1
Geostatistické metody
prostorové interpolace
Geostatistické metody interpolace
Stochastické metody lokální interpolace,
Optimalizují výběr bodů okolí, ze kterých je interpolována nová
hodnota.
K této optimalizaci se provádí tzv. strukturní analýza založená na
studiu tzv. strukturních funkcí ­ např. semivariogramu.
Semivariogram z empiricky zjištěných dat je nahrazen teoretickým
modelem a parametry tohoto modelu jsou použity ve vlastním
krigování.
Kriging je založen na odhadu závislosti průměrné změny v hodnotách
studované veličiny a vzdálenosti měřených bodů.
Základní komponenty spojitého povrchu
I ­ trendová složka ­ drift
ii ­ regionalizovaná proměnná
iii ­ náhodná složka
( ) ''
)()(  ++= hxxZ
Regionalizovaná proměnná se odhaduje v tzv. strukturní analýze
pomocí hodnot strukturní funkce - tzv. semivariance (h)
Příklad výpočtu měr prostorové variability pro 1D - řadu hodnot
průměr = (1+3+6+5+3+1+2+3)/8=3,0
rozptyl=[(1-3)2+(3-3)2+(6-3)2+(5-3)2+(3-3)2+(1-3)2+(2-3)2+(2-3)2]/8=2,75
kovariance(1)=[(1-3)*(3-3)+(3-3)*(6-3)+(6-3)*(5-3)+(5-3)*(3-3)+(3-3)*(1-3)+(1-
3)*(2-3)+(2-3)*(3-3)]/7=1,14
semivariance(1)=[(1-3)2+(3-6)2+(6-5)2+(5-3)2+(3-1)2+(1-2)2+(2-3)2]/7=3,43
semivariance(2)=[(1-6)2+(3-5)2+(6-3)2+(5-1)2+(3-2)2+(1-3)2]/6=9,83
semivariance(3)=[(1-5)2+(3-3)2+(6-1)2+(5-2)2+(3-3)2]/5=12,50
Strukturní analýza
Experimentální semivariogram
Strukturní analýza v 2D ­ výpočet semivariogramu z naměřených dat:
n - počet dvojic bodů pozorování proměnné s atributem z vzdálených o
hodnotu h
h - tzv. lag - vzdálenost dané dvojice bodů.
Experimentální semivariogram (+) s charakteristickými hodnotami pro
vzdálenosti h (ˇ) a proložený teoretický model semivariogramu (plná čára)
( ) ( ) ( )( )=
+-=
n
i
ii hxzxz
n
h
1
2
2
1
^
Strukturní analýza
Experimentální
semivariogram
Teoretický
semivariogram
2
Strukturní analýza
Prvky (parametry) semivariogramu
a - dosah (range), d ­ rozpětí, c0 - zbytkový rozptyl (nugget),
c=c0 + c1 - práh (sill), h ­ lag (krok vzdálenosti)
Strukturní analýza
Efekt anizotropie
Příklady teoretických semivariogramů:
sférický lineární sinový
Základní nástroje průzkumové analýzy prostorových dat
Vykreslení množiny hodnot semivariance či kovariance
ˇ Každý bod v grafu představuje dvojici bodů
v analyzovaném prostoru nacházejících se
v určité vzdálenosti (osa x).
ˇ Podobnost hodnot interpolované veličiny je
vyjádřena semivariancí (osa y).
KRIGING jako metoda interpolace
=
=
n
i
ii xzxz
1
0 )()(^ 
Odhad hodnoty v bodě x0
a odhad jeho rozptylu
=
+=
n
i
iie xx
1
0
2
),(^ 
Je konstruován tak, aby byl minimální
=
=+
n
i
jjii xxxx
1
0 ),(),( 
Hodnoty semivariancí poskytuje
strukturní analýza - z vhodného
teoretického modelu semivariogramu
váhy, které
musíme
vypočítat
Postup řešení:
1. Na základě předem provedené strukturní analýzy použijeme vhodnou
strukturní funkci (např. sférický semivariogram) s příslušnými hodnotami
parametrů
2. Řešíme soustavu rovnic, kde jednotlivé členy mají následující význam:
bA =
A ­ matice semivariancí mezi všemi dvojicemi bodů
b ­ vektor semivariancí mezi všemi body a bodem predikovaným
 ­ vektor vah jednotlivých bodů
 ­ tzv. Lagrangeův člen
3. Soustavu rovnic řešíme pro váhy , tak, aby byla splněna podmínka
1= (proto je v soustavě použit člen )






=-


bA 1
4. K určení hodnot semivariancí je zapotřebí vytvořit matici
vzdáleností mezi datovými body a vektor vzdáleností mezi měřenými
body a bodem predikovaným
5. Řešením soustavy rovnic získáme hodnoty vah  a hodnotu 
6. Vypočteme predikovanou hodnotu v bodě (i=0):
7. Vypočteme rozptyl odhadu:
=
=
n
i
ii xzxz
1
0 )()(^ 
=
+=
n
i
iie xx
1
0
2
),(^ 
Z(xi=0) =4,560
e
2 = 4,008
Postup řešení:
3
Základní krigování (ordinary kriging)
( ) )()( iii xxxZ  +=
kde  je neznámá hodnota trendu.
Typy krigování Univerzální krigování (Universal kriging)
( ) )()( iii xxxZ  +=
kde (x) je deterministická funkce
Indikátorové krigování
( ) )( ii xxI  += kde  neznámá konstanta, (x)
autokorelovaná náhodná
proměnná a I(x) je binární
proměnná, která nabývá hodnot 0
nebo 1.
Hodnocení a verifikace modelů
Krigování jako interpolační metoda umožňuje pro každý
interpolovaný bod odhadnout potenciální velikost chyby odhadu.
Mapy druhé odmocniny
tzv. směrodatné chyby (odchylky) krigingu (Standard error map),
2
e
Mají-li chyby predikce normální rozdělení, potom 95% interval
spolehlivosti predikovaných hodnot lze určit z následujícího
vztahu:
2
0 96,1)( exZ 
kde Z(x0) je odhad hodnoty proměnné z v bodě x0 a e
2 je rozptyl
odhadu.
Při opakovaném použití stejného modelu padne 95 % odhadovaných
hodnot do uvedeného intervalu
Křížová validace modelu
Jednotlivé body měření (červené) jsou po jednom postupně vynechány ze
vstupní množiny dat
Ze zbývajících (modrých) je vypočtena hodnota v místě vynechaného bodu.
Následně jsou porovnány pozorované a vypočtené hodnoty
Validace modelu
Vstupní soubor měřených hodnot rozdělí na dvě části ­ data trénovací a
testovací.
Trénovací množina dat se použije pro odhad trendu a autokorelačního
modelu.
Pokud sestavený model vyhovuje trénovacím datům, je ověřen na datech
testovacích.
Korelační pole měřených a predikovaných hodnot
Obecnou vlastností krigingu jako interpolační metody je podhodnocení
vysokých hodnot a naopak nadhodnocení hodnot nízkých.
4
Sumární statistika rozdílů pozorovaných
a vypočtených hodnot
Rozdíly pozorovaných a vypočtených hodnot lze hodnotit dále
uvedenými měrami:
MPE ­ mean prediction error - průměr rozdílů měřených a předikovaných
hodnot - hodnoty chyb odhadů by měly být nestranné ­ tedy jejich průměr by se
měl rovnat nule.
n
xzxZ
MPE
n
i
ii=
-
= 1
))()(^(
RMSPE (root mean square prediction error) ­ druhá odmocnina průměrného
čtverce vzdálenosti vypočtených hodnot od teoretických. Slouží k porovnání
několika různých modelů. Čím menší je RMSPE, tím vhodnější je model (tím
bližší jsou vypočtené hodnoty hodnotám měřeným).
n
xzxZ
RMSPE
n
i
ii=
-
= 1
2
))()(^(
Základní kriging