1
Metody prostorové interpolace
Základní pojmy
Interpolace ­ skupina metod, které slouží k odhadu neznámých hodnot
proměnné v jistých bodech (neměřených) na základě hodnot proměnné
v bodech měřených.
Prostorová interpolace ­ skupina metod, které slouží k vytváření
spojitých povrchů (polí) z bodových měření.
Body mohou být lokalizovány v 1, 2 i 3 rozměrném prostoru. Interpolace se
může týkat nejenom bodů, ale i linií a ploch.
Extrapolace ­ odhad hodnot proměnné vně oblasti definované krajními
body měření.
Naprostá většina interpolačních postupů je založena na principu
prostorové autokorelace ­ tedy na předpokladu, že hodnoty odhadované
veličiny v lokalitách blízkých si boudou více podobné něž hodnoty
v lokalitách vzdálených.
Výběr reprezentativních vzorků (sampling)
Je důležitý pro výběr interpolačního algoritmu a úspěšnost vlastní interpolace.
Další aspekty ovlivňující úspěšnost interpolace
způsob prezentace spojitých polí (grid, TIN, izočáry, areály)
dostupné datové zdroje pro interpolaci
vymezení studované plochy ­ přirozené a administrativní
hranice
dostupnost bodů měření vně studované plochy
Předpoklady úspěšné prostorové interpolace
existence dostatečně reprezentativního vzorku měřených dat
vhodné vlastnosti měřené veličiny a typ dat (ordinální,
intervalová, poměrová)
teoretické i empirické znalosti o povaze prostorové diferenciace
studovaného jevu
znalost podstaty použitelných interpolačních metod
znalost způsobu výběru nejvhodnější metody
Explorační analýza prostorových dat (ESDA).
Cílem je zjistit základní informace o charakteru vstupních dat.
prověření požadavků normality a stacionarity
analýza rozdělení hodnot - analýza histogramu
výpočet základní popisné statistiky včetně momentů vyššího řádu
(asymetrie a špičatosti)
analýza kvantilového grafu (Q-Q grafu)
případná transformace (log)
zkoumání odlehlých hodnot a jejich případné odstranění
analýza trendu a jeho případné odstranění
ESDA je nezbytným předstupněm úspěšné aplikace metod krigingu.
Rozdělení metod prostorové interpolace
metody interpolace bodů, linií a ploch.
metody lokální a globální
metody exaktní a aproximující
metody spojité a zlomové (abrupt)
metody deterministické a stochastické
2
Globální a lokální metody interpolace
Exaktní a aproximující metody interpolace
Deterministické a stochastické metody interpolace
Globální interpolátory využívající analýzy trendu
Princip - mnohonásobná regrese hodnot atributu vs.
geografické souřadnice.
Metodou nejmenších čtverců jsou nalezeny nejvhodnější
koeficienty pro daný polynom n-tého řádu.
Předpokládá se normální rozdělení.
lineární trend:
z = b0 +b1x + b2y
kvadratický trend:
z = b0 + b1x+ b2y + b3x2 + b4xy + b5y2
kubický trend:
z = b0+ b1x + b2y + b3x2 + b4xy+ b5y2 + b6x3 + b7x2y+ b8xy2 + b9y3
b ­ koeficienty, x, y ­ souřadnice bodů
Interpolace trendové složky polynomy 1 až 5 stupně
Globální interpolátory využívající regresní analýzy
Princip - existuje vazba mezi hodnotami interpolované veličiny a
vybranými jinými atributy studovaného prostoru (např. teplota a
nadmořská výška,koncentrace znečištění a vzdálenost od zdroje).
Forma - empirický model závislosti interpolované veličiny na
hodnotách jedné či několika veličinách nezávislých:
z(x) = b0 + b1P1 + b2P2 + 
b0 ...bn - regresní koeficienty
P1 ... Pn - nezávisle proměnné
Sestavení regresní závislosti je založeno na metodě nejmenších
čtverců.
Výsledný model může být lineární i nelineární.
Jako nezávisle proměnné lze kombinovat geografické souřadnice
s jinými atributy.
3
Regresní model závislosti teplotních sum na nadmořské výšce, zápis modelu
v prostředí ArcView Map Calculator a vytvořená mapa teplotních sum pro ČR
Metody lokální interpolace (lokální interpolátory)
Globální interpolátory - lokální efekty = náhodný šum
Lokální interpolátory - hledaná hodnota je určena z určitého
počtu měření z předem definovaného okolí počítaného bodu.
Obecný postup se sestává z následujících kroků:
1. definování velikosti a tvaru zájmového okolí
2. nalezení měřených bodů v tomto okolí
3. nalezení matematické funkce vystihující kolísání hodnot nacházejících
se v okolí daného bodu
4. výpočet hodnoty pro uzly regulérní sítě (grid)
Pro lokální interpolace jsou důležité následující skutečnosti:
druh použité interpolační funkce
velikost, tvar a orientace okolí
počet bodů v okolí zahrnutých do výpočtu
rozložení uvažovaných bodů (regulérní či nepravidelné)
možné začlenění externí informace např. o obecném trendu
Metoda nejbližšího souseda (thiessenovy polygony)
Princip - hodnoty atributů v neměřených místech jsou určeny z hodnot
nejbližšího místa měřeného.
Zpracovávané území rozděleno na nepravidelné trojúhelníky
(Delaunay triangulace) a z nich jsou poté definovány tzv. thiessenovy
polygony.
Příklad interpolace množiny nepravidelně rozmístěných bodů
v ploše metodou thiessenových polygonů
Příklad interpolace spojité veličiny metodou thiessenových
polygonů
4
Metody konstrukce nepravidelných trojúhelníků (TIN)
Exaktní metoda vhodná pro nepravidelně rozmístěné body měření.
Body jsou spojeny liniemi a vytváří síť nepravidelných trojúhelníků.
Hodnoty v bodech na počátku a konci linií jsou známy, lze použít
jednoduchou lineární závislost k interpolaci bodů mezi dvěma body
na linie.
TIN je metoda interpolace i způsob vizualizace spojitých povrchů.
Metoda vhodná pro povrchy vyznačující se náhlými změnami
spádu (fluviálně erodované povrchy).
Proces vytváření spojitého povrchu metodou TIN zahrnuje:
výběr charakteristických bodů (ne z jakékoliv množiny
nepravidelně rozmístěných bodů lze vytvořit TIN)
způsob propojení bodů do trojúhelníkové sítě
způsob modelování povrchu uvnitř trojúhelníků
http://www.ncgia.ucsb.edu/giscc/units/u056/
Způsob propojení bodů do TIN - Delaunay triangulace:
TIN je model vhodný k následné
konstrukci izolinií.
Metody není možné použít k extrapolaci ­
výsledný povrch má plochu, která vznikne
spojením vnějších měřených bodů (,,hull").
Metoda inverzní vzdálenosti
Princip - hodnota atributu v určitém bodě je váženým aritmetickým
průměrem hodnot okolních měřených bodů.
Váhy jsou určeny pro každý bod jako inverzní vzdálenost měřeného
bodu od bodu interpolovaného.
Obecný vzorec pro odhad hodnoty Z:


=
=
= n
i
i
n
i
ii
w
zw
Z
1
1^
Váhy se určují ze vztahu:
k
d
w
1
=
Hodnoty vah wi představují funkci vzdálenosti d. Hodnota exponentu
k se nejčastěji volí 1 či 2.
nebo
kd
ew -
=
Odhad hodnoty v bodě metodou inverzní vzdálenosti Příklad interpolace spojité veličiny metodou inverzní
vzdálenosti
5
Metoda inverzní vzdálenosti efekt ,,průměrování"-
potlačení lokálních extrémů
Problém generování koncentrických struktur kolem interpolovaných bodů
(tzv. ,,bulls eyes")
Způsob definování okolí
izotropní povrch - kruhové okolí interpolovaného bodu, pro odhad
hodnoty bereme všechny body bez ohledu na směr
anizotropie - body v jistém směru mohou mít na interpolovanou
hodnotu jinou váhu než ve směru jiném - okolí tvaru elipsy
minimální a maximální počet bodů pro výpočet nové hodnoty
rozmístění bodů v rámci definovaného okolí (kvadranty, oktanty)
IDW je senzitivní na shluky měřených bodů a také na odlehlé hodnoty
Interpolace metodou lokálních polynomů
Lokální interpolátory využívající regresní analýzy
Vazba mezi hodnotami interpolované veličiny a jinými vybranými
atributy studovaného prostoru je vyjádřena regresní závislostí pouze
pro část interpolovaného povrchu.
Tato část povrchu má podobu okolí interpolovaného bodu předem
definovaného tvaru a velikosti.
Body jsou interpolovány s pravidelným krokem a okolí se ,,posouvá"
stejně jako v případě klouzavých průměrů (viz. metoda IDW)
Splinové funkce
Matematicky definované křivky, které po částech a exaktně interpolují
jednotlivé body povrchu, jsou lokálním interpolátorem
Zajišťují kontinuální spojení jednotlivých částí interpolovaného povrchu.
Lze modifikovat část povrchu bez přepočtu celého povrchu (toto
neumožňují trendy).
Pro interpolování linií se používá tzv. kubických splinů, pro
interpolování povrchů se využívá jejich 2D analogie označované jako
,,thin plate splines"
Nahrazují části povrchů interpolované přesným splinem lokálně
shlazenou průměrnou hodnotou.
Povrch je interpolován tak, aby procházel co nejblíže měřeným bodům
a také aby zachoval podmínku minimální křivosti.
Interpolované povrchy jsou často značně shlazené, jsou vhodné pro
interpolaci jevů, které se mění spojitě.
Izolinie vytvořené interpolací gridových hodnot přízemního pole
tlaku vzduchu splinovými funkcemi
,,Radial basis functions"
Exaktní interpolátory využívající splinové funkce a umělé neuronové
sítě
Analogie ,,přetažení" gumové membrány přes body v prostoru.
Porovnání výsledků interpolace metodami splinových funkcí
(RBW) a metodou inverzní vzdálenosti (IDW).
Kriging geostatistické metody interpolace
Lokální metody interpolace, které optimalizují výběr bodů okolí, ze
kterých je odhadována nová hodnota.
K této optimalizaci se provádí tzv. strukturní analýza založená na
studiu tzv. strukturních funkcí ­ např. semivariogramu.
Semivariogram z empiricky zjištěných dat je nahrazen teoretickým
modelem a parametry tohoto modelu jsou použity ve vlastním
krigování.
Kriging je založen na odhadu závislosti průměrné změny v hodnotách
studované veličiny a vzdálenosti měřených bodů.
6
Strukturní analýza
Experimentální
semivariogram
Teoretický
semivariogram
Základní komponenty spojitého povrchu
I ­ trendová složka ­ drift
ii ­ regionalizovaná proměnná
iii ­ náhodná složka
Příklad výpočtu měr prostorové variability pro 1D - řadu hodnot
průměr = (1+3+6+5+3+1+2+3)/8=3,0
rozptyl=[(1-3)2+(3-3)2+(6-3)2+(5-3)2+(3-3)2+(1-3)2+(2-3)2+(2-3)2]/8=2,75
kovariance(1)=[(1-3)*(3-3)+(3-3)*(6-3)+(6-3)*(5-3)+(5-3)*(3-3)+(3-3)*(1-3)+(1-
3)*(2-3)+(2-3)*(3-3)]/7=1,14
semivariance(1)=[(1-3)2+(3-6)2+(6-5)2+(5-3)2+(3-1)2+(1-2)2+(2-3)2]/7=3,43
semivariance(2)=[(1-6)2+(3-5)2+(6-3)2+(5-1)2+(3-2)2+(1-3)2]/6=9,83
semivariance(3)=[(1-5)2+(3-3)2+(6-1)2+(5-2)2+(3-3)2]/5=12,50
Experimentální semivariogram
Strukturní analýza v 2D ­ výpočet semivariogramu z naměřených dat:
n - počet dvojic bodů pozorování proměnné s atributem z vzdálených o
hodnotu h
h - tzv. lag - vzdálenost dané dvojice bodů.
Experimentální semivariogram (+) s charakteristickými hodnotami pro
vzdálenosti h (ˇ) a proložený teoretický model semivariogramu (plná čára)
( ) ( ) ( )( )=
+-=
n
i
ii hxzxz
n
h
1
2
2
1
^
Možnost hodnocení (validace) přesnosti modelu
KRIGING jako metoda interpolace
=
=
n
i
ii xzxz
1
0 )()(^ 
KRIGING jako metoda interpolace - příklady