Michal Lenc: Teorie rozptylu - 1 Poznámky k teorii rozptylu Michal Lenc Tento text obsahuje spíše než výklad soubor užívaných vzorečků. Není proto ani řazení kapitol nijak systematické. Text vznikl pro část přednášky Pokročilá kvantová mechanika v jarním semestru 2005 a byl mírně upraven na jaře 2008. 1 Difrakční integrál .............................................................................................................................. 2 2 Huygensův princip ............................................................................................................................ 3 3 Výpočet Fresnelova integrálu............................................................................................................ 4 4 Změna fáze při doteku kaustiky (Guyův fázový posuv) ................................................................... 5 5 Účinný průřez a optický teorém........................................................................................................ 6 6 Rozptyl v potenciálovém poli ........................................................................................................... 7 7 Operátor Greenovy funkce.............................................................................................................. 10 8 Užitečné zobecněné funkce............................................................................................................. 13 9 Užitečné ortonormální soustavy funkcí .......................................................................................... 15 9.1 Legendreovy polynomy................................................................................................................... 15 9.2 Sférické Besselovy funkce .............................................................................................................. 17 10 Exaktní teorie rozptylu.................................................................................................................... 18 11 Lippmanova ­ Schwingerova rovnice............................................................................................. 20 12 Parciální vlny .................................................................................................................................. 24 13 Rozptyl při vysokých energiích....................................................................................................... 27 14 Více o parciálních vlnách................................................................................................................ 28 14.1 Bornova aproximace ....................................................................................................................... 29 14.2 Kvasiklasická aproximace............................................................................................................... 29 14.3 Rozptyl při vysokých energiích....................................................................................................... 31 14.4 Rozptyl při nízkých energiích ......................................................................................................... 32 15 Nepružný rozptyl............................................................................................................................. 33 15.1 Parciální vlny .................................................................................................................................. 33 15.2 Komplexní index lomu prostředí .................................................................................................... 34 16 Příklady........................................................................................................................................... 35 16.1 Rozptyl nukleonů............................................................................................................................ 35 16.2 Rozptyl rychlých neutronů na jádře ................................................................................................ 36 16.3 Rozptyl rychlých elektronů na atomu ............................................................................................. 36 17 Rozptyl identických částic .............................................................................................................. 38 18 Excitace atomu při srážce s částicí.................................................................................................. 39 Michal Lenc: Teorie rozptylu - 2 1 Difrakční integrál Hledáme řešení Helmholtzovy rovnice ( ) ( )2 0r k r + = (1.1) se zadanou hodnotou v rovině 0z z= pro poloprostor 0z z . Greenova funkce je ( ) ( )0 0 0 exp , , i k r r G r r r r - = - (1.2) neboť pro 0r r je (1.2) řešením (1.1) a při integraci po kouli se středem v r dostáváme ( ) { } 2 20 1 lim exp 4 ,r r S i k e e i k d - - = (1.3) takže můžeme psát Greenovu větu ve tvaru ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 , . 4 z z z r G G d x d y d z G G d x d y n n n z = - = - = (1.4) Ve vztahu (1.4) jsme užili nikoliv vnější normálu (míří proti směru osy z), ale "normálu k vlnoploše" (ve směru osy z). Sommerfeld využil volnosti ve volbě Greenovy funkce: { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 1 0 0 1 0 0 0 exp exp lim , , 2 . z i k r i k r G r r r x x y y z r x x y y z z = - = - + - + - = - + - + + - (1.5) { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 21 2 1 1 2 2 01 2 01 22 2 2 0 0 0 exp exp lim 0 , lim , lim lim cos , , z z z z i k r i k rr rG d d G n d r r d r r z zr r n r r x x y y z z = = - - = - = = - - - + - + - (1.6) Výsledek je tedy ( ) { } ( ) ( ) 0 0 0 0 exp1 1 cos , , 2 z i k Rk r r n R d x d y i i k R R = - (1.7) kde 0R r r= - . Toto je exaktní výsledek. Druhý člen v první závorce integrandu je vždy zanedbáván. V dalším si ukážeme odvození difrakčního integrálu z Huygensova principu (podle Landaua a Lifšice). Michal Lenc: Teorie rozptylu - 3 2 Huygensův princip Mějme element vlnoplochy df. Příspěvek tohoto elementu k poli v nějakém bodě P bude úměrný * amplitudě pole u na uvažovaném elementu * průmětu plochy elementu do normály ve směru paprsku, vedoucího k bodu P (paprsky, které budou přispívat nezávisí na tvaru plochy) * přírůstku fáze a poklesu intensity Celkem tedy máme ( ) { }exp .n i k R u P a u d f R = (2.1) Konstantu a určíme například pro rovinnou vlnu postupující podél osy z. Potom pro bod P(x,y,z) dostatečně vzdálený od roviny (,,0) máme { } ( ) ( ) { } 2 2 exp exp exp 2 2 2 exp . 2 i k z k x k y u a i d i d z z z i k a i k z a k i - - - - = = (2.2) Máme tak výsledek v souladu s (1.7) ( ) ( ) { } ( ) exp cos , . 2 Q Q i k Rk u P u Q n R d f i R = (2.3) Podívejme se, jak vypadá výpočet pro rovinnou vlnu podle (1.7). Pro bod na ose P(0,0,z) máme ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) { } ( ){ } ( ) 1 22 2 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 0 0 1 2 1 22 2 2 2 1 2 1 22 2 2 2 0 exp1 1 2 exp exp exp . R R i k zk z u P d d i i k z z z i k z z i k R zd z d i k z d z R z + = - = + + + + + - = - + + (2.4) Pro R máme opět rovinnou vlnu. Pozoruhodné chování, které bylo historicky velmi důležité pro uznání vlnové povahy světla vykazuje nenulová intenzita za neprostupným terčíkem, kterou z (2.4) dostaneme jako Michal Lenc: Teorie rozptylu - 4 ( ){ } ( ) 1 22 2 1 22 2 0 0 exp . R R z i k R z R z + = - = + (2.5) 3 Výpočet Fresnelova integrálu Potřebujeme vypočítat integrál { }2 0 exp .F i x d x = (3.1) Cauchyova věta pro vhodnou křivku v komplexní rovině dává { } ( ){ } { } 4 0 2 2 2 0 0 exp exp cos 2 sin 2 exp exp 0 . 4 R R i d R i d i d + - + - = (3.2) V limitě R je { } { }2 2 0 0 exp exp exp 4 i d i d = - (3.3) Poissonův integrál se počítá například jako { } { } { } { } 1 2 2 2 2 0 0 0 1 2 1 2 2 0 exp exp exp exp . 2 2 x d x x d x y d y r r d r - = - - = - = (3.4) Konečný výsledek je { } ( ) 1 2 2 0 1 exp 1 . 2 2 F i x d x i = = + (3.5) Komplexně sdružený výraz k (3.5) je { } ( ) 1 2 * 2 0 1 exp 1 . 2 2 F i x d x i = - = - (3.6) Michal Lenc: Teorie rozptylu - 5 4 Změna fáze při doteku kaustiky (Guyův fázový posuv) Uvažujme body Q vlnoplochy z (2.3) 2 2 1 22 2R R = + (4.1) a bod P(0,0,z) na ose. Máme tak 1 2 22 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 . 2 2 2 2 R z z R R z R z R = + + - - + - + - (4.2) Po dosazení do (2.3) ( ) ( ) { } 2 2 1 2 1 1 1 1 exp exp exp . 2 2 2 k u O k k u P i k z i d i d i z z R z R - - - - (4.3) Podle obrázku dostáváme Vlnoplocha s kružnicemi hlavních křivostí a paprsky. ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) { } 2 2 1 1 1 0 1 1 1 0 , 2 1 1 1 1 0 exp , 2 2 1 1 1 1 0 exp . 2 z R i i u P u i R z R i i u P u i i i R z i i u P u i i < < + + = < < + - = - < < - - = - - (4.4) Michal Lenc: Teorie rozptylu - 6 5 Účinný průřez a optický teorém Rovinná vlna dopadající ve směru osy z je rozptýlena sféricky symetrickým potenciálem, takže se pak skládá z dopadající a rozptýlené vlny ( ) ( ) ( ) ( ) 0 exp , exp exp . i k r E r t i k z f i t r = + - (5.1) Tok počítáme jako ( )* * . 2 j mi = - (5.2) Tok v dopadající vlně je 2 0 .in z k j e m = (5.3) Tok v rozptýlené vlně je (gradient ve sférických souřadnicích ( )sinre r e r e r = + + ) ( ) 2 2 3 1 .sc fk j O m r r = + (5.4) Účinný průřez je definován pomocí vztahu 2 lim .sc in r j r d j d = (5.5) Na levé straně definice je tok v rozptýlené vlně do elementu prostorového úhlu d ve velké vzdálenosti od rozptylového centra. Na pravé straně pak odpovídající element plochy, který přinutí tok v dopadající vlně přejít do toku v rozptýlené vlně. Dosazením (5.3) a (5.4) do (5.5) dostáváme ( ) 2 .d f d = (5.6) Celkový účinný průřez je pak ( ) 2 .d f d = = (5.7) Pozoruhodný vztah, který spojuje celkový učinný průřez a imaginární část amplitudy rozptylu ve směru dopadající vlny se nazývá optický teorém: ( ){ }0 , 4 k f = (5.8) Michal Lenc: Teorie rozptylu - 7 Jednoduché odvození optického teorému pochází od van Hulsta. V dostatečné vzdálenosti za rozptylovým centrem je ( ) { } ( ) { }exp exp . i k r r i k z f r = + (5.9) Budeme počítat tok ploškou poloměru R, kdy jsou splněny nerovnosti 2 1 , 2 , R k R z z (5.10) což znamená, že úhlová velikost plošky (viděno z rozptylového centra) je malá, ale ploška obsahuje mnoho Fesnelových zón. Potom (polární souřadnice) ( ) ( ) 2 2 1 , 1 2 0 exp 2 z f i k z z + (5.11) a tok procházející ploškou je ( ){ }2 2 0 4 2 0 . R d R f k - (5.12) Plocha je zmenšena o účinný průřez rozptylu. 6 Rozptyl v potenciálovém poli Uvažujme o pohybu částice v potenciálovém poli. Pohyb volné částice je popsán Helmholtzovou rovnicí ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 02 2 0 , . m Ep r k r k + = = = (6.1) Pohyb v potenciálovém poli potom stacionární Schrödingerovou rovnicí ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 . m r k r U r r + = (6.2) Řešení této rovnice můžeme napsat ve tvaru ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 1 12 2 ,sm r r G r r U r r d r = - - (6.3) kde G je Greenova funkce Helmholtzovy rovnice Michal Lenc: Teorie rozptylu - 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) { } 2 1 1 1 1 1 1 0 1 , exp1 , 3 , 4 H , 2 , 4 exp , 1 . 2 s G r r k G r r r r i k r r G r r s r r i G r r k r r s i G r r i k r r s k - + - = - - - = = - = - = - = - = (6.4) Schrödingerovu rovnici (6.3) můžeme řešit iteračním postupem, tedy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1 1 12 2 , 0,1, . n n sm r r G r r U r r d r n + = - - = ... (6.5) Zůstaneme-li pouze u základní iterace ( 0n= ), nazývá se toto přibližné řešení pohybu v potenciálovém poli Bornova aproximace. Při studiu rozptylu předpokládáme ( ) ( )0 r ve tvaru rovinné vlny a zajímáme se o vlnovou funkci daleko od oblasti působení potenciálu, tedy pro Greenovu funkci klademe ( ) { } { } ( ) ( ) { } { } ( ) { } { } 1 1 1 1 1 1 exp , exp , 3 , 4 1 exp , exp , 2 , 4 exp , exp , 1 . 2 f f f i k r G r r i k r n s r i i k r G r r i k r n s k r i i k r G r r i k r n s k = - = + = - = = - = (6.6) V exponentu jsme aproximovali 1 22 1 1 1 12 1 2 ,f f r r r r r n r n r r r - = - + - (6.7) přičemž jsem označili jako fn r r= jednotkový vektor ve směru pozorování. Dopadající rovinná vlna je pak ( ) ( ) { } { }0 exp exp ,i fr i k r i k r n n = = (6.8) s označením jednotkového vektoru ve směru dopadu in k k= . Vlnová funkce pak je ( ) { } ( ) ( ) { } 1 2 2 exp , exp , 2 s i f i f k r i k r n n f n n i k r k r - = + (6.9) kde ( ),i ff n n je amplituda rozptylu Michal Lenc: Teorie rozptylu - 9 ( ) ( ) { } ( ) ( )1 1 1 12 1 , exp exp . 2 4 s i f f i sm f n n i k r n U r r d r + = - - (6.10) Amplituda rozptylu v Bornově aproximaci je ( ) ( ) ( ){ } ( )1 1 12 1 , exp exp . 2 4 s B i f i f i sm f n n i k r n n U r d r + = - - (6.11) V trojrozměrném případě dostáváme pro amplitudu rozptylu dopředu ( i fn n= ) výraz ( ) ( ) 3 1 12 0 . 2 B m f U r d r = = - (6.12) To je reálná veličina, což je v rozporu s optickým teorémem a omezuje to platnost jinak velmi užitečné aproximace na případ velmi slabého rozptylu. Také v dalším se omezíme na trojrozměrný případ. Podíl pravděpodobnosti toho, že rozptýlená částice projde za jednotku času plošným elementem 2 dS r d= a hustoty toku částic v dopadajícím svazku nazveme diferenciálním účinným průřezem d ( ) 2 , .i f fd f n n d = (6.13) Vytvořme lineární kombinaci (klubko) dopadajících rovinných vln. Metoda asymptotického rozvoje vede pak k přibližnému vyjádření člene s rychle oscilujícím integrandem ( ) ( ) { } { } ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } { } ( ) ( ) exp exp , exp exp exp 2 2 , . f f f f f i k r r F n i k r n n d F n f n n d r i k r i k r i k r i F n i F n F n f n n d k r k r r = + = - - + (6.14) Výraz přepíšeme na ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) exp exp ^ , 1^ ^^ ^1 2 , , . 4 f f f f i k r i k r r F n S F n k r k r S i k f f F n F n f n n d - = - = + = (6.15) Poněvadž tok ve sbíhavé vlně musí být roven toku v rozbíhavé vlně, dostáváme pro operátory ^S a ^f podmínky ^ ^ ^ ^^ ^ ^1 , 2 .S S f f i k f f+ + + = - = (6.16) Rozepsáno v maticovém zápisu ( ) ( ) ( ) ( )* * 1 1 1, , , , . 2 i f f i i f i k f n n f n n f n n f n n d - = (6.17) Ve vztahu (6.17) jsme použili vyjádření Michal Lenc: Teorie rozptylu - 10 * 1^ ^ ^, 1 . 4 a b b an f n n f n n d n + = = (6.18) Pro imaginární část amplitudy rozptylu ve směru dopadajícího svazku dostáváme optický teorém ( ){ } ( ) 2 , , , . 4 i i i k f n n f n n d = = (6.19) Vzhledem k symetrii Schrödingerovyrovnice vůči časové inverzi musí být řešením také komplexně sdružená funkce ( ) { } ( ) { } ( ) { } ( ) { } ( ) * * * *exp exp ^ exp exp ^^ ^ , f f T f f i k r i k r r F n S F n k r k r i k r i k r n P S P n k r k r - = - - = - - - (6.20) kde ( ) ( ) ( ) ( )* *^ ^, .n S F n F n P F n - = - - = - (6.21) Porovnáním (6.15) a (6.20) dostáváme relaci ( ) ( )^ ^^ ^^ ^ ^ ^, , , , .T T i f f iP S P S P f P f f n n f n n= = = - - (6.22) 7 Operátor Greenovy funkce Operátor Greenovy funkce definujeme jako inversní operátor k operátoru vlastní hodnoty hamiltoniánu ( )0 0 1^ ^ ^^lim 1 , lim . ^ E H i G G E H i - + = = - + (7.1) Často budeme potřebovat větu: Buď ( )f z funkce analytická pro { } 0z s vyjímkou konečného počtu pólů, ( ) 0f z pro z rovnoměrně. Potom pro hlavní hodnotu nevlastního integrálu dostáváme ( ) 02 ,f x d x i R i R - = + (7.2) kde R jsou residua v pólech v horní polorovině, R0 residua v pólech na reálné ose (např. Whittaker a Watson, A Course of Modern Analysis). Důsledkem je, že pro funkci analytickou v horní polorovině (včetně reálné osy) nebo dolní polorovině (včetně reálné osy) můžeme psát (integrál vlevo můžeme doplněním křivky polokružnicí se středem v počátku a s poloměrem jdoucím k nekonečnu převést na sumu Michal Lenc: Teorie rozptylu - 11 residuí funkce f v horní nebo dolní polorovině, druhý výraz vpravo je záporně vzaté residuum (pro funkci analytickou v horní polorovině) nebo residuum (pro funkci analytickou v dolní polorovině) v pólu na reálné ose ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 lim , 1 1 lim . f x f x d x d x i f x x x i x x i x x x x i x x - - = - - = - - - (7.3) Specielně pro exponenciální funkci máme { } { } { } { } 0 0 0 0 exp exp , 0 , exp exp , 0 . i xt d x i i x t t x x i xt d x i i x t t x x - - = > - = - < - (7.4) Pro hamiltonián složený ze dvou částí 0 ^ ^ ^H H V= + , 0 ^H je základní část (neporušený hamiltonián), ^V je interakční část (porucha), můžeme hledat řešení rovnice pro Greenovu funkci (7.1) pomocí vztahů ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1^lim lim lim ^ ^ ^ ^ 1 1^ ^lim 1 lim ^ ^ ^ 1 1^ ^ ^lim lim lim ^ ^ ^ 1 lim , ^ ^ V E H i E H i E H V i V E H i E H V i E H V i V E H i E H V i E H V i + = - + - + - - + + = - + - - + - - + + = - + - - + - - + (7.5) a tedy 0 0 0 0 0 0 0 0 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^^ ^ ^ ^,G G G V G G G G V G G V G V G= + = + + +... (7.6) Pro vlnovou funkci dostáváme ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ^ ^ ^ ^^ ^ ^1 ^ ^ ^1 ^ ^ ^ ^ ^ ^^ ^ ^1 1 . G V G V G V G V G G V G V GV = = + + + = - + + + = + ... ... (7.7) Zapíšeme-li Hamiltonův operátor ^H pomocí vlastních vektorů m a Hamiltonův operátor 0 ^H pomocí Michal Lenc: Teorie rozptylu - 12 vlastních vektorů m ( )0 0 ^ ^, ,m m m m m m m m H E H E= = (7.8) můžeme pro operátory Greenovy funkce psát ( )0 00 0 ^ ^lim , lim .m m m m m mm m G G E E i E E i = = - + - + (7.9) Pro stopu operátoru Greenovy funkce máme { } 0 1^Tr lim . m m G E E i = - + (7.10) Greenova funkce v souřadnicové representaci je ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 0 ^ , lim , 1 , lim . m m m m s m m r r r G r G r r E E E i G r r E d r E E i = - + = - + (7.11) Pro kvasikontinuální energiové spektrum přejdeme od sumace k integraci ( ) ( ) ( ) ,m m f E f x x d x (7.12) takže můžeme psát ( ) ( ) ( ) ( ){ } 0 , lim 1 , . s s x G r r E d r d x , E x i E G r r E d r = - + = - (7.13) Pro volné částice platí ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 2 2 2 20 1 , exp , , 2 2 exp2 , lim . 22 s sk k k k s s k E r i k r E d E d k m i k r rm G r r E d k m E k i = = = - = - + (7.14) Greenova funkce pro časově závislou Schrödingerovu rovnici (přitom ^H explicitně nezávisí na čase) je Michal Lenc: Teorie rozptylu - 13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 * , , exp lim , 2 exp , , . 0 m m m m m m m m r rd E i G r t r t E t t E E i i i r r E t t t t G r t r t t t - = - - - + - - = < (7.15) Pro volné částice je ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 exp , , .2 2 0 s m r rm i t t G r t r t i t t t t t t - = - - < (7.16) 8 Užitečné zobecněné funkce Působení zobecněných funkcí na prostoru ,,hodných" funkcí jedné proměnné je zobrazení těchto funkcí do prostoru komplexních (reálných) čísel : , .F F (8.1) Jedna ze zobecněných funkcí má původ ve výpočtu Cauchyho vlastní hodnoty integrálu funkce s jednoduchým pólem na reálné ose. Obecně je Cauchyho vlastní hodnota definována jako ( ) ( ) ( )0 Vp lim .d x f x d x f x d x f x - - - = + (8.2) Definujeme zobecněnou funkci ( )1 xP jako ( ) ( ) ( )1 1 : , Vp . x x x d x x x x - P P (8.3) Dále definujeme Diracovu delta (zobecněnou) funkci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ): , 0 .x x x x (8.4) Poslední vztah (8.4) je zapisován také jako ( ) ( ) ( )0 .d x x x = (8.5) Pomocí zobecněných funkcí (8.3) a (8.4) můžeme vyjádřit jiné důležité zobecněné funkce, tj. Michal Lenc: Teorie rozptylu - 14 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 : , lim x x x d x x i x i x i - + + + (8.6) a ( ) ( ) ( ) 0 1 1 : , lim . x x x d x x i x i x i - - - - (8.7) Platí (Sochockého vztahy) ( ) 1 1 ,i x x i x = - + P (8.8) a ( ) 1 1 .i x x i x = + P (8.9) Důkaz není obtížný. Vezměme nejprve ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / 2 2 2 20 0 1 1 1 , 2 0 0 lim lim 0 . x x i x i x x i d x i d x i x x - - - = - + + + = = + + (8.10) Dále pak ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 20 / 2 20 1 1 1 , lim 2 0 0 Pv lim Pv . x x x d x x i x i x x x x d x d x x d x x x x - - -- + = = - + + + + + = + (8.11) Odečtením a přičtením (8.10) k (8.11) dostáváme Sochockého vztahy. Podívejme se teď na integrál ( ) 0 x I d x x x i + - = - + (8.12) z pohledu teorie funkce komplexní proměnné. Je-li funkce ( )x analytická v horní (dolní) polorovině, můžeme doplněním integrálu po reálné ose integrálem po polokružnici v horní (dolní) polorovině se středem v počátku a s poloměrem jdoucím do nekonečna použít Cauchyovyvěty. Dostáváme pak (v prvním případě má křivkový integrál souhlasnou orientaci s reálnou osou, v druhém opačnou) Michal Lenc: Teorie rozptylu - 15 ( ) ( )00 0 . 2 x I d x i xx x i + - = = -- + (8.13) Obdobně dostaneme ( ) ( )0 0 2 . 0 x i x I d x x x i - - = = - - (8.14) 9 Užitečné ortonormální soustavy funkcí 9.1 Legendreovy polynomy Legendreovy polynomy ( )coslP , 0,1,l = ... jsou definovány jako ( ) ( ) ( )21 cos cos 1 . 2 ! cos l l l ll d P l d = - (9.1) Jsou řešením diferenciální rovnice ( ) ( ) ( ) cos1 sin 1 cos 0 . sin l l d Pd l l P d d + + = (9.2) Na intervalu ( )1,1- tvoří polynomy ( )lP x ortogonální systém, tj. ( ) ( )/ / 1 1 2 . 2 1 l l ll P x P x d x l - = + (9.3) Přidružené Legendreovy polynomy ( )cosm lP , 0,1, ,m l= ... jsou definovány jako ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2cos 1 cos sin sin cos 1 2 !cos cos m l m llm m m l m l ml d P d P ld d + + = = - (9.4) a jsou řešením diferenciální rovnice ( ) ( ) ( ) 2 2 cos1 sin 1 cos 0 . sin sin m l m l d Pd m l l P d d + + - = (9.5) Platí ( ) ( ) ( ) ( ) / / 1 1 !2 . 2 1 ! m m l l ll l m P x P x d x l l m - + = + - (9.6) Michal Lenc: Teorie rozptylu - 16 Normované funkce jsou (a zde se mohou lišit různí autoři ve fázovém faktoru, zde zvolený je podle Landaua a Lifšice) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) !2 1 cos 1 cos , 0,1, , 2 ! !2 1 cos cos , , 1, , 1 2 ! mm l m l l mm l l l l ml i P m l l m l ml i P m l l l m -+ = - = + -+ = = - - + - + ... ... (9.7) Přidáme-li ještě ortonormální soustavu na intervalu ( )0,2 ( ) ( ) { }1 2 1 exp , 2 m i m = (9.8) dostáváme ortonormální systém sférických funkcí ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } !2 1 , 1 cos exp , 4 ! m m ml l m l l ml Y i P i m l m + -+ = - + (9.9) relace ortonormality jsou ( )( ) ( )/ / / / 2 * 0 0 , , sin .l ml m l l m m Y Y d d = (9.10) Zjevně platí ( )( ) ( ) ( ) * ,, 1 , . l m l m l mY Y -= - (9.11) Sférické funkce nejnižších řádů jsou ( ) { } ( ) { } { } 1 2 1 2 0 0 1 0 1 11 2 1 2 0 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 3 3 , cos , sin exp , 4 84 5 1 3cos , 16 15 15 cos sin exp , sin exp 2 . 8 32 Y Y i Y i i Y Y i Y i = = = = - = = - (9.12) Označíme-li n jednotkový vektor charakterizovaný azimutálním úhlem a polárním úhlem , můžeme značit ( ) ( ),l m l mY Y n . Řada vztahů vypadá jednodušeji, užijeme-li identity ( ) ( )( ) ( ) *4 cos , , , 2 1 l l l m l m m l P Y Y l == + (9.13) kde ( )cos cos cos sin sin cos = + - , nebo ve značení pomocí jednotkových vektorů Michal Lenc: Teorie rozptylu - 17 ( ) ( )( ) ( ) * / /4 . 2 1 l l l m l m m l P n n Y n Y n l =- = + (9.14) 9.2 Sférické Besselovy funkce Sférické Besselovy funkce ( )lj z a ( )ln z nebo ( ) ( )lh z+ a ( ) ( )lh zjsou řešením rovnice ( ) ( ) ( ) ( )// / 2 12 1 0 . l l f z f z f z z z + + + - = (9.15) Máme ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 , , 2 2 , 2 . 2 l l l l l l l l l l l l j z J z n z N z z z h z n z i j z i H z z h z n z i j z i H z z + + + + - + = = = - + = = - - = - (9.16) Kromě obvyklého vyjádření pomocí řad je možné zapsat sférické Besselovy funkce jako ( ) ( ) ( ) ( ) 11 sin 1 cos 1 , 1 . l l l ll l l l d z d z j z z n z z z d z z z d z z + = - = - (9.17) Sférické Besselovy funkce řádu 0, 1 a 2 jsou ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 22 3 2 0 1 22 3 2 sin sin cos 3 1 3cos , , sin , cos cos sin 3 1 3sin , , cos . z z z z j z j z j z z z z z z z z z z z z n z n z n z z z z z z z z = = - = - - = - = - - = - - - (9.18) Asymptotické vyjádření je ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 sin , cos , 2 2 1 1 exp , exp . 2 2 l l z z l l z z j z z l n z z l z z h z i z l h z i z l z z + - - - - - - - (9.19) Pro hodnoty argumentu blízké nule je ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 2 1 !! , 0,1,2, , 2 1 !! 2 1 !! 2 1 2 1 3 1 . l l l l z z lz j z n z l l z l l l + - = + + = + - ... ... (9.20) Michal Lenc: Teorie rozptylu - 18 - Specielně ( ) ( )0 0 0 0 1 1 , . z z j z n z z - (9.21) Pro sférické Besselovy funkce platí relace ortogonality ( ) ( ) ( ) ( )/ 2 / / 2 0 . 2 2 l lj p r j p r r dr p p E E p m p = - = - (9.22) 10 Exaktní teorie rozptylu Hamiltonián je na čase nezávislý a skládá se z hamiltoniánu volné částice a interakčního potenciálu 0 ^ ^ ^ .H H V= + (10.1) Přesto má rozptylová úloha charakter časově závislé úlohy. Je to dáno předpokladem, že pro t - je stav částice takový, že lze působení interakčního potenciálu zanedbat. Totéž předpokládáme o situaci v časech, kdy t . Stav částice v 0t = označíme , stav volné částice v 0t = označíme , takže máme ( ) { }^expt i H t = - (10.2) a ( ) { }0 ^exp .t i H t = - (10.3) Hledáme takové řešení rozptylové úlohy, které se bude asymptoticky blížit nějakým řešením pro volnou částici, tj. { } { }0 ^ ^lim exp exp 0 t i H t i H t - - - - = (10.4) pro t - a { } { }0 ^ ^lim exp exp 0 t i H t i H t + - - - = (10.5) t . To uděláme ve dvou krocích: 1) pro nějaký zadaný stav - H sestrojíme tak, aby byl splněn vztah (10.4) a 2) pro takto získané sestrojíme + H tak, že bude splněn vztah (10.5). Pro experiment je podstatný vztah + k - . Zajímá nás tedy existence unitárního operátoru ^ .S + -= (10.6) Začněme se zobecněním (10.4) a (10.5). Je možné k libovolným stavům H najít stav takový, aby Michal Lenc: Teorie rozptylu - 19 (10.4) a (10.5) byly splněny? Přepišme tyto vztahy (operátor { }^exp i H t- je unitární) na { } { }0 ^ ^lim exp exp 0 . t i H t i H t - - = (10.7) Jde tedy o podmínku existence operátorů { } { }0 ^ ^ ^lim exp exp . t U i H t i H t = - (10.8) Uvažujme operátor ( ) { } { }0 ^ ^ ^exp exp .U t i H t i H t= - (10.9) Platí pro něj rovnice ( ) { }( ) { } { } { }0 0 0 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^exp exp exp exp dU t i i H t H H i H t i i H t V i H t dt = - - = - (10.10) s počáteční podmínkou ( ) ^^ 0 1U = . Řešením je ( ) { } { }0 0 ^^ ^ ^ ^1 exp exp . t U t i i H t V i H t dt= + - (10.11) Hledané operátory pak jsou { } { }0 0 ^^ ^ ^ ^1 exp exp .U i i H t V i H t dt = + - (10.12) Postačující podmínkou existence ^U je existence integrálů (opět využíváme toho, že operátor { }^exp i H t- je unitární) { }0 0 ^ ^exp , .V i H t - H (10.13) V souřadnicové representaci máme pro ( ) { } ( )0 ^, expx t i H t x = ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 1 1 , exp . 22 x t k i k x k t d k = - (10.14) Pro odhad budeme potřebovat oba případy přibližného výpočtu integrálu metodou stacionární fáze. Mějme ( ) ( ){ }exp , b a I g x i f x d x= (10.15) přitom bude velké číslo. Pokud je na integračním intervalu ( )/ 0f x , počítáme Michal Lenc: Teorie rozptylu - 20 ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) / / / 1 exp exp exp . b a g x d I i f x d x i f x d x i g a i f a i g b i f b f a f b = - (10.16) Pokud je na integračním intervalu ( )/ 0 0f x = , počítáme ( ) ( ){ } ( )( ) ( ) ( ) ( ){ } 2// 0 0 0 0 1 2 0 0// 0 exp exp 2 2 exp . b a I g x i f x i f x x x d x i g x i f x f x - = (10.17) 11 Lippmanova ­ Schwingerova rovnice Moellerovy operátory (znaménko u limity pro t je opačné než označení operátoru!) { } { }0 ^ ^ ^lim exp exp . t i H t i H t = - (11.1) Označíme ^ ^, . + - + - (11.2) Vektor + je skutečný stav v 0t = , byl-li počátečním (in) stavem volné částice vektor , vektor je skutečný stav v 0t = , bude-li koncovým (out) stavem volné částice vektor . Mějme teď ^ ^ .in out + -= = (11.3) Poněvadž pro unitární operátory ^^ ^ 1+ = , můžeme z (11.3) získat vztah ^^ ^ ,out in inS + - += (11.4) kde jsme zavedli operátor rozptylu ^ ^ ^ .S + - += (11.5) Bez důkazu zde uvedeme tvrzení, že Hilbertův prostor můžeme rozdělit na podprostor rozptylových stavů (tj. stavů, které mají asymptotický vztah k in a out stavům) a podprostor vázaných stavů. Jen část důkazu: vezměme vázaný stav ^ n n nH E = . Potom Michal Lenc: Teorie rozptylu - 21 { } { } { } { } 0 0 ^ ^lim exp exp ^ ^limexp exp 0 . n n in n n in t n out n n out t i E t iH t i E t iH t + - - = = - = = - = (11.6) Vztahy pro Moellerivy operátory jsme odvodili v předchozí části. Tady je trochu upravíme na { } { } { } { } { } { } 0 0 0 0 0 0 ^^ ^ ^ ^1 lim exp exp exp , ^^ ^ ^ ^1 lim exp exp exp . i t i H t V i H t dt i t i H t V i H t dt + + - + - = + - - = - - (11.7) Dostáváme tak { } { } { } { } { } { } 0 0 0 0 0 0 ^ ^ ^ ^lim exp exp exp , ^ ^ ^ ^lim exp exp exp . i t i H t V i H t dt i t i H t V i H t dt + + - + - = = + - + = = - - (11.8) Nejprve rozložíme stav podle vlastních stavů hamiltoniánu volné částice p , tj. 0 ^ pH p E p= , takže { } { } { }3 3 0 0 ^ ^exp exp exp pi H t i H t p p d p i E t p p d p - = - = - (11.9) a potom provedeme integraci podle času ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ^^ ^lim exp lim lim , ^^ ^lim exp lim lim . p p p p p p i E i H t dt i E i H i G E i i E i H t dt i E i H i G E i + + + + + + - - - - - = - - - = - - + - = + - = + (11.10) Máme tak upraven vztah (11.8) na ( ) 3 0 ^ ^lim .pG E i V p p d p + = + (11.11) Ve složkách p pak máme ( )0 ^ ^lim .pp p G E i V p + = + (11.12) V dalším budeme symbol 0 lim + už vynechávat. Rovnici (11.12) přepíšeme do tvaru s 0 ^G . Připomeňme si, že operátor Greenovy funkce definujeme jako inversní operátor k operátoru vlastní hodnoty hamiltoniánu ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 1^ ^ ^^ ( ) 1 , , ^ 1^ ^ ^^ ( ) 1 , . ^ z H G z G z z H z H G z G z z H - = = - = = - (11.13) Michal Lenc: Teorie rozptylu - 22 Pro hamiltonián složený ze dvou částí 0 ^ ^ ^H H V= + , 0 ^H je základní část (volná částice v teorii rozptylu), ^V je porucha (interakční potenciál v teorii rozptylu), můžeme hledat řešení rovnice pro Greenovu funkci pomocí vztahů ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 1 1 1 1 1^ ^ ^1 , ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ z H V V z H V z H z H V V V z H z H V z H z H z H V = - - + = - - - - - + = + - - - - - - - (11.14) a tedy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ^ ^ ^ ^^ , ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^^ ^ ^ G z G z G z V G z G z G z G z V G z G z V G z V G z = + = + + +... (11.15) Pro stavový vektor dostáváme ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ^ ^ ^ ^ ^ ^^ ^ ^1 1 1^ ^ ^ ^^ ^ ^1 ^ ^ ^1 ^ ^ . G z V G z G z V G z V G z V G z V G z V G z V G z V = + = + + + = + + + = = + ... ... (11.16) Místo (11.12) máme tedy ( )0 ^ ^ .pp p G E i V p = + (11.17) V souřadnicové reprezentaci je ( ) ( )/ / / 3 / 0 ^ .px p x p x G E i x V x x p d x = + (11.18) Pro maticové prvky Greenovy funkce napíšeme ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } / / 3 0 0 / / 0 2 3 ^ ^ , 1 1^ , exp , 2 2 x G z x x G z p p x d p G z p p x p p x i p x x p z m = = = - - (11.19) takže ( ) ( ) ( ){ }/ / 3 0 3 2 exp2^ . 22 i p x xm x G z x d p m z p - = - (11.20) Při výpočtu postupujeme obvyklým způsobem Michal Lenc: Teorie rozptylu - 23 ( ) ( ){ } ( ) { } { } / 3 3 2 22 / 3 2 0 0 0 / 22 / exp2 22 2 sin exp cos 22 exp . 22 i p x xm d p m z p m p i p x x d d d p m z p p i p x xi m d p p m zx x - - = - = - - -- (11.21) Integrační křivku v rovině komplexního p můžeme uzavřít polokružnicí v horní polorovině. V této polorovině bude mít integrand pól v případě, že 2 2 , 2 2 p p p p p m E i m E i p i p m E i m E i p i + = + = + = + = - - = - + = - + (11.22) a hodnota integrálu bude ( ) { } ( ) { } / / 2 Res exp , 2 Res exp . i p p i i p x x i p p i i p x x + = = = = - - (11.23) Maticové elementy Greenovy funkce tedy jsou ( ) { }/ / 0 / exp ^ 2 p i p x xm x G E i x x x - = - - (11.24) a rovnice (11.18) má tvar { } ( ) / / / 3 / / exp . 2 i p x xm x p x p V x x p d x x x - = - - (11.25) S přiblížením ( ) 1 2/ 2 / /2 / / 2 ,x x x x x x r n x x x r- = - + - - (11.26) v exponentu resp. čitateli máme { } { } ( )/ / / 3 /exp exp . 2 m i p r x p x p i p n x V x x p d x r - (11.27) Protože máme ( ) { } ( ) { }/ / 3 2 3 2 1 1 exp , exp , 2 2 x p i p x p n x i p n x = = (11.28) Michal Lenc: Teorie rozptylu - 24 můžeme (11.27) zapsat také jako ( ) { } ( ) { }2 3 2 exp1 ^exp 2 . 2 i p r x p i p x m p n V p r = - (11.29) S označením ( ) ( ) 2 ^2f p n p m p n V p = - + (11.30) máme konečně ( ) { } { } ( )3 2 exp1 exp . 2 i p r x p i p x f p n p r + = + (11.31) V souřadnicové reprezentaci je ( ) ( ) { } ( )1 2 / / / 3 / 2 exp .f pn p m i p n x V x x p d x = - - + (11.32) V Bornově aproximaci dosadíme v integrandu (11.32) x p x p+ = . S označením ( ) 1 q p n p= - a cosn p p = máme (píšeme Planckovu konstantu) ( ) { } ( ) 3 2 exp . 2 m f q i q x V x d x = - - (11.33) 12 Parciální vlny Místo báze tvořené vektory p zvolíme bázi , ,E l m , kterou získáme z transformačních vztahů ( ) ( ) 1 2 2 , , , ,l l l m m p x E l m i j p r Y = (12.1) kde sin cos sin sin cosx y zx r e r e r e = + + a ( ) 1 2 2p m E= . Užitím (12.1), (9.22) a (9.10) dostáváme relace ortonormality pro bázi , ,E l m ( ) / / / / / / / / 3 / , , , , , , , , .l l m m E l m E l m E l m x x E l m d x E E = = - (12.2) Jak vypočteme , ,p E l m ? Platí ( ) { }3 3 3 2 1 , , , , exp , , . 2 p E l m p x x E l m d x i p x x E l m d x = = - (12.3) Vyjádření rovinné vlny je Michal Lenc: Teorie rozptylu - 25 { } ( ) ( )( ) ( ) / / / / / / / / / / * 0 exp 4 , , , l l l l m l m l m l i p x i j p r Y Y = =- = (12.4) kde sin cos sin sin cosx y zp p e p e p e= + + . Dosazením (12.4) do (12.3) dostaneme ( ) ( ) ( )1 2 1 , , , .p l mp E l m E E Y m p = - (12.5) Rozklad vektoru p je tedy ( ) ( )( ) * 1 2 0 0 0 1 , , , , , , , . l l l m l m l l m l p E l m E l m p d E Y E l m m p = =- = == = (12.6) Přirozeně stejný rozklad dostáváme pro ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) * 1 2 0 * 1 2 0 1^ ^, , , 1 , , , . l l m l m l l l m l m l p p Y E l m m p Y E l m m p + + = =- = =+ = = = + (12.7) V analogii k rozkladu (12.1) budeme psát ( ) ( ) 1 2 ,2 , , , , l pl l m rm p x E l m i Y pr + = (12.8) odkud dostaneme pro (12.7) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 *, 0 2 , , . l l pl l m l m l m l r x p i Y Y pr = =- + = (12.9) Ještě jednou zapíšeme ( ) ( )( ) ( ) 1 2 * 0 2 , , . l l l l m l m l m l x p i j p r Y Y = =- = (12.10) Vyjádřeme teď amplitudu rozptylu (11.32) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / / / / / / / / / / 2 / / / 3 / ** / / / / / 0 0 / / / / / , 0 8 2 , , , , . l l ll l m l ml m l m l m ll m l l pl m f p n p m pn x V r x p d x p i i Y Y Y Y d j p r V r r r dr = =-= =- = - + = - (12.11) Relace ortogonality pro sférické funkce zjednoduší výraz (12.11) na tvar Michal Lenc: Teorie rozptylu - 26 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * / / / / / , 0 0 8 , , . l l m l m l l p l m l f p n p m Y Y j p r V r r r dr p = =- = - (12.12) Rovnici (11.31) napíšeme s pomocí (12.9), (12.10) a (12.12) jako ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ), / / / / / , 0 2 exp . l pl l l l l p r m i i j pr i pr j pr V r r r dr pr p r = - (12.13) Odtud ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ / / / / , , 0 2 .l p l l l l pr p r j p r m p r h p r j p r V r r r dr + = - (12.14) Exaktní výraz, platný pro všechna r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / / / / , , / / / / / , 0 2 . l p l l l l p r r l l l p r pr j p r m pr j pr h p r V r r r dr h pr j p r V r r r dr + + = - + (12.15) V předchozím vztahu je využito asymptotického chování ( ) ( )lh z+ . Označíme-li jako parciální amplitudu rozptylu ( ) ( ) ( ) ( )/ / / / / , 0 2 l l l p m f p j p r V r r r dr p = - (12.16) můžeme výraz (12.14) zapsat jako ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), .l p l l lr pr j pr p f p h pr + = + (12.17) Protože ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 , 2 l l lj z h z h z i + = - (12.18) můžeme (12.17) zapsat jako ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 2 l p l l l i r p r h p r S p h p r - + = - (12.19) kde ( ) ( )1 2 .l lS p i p f p= + (12.20) Výraz (12.12) je teď ( ) ( )( ) ( ) ( ) * 0 4 , , . l l m l m l l m l f pn p Y Y f p = =- = (12.21) Michal Lenc: Teorie rozptylu - 27 Označíme-li jako úhel nikoliv azimutální úhel, ale úhel rozptylu cosn p p = , můžeme s využitím (9.13) zapsat poslední vztah jako ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 1 cos .l l l f pn p l f p P = = + (12.22) Přirozeně, pokud dopadá vlna ve směru osy z, oba úhly jsou stejné. Vlnová funkce je pak ( ) ( ) ( ) { } { } 0 2 1 cos 1 exp exp . 2 l l l l i l P i p r S i pr pr = = + - - - (12.23) 13 Rozptyl při vysokých energiích Schrödingerovu rovnici ( ) ( ) ( ) ( )2 2r p r mV r r + = (13.1) budeme řešit substitucí ( ) { } ( )exp .r i p z F r = (13.2) Dostáváme tak rovnici ( ) ( ) ( ) ( )2 2 . F r F r i p mV r F r z + = (13.3) Předpokládáme, že 0F , takže můžeme napsat explicitní tvar řešení rovnice (13.3), řešení Schrödingerovy rovnice ( ) ( )exp , , z m r C i p z V z d z p - = - (13.4) kde jsme označili x yxe y e = + . Všimněme si, že (13.4) je možno psát jako ( ) ( ) 1 22 exp 2 , . z r C i p mV z d z = - (13.5) Dosadíme-li do výrazu pro amplitudu rozptylu ( ) { } ( ) ( ) 3 exp 2 m f p n p i p n r V r r d r = - - (13.6) ze (13.3) ( ) ( ) { } ( )exp , F r mV r r i p i p z z = (13.7) dostaneme Michal Lenc: Teorie rozptylu - 28 ( ) { } ( ){ } ( ) 2 exp exp 1 . 2 z F rp f pn p i p n i p n z d i z = - - (13.8) Pro 1zn můžeme amplitudu rozptylu zapsat jako ( ) { } ( ) ( ) 2 exp , , 2 p f p n p i p n F F d i = - - - (13.9) a po dosazení z (13.4) ( ) ( ) { } ( ) ( ){ } ( ) ( ) 2 1 exp , 2 exp 2 , , . 2 p f pn p S i pn d i m S i V z d z p - = - - = = - (13.10) 14 Více o parciálních vlnách Vyjdeme z unitarity S-matice. Napíšeme proto ( ) ( ){ }exp 2 .l lS p i p= (14.1) Vztah mezi fázovým posuvem a amplitudou rozptylu dostaneme z (12.20) ( ) ( ){ } ( ) 1 exp sin .l l lf p i p p p = (14.2) Celkový účinný průřez je ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 4 4 2 1 2 1 sin .l l l l l l l f l p p = = = = = + = + (14.3) Ze vztahu (14.2) dostáváme vyjádření optického teorému ( ){ } ( ) 2 ,l lf p p f p = (14.4) což můžeme přepsat jako ( ) 1 . l p f p = - (14.5) Musí tedy amplituda rozptylu mít tvar ( ) ( ) 1 ,l l f p g p i p = - (14.6) kde reálná funkce ( )lg p je z (14.2) ( ) ( )cot .l lg p p p= (14.7) Michal Lenc: Teorie rozptylu - 29 14.1 Bornova aproximace Funkce ( ),l p r a ( )lpr j p r jsou řešením rovnic ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 2 ,2 2 2 2 2 2 1 2 0 , 1 0 . l p l p l l d r l l p mV r r dr r d r j pr l l p r j pr dr r + + - - = + + - = (14.8) S okrajovou podmínkou ( ), 0 0l p = dostaneme úpravou (14.8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , 0 2 . r l p l l l p l p l d r d pr j pr pr j pr r m p V r r j p r r dr dr dr - = (14.9) Pro r máme ze (12.19) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 2 , 2 1 . 2 l p l l l l p l l l i r p r h p r S p h p r d r p r h p r S p h p r dr - + - + = - = + (14.10) Levá strana (14.9) je tedy ( )( ) ( )2 1 . 2 l l i p S p p f p- = - (14.11) V integrandu integrálu na pravé straně položíme ( ) ( ), 0l p lpr j pr , takže máme ( ) ( ) ( )( ) 2 2 0 2 .l lf p m V r j p r r dr = - (14.12) Srovnáním se vztahem (14.2) vidíme nekonsistenci této aproximace. Ta se "ztratí" v přiblížení malých fázových posuvů, kdy ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 0 2 .l l l l p f p p m p V r j p r r dr p - (14.13) 14.2 Kvasiklasická aproximace Rovnice pro volnou částici a částici v potenciálovém poli (14.8) zapíšeme trochu odlišně, když zaměníme značení, tj. ( ) ( ),l p lr r a ( ) ( )l lr j pr r a píšeme místo ( )1l l + obecněji ( )2 2 l = Michal Lenc: Teorie rozptylu - 30 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0l l d r p r dr r + - = (14.14) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 .l l d r p mV r r dr r + - - = (14.15) Asymptotický tvar sférické Besselovy funkce vede k asymptotice řešení (14.14) ( ) sin . 2 l z r p r l - (14.16) Ve stacionárním jednorozměrném případě je kvasiklasickým řešením rovnice (14.15) ( ) ( ) 1 22 2 2 exp , 2 2 a l r A r P dr P mV r p rP = - = + - (14.17) v intervalu 0 r a < , kde ( )2 2 2 2 0p mV r r- - < a ( ) ( ) 1 22 21 2 2 exp exp , 2 r r l a a B B r i P dr i P dr P p mV r rP P = + - = - - (14.18) v intervalu a r< < , kde ( )2 2 2 2 0p mV r r- - > . V okolí bodu obratu je ( ) ( ) 2 2 2 2 2 .p mV r r a r - - - (14.19) V tomto okolí (ale stále dostatečně daleko od bodů obratu) můžeme psát ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 4 3 2 3 21 2 1 4 1 4 2 exp , 32 2 2 exp exp . 3 3 l l A r a r r a r B B i r a i r a r a r a = - - = - - + - - - - (14.20) Při analytickém prodloužení odmocnin do komplexní rovinypoužijeme zápisu takového zápisu, abyv horní polorovině převažoval (exponencielně) jeden člen, v dolní polorovině člen druhý. V našem případě je vhodný zápis ( ){ }exp .a r i - = - (14.21) Obchodem bodů obratu v horní (spodní) polorovině, tj. pro ( )0, ( ( ),2 ) dostáváme podmínky spojitosti 2 1exp , exp , 2 4 2 4 A A B i B i = = - (14.22) takže máme v klasicky dostupné oblasti kvasiklasické řešení rovnice (14.15) Michal Lenc: Teorie rozptylu - 31 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 22 2 1 2 2 cos , 2 . 4 r l a C r P r dr P r p mV r rP r = - = - - (14.23) Budeme-li tedy rovnici (14.14) řešit standardním postupem kvasiklasické aproximace, dostaneme výraz ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 1 sin , , 0 . 4 r l a l lC r P r dr P r p P a rP r + = + = - = (14.24) Integrál můžeme spočítat analyticky, takže argument sinu je ( ) 1 22 1 arcsin 4 2 4 1 . 2 2 r r a P r dr p r p r p r p r + = - + - + - - (14.25) Srovnáním (14.25) a (14.16) docházíme k tomu, že v kvasiklasické aproximaci musíme jako velikost momentu impulzu vzít veličinu 1 2l = + . Fázový posuv už spočteme snadno když od skutečné fáze odečteme fázi odpovídající volné částici ( ) ( ) ( ) 1 22 2 2 1 2 1 2 . 2 2 l a l p p mV r p dr l r + = - - - + + (14.26) Pro velké hodnoty l je také velká hodnota a, takže můžeme interakční potenciál považovat za poruchu. Ze (14.26) dostaneme ( ) ( ) ( ) 0 01 22 2 2 1 2 , . 1 2 l a V r l p m dr a pl p r + = - = + - (14.27) 14.3 Rozptyl při vysokých energiích Pro sféricky symetrický potenciál můžeme (13.10) upravit na ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 22 2 exp 2 1 sin , sin , , . 2 x y f p n p i p i J p d m n n V z d z p - = - - = + = - (14.28) Porovnejme to s výrazem (12.22) Michal Lenc: Teorie rozptylu - 32 ( ) ( ) ( ){ } ( ) 0 1 2 1 exp 2 1 cos . 2 l l l f pn p l i p P i p = = + - (14.29) Pro malé úhly platí ( ) 0 1 cos sin , 2 lP J l + (14.30) takže ( ) ( ){ } 0 0 1 1 1 exp 2 1 sin , 2 2 l l f p n p l i p J l i p = + - + (14.31) což po nahrazení ( )1 2l p + a ( ) ( )1 1 2 1 2l l l p d = + + - + vede skutečně k (14.28). 14.4 Rozptyl při nízkých energiích Při nízkých energiích budeme při řešení rovnice (14.15) rozlišovat tři oblasti. Označíme jako a poloměr oblasti, kde je interakce výrazná. V první oblasti můžeme zanedbat kinetickou energii částice, tj. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 0 , 0 .l l d r l l mV r r r a dr r + - + (14.32) V další oblasti můžeme zanedbat i potenciální energii ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 0 , .l l d r l l r a r dr r p + - (14.33) Konečně ve vnější oblasti už poklesne efektivní potenciál natolik, že musíme uvažovat i kinetickou energii ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 0 , .l l d r l l p r r dr r p + + - (14.34) Řešením rovnice (14.33) je ( ) 1 1 2 .l l l r c r c r + = + (14.35) Řešením rovnice (14.34) je ( ) ( ) ( )1 2 .l l lr d r j p r d r n p r = + (14.36) Asymptotický tvar (14.36) pro velké hodnoty argumentu je podle (9.19) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 22 2 1 2 2 1 sin , tan , 2 l l l d d d r p r l p p p d + - + = - (14.37) zatímco pro malé hodnoty argumentu podle (9.20) Michal Lenc: Teorie rozptylu - 33 ( ) ( ) ( )1 1 2 1 2 1 !! . 2 1 !! l l l l l lp r d r d r l p + - + - - + (14.38) Porovnáním (14.38) a (14.35) získáme vyjádření koeficientů d pomocí koeficientů c, a dosazení do (14.37) dává výraz pro fázový posuv ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 2 2 tan . 2 12 1 !! l l l c p p p lc l + = +- (14.39) Pro amplitudu rozptylu dostáváme ( ) ( ){ } ( ) 2 exp 2 1 . 2 l l l l i p p f p p i p p = (14.40) Je proto většinou možné považovat rozptyl při malých energiích za s-rozptyl. 15 Nepružný rozptyl 15.1 Parciální vlny Budeme se snažit o co největší podobnost s popisem při pružném rozptylu. Tak vlnovou funkci napíšeme ve stejném tvaru, tj. jako (12.23) ( ) ( ) ( ) { } { } 0 2 1 cos 1 exp exp , 2 l l l l i l P i p r S i p r pr = = + - - - (15.1) ale nebude již platit 1lS = . Amplituda rozptylu bude mít také stejný tvar ( ) ( )( ) ( ) 0 1 2 1 1 cos . 2 l l l f l S P i p = = + - (15.2) Rozdíl musíme brát v úvahu při výpočtu účinných průřezů. Máme ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , .l l l l t t t e r l = = = + (15.3) (Indexy total, elastic a reaction). Pro pružný rozptyl ( ) ( ) 2 2 2 1 1 ,l e ll S p = + - (15.4) pro nepružný rozptyl ( ) ( )( )2 2 2 1 1l r ll S p = + - (15.5) a pro celkový účinný průřez Michal Lenc: Teorie rozptylu - 34 ( ) ( )( )2 2 2 1 1 .l t ll S p = + - (15.6) Významnými hodnotami jsou 1lS = - žádný rozptyl, 1lS =- - maximální pružný rozptyl a 0lS = - úplná absorpce. Celkový účinný průřez je tedy ( )( )2 0 2 2 1 1 .t l l l S p = = + - (15.7) Dosazení 0 = do imaginární části (15.2) a porovnání s (15.7) dává zobecnění optického teorému ( )0 . 4 t p f = (15.8) Pro parciální amplitudy ( ) ( ) . 4 2 1 l t l p f p l = + (15.9) Při záměně rozbíhavé vlny za sbíhavou nebudeme moci využít komplexního sdružení, ale záměny p pa 1l lS S . Je pak ( ) ( ) 1 1 1 , , 2 2 l l l l S S f p f p i p i p - = - = - (15.10) odkud po vyloučení lS dostaneme vztah mezi ( )lf p a ( )lf p- , který lze upravit na tvar ( ) ( ) ( ) ( )21 1 1 0 ,l l l l i p i p i p g p f p f p f p + - - = + = - (15.11) takže ( ) ( )2 1 .l l f p g p i p = - (15.12) 15.2 Komplexní index lomu prostředí Mějme prostředí, skládající z mnoho rozptylových center. Bude-li velikost amplitudy rozptylu malá ve srovnání se střední vzdáleností částic ( ) 1 3 d V N , můžeme výslednou amplitudu rozptylu v prostředí považovat za prostý součet jednotlivých amplitud. Dále si zavedeme efektivní potenciál, kterýbude takový, že vyjádření amplitudy v Bornově aproximaci budeme dávat správnou hodnotu amplitudyrozptylu dopředu (tzn efektivní potenciál bude komplexní). Podle (6.12) (budeme teď psát i Planckovu konstantu) Michal Lenc: Teorie rozptylu - 35 ( ) 2 2 0, .eff N U f E V m = - (15.13) Rovinnou vlnu procházející prostředím zapíšeme s komplexním vlnovým vektorem { } ( ) 1 21 exp , 2 .effi k z k m E U = = - (15.14) Index lomu je pak ( ) 1 2 1 22 2 1 1 0, . effU N n f E E V m E = - = + (15.15) Není-li index lomu příliš odlišný od jedničky, můžeme psát ( )2 2 0, . 2 tN N n f E V k V k = (15.16) 16 Příklady 16.1 Rozptyl nukleonů Při malých energiích můžeme psát pro amplitudu rozptylu protonu na neutronu (uvažujeme pouze srozptyl, tj. 0l = ) ( )2 2 0 0 1 1 . 1 2 f g k i k r k i k = - - + - (16.1) Amplituda má singularitu (v komplexní rovině impulsů k) pro 2 0 0 1 , . 2 k i r = = + (16.2) Účinný průřez je pak 2 2 2 2 0 0 4 4 . 1 2 f r k k = = - + (16.3) Malou úpravou dostaneme ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 2 2 2 2 0 0 4 4 1 , 1 1 4 r m E k r r k = + + + - + + (16.4) kde ( )p n p nm m m m m= + a - je energie vázaného stavu částic (deuteronu). Michal Lenc: Teorie rozptylu - 36 16.2 Rozptyl rychlých neutronů na jádře Efektivní poloměr jádra označme a. Předpokládáme splnění podmínky kvasiklasické aproximace 2 1k a a = . Dále předpokládáme, že všechny neutrony s momentem impulsu 0l l k a< = , tj. s impaktním parametrem l mv l k a = = < jsou absorbovány. Jako model můžeme pak vzít Fraunhoferovu difrakci na nepropustném terčíku poloměru a. Pro diferenciální účinný průřez dostáváme hned ( )2 12 2 .e J k a d a d = (16.5) Z obecného vztahu pro rozptyl je ( ) ( ) ( ) 0 0 00 0 1 2 1 cos . 1 2 l l l l l l S f l P l l i k = < = = + > (16.6) V sumě budou nejdůležitější úlohu hrát velké hodnoty l, takže ve známé aproximaci ( ) ( ) ( )1 0 0 . k a J k ai f J d i a k = = (16.7) Celkový účinný průřez pružného rozptylu je ( )2 12 2 2 0 2 .e J k a a d a = = (16.8) 16.3 Rozptyl rychlých elektronů na atomu Označme hustotu rozložení náboje v atomu ( ) ( ) ( ) ,r en r Z e r = - (16.9) kde e je náboj elektronu a ( )n r hustota pravděpodobnosti výskytu elektronu. Poissonovu rovnici ( ) ( ) 0 1 r r = - (16.10) řešíme pomocí Fourierovy transformace, tj. ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) { }3 3 3 1 exp , exp . 2 g r G q i q r d q G q g r i q r d r = = - (16.11) Z rovnic (16.10) a (16.9) máme Michal Lenc: Teorie rozptylu - 37 ( ) ( )( ) ( ) ( ) { } 3 2 0 , exp . e q F q Z F q n r i q r d r q = - = - (16.12) Integrace vzhledem k úhlovým proměnným dává ( ) ( ) ( ) 0 4 sin .F q n r q r r dr q = (16.13) Do vztahu (11.33) dosadíme ( ) ( )V q e q= , takže máme ( ) ( )( ) 2 2 2 02 me f q Z F q q = - (16.14) a konečně pro účinný průřez ( )( ) 2 2 2 2 2 0 4 . 4 me d Z F q d q = - (16.15) Máme ( ) ( ) 2 2 22 2 1 2 1 cos 2 sin . 2 p p q p n p = - = - = (16.16) Je vidět, že pro velmi malé úhly rozptylu lze považovat q za malé (označíme-li a poloměr koule, kde je ( )n r významně různé od nuly, znamená "malé q" podmínku 2q a ) a máme přibližně ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 23 3 2 3 2 2 3 1 1 , , 2 0 , , 3 1 . 6 F q n r i q r q r d r n r d r Z q n r q r d r n r q r d r n r r d r Z F q q n r r d r - - = = = - (16.17) Dosazením do (16.15) dostáváme pro rozptyl pod malými úhly ( ) 2 2 4 2 0 0 . 3 me d n r r dr d = (16.18) Účinný průřez je pro velmi malé rozptylové úhly konstantní. Naopak pro 2q a můžeme ( )F q oproti Z zanedbat a dostáváme 2 2 2 40 , 8 sin 2 Z e d d mv = (16.19) tedy klasický Rutherfordův vztah. Dosadíme-li do (16.13) Thomasovu ­ Fermiho hustotu pravděpodobnosti Michal Lenc: Teorie rozptylu - 38 ( ) 2 1 3 3 , Z r n r Z b b = (16.20) dostaneme ( ) ( ) 2 1 3 3 1 3 0 4 sin . Z r qb F q Z q r r dr Z qb b Z = = (16.21) Derivováním (16.16) dostáváme vyjádření elementu prostorového úhlu jako 2 .d qdqd p = (16.22) Diferenciální účinný průřez (16.15) bude po dosazení ze (16.21) a (16.22) 2 22 1 3 3 0 2 2 4 3 1 3 1 3 0 1 2 . 2 me Z qb dq d d p Z q me b qb qb Z d d p Z Z = - = (16.23) Integrací (16.23) dostáváme velmi obecný výraz pro účinný průřez rozptylu rychlého elektronu na atomu 4 3 . Z E (16.24) 17 Rozptyl identických částic Zvolíme těžišťový souřadný systém. Výměna částic znamená změnu orientace vektoru spojujícího částice. Ve sférických souřadnicích to znamená záměnu azimutálního úhlu - . Máme tedy pro vlnovou funkci { } { } { } ( ) ( ) exp exp exp . i k r i k z i k z f f r = - + - (17.1) Je-li celkový spin částic sudý, je účinný průřez ( ) ( ) 2 ,sd f f d = + - (17.2) zatímco pro celkový spin lichý je ( ) ( ) 2 .ad f f d = - - (17.3) V experimentech se jen málo využívá polarizovaných svazků. Je tedy vhodné mít střední hodnoty. Z celkového počtu ( ) 2 2 1s + stavů je pro částice s poločíselným spinem ( )2 1s s + stavů se sudým spinem a Michal Lenc: Teorie rozptylu - 39 ( )( )1 2 1s s+ + stavů s lichým spinem. Máme tedy pro částice s poločíselným spinem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 ** 1 2 1 2 1 1 . 2 1 s a s s d d d s s f f f f f f d s + = + = + + + - - - + - + (17.4) Pro částice s celočíselným spinem je naopak ( )2 1s s + stavů s lichým spinem a ( )( )1 2 1s s+ + stavů se sudým spinem. Máme tedy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 ** 1 2 1 2 1 1 . 2 1 s a s s d d d s s f f f f f f d s + = + = + + + - + - + - + (17.5) 18 Excitace atomu při srážce s částicí Předpokládejme, že můžeme využít Fermiho pravidla. Počáteční stav obsahuje atom hmotnosti M a nábojem jádra Z e- v základním stavu a volnou částici hmotnosti m a nábojem z e s hybností p ; konečný stav obsahuje atom v n-tém excitovaném stavu (n je multiindex) a opět volnou částici s hybností / p . Interakční potenciál je ^V . Zákon zachování energie v soustavě, ve které se atom v počátečním stavu jako celek nepohybuje, zapíšeme jako ( ) 2// 2 2 0 0 . 2 2 2 n p pp p E E m m M - + + - = (18.1) Velké zjednodušení přinese předpoklad, že bude možné pohyb atomu v konečném stavu zanedbat. Máme pak pro pravděpodobnost přechodu za jednotku času ( ) / 2 2 3 /2 / 0 3 2 ^, 0, . 2 2 2 n n p p d p d w n p V p E E m m = - + - (18.2) Integrací vzhledem k / p (píšeme 3 / / 2 / d p p d p d= ) odstraníme delta funkci ( )2 20 / 2 4 2 ^, 0, . 4 n n m p m E E d w n p V p d - = (18.3) Přejdeme teď k souřadnicové representaci. Normování vlnové funkce částice v konečném stavu musí odpovídat námi vybrané hustotě koncových stavů v (18.2), tj. Michal Lenc: Teorie rozptylu - 40 ( )/ 1 2 1 2 exp . 2 p p p i p p r p r - = = (18.4) Zvolíme-li normování dopadající vlny na jednotkový tok ( ) 1 2 exp ,p m i r p r p = (18.5) spočteme pak přímo účinný průřez. Interakční potenciál je 2 0 1 . 4 a a z e Z V r r r = - + - (18.6) Dostáváme tak po dosazení do vztahu (18.3) výraz pro diferenciální účinný průřez při excitaci atomu ( ) { } 22 22 0 3 2 2 0 2 1 exp 0 , 4 4 n n a a d p m E Ez e m Z n i q r d r d p r r r = - - - + - - (18.7) kde jsme označili ( )/ q p p= - . Fourierův obraz potenciálu vyjádříme pomocí vztahu { } { } { } { }3 3 2 exp exp 4 exp exp .a a a i q r i q r d r i q r d r i q r r r r q - - = - = - - (18.8) Další úprava spočívá ve vyjádření elementu prostorového úhlu za vztahu ( )2 2 / 2 / 2 / / 2 2 1 2 cos sin . 2 q p p p p p p p p q dq d d = + - = = (18.9) Výraz pro diferenciální účinný průřez (18.7) přepíšeme tedy na { } 2 2 2 3 0 8 exp 0 . 4 n a a d z e dq n Z i q r v q = - + - (18.10) Pro pružný rozptyl ( 0n= ) máme tedy známý vztah ( ) 2 2 2 3 0 8 . 4 e z e dq d Z F q v q = - (18.11) Zde jsme využili definice rozptylového faktoru ( ) ( ) { } ( ) { } { } 3 3 exp 0 0 exp 0 exp 0 . a a a a F q n r i q r d r r r i q r d r i q r = - = - - = - (18.12) Michal Lenc: Teorie rozptylu - 41 Pro nepružný rozptyl máme s uvážením ortogonality stavů (tj. 0 0 0n = ) { } 0 2 22 3 00 8 exp 0 . 4 r n n a n a d d z e dq n i q r v q = = - (18.13) Obecně platí ( ) ( ) ( ) 2 * 0 0 0 0 0 00 2 2 2 2 0 0 00 0000 0 . n n n n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f f + + + = = = = - = - (18.14) Aplikujeme-li teď obecný výsledek na matici v (18.13), máme s využitím (18.12) { } ( ){ } { } ( ) ( ){ } 2 0 2 2 exp 0 0 exp 0 0 exp 0 0 exp 0 . a n a a b a a b a a b a b n i q r i q r r i q r Z F q i q r r - = - - - - + - (18.15) Dosazení do (18.13) ( ) ( ){ } 2 2 2 3 0 8 0 exp 0 . 4 r a b a b d z e dq Z F q i q r r v q = - + - (18.16)