Cvičení z Teorie ekonometrie I ­ 27.2.2008, 5.2.2008
* Obsah: Lineární regrese. Normální rovnice. Ekonometrický toolbox.
* Regresní model s dvěma vysvětlujícími proměnnými. Pro regresní model y =  +
x + :
­ Ukažte, že normální rovnice pro metodu nejmenších čtverců implikují i ei = 0 a
i xiei = 0.
­ Ukažte, že řešení pro úrovňovou konstantu je a = y - bx.
­ Ukažte, že řešení pro b je b = [ n
i=1(xi - x)(yi - y)]/[ n
i=1(xi - x)2
].
­ Dokažte, že tyto dvě hodnoty jednoznažně minimalizují součet čterců. Ukažte tedy, že
diagonální prvky matice druhých derivací sumy čtverců podle jednotlivých parametrů
jsou oba pozitivní a že determinant je roven 4n[( n
i=1 x2
i ) - nx2
] = 4n[ n
i=1(xi - x)2
] a
je kladný pokud nejsou všechny hodnoty x stejné.
* Změna v součtu čtverců. Předpokládejme, že b je vektor parametrů získaný metodou
nejmenších čtverců regresí y na X a c je jiný vektor rozměru K × 1. Dokažte, že rozdíl dvou
součtů čtverců reziduí je
(y - Xc) (y - Xc) - (y - Xb) (y - Xb) = (c - b) X X(c - b)
Dokažte,že tento rozdíl je kladný.
* Lineární transformace dat. Předpokládejme regresi metodou nejmenších čtverců y na
K proměnných (s konstantním členem) X. Předpokládejme alternativní sadu regresorů Z =
XP, kdy P je nesingulární matice. Každý sloupec matice Z je tedy mixem některých sloupců
X. Dokažte, že vektor reziduí v regresi y na X a y na Z jsou identické. Jaký význam to má
pro otázku kvality (vystižení) regrese změnou měřítek u nezávislých proměnných?
* Frisch and Waugh. V regresi pomocí metody nejmenších čtverců y na konstantu a X
můžeme spočítat regresní koeficienty i tak, že nejdříve transformujeme y na své odchylky od
střední hodnoty (průměru) y a stejně tak i upravíme sloupce matice X. Po té provedeme
regresi takto centrovaných hodnot na transformované hodnoty matice X (bez konstanty).
Získáme stejné výsledky pokud takto budeme transformovat jen y? A co když transformujeme
pouze X? Zkuste si tento postup i na empirických datech.
1
ˇ Předpokládejme, že Ed, En, Es jsou výdaje na tři kategorie zboží (consumer durables, nondurables
and services). Celkový příjem (důchod) je pak dán jako Y = Ed + En + Es.
Předpokládejme dále, že je dán výdajový systém:
Ed = d + dY + ddPd + dnPn + dsPs + d
En = n + nY + ndPd + nnPn + nsPs + n
Es = s + sY + sdPd + snPn + ssPs + s
­ Jestliže všechny rovnice odhadneme metodou nejměnších čtverců, dokažte, že součet
důchodových koeficientů bude jednička a součet ostatních koeficientů (po sloupcích)
bude nulový.
* Simulace dat a odhad OLS Vytvořte dva vektory (vysvětlujících proměnných) x1 a x2
(využijte např. generátory náhodných čísel) o délce např. N = 100. Zvolte parametry a0, a1
a a2. Vygenerujte si vektor náhodných složek z normálního rozdělení se střední hodnotou
nula a nějakým rozptylem 2
. Na tomto základě vygenerujte vektor vysvětlující proměnné y:
y = a0 + a1x1 + a2x2 +
Odhadnět pomocí metody nejmenších čtverců parametry výše uvedeného modelu. Využijte
funkci ols.m z ekonometrického toolboxu. Jaký vliv na přesnost odhadu bude mít velikost
zvoleného vzorku N?
* Využijte data v matlabovském datovém souboru wage2.mat k odhadu jednoduché regrese
vysvětlující měsíční plat (wage) na dosaženém počtu bodů IQ (IQ). Datový soubor je nahrán
a "zpracován" v m-fajlu cv02_wage2.m.
­ Nalezněte průměrnou mzdu a průměrné IQ ve vzorku. Vykreslete datové vzorky (se
svými průměry). Jaká je standardní odchylka IQ? (IQ je standardizováno tak, že průměr
populace e 100 a standardní odchylka 15)
­ Odhadněte jednoduchý regresní model kde jednobodové zvýšení IQ změní mzdu o konstantní
výši (v dolarech). Využijte tento moel k predikci zvýšení mzdy pokud by IQ
vzrostlo o 15 bodů. Vysvětluje IQ většinu variability ve mzdě?
­ Odhadněte model, kde každé zvýšení IQ o jeden bod má podobný procentní efekt na
mzdu. Pokud se IQ zvýší o 15 bodů, jaké bude přibližné procentní zvýšení predikované
mzdy?
­ K výpočtu si zkuste vytvořit jednak svou vlastní funkci s názvem např. moje_ols.m
popř. pak využijte funkci ols.m z ekonometrického toolboxu.
2