Modely s rozloženými zpožděními II 1) Koyckův model [Koyck L, M.1954] je (naopak) příkladem modelu s rozloženým zpožděním o nekonečné délce. Má-li být zachována možnost statisticky odhadnout parametry takovýchto modelů, musí být dáno nějaké pravidlo o souvislostech mezi nimi. V případě modelu navrženého Holanďanem L.M.Koyckem[1] klesají váhy u jednotlivých vysvětlujících zpožděných proměnných podle schématu popsaného geometrickou posloupností. Zapíšeme-li základní rovnici modelu s nekonečně rozloženým zpožděním ve tvaru (1.1) neboli ve zkráceném zápisu , je ihned patrné, že takto obecně vyjádřený model nelze prakticky použít (nelze odhadnout nekonečný počet parametrů). Dle Koyckem navržené konkretizace přijímají parametry tuto apriorní váhovou strukturu : (1.2) váhy/koeficienty jsou prvky geometrické posloupnosti (1.2a) která je pro danou hodnotu kvocientu klesající. Tímto způsobem lze převést původně nekonečný počet parametrů pouze na dva parametry a , přičemž v konečné podobě model nabude tvar (1.3) což lze upravit na (1.4) který je nazýván autoregresním tvarem modelu (nekonečného) rozloženého zpoždění. Všimněme si zde zejména dvou věcí : a) do modelu se na pravou stranu dostala (jediná) zpožděná závisle proměnná (se zpožděním o 1 krok) b) náhodné složky modelu již (bohužel) nebudou vzájemně nekorelované, a to ani tehdy, jestliže jsme předpokládali nekorelovanost původních náhodných složek . Příčinou toho je skutečnost, že „nová“ vysvětlující proměnná není nekorelovaná s náhodnými složkami . Platí totiž : kde je rozptyl náhodných složek . Oproti klasickému lineárnímu regresnímu modelu tedy zde zřejmě nejsou splněny dva předpoklady : a) vysvětlující proměnná není nekorelovaná s náhodnou složkou b) vysvětlující proměnná není nestochastická (její součástí je náhodná složka ), což je hned vidět, zapíšeme-li model se zpožděním o 1 krok. Odhad parametrů Koyckovy rovnice (v autoregresním tvaru) je jinak technicky velmi jednoduchý – jde o regresní model se dvěma regresory bez jedničkového vektoru – snadno proveditelný metodou OLS, která však bude postrádat optimální vlastnosti (stejně jako např. odhad pomocí WLS). Odhadnutými parametry budou (přímý odhad ) a (odkud odhad snadno určíme jako ) Z uvedených důvodů nemohou mít odhady parametrů (provedené obyčejnou metodou nejmenších čtverců) uspokojivé vlastnosti, nemusí být dokonce ani konzistentní. Literatura uvádí pro tuto a podobné situace některé speciální odhadové postupy (vedoucí ke konzistentním, případně i vydatným odhadům parametrů). Předpoklady o chování náhodných složek podmiňující nasazení těchto postupů jsou však obvykle málo realistické . S ohledem na vlastnosti geometrického rozdělení přijatého v Koyckově modelu činí průměrná délka zpoždění hodnotu a rozptyl . Při bude Při bude Při bude Interpretačně to znamená, že agregovaný účinek všech v modelu uvažovaných zpožděných vysvětlujících veličin (jichž je nekonečně mnoho) se projeví zhruba stejně jako jediná zpožděná vysvětlující proměnná, která bude mít zpoždění 0,5 roku, resp. 1 rok, resp. 2 roky. Následující trojice modelů s rozloženými zpožděními si vydobyla již tradiční postavení v ekonomických aplikacích. Jejich společným znakem je, že s určitými obměnami navazují na Koyckův model (geometricky rozloženého zpoždění). Jmenovitě se jedná o : 2) Model částečného přizpůsobení [Nerlove M. 1958] Základní rovnicí modelu je vztah představující hypotézu, že požadovaná (rovnovážná resp. optimální) úroveň vysvětlované proměnné (značené obvykle , která není měřitelná, je lineární funkcí vysvětlující nezávisle proměnné (nezpožděné). Příslušná rovnice má tedy tvar (2.1) přičemž skutečná změna závisle proměnné od období k období tj. rozdíl je v důsledku procesu částečného přizpůsobení úměrná proporcionální změně . Zapsáno relací (2.2) kde je konstanta (míra reakce na žádanou změnu) nazývaná koeficient adaptace/přizpůsobení. Zřejmě, v případě by šlo o úplné přizpůsobení. Příkladem modelu typu (2.1) může být sledování vývoje vybavenosti domácností určitým předmětem dlouhodobé spotřeby. Pak hodnota může představovat "optimální úroveň vybavenosti" , tedy aproximativně vyjádřenou, neměřitelnou veličinu. Za vysvětlující proměnnou pak můžeme považovat úroveň příjmu této domácnosti. Je přitom realistické očekávat, že v libovolném čase se hladina vybavenosti nepřizpůsobí změně příjmu ihned, takže optimální úrovně se nedosáhne ihned, ale až s určitým prodlením. Příčiny mohou být nejrůznější: nedocenění užitné hodnoty předmětu, neuvědomění spotřebitele přiměřené optimální úrovně, nedostatečná nabídka v sortimentu na trhu, setrvačnost v dosavadním spotřebním chování u domácností apod. Rovnici (2.2) lze alternativně vyjádřit jako (2.3) což lze interpretovat tak, že dosažená úroveň vybavenosti statkem v čase je váženým průměrem optimální úrovně vybavenosti v témže čase a úrovně skutečné vybavenosti v období tj. , váhy jsou použity v poměru vůči . Dosadíme-li (2.1) do (2.3) dospěje se po jednoduché úpravě k autoregresnímu tvaru modelu částečného přizpůsobení (2.4) Jak patrno, formální zápis modelu (2.4) je v podstatě shodný se zápisem modelu Koyckova. Má však jednodušeji specifikovanou náhodnou složku. Náhodné složky zde nejsou závislé na svých zpožděných hodnotách, tj. budou sériově nekorelované. Metoda OLS poskytne v takovém případě konzistentní odhady parametrů [, , ] , z nichž postupně snadno odvodíme hodnoty , a . Rovněž další příznivé vlastnosti těchto odhadů (nestrannost, vydatnost) budou v tomto případě zajištěny. Strukturu náhodných složek lze vyvodit ze vztahu 2.4). Opakovanými substitucemi (dosazováním za , , ...... , dostaneme Ze statistického hlediska lze rozdíl mezi Koyckovým modelem a modelem částečného přizpůsobení spatřovat v tom, že struktura náhodných složek modelu částečného přizpůsobení je generována procesem klouzavých součtů (moving average) původní náhodné složky. V Koyckově modelu sledují náhodné složky autoregresní posloupnost. 3) Model adaptivních očekávání [Cagan P.1956] Tento model je uveden regresní specifikací (3.1) a byl v původním uvedení spojen se spotřební funkcí tvaru (3.1a) s významem veličin objem spotřebních výdajů domácností očekávaná výše důchodů/příjmů náhodná složka s obvyklými vlastnostmi Jde o formulaci konformní s Friedmanovou hypotézou permanentního důchodu (HDP): spotřebitelé v čase, kdy realizují své nákupy, zpravidla ještě neznají skutečnou výši příjmů, které obdrží ve stejném období; své spotřební zvyklosti tedy řídí dle očekávaného důchodu , až na výjimky ne nutně totožného se skutečným . Očekávanou výši permanentního důchodu však nelze určit pozorováním (tato proměnná je „latentní“) , definujeme ji tedy nepřímo pomocí vztahu vyjadřujícího přizpůsobení důchodu : (3.2) neboli jinak zapsáno (3.3) Konstanta se nazývá koeficientem adaptivních očekávání. Rovnici 3.3) lze interpretovat tak, že ekonomické subjekty přizpůsobují svá očekávání ve vztahu k na základ zkušenosti z minulosti. Postupují přitom tak, že skutečnou hodnotu (v kterémkoliv období ) porovnávají s hodnotou , která byla očekávána. Přitom se řídí logickou úvahou a) Je-li skutečná hodnota oproti očekávané větší, přizpůsobují svá očekávání stejným směrem (nahoru) b) Je-li skutečná hodnota oproti očekávané menší, přizpůsobují svá očekávání také stejným směrem (dolů) . Čím je koeficient blíže k 1, tím je větší míra přizpůsobení. Ze zápisu 3.3) plyne, že očekávaná („permanentní“) výše důchodu je váženým průměrem skutečné hodnoty tohoto důchodu a jeho očekávané úrovně v předchozím období (váhy jsou resp. ). Znamená to tedy, že a) Při , pak , tzn. domácnosti se řídí skutečnou výši aktuálního důchodu b) Pokud by , pak , tzn. domácnosti by se nepřizpůsobily vůbec (skutečnému důchodu není přisouzen žádný význam) a očekávání mají statický charakter (nemění se , zůstávají na úrovni očekávání z času ). Dosazením ze vztahu 3.3) do 3.1) dostaneme (3.4) Jestliže nyní vyjádříme výchozí specifikaci modelu pro období t-1, tzn. (3.4a) a po jejím vynásobení hodnotou odečteme od 3.4), dospějeme k výsledné rovnici autoregresního modelu adaptivních očekávání (3.5) (3.5a) Jak patrno, formálně je model vyjádřen stejným zápisem jako má Koyckův model, dokonce shodným jaký má i model částečného přizpůsobení, avšak má jinou specifikaci náhodných složek a jinak jsou též interpretovány jeho parametry. Poznámka Formální shoda všech dosud uvedených dynamických modelů zapsaných v autoregresním tvaru je dána tím, že všechny vycházejí ze stejného apriorního omezení časové struktury rozložených zpoždění, která je reprezentována geometricky klesajícími váhovými koeficienty. Variantní specifikace modelu adaptivních očekávání Spočívá v tom, že se na pravé straně vztahu 3.2) použije místo hodnota . Obdrží se vztah (3.6) Podnětem pro tuto obměnu je skutečnost, že při specifikaci očekávání v běžném období zpravidla ještě neznáme přesně , ale pouze předchozí hodnotu . Kvantifikace parametrů takto upraveného modelu je spojena se stejnými problémy jako u Koyckova modelu, protože náhodné složky ut jsou opět sériově zkorelovány. Aplikovat metodu OLS přímo na takovýto model vede k nekonzistentním a vychýleným odhadům. Jedním z možných způsobů řešení je nasazení metody instrumentálních proměnných (IV). Odhady nemusí být vydatné, ale budou aspoň konzistentní. Jinou možností je použití nelineární metody nejmenších čtverců (NLLS). Kombinací modelu částečného přizpůsobení a adaptivních očekávání lze dospět k obecnějšímu modelu (geometricky) rozloženého zpoždění. Modelovou hypotézu propojující regresním vztahem obě nepozorované proměnné a zapíšeme jako (3.7) K vyjádření obou přímo nepozorovatelných proměnných užijeme vztahy (2.2) z modelu částečného přizpůsobení resp. (3.3) z modelu adaptivních očekávání. Spojením (3.7), (2.2) a (3.3) dostaneme kombinovaný model, který již neobsahuje přímo neměřitelné veličiny : (3.8 ) neboli jinak zapsaný (3.9) Tento model je lineární v parametrech ale nelineární v původních parametrech . Regresní rovnice 3.9) popisuje závislost na , a . Jednoznačně však nelze určit odhady a , protože odhadnout lze vždy jen kombinace těchto parametrů (vyskytují se symetricky). Model není v těchto parametrech (,) identifikován. Odhady parametrů oproti tomu nečiní problém. Náhodná složka je generována procesem MA(1), tedy procesem klouzavých součtů/průměrů 1. řádu. 4) Model racionálních očekávání [Jorgenson D.W. 1966] Empiricky bylo zjištěno, že „mechanický přístup“ k formulaci budoucích očekávání (na základě hypotézy adaptivních očekávání) vede k předpovědím, které jsou obvykle zatíženy systematickou chybou (nadhodnocováním nebo podhodnocováním). Uvedené obtíže do určité míry překonává hypotéza obsažená v modelu racionálních očekávání. Obecný podtext tohoto modelu je spojen s úvahou, že ekonomické subjekty (domácnosti, firmy) tvoří svá individuální očekávání tak, že využívají veškeré jim dostupné , podstatné a účelné informace, v důsledku čehož jejich budoucí chování bude vycházet z obecně platných postulátů ekonomické teorie, disponibilních informací o tvaru modelových vztahů a dat spolehlivé datové základny. Součástí těchto podstatných informací je též znalost cílů hospodářské politiky vlády. Změny vládní makroekonomické politiky se projeví na změnách individuálních očekávání, a protože existuje zpětná vazba mezi očekáváním ekonomických subjektů a jejich následným chováním, přestává být ekonometrický model adekvátním prostředkem popisu chování reálného ekonomického systému (národní ekonomiky). To má dopad jednak na zhoršení predikční schopnosti modelu, ale i na užitečnost jeho použití při posouzení odezev chování ekonomických subjektů na změny vládní hospodářské politiky. Jinými slovy, pokud do modelu nezahrnujeme též informaci týkající se změn ekonomické politiky, a zamýšlených dopadů do procesu formování subjektivních očekávání, bude to mít za důsledek neracionální chování ekonomických subjektů. Pro formální vyložení použijme zjednodušené schéma (4.1) je vysvětlovaná endogenní proměnná je zpožděná exogenní proměnná je náhodná složky s obvyklými vlastnostmi Podstata rozhodování spočívá mj, v tom, že v období ekonomický subjekt odhaduje očekávanou hodnotu , která se značí na základě vztahu (4.2) takže subjektivní očekávání je skutečně shodné s objektivní předpovědí proměnné pro běžné období získanou modelu 4.1) na základě informací dostupných v předchozího období . Vlastnost racionality zde spočívá v tom, že takto formované očekávání či předpovědi není zatíženo systematickou chybou. Chyba předpovědi je zde dána rozdílem (4.3) Náhodná složka není zkorelována s . Abychom se vyhnuli vzniku systematických chyb v procesu generování očekávaných hodnot proměnné , musí mít chyba předpovědi nulovou střední hodnotu a nesmí být korelována se svými předchozími hodnotami. Nesmí navíc existovat ani systematický vztah mezi a libovolnými proměnnými, jichž se týká disponibilní informace z období . Jinými slovy: chyba předpovědi nesmí být predikovatelná. V ekonometrické analýze se často hypotéza racionálních čekání užívá jako alternativa k hypotéze adaptivních očekávání. Uvažujeme-li závislost spotřeby na očekávaném/permanentním důchodu v podobě 3.1), můžeme přizpůsobovací proces adaptivních očekávání nahradit vztahem pro racionální očekávání: dosazením za dostaneme vztah (4.4) Racionální očekávání však není měřitelné, proto postup při odhadu parametrů modelu 4.2) spočívá zpravidla ve vylučování znamenajících očekávání z modelu a v následném odhadu ekvivalentního modelu, který obsahuje jen pozorovatelné veličiny. Taková eliminace je jednoduchá, pokud jde o lineární model obsahující jen očekávání běžných hodnot vysvětlovaných proměnných (ne hodnot budoucích). Postup, který uplatnil McCallum [1976] je dvoustupňový a je obdobou techniky instrumentálních proměnných (nejprve se nahradí ze vztahu 4.1) metodu OLS přibližnou hodnotu , kterou představuje odhad . V dalším kroku po nahrazení vyrovnanou hodnotou se již dospěje pomocí OLS k odhadům obou parametrů . Z aplikačních oblastí pro modely racionálních očekávání jsou především modely inflačních očekávání, zaměstnanosti , poptávky po penězích apod. Z posledních prací se testování této hypotéza zabývají např. M.C.Lovell [1986], S. Figlewski a P. Wachtel [1981], B.M. Friedman[1980], J.E. Pesando[1975]. Model racionálních očekávání formuloval D.W.Jorgenson v obecné podobě (4.5) Opět se zde střetáváme s problémem odhadu parametrů. I když budou náhodné složky rozděleny nezávisle, náhodné složky , kde (4.6) budou sériově zkorelovány, což má opět nepříznivý dopad na vlastnosti výsledných odhadů parametrů (srovnatelně s Koyckovým modelem). Vztah 4.6) pro náhodné složky představuje autoregresní schéma 1. řádu. Poznámka Model přechází při omezení hloubky zpoždění na , v Koyckův model (pokud v něm vynecháme úrovňovou konstantu). ------------------------------- [1] Koyck,L.M: Distributed Lags and investment analysis . Amsterdam, North Holand. 1954.