
které spojují všechny vrcholy. Tedy maximální počet hran v síti o
v vrcholech:
)2(3max -= ve
Jednoduchou charakteristikou konektivity sítě je Gama index () ­ je
definován jako poměr aktuálního a maximálního počtu vrcholů sítě.
maxe
e
=
Gama index
3
Další jednoduchou charakteristikou konektivity sítě je počet okruhů. Výskyt
okruhů v síti značí možnost dostat se z jednoho místa do jiného alternativními
cestami. Síť s minimální konektivitou nemá žádný okruh.
Počet okruhů lze zjistit tak, že od aktuálního počtu hran v síti odečteme počet
hran potřebný pro minimálně propojenou síť (MCN), tedy e-(v-1) nebo e-v+1.
Obdobně pro daný počet vrcholů je maximální počet okruhů roven 2v-5.
S oběma uvedenými počty okruhů lze vytvořit poměr aktuálního počtu k počtu
maximálnímu ­ tedy tzv. alfa index
52
1
-
+-
=
v
ve

Pomocí alfa indexu můžeme snadno porovnat dvě sítě.
Alfa index Prostorová diferenciace větrných poměrů definovaná
směrovým průměrem a rozptylem
Dostupnost sítě (Acccessibility)
Jedná se o charakteristiku jednotlivých vrcholů
či hran sítě. Popisuje jejich dostupnost v rámci
sítě. Další výklad se týká dostupnosti hran sítě,
obdobné vztahy lze definovat i pro vrcholy.
Jednoduchým ukazatelem dostupnosti hrany
v rámci sítě je, s kolika jinými hranami daná linie
přímo souvisí. Tuto informaci lze vyčíst z binární
matice konektivity, pokud tuto doplníme
řádkovým součtem.
ID 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 SUMA
1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 4
2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2
3 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 4
4 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 3
5 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 3
6 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2
7 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 4
8 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2
9 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 2
10 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2
Výše uvedená charakteristika však může být
zavádějící, protože nebere v úvahu relativní
(topologickou) polohu hrany v rámci sítě.
Hrana může mít i pouze jeden či dva spoje,
přesto může být snadno dostupná, protože
se nachází uprostřed sítě (a naopak).
Relativní pozici každé hrany v rámci sítě lze
zjistit např. pomocí počtu hran, kterými se
lze z daného spoje dostat do
nejvzdálenějšího místa sítě.
Dostupnost sítě
Diametr (poloměr) sítě ­ je
to jedna (1) plus největší
počet hran nutných
k dosažení nejvzdálenějšího
místa v síti.
ID
počet přímých
spojů
počet kroků k dosažení
nejvzálenějšího místa
1 4 3
2 2 3
3 4 3
4 3 4
5 3 4
6 2 5
7 4 4
8 2 5
9 2 5
10 2 4
Kvalitu spojení dvou hran (vrcholů) definuje počet hran mezi nimi. Spojení
mohou být přímá a nepřímá.
Každou hranu lze popsat počtem přímých a nepřímých spojů, které jsou
třeba, aby tato byla spojena se všemi hranami ostatními.
Nepřímé spoje lze vážit počtem kroků. Zřejmě platí, že čím větší je celkový
potřebný počet spojů, tím hůře dostupná je daná hrana. Celkový počet spojů
(přímých i nepřímých) je mírou dostupnosti.
Dostupnost sítě
ID
počet přímých
spojů
celkový počet přímých a
nepřímých spojů
1 4 15
2 2 19
3 4 16
4 3 21
5 3 21
6 2 28
7 4 18
8 2 25
9 2 25
10 2 20
Okres Třebíč Jihlava
Počet vrcholů 127 118
Počet hran 132 127
Gama index 0,352 0,364943
Alfa index 0,0240964 0,04329