Jar 2008
F2050 Elektřina a magnetismus
Podmienky absolvovania cvičenia:
BUĎ 6 správne vyriešených domácich úloh
ALEBO min 2 body zo 4 bodovej písomky
Kontakt:
Jozef Ráheľ, tel. 54949 6747
rahel@mail.muni.cz
Štúdijné materiály:
http://www.sci.muni.cz/~trunec/elmag/elektrina.html
Vladimír Prokeš: Sbírka příkladů z obecné fyziky. II, Elektřina a magnetismus, Státní
pedagogické nakladatelství, Praha 1987,
on line: http://www.physics.muni.cz/~zalezak/sbpr-elmag/
Príklady z cvičenia:
http://is.muni.cz/el/1431/jaro2008/F2050/um/
Skalárne pole
,,Čísla" rozložené v priestore, napr. lokálna teplota, lokálna hustota náboja, lokálna merná
hmotnosť (hustota)
Vektorové pole
,,Šípky"(vektory) rozložené v priestore, pričom každá ,,šípka" má vlastný smer aj veľkosť.
Príklady: Intenzita elektrického alebo magnetického poľa, rýchlosti v prúdiacej kvapaline...
Príklad jenorozmerného vektorového poľa:
Sčítanie a odčítanie vektorov
Skalárny súčin dvoch vektorov:
Vektorový súčin dvoch vektorov
Derivovanie vektorových funkcií
Taylorov rozvoj vektorových funkcií:
Súradnicové sústavy (najpoužívanejšie)
Kartéziánska (pravouhlá)
(x, y, z)
Cylindrická
(r, , z)
Sférická
(r, , )
súradnicaSmerjednotkovýchvektorov
Prevody cylindrická-karteziánska Prevody sférická -karteziánska
Polohový vektor
V karteziánskej sústave :
pričom pre veľkosť platí:
V cylindrickej sústave:
pričom pre veľkosť platí:
Vo sférickej sústave:
pričom pre veľkosť platí:
Prevodová tabuľka
Derivovanie polí v karteziánskych súradniciach
Hamiltonov (nabla) operátor
GRADIENT
Skalárne pole:
Vyrobí zo skalárneho poľa f(r) vektorové pole. Udáva smer a veľkosť najväčšej
zmeny v skalárnom poli.
Vektorové pole:
DIVERGENCIA
Udáva ,,žriedlovosť" vektorového poľa.
ROTÁCIA
Udáva ,,vírovosť" vektorového poľa.
LAPLACIÁN
2
==
( ) 2
2
2
2
2
2
,,
z
U
y
U
x
U
zyxU


+


+


=
Operátor nabla v rôznych súradnicových systémoch
Karteziánske
Cylindrické
Sférické
Diferenciálne vektorové operátory v karteziánskych, cylindrických a sférických
súradniciach
Príklady:
Úloha č. 1
Ukážte, že jednotkové vektory v cylindrickej súradnicovej sústave tvoria ortonormálny
systém.
Úloha č. 2
Jednotkové vektory v karteziánskom súradnicovom systéme sa nemenia v závislosti od
pozície. To ale neplatí pre krivočiare súradnicové systémy. Pre cylindrický súradnicový
systém určite, čomu sa rovnajú derivácie jednotlivých jednotkových vektorov podľa každej
z priestorových súradníc.
Úloha č. 3
Ukážte rozkladom na jednotlivé parciálne derivácie, že v cylindrickom súradnicovom systéme
platí nasledujúca identita:
pričom f označuje skalárne pole a vektorové pole.
Úloha č. 4
Daná je vektorová funkcia so zložkami v pravoúhlych súradniciach Ex=Ky, Ey=Kx, Ez=0,
K=konšt.
a) Vypočítajte divergenciu a rotáciu tejto funkcie a rozhodnite, či môže predstavovať
reálne elektrostatické pole.
b) Vypočítajte dráhový integrál Edl medzi bodmi (0;0) a (1;1) po niekoľkých
jednoduchých dráhach. Závisí hodnota integrálu od voľby dráhy?
c) Nájdite potenciálovú funkciu k danému vektorovému poľu
Domáca úloha č.1
V kartézskej súradnicovej sústave je dané vektorové pole:

A (x, y, z)= k x

ex + k y

ey + k z

ez
a) Vypočítajte divergenciu vektorového poľa

A v kartézskej sústave.
b) Zapíčte vektorové pole A vo sférickej súradnicovej sústave (r, , ) a
vypočítajte divergenciu poľa A v tejto sústave.