66
Geostatistické metody interpolace
Při použití většiny dosud uvedených interpolačních algoritmů nemáme a priori
objektivní informaci o tom, zda způsoby definování okolí interpolovaného bodu, body
použité k interpolaci a také jejich váhy jsou zvoleny vhodně. V případě kvalitních
vstupních dat dává většina interpolačních technik podobné výsledky (Borrough,
McDonnell, 1998). Vstupních dat musí být především dostatečný počet a musí být
také vhodně rozmístěna ve studovaném území. V opačném případě hraje velkou roli
volba vhodného interpolačního algoritmu.
Žádná z metod dosud neřešila následující problémy:
ˇ počet bodů nutných k výpočtu lokálního průměru
ˇ velikost orientaci a tvar okolí
ˇ zda neexistuje jiná cesta k definování vah než funkce vzdálenosti bodů
ˇ jaké jsou chyby a nejistoty spojené s interpolovanými hodnotami
Odpovědi na tyto otázky poskytují geostatistické postupy založené na tzv. strukturní
analýze. Její výsledky jsou poté mimo jiné využitelné v interpolačních postupech
krigingu. Metodu krigingu uvedli G. Matheron a D.G. Krige a je založena na
skutečnosti, že interpolovaný povrch lze lépe vystihnout stochastickou funkcí než
shlazující matematickou funkcí. Předchozí metody interpolace lze označit jako
deterministické. Metoda krigingu odhaduje interpolační váhy bodů tak, že
optimalizuje interpolační funkci a lze ji například využít také k optimalizaci sítí apod.
Kriging jako interpolační metoda byla vyvinuta v geologii a je vhodná pro
interpolování proměnných, které se v prostoru mění s jistou kontinuitou, ale nelze je
popsat jednoduchou shlazující funkcí některého z globálních interpolátorů. V případě
krigingu je interpolovaný povrch tvořen ze tří složek (obr. 1). První složku
představuje tzv. strukturální komponenta s konstantním průměrem či trendem -
obecný trend (tzv. drift). Druhou složku povrchu představují kolísání (drobné
sníženiny či vyvýšeniny), jejichž podstatu lze vyjádřit určitou matematickou funkcí
jako v případě trendu, ale která vyjadřují určitou prostorovou korelaci (tzv.
regionalizovaná proměnná) Třetí složku potom představuje náhodný šum.
Obr. 1. Základní komponenty spojitého povrchu (i ­ trendová složka ­ drift; ii ­ tzv.
regionalizovaná proměnná; iii ­ náhodná složka)
V případě krigingu jsou všechny tři složky analyzovány separovaně. První složka je
odhadována za pomoci obecné trendové funkce. Druhá složka - náhodná, ale
prostorově korelovaná kolísání jsou analyzována metodou tzv. variogramu.
Nechť x je poloha bodu v 1, 2 či 3 dimenzích, potom hodnota náhodné proměnné
Z v bodě x bude
67
( ) '',
)()(  ++= xxxZ
x - pozice v 1, 2 či 3 rozměrném prostoru
Z - interpolovaná proměnná
Z(x) - hodnota proměnné v bodě x
(x) - deterministická složka (trend)
'(x) - stochastická složka (regionalizovaná proměnná) - lokálně proměnné, ale
prostorově závislé reziduum od (x)
'' - náhodná, prostorově nezávislá složka, gaussovský šum s nulovým průměrem a
s rozptylem 2
. Velké písmeno Z značí, že se jedná o náhodnou funkci a ne o
měřenou hodnotu proměnné z.
Prvním krokem je zvolení vhodné funkce vystihující složku (x). V nejjednodušším
případě, když se v hodnotách nenachází žádný trend (drift), potom se (x) rovná
průměrné hodnotě v ploše a průměr či očekávaný rozdíl mezi dvěma místy x a x+h
vzdálenými od sebe o hodnotu vektoru h, bude nula:
[ ] 0)()( =+- hxZxZE
kde Z(x) a Z(X+h) jsou hodnoty náhodné proměnné Z v poloze x, x+h.
Dále také předpokládáme, že rozptyl rozdílů závisí pouze na vzdálenosti mezi místy,
tedy:
{ }[ ] { }[ ] )(2)(')(')()(
22
hhxxEhxZxZE  =+-=+-
kde hodnota (h) se označuje jako semivariance.
To značí, že jakmile jsme odhadli příspěvek strukturní proměnné (x), zbývající
kolísání má konstantní rozptyl a diference mezi dvěma místy jsou pouze funkcí jejich
vzdálenosti. Výše uvedený vztah lze přepsat:
( ) ''
)()(  ++= hxxZ
tedy mezi '(x) a (h) je ekvivalence
Strukturní analýza
Geostatistická strukturní analýza (variografie) je procedura zahrnující výpočet
strukturálních funkcí, výběr a konstrukci odpovídajících teoretických modelů a jejich
aplikace, interpretaci průběhu strukturálních funkcí. Cílem je popsat takové vlastnosti
jako jsou kontinuita, homogenita, stacionarita či anizotropie pole studovaných
prostorových proměnných veličin. Tyto vlastnosti jsou popisovány prostřednictvím
měr prostorové autokorelace a prostorové variability. Strukturální analýza je
výchozím krokem geostatistického modelování. Sama o sobě ale poskytuje řadu
velmi důležitých informací o struktuře náhodného pole jako modelu konkrétního
objektu v krajinné sféře.
Obr. 2 Příklad výpočtu měr prostorové variability pro 1D (řadu hodnot)
68
Ke kvantifikaci prostorové autokorelace, která vyjadřuje skutečnost, že objekty blízké
si jsou více podobné než objekty vzdálenější slouží strukturální funkce. Strukturální
funkce měří sílu korelačního vztahu jako funkci vzdálenosti. Na obr. 2 je pro
jednoduchost odvozena strukturální funkce pro řadu pravidelně rozmístěných bodů
na linii (tedy pro 1D). Charakteristiky, které popisují prostorovou variabilitu lze odvodit
z měr úrovně a variability následovně:
průměr = (1+3+6+5+3+1+2+3)/8=3,0
rozptyl=[(1-3)2
+(3-3)2
+(6-3)2
+(5-3)2
+(3-3)2
+(1-3)2
+(2-3)2
+(2-3)2
]/8=2,75
kovariance(1)=[(1-3)*(3-3)+(3-3)*(6-3)+(6-3)*(5-3)+(5-3)*(3-3)+(3-3)*(1-3)+(1-3)*(2-3)+(2-3)*(3-
3)]/7=1,14
semivariance(1)=[(1-3)2
+(3-6)2
+(6-5)2
+(5-3)2
+(3-1)2
+(1-2)2
+(2-3)2
]/7=3,43
semivariance(2)=[(1-6)2
+(3-5)2
+(6-3)2
+(5-1)2
+(3-2)2
+(1-3)2
]/6=9,83
semivariance(3)=[(1-5)2
+(3-3)2
+(6-1)2
+(5-2)2
+(3-3)2
]/5=12,50
...
Semivariance může být definována jako.
))()(var(21)( jiji xZxZxx -=
kde var značí rozptyl. Jestliže jsou dva body xi a xj blízko sebe, bude rozdíl hodnot
studované veličiny Z(xi) a Z(xj) těchto bodech malý. S růstem vzdálenosti si budou
hodnoty méně podobné. Grafickým vyjádřením závislosti semivariance na
vzdálenosti je strukturální funkce nazývaná semivariogram, jejíž typický průběh je na
obr. 3.
Obr. 3 Vztah mezi semivariogramem (1) a kovarianční funkcí (2). Vysvětlení
jednotlivých termínů viz. dále
Semivariogram je pouze jednou z mnoha strukturálních funkcí, i když
nejpoužívanější. Semivariogram je mírou nepodobnosti. K dalším takovýmto
funkcím patří kovarianční funkce:
))(),(cov()( jiji xZxZxxC =
kde cov značí kovarianci. Kovariance je stejně jako korelace mírou podobnosti.
Budou­li dva body blízko sebe, budou hodnoty v těchto bodech podobné a jejich
kovariance bude velká. S růstem vzdálenosti bude klesat podobnost bodů a budou
klesat i hodnoty kovariance. Hodnota kovariance je při nulové vzdálenosti rovna
rozptylu množiny zpracovávaných dat.
Vztah mezi semivariogramem a kovarianční funkcí lze vyjádřit následovně:
),()( jiji xxCsillxx -=
Veličina označená sill značí tzv. práh a je to hodnota, na níž má semivariogram
vodorovný průběh (viz. dále).
69
Strukturní analýza v 2D
Výše uvedený příklad určení semivariance platí pro řadu pravidelně rozmístěných
bodů. Strukturní analýzy a následného krigování se však ve většině případů používá
pro charakterizování vztahů prostorové autokorelace a pro následné odhady a
interpolace v rovině, ve kterém máme množinu pravidelně, častěji však
nepravidelně rozmístěných bodů měření.
Abychom popsali závislost hodnot studovaného jevu v prostoru, vyneseme hodnoty
semivariancí pro všechny dvojice bodů do semivariogramu obdobně jako ve výše
uvedeném případě. Semivariogram je strukturální funkce, která popisuje závislost
průměrné kvadratické diference hodnot prostorové proměnné veličiny Z na
vzdálenosti h. Semivarianci lze odhadnout z naměřených dat podle následujícího
vztahu:
( ) ( ) ( )( )=
+-=
n
i
ii hxzxz
n
h
1
2
2
1
^
kde:
n - počet dvojic bodů pozorování proměnné s atributem z vzdálených o hodnotu h
h - tzv. lag - vzdálenost dané dvojice bodů.
Obr. 4 Experimentální semivariogram (+) s charakteristickými hodnotami pro
vzdálenosti h (ˇ) a proložený teoretický model semivariogramu (plná čára)
Graf hodnot ( )h^ a h se označuje jako experimentální semivariogram a je prvním
krokem ke kvantitativní deskripci regionalizované proměnné. I když je semivariogram
vektorová funkce, sestavuje se často jako izotropní (tj. bez ohledu na směr) pro
celkové charakterizování hodnoceného náhodného pole nebo tehdy, je-li k dispozici
omezený počet pozorování. Experimentálním semivariogramem se v následujícím
kroku prokládá teoretický model.
Prvky semivariogramu
Na obr. 5 uveden často používaný tzv. sférický model s vysvětlením používané
terminologie. Na horizontální ose je vynášena vzdálenost h mezi jednotlivými
vstupními body interpolovaného povrchu (tzv. lag), na vertikální ose potom rozptyl
zkoumané proměnné jako funkce vzájemných vzdáleností jednotlivých měřených
bodů. Je mírou, která vyjadřuje, jak velké je okolí, daného bodu, ve kterém se
nacházejí body sousední, jejichž hodnota interpolovaného atributu závisí (koreluje) s
hodnotou v tomto bodě. Takto vynesenými body je proložena křivka mající
charakteristický tvar. Je-li vzdálenost mezi dvěma body malá, jejich hodnoty jsou
podobné a hodnota semivariance je také malá. Se zvětšující se vzdáleností hodnota
semivariance roste. Při určité vzdálenosti dvou bodů je možno říci, že jejich hodnoty
(např. výšky) spolu již nekorelují a hodnota semivariance i se zvyšováním
70
vzdálenosti již neroste, ale zůstává konstantní. Plochá část semivariogramu určuje
tzv. práh (sill) a je rovna rozptylu zpracovávaných dat. Existence prahu značí, že se
zvětšující se vzdáleností se hodnoty semivariance nemění. Kritická hodnota
vzdálenosti, na níž se křivka semivariogramu stává rovnoběžnou s vodorovnou osou
se označuje jako dosah (range). Dosah definuje pro daný bod velikost okolí, které je
nutné uvažovat při interpolaci hodnoty v daném bodě.
Obr.5 Příklad teoretického semivariogramu ­ sférický model. Parametry
semivariogramu: a - dosah (range), d ­ rozpětí, c0 - zbytkový rozptyl (nugget), c=c0 +
c1 - práh (sill), h ­ lag (krok vzdálenosti)
Z výše uvedeného by také mělo platit, že proložená křivka semivariogramu by měla
procházet počátkem souřadné soustavy (nulová vzdálenost mezi body znamená
zákonitě také nulovou hodnotu rozptylu).Velmi často nenabývají experimentální
semivariogramy v počátku nulové hodnoty; protínají osu y v nenulové hodnotě, která
je nazývána zbytkový rozptyl (nugget variance). To může ukazovat na rozptyl
menší než je "vzorkovací" vzdálenost, nebo na malou přesnost měření, kdy např.
jsou v datech obsaženy dva vzorky ze stejného místa, pokaždé s jinou hodnotou.
Zbytkový rozptyl je tak vyjádřením náhodného šumu '' a sestává se jednak z chyb
měření (dvě různé hodnoty pro jeden bod) a jednak z tzv. microscale variation ­ ty
jsou vyjádřením rozptylu hodnot složky ' . V případě nulového zbytkového rozptylu a
tedy v případě nulové chyby měření je krigování exaktním interpolátorem.
Na tvar semivariogramu má značný vliv velikost hodnoty lag (vzdálenosti h). Velikost
h se volí např. jako průměrná minimální vzdálenost mezi sousedními body. Velká
hodnota h dává hladší průběh semivariogramu, může však zamaskovat efekt
autokorelace studovaných dat na menší vzdálenosti. Naopak malá hodnota h má vliv
na malý a tedy často nereprezentativní počet bodů v rámci každé hodnoty násobku
h. Nevhodná délka kroku se může dále projevit v oscilaci hodnot semivariogramu.
Výpočet semivariancí se většinou provádí do vzdálenosti rovné polovině maximální
vzdálenosti bodů v prostoru. Tedy násobíme-li velikost kroku počtem kroků, měli
bychom dostat hodnotu rovnou zhruba polovině maximální vzdálenosti mezi
interpolovanými body.
Efekt anizotropie
V případě velkého množství nepravidelně rozmístěných bodů je vhodné hodnotu
semivariance vyjádřit pro skupiny bodů přibližně stejně vzdálených. V tomto případě
se do výpočtu hodnoty semivariance pro dané h berou všechny body padnoucí do
mezikruží určeného tolerancí délky kroku. Toleranci délky kroku je nutné volit
v případě nerovnoměrného rozmístění měřených bodů v rovině. Tato hodnota se volí
v mezích od 10 - 50% z délky kroku h. Grupování hodnot semivariancí na základě
podobné vzdálenosti (tzv. binning) dovoluje konstruovat druhý typ grafu, často
využívaného pro studium prostorové autokorelace a pro snadnější interpretaci
hodnot semivariogramu ­ tzv. plošný graf semivariance. Ten navíc umožňuje
posoudit eventuelní rozdíly v hodnotách semivariance v závislosti na směru ­ tedy
definovat efekt anizotropie. Proto se tento typ grafu také označuje jako povrch
anizotropie.
71
Plošný graf semivariance představuje grid s buňkami o velikosti strany rovné
vzdálenosti h (lag). V grafu určujeme vzdálenost směrem od středu. Jednotlivé buňky
grafu nesou hodnotu semivariance vypočtenou ze všech dvojic bodů, které jsou od
sebe vzdáleny o právě o vzdálenost od středu grafu a které se navíc nacházejí
v určitém směru - viz. obr 6. 2) a 3). Hodnoty semivariancí jsou potom vyjádřeny
např. barvou.
Obr.6 Princip grupování hodnot semivariancí na základě podobné vzdálenosti a
plošný graf semivariance.
Hodnoty semivariancí obecně rostou směrem od středu grafu, protože podobnost
hodnot studované veličiny s růstem vzdálenosti obecně klesá ­ tedy roste jejich
nepodobnost vyjádřená semivariancí. V případě, že se hodnota semivariance mění
s rostoucí vzdáleností (směrem od středu grafu) stejně ve všech směrech, potom
hovoříme izotropii studovaného pole. V opačném případě tvoří hodnoty semivariance
na plošném grafu tvar elipsy. Výsledkem je, že i tvar semivariogramu bude jiný ve
směru hlavní a vedlejší poloosy. Semivariogram sestavený z bodů ve směru kratší
poloosy elipsy anizotropie se bude vyznačovat strmějším průběhem. Tento směr
odpovídá směru maximální variabilizy manimálníhu dosahu (viz. dále). Směr hlavní
osy elipsy je naopak směrem minimální variability.
Obr. 7 Povrch vykazující efekt anizotropie a odpovídající empirické semivariogramy
72
Tzv. izotropní semivariogram tedy neuvažuje odchylky v závislosti na směru, naproti
tomu anizotropní semivariogram se liší především odlišnou hodnotou dosahu pro
specifické směry, další charakteristiky semivariogramu (typ, práh, zbytkový rozptyl)
se většinou nemění. Takovouto anizotropii označujeme jako geometrickou.
V případě, že nelze použít stejný model semivariogramu resp. stejné hodnoty prahu
a zbytkového rozptylu hovoříme o tzv. zonální anizotropii. K modelování zonální
anizotropie lze využít konstrukce tzv. složených modelů semivariogramů.
Ke konstrukci směrových semivariogramů je nutné řešit otázku vhodného výběru
bodů. Ve většině případů se volí 4 až 8 směrů a k jejich vymezení je nutné stanovit
následující parametry (jejich význam je zřejmý z následujícího obrázku):
ˇ úhlovou toleranci
ˇ šířku pásma
ˇ délkovou toleranci (lag)
Obr. 8 Parametry tzv. směrových semivariogramů
Efekt anizotropie je vyjádřením náhodného procesu chování studované veličiny.
Nelze ho zaměňovat s trendovou složkou. Ta by měla být ve zpracovávaných datech
předem definována a před vlastní strukturní analýzou odstraněna (viz. ESDA).
Pokud k tomu není pádný důvod, daný fyzikální podstatou zpracovávaných dat, není
vhodné používat anizotropního modelu s poměrem os elipsy anizotropie větším než
3 ku 1. Pokud experimentální semivariogram ukazuje na takovou anizotropii, je to
způsobeno zřejmě trendem obsaženým v datech. Potom je vhodné nejprve z dat
trend odstranit.
Teoretický semivariogram
Jedná se o model, který nejlépe aproximuje průběh experimentálního
semivariogramu v okolí počátku a prahu (viz. dále). Právě proces hledání
teoretického semivariagramu se někdy označuje jako strukturní analýza. Modely
semivariogramů se dělí podle chování v okolí počátku a v ,,nekonečnu" do několika
skupin:
ˇ modely přechodového typu - tj. s prahem (sférický, kvadratický, gaussovský,
exponenciální),
ˇ modely bez přechodu (lineární, logaritmický),
ˇ modely s oscilujícím prahem (sinový, cosinový),
ˇ čistě náhodný model.
73
U prvních tří skupin se může objevit tzv. efekt zbytkového rozptylu (nugetový efekt),
který se odráží v posunu grafu semivariogramu o hodnotu co ve směru osy ( )h^ .
Model nalezený pro danou množinu dat závisí jak na experimentálních, tak
teoretických předpokladech. Vlastnosti, které prakticky vedou k určení konkrétního
teoretického modelu, jsou:
ˇ přítomnost nebo absence "ploché části" semivariogramu - tzv. prahu;
v rovnicích semivariogramů je dán konstantou C
ˇ vzdálenost, ve které semivariance dosáhne prahové hodnoty - dosah (range);
v rovnicích semivariogramů je dán konstantou a
ˇ chováním v počátku (tj. semivariance mezi velmi blízkými body)
ˇ dosah je mírou korelace uvnitř množiny dat; "dlouhý" dosah indikuje vysokou
korelaci, "krátký" dosah korelaci nízkou.
ˇ hodnota prahu je rovna celkovému rozptylu.
Přehled teoretických semivariogramů
1. Modely přechodového typu (transitivní) ­ prostorová autokorelace kolísá
s hodnotu h. U těchto klasických modelů je vyjádřena skutečnost, že při malých
vzdálenostech je shoda mezi zjištěnými hodnotami vysoká (a tedy variabilita nízká), s
rostoucí vzdáleností se ,,neshoda" zvyšuje až do určité vzdálenosti (dosah), kde se
úroveň neshody stabilizuje kolem hodnoty statistického rozptylu. Za touto vzdáleností
se již neuplatňuje prostorová vazba mezi zkoumanými místy a variabilita je plně
určována statistickým rozptylem.
Sférický model ­ zbytkový rozptyl je důležitý, ale malý. Je jasně vyjádřen dosah
(range) a prahová hodnota (sill). Je typický pro pole, ve kterém dominuje jeden zdroj
variability.
Obr. 9 Sférický model semivariogramu














-+=
3
10
2
1
2
3
)(
a
h
a
h
cch ........... pro ah 
10)( cch += ........... pro ah >
Kvadratický model
Obr. 10 Kvadratický model semivariogramu
74














-+=
2
10 2)(
a
h
a
h
cch ........... pro ah 
10)( cch += ........... pro ah >
Exponenciální model ­ dobře vyjádřené hodnoty zbytkového rozptylu a prahu, ale
pouze postupná aproximace k hodnotě dosahu (range)
Obr. 11 Exponenciální model semivariogramu
[ ])/exp(1)( 10 dhcch --+= , kde da 3=
Gaussův model ­ hladký povrch, hodnota zbytkového rozptylu je velmi malá ve
srovnání s regionalizovanou proměnnou. Model má inflexní bod. Je typický plynulými
změnami hodnot. Používá se často např. při modelování výškových dat. Je používán
u dobře prozkoumaných polí. Často se však vyznačuje nestabilitou.
Obr. 12 Gaussův model semivariogramu
[ ])/exp(1)( 22
0 dhcch --+= , kde 3da =
Lineární model s prahem - jednoduchý a poměrně často využívaný zvláště
programy provádějícími interpolaci pomocí krigování na základě automaticky
vypočítaného a vyhodnoceného semivariogramu. Při provádění strukturální analýzy
se využívá raději jiných přechodových modelů.
Obr. 13 Lineární model semivariogramus prahem
bhch += 0)( ........... pro ah 
10)( cch += ........... pro ah >
75
2. Modely bez přechodu (netransitivní) - nemají prahovou hodnotu (sill) v rámci
studované plochy a lze je popsat např. lineárním modelem. Výskyt těchto modelů si
lze zjednodušeně představit jako určitý extrémní případ klasického přechodového
modelu. Představme si, že bychom u něho prováděli výpočet semivariogramu jen do
vzdálenosti nepřesahující rozpětí d. Pak bychom při vynesení bodů nenašli žádnou
oblast stabilizace křivky semivariogramu a daný případ bychom interpretovali jako
model bez přechodu.
Lineární model:
Obr. 14 Lineární model semivariogramu
bhch += 0)( , kde b je směrnice přímky
Logaritmický semivariogram
Obr. 15 Logaritmický model semivariogramu
)ln()( 0 hbch += , kde b je směrnice přímky
3. Oscilační modely - oscilační (tj. nehomogenní) charakter má zkoumané pole
nejčastěji v důsledku pravidelného střídání pásů s vyššími a nižšími hodnotami.
Průměrná šířka pásů se dá odhadnout podle rozměru poloviny periody vlny. U těchto
modelů se často projevuje nestabilita. Nepoužívají se pro odvození parametrů
potřebných pro krigování (upřednostňují se robustní, jednoduché přechodové
modely).
Jev, kdy hodnoty semivariagramu v jisté vzdálenosti delší než dosah začnou opět
klesat či vykazují více lokálních minim ukazuje na periodická kolísání v hodnotách
atributu a označuje se jako hole effect.
Sinový model semivariogramu
76
Obr. 16 Sinový model semivariogramu






-+=
gh
gh
cch
)sin(
1)( 10 kde  /=g
Hodnota sin se udává v radiánech. Dochází k postupnému tlumení hodnot oscilací.
Hodnota  udává průměrný rozměr bohatších a chudších úseků.
Cosinový model semivariogramu - Nedochází k postupnému tlumení hodnot
oscilací.
Obr. 17 Cosinový model semivariogramu
[ ])cos(1)( 10 ghcch -+= kde  /=g
Čistě náhodný model semivariogramu
0)( ch =
Semivariogram nemá žádnou úvodní rostoucí větev, hodnoty často pouze kolísají
kolem prahu. K této situaci dochází, když je studované pole příliš variabilní vzhledem
ke zvolenému kroku vzorkování (zjišťování hodnot).
Další druhy semivariogramů
Složené modely (komplexní semivariogram)
Obr. 18 Složený model semivariogramu
...)()()()( 321 +++= hhhhT 
77
Prostorová kolísání v závislosti na odlišných typech povrchů (cover classes) ­ svoji
vlastní strukturu prostorového uspořádání a autokorelace hodnot proměnné mohou
mít rozdílné kategorie landuse, druhy půd, atd. V tomto případě mohu být modely
sestavené pro jednotlivé třídy vhodnější než model globální. Je zde však často
problém dostatku dat.
Indikátorové semivariogramy se konstruují a využívají při strukturální analýze
nominálních (kvalitativních) dat (barva, druh horniny). Primární data se transformují
do hodnot 1 a 0 podle splnění indikační podmínky ­ např. zda je hornina pískovcem.
Často slouží jako vstup pro tzv. indikátorové krigování (viz. dále).
Soft semivariogramy se využívají při v případě nedostatku primárních dat, kdy je
možné na základě provedené simulace doplnit další data a usnadnit provedení
strukturální analýzy. Interpretace a verifikace je však dosti nesnadná a vyžaduje větší
zkušenosti. Soft semivariogramy se často používají při provádění soft krigingu (viz.
dále).
Analýza a interpretace strukturálních funkcí
Pro každý model existují vlastní pravidla interpretace. Konstrukci semivarioagramu a
odvození teoretického modelu by měla vždy předcházet důkladná analýza vstupních
dat založená na metodách popisné statistiky (ESDA ­ explorační analýza
prostorových dat, viz. dále)
Pro korektní odhady vhodného teoretického modelu je důležitý počet bodů
uvažovaných pro vyjádření hodnot semivariance pro daný lag (h). Proto se často
hodnoty teoretického modelu odhadují za pomoci vážené metody nejmenších
čtverců, kdy jako váhy se berou počty párů na dané vzdálenosti h. Značný podíl
šumu ve variogramu může být dále způsoben malým rozsahem vzorku použitého
k výpočtu ( )h^
K dosažení stabilních hodnot se doporučuje 20 ­ 30, v některých případech však až
až 50-100 hodnot. Je-li jejich počet nízký, stoupá chyba odhadu. Hladší průběh
semivariogramu lze docílit zvětšením velikosti vyhledávacího okna (větším h). O
velikosti okna vypovídá hodnota dosahu (range). Je-li odhadnutý dosah z variogramu
příliš malý a všechny body jsou dále jak dosah, potom nejlepším odhadem je použití
celkového průměru. Vzdálenosti mohu být modifikovány efektem anizotropie - potom
je nutné měnit tvar okolí. Anizotoropie však může být výsledkem i nedostatečného
počtu vzorků.
Výpočet experimentálních semivariogramů se doporučuje provádět do vzdálenosti h
 L/2, kde L je maximální vzdálenost míst pozorování v poli.
Vždy je vhodné upřednostňovat jednodušší teoretický model semivariogramu, který
dobře vystihuje hlavní rysy experimentálních hodnot, před modelem složitějším.
V případě výpočtu experimentálního semivariogramu z nepravidelně sítě pozorování
je nutno počítat s vyšší ,,rozkolísanosti" stanovených bodů kolem teoretického
modelu.
Úroveň prahu se obvykle doporučuje volit podle hodnoty statistického rozptylu.
Je-li hodnota dosahu použitého teoretického semivariagramu malá vzhledem
k hodnotám empirickým je možné zmenšit hodnotu kroku h a naopak
Při prokládání tečny počátkem experimentálního semivariogramu pro určení rozpětí
musíme respektovat skutečnost, že funkce semivariogramu je vždy kladná. Hodnota
rozpětí je důležitá pro aplikaci oscilačních semivarigramů.
Při interpretaci zbytkového rozptylu musíme uvážit i možný vliv chyb měření
(technických chyb) výchozích pozorování.
78
Výběr vhodného teoretického modelu musí vycházet z cíle analýzy. Je-li cílem
odhalení strukturálních úrovní a podrobný popis všech charakteristik studovaného
pole, pak je nutno podrobně analyzovat chování v celém reálném průběhu
experimentálního semivariogramu. Jestliže je interpretace prováděna pro účely
návazných krigovacích výpočtů, je účelné zvolit pokud možno jednoduchý a robustní
model, vystihující chování a okolí počátku až do úrovně prahu.
Při interpretaci je důležité vycházet z dobré znalosti objektu v krajinné sféře a z
využití všech informací o jeho parametrech.
Při analýze anizotropie je podle zkušenosti dobré volit pro všechny směrové
semivariogramy ­ samozřejmě pokud je to možné ­ stejný teoretický model. Proto je
výhodné vyjít z izotropního semivariogramu pole.
V případě anizotropního pole se zpravidla snažíme využít předpokladu geometrické
anizotropie, kterou lze snadno eliminovat transformací souřadného systému.
Obecně je účelné postupovat tak, že v počáteční fázi aplikace geostatistických metod
na přírodní objekt se provede podrobná interpretace strukturálních funkcí a v
následných fázích se podle získaných zkušeností použije zjednodušený základní
model.
Analýza semivariogramu je podstatným krokem k určení optimálních vah pro
interpolaci. Jestliže ve semivariogamu dominuje náhodná složka (''), potom data
obsahují takový šum, že interpolace nemá smysl. Jako nejlepší odhad z(x) je vhodné
použít průměrnou hodnotu.
Charakteristiky pole popsané strukturní analýzou:
Kontinuita ­ je vyjádřena hodnotou dosahu semivariogramu. Pole s větší kontinuitou
se vyznačuje vyšší prostorovou autokorelací.
Nehomogenita ­ projevuje se tzv. oscilací hodnoty prahu. Délka poloviny periody
odpovídá průměrnému rozměru elementů nehomogenity. Nehomogenity na dané
úrovni pozorování nepostižitelné se projeví jako zbytkový rozptyl.
Nestacionarita - projevuje se zpravidla parabolickým nárůstem křivky
semivariogramu. Prokazatelná je případech, kdy dochází k parabolickému růstu
křivky až za hodnotou dosahu, tedy na stabilizované části křivky. Nestacionarita pole
dokládá změnu průměrné hodnoty proměnné v poli. Ze vzdálenosti, kde se začne
deformace křivky semivariogramu projevovat, lze určit vzdálenost, do které jsou
změny průměrné hodnoty v poli zanedbatelné.
Anizotropie - lze ji popsat pomocí modelů jednotlivých směrových semivariogramů
(tj. semivariogramů vypočtených na různých směrech v poli). Projevuje se změnami
parametrů (dosahu, prahu, zbytkového rozptylu), jednak v rozdílech typů směrových
semivariogramů. Jak bylo uvedeno výše rozlišujeme geometrickou a zonální
anizotropii (viz. obr).
Obr. 19 Rozdíl mezi geometrickou (A) a zonální (B) anizotropií semivariogramu
79
ESDA ­ explorační (průzkumová analýza prostorových dat)
Jedná se o souhrn metod popisné statistiky, které by měly předcházet strukturní
analýze. Cílem těchto metod je ověřit některé vlastnosti vstupního datového souboru,
které jsou nezbytnými předpoklady pro vlastní geostatistické metody. U
analyzovaných vstupních dat zpravidla předpokládáme konstantní hodnotu průměru
pro různé části zpracovávaných dat a dále také fakt, že prostorová autokorelace
v poli hodnot je konstantní. Tedy podobnost hodnot studovaného jevu závisí pouze
na vzdálenosti dvou porovnávaných bodů měření a ne na jejich poloze.
ESDA zahrnuje především
ˇ výpočet charakteristik úrovně a variability, analýza odlehlých hodnot
ˇ studium histogramu s cílem ověření normality rozdělení
ˇ konstrukci tzv. normálního kvantilového grafu (tzv. Q-Q grafu)
ˇ analýzu trendové složky s cílem ověření stacionarity vstupních dat
V případě, že se rozdělení vstupních dat významně odlišuje od normálního, například
v případě značné asymetrie, je nutná jejich transformace. Často se provádí tzv.
lognormální transformace. Důležitou charakteristikou je hodnota statistického
rozptylu, která se v případě stacionárního pole rovná úrovni prahu. Pokud je
v měřených hodnotách obsažen trend, je vhodné tento odstranit a provádět
strukturální analýzu a krigování na hodnotách reziduí.