17. UNITÁRNE PRIESTORY V paragrafe 12.1 sme videli, že kanonický diagonálny tvar ľubovoľnej symetrickej bilineárnej formy na konečnorozmernom vektorovom priestore nad poľom C všetkých komplexných čísel je jednoznačne určený jej hodnosťou. Zavádzať pre takéto formy niečo na spôsob signatúry a hovoriť o ich defitnosti vôbec nemá zmysel. Táto jednoduchosť v porovnaní s teóriou symetrických bilineárnych foriem na vektorových priestoroch nad poľom R má za následok, že symetrická regulárna bilineárna forma na komplexnom vektorovom priestore nevytvára geometrickú štruktúru analogickú reálnemu prípadu. Ukazuje sa však, že zdanlivo nepatrnou modifikáciou pojmu bilineárnej formy možno túto prekážku geometrizácie preklenúť. Kapitolu začneme štúdiom tzv. poldruhalineárnych foriem na komplexných vektorových priestoroch. Pre takéto formy spĺňajúce istú mierne pozmenenú podmienku symetrie už možno prirodzene zaviesť pojmy signatúry a definitnosti a rozšíriť na ne platnosť tvrdení z kapitoly 12. Najdôležitejší bude pre nás opäť kladne definitný prípad, kedy hovoríme o (komplexnom) skalárnom súčine. Teória (konečnorozmerných) unitárnych priestorov, t. j. komplexných vektorových priestorov vybavených skalárnym súčinom, je natoľko priamočiarym zovšeobecnením teórie euklidovských priestorov, že väčšinu pojmov a výsledkov možno z jednej do druhej preniesť len s malými redakčnými úpravami. Preto miesto systematickej výstavby teórie unitárnych priestorov iba stručne naznačíme, ako to možno urobiť. Záver kapitoly je venovaný stručnému náčrtu úlohy unitárnych priestorov v kvantovej mechanike. Tomu bude predchádzať krátke odbočenie do klasickej mechaniky a pojednanie o ťažkostiach, ktoré sa stavajú do cesty pokusom vytvoriť adekvátny fyzikálny obraz javov mikrosveta a matematický popis jeho zákonitostí. 17.1. Poldruhalineárne formy Začneme banálnym pozorovaním: Absolútna hodnota |x| reálneho čísla, čiže jeho vzdialenosť od počiatku, je so súčinom xy, t. j. s najzákladnejšou bilineárnou formou, zviazaná vzťahom |x|2 = xx. Taktiež absolútna hodnota |x| komplexného čísla má geometrický význam jeho vzdialenosti od počiatku, uvedený vzťah však platí v modifikovanej podobe |x|2 = xx. Ak teda chceme budovať geometriu umožňujúcu vyjadriť vzdialenosti pomocou vhodných komplexných analógov reálnych bilineárnych a kvadratických foriem, súčin xy bude treba nahradiť výrazom xy. Keďže y = y, a xy = xy pre x, y R, ide o prirodzené zovšeobecnenie reálneho prípadu. Poldruhalineárnou formou na komplexnom vektorovom priestore V nazývame zobrazenie F : V × V C také, že pre všetky x, y, z V , c C platí F(x + y, z) = F(x, z) + F(y, z), F(cx, z) = cF(x, z), F(x, y + z) = F(x, y) + F(x, z), F(x, cy) = cF(x, y). 1 2 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Hovoríme, že F je lineárne v prvej premennej a semilineárne v druhej premennej. Ak V je konečnorozmerný a = (u1, . . . , un) je jeho báza, tak maticu A = [F] = F(uj, uk) Cn×n , rovnako ako v reálnom prípade, nazývame maticou poldruhalineárnej formy F v báze . Potom pre ľubovoľné vektory x, y V so súradnicami (x) = (x1, . . . , xn)T , (y) = (y1, . . . , yn)T platí F(x, y) = (x)T A (y) = n j=1 n k=1 ajkxjyk, kde (y) = (y1, . . . , yk)T . Pritom A = (ajk)n×n = [F] je jediná matica s touto vlastnosťou. Ak = (v1, . . . , vn) je druhá báza priestoru V , tak matice A = [F], B = [F] sú zviazané vzťahom B = P T , A P ,, kde P , = (pjk) je matica komplexne združená k matici prechodu P, = (pjk). Z toho vyplýva, že A, B Cn×n sú maticami tej istej poldruhalineárnej formy vzhľadom na (možno) rôzne bázy , práve vtedy, keď B = P T A P pre nejakú regulárnu maticu P Cn×n , t. j. práve vtedy, keď existuje regulárna matica Q Cn×n taká, že B = Q A Q, kde Q = QT = Q T označuje maticu transponovanú a komplexne združenú k matici Q ­ hovoríme, že Q je hermitovsky združená alebo tiež adjungovaná matica k matici Q. Naozaj, ak položíme Q = P , tak Q = P T . V takom prípade hovoríme, že matice A, B Cn×n sú hermitovsky kongruentné a píšeme A B. Keďže pole C všetkých komplexných čísel je rozšírením poľa R všetkých reálnych čísel, každý vektorový priestor V nad poľom C možno zároveň považovať za vektorový priestor nad poľom R (pozri príklad 1.6.1). Tento vektorový priestor budeme značiť VR a nazývať reálnym zúžením alebo tiež zreálnením priestoru V . Každé zobrazenie F : V × V C určuje predpismi F0(x, y) = Re F(x, y), F1(x, y) = Im F(x, y), pre x, y V , dve zobrazenia F0 = Re F, F1 = Im F : V ×V R; potom, samozrejme, F(x, y) = F0(x, y) + iF1(x, y). Dôkaz nasledujúceho tvrdenia prenechávame ako jednoduché cvičenie čitateľovi. 17.1.1. Tvrdenie. Nech F : V × V C je ľubovoľné zobrazenie. Potom F je poldruhalineárna forma práve vtedy, keď F0 = Re F, F1 = Im F sú bilineárne formy na reálnom vektorovom priestore VR a pre všetky x, y V platí F0(x, y) = F1(ix, y), F1(x, y) = F0(x, iy). To okrem iného znamená, že každá zo zložiek F0, F1 poldruhalineárnej formy F jednoznačne určuje druhú. 17. UNITÁRNE PRIESTORY 3 17.2. Hermitovské formy a hermitovské matice Hovoríme, že poldruhalineárna forma F na komplexnom vektorovom priestore V je hermitovská alebo tiež kososymetrická, ak pre všetky x, y V platí F(x, y) = F(y, x). Nasledujúce tvrdenie je bezprostredným dôsledkom našej definície. 17.2.1. Tvrdenie. Poldruhalineárna forma F : V × V C je hermitovská práve vtedy, keď jej zložky F0 = Re F, F1 = Im F spĺňajú podmienky F0(x, y) = F0(y, x), F1(x, y) = -F1(y, x) pre všetky x, y V . Podľa tvrdení 17.1.1 a 17.1.2 možno teda každú hermitovskú formu F : V ×V C rozložiť na súčet F = F0 + iF1 dvoch bilineárnych foriem F0, F1 : VR × VR R, z ktorých prvá je symetrická, druhá antisymetrická a platí F1(x, y) = F0(x, iy) alebo, čo vyjde vďaka (anti)symetrii narovnako, F0(x, y) = F1(ix, y). Štvorcová matica A Cn×n sa nazýva hermitovská alebo tiež kososymetrická, ak A = A , t. j. ajk = akj pre všetky j, k n. Špeciálne, ajj = ajj, čiže všetky diagonálne prvky hermitovskej matice sú reálne. Zrejme A je hermitovská práve vtedy, keď poldruhalineárna forma F(x, y) = xT Ay na (stĺpcovom) vektorovom priestore Cn je hermitovská. Ak F : V × V C je hermitovská forma, tak F(x, x) = F(x, x) pre každé x V , čiže všetky hodnoty F(x, x) sú reálne, teda má zmysel pýtať sa na ich znamienko. To nám v komplexnom prípade umožňuje zaviesť pre hermitovské formy a hermitovské matice všetky pojmy súvisiace s definitnosťou a so signatúrou rovnako, ako v reálnom prípade pre symetrické bilineárne formy a symetrické matice (pozri paragrafy 12.1 a 12.2). Navyše, v dôsledku antisymetrie formy F1 = Im F platí F(x, x) = F0(x, x), F1(x, x) = 0, takže na F(x, x) sa možno dívať ako na kvadratickú formu na reálnom vektorovom priestore VR. Signatúru hermitovskej matice A Cn×n , a tým aj hermitovskej formy F : V 2 C na konečnorozmernom vektorovom priestore V nad C, možno zistiť jej úpravou na diagonálny tvar podľa schémy A ESO ---- ERO B In ESO ---- P Na matici A teda vždy vykonáme jednu ERO a jej zodpovedajúcu ESO s komplexne združeným skalárom (teda výmene dvoch riadkov zodpovedá výmena príslušných stĺpcov, avšak vynásobeniu j-teho riadku nenulovým skalárom c C zodpovedá vynásobenie j-teho stĺpca skalárom c a pripočítaniu c-násobku j-teho riadku ku k-temu 4 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA riadku zodpovedá pripočítanie c-násobku j-teho stĺpca ku k-temu stĺpcu). Na jednotkovej matici vykonáme príslušnú ESO s pôvodným skalárom. (Porovnaj s podobnou schémou z paragrafu 11.3). Potom A B = P T A P a stĺpce matice P tvoria bázu priestoru Cn , vzhľadom na ktorú má hermitovská forma xT A y diagonálnu (preto tiež nevyhnutne reálnu) maticu B. Ak A bola maticou hermitovskej formy F na n-rozmernom vektorovom priestore V v báze , tak diagonálna matica B je maticou formy F v báze = P , čiže P = P, je maticou prechodu z bázy do bázy . V podstate rovnako ako v paragrafe 11.3 sa dá dokázať, že uvedený postup vedie vždy k cieľu. Navyše možno dosiahnuť, aby matica B mala na diagonále len skaláry 1 a 0. Napriek istej nejednoznačnosti výsledných matíc B a P , i v tomto prípade platí Sylvestrov zákon zotrvačnosti, teda signatúra hermitovskej formy či matice je dobre definovaná a sú splnené jednoduché analógie výsledkov pre reálne symetrické bilineárne formy a matice z paragrafu 12.1. Detaily prenechávame na samostatné premyslenie čitateľovi. 17.3. Komplexný skalárny súčin a unitárne priestory Skalárnym alebo tiež vnútorným súčinom na komplexnom vektorovom priestore V nazývame ľubovoľnú kladne definitnú hermitovskú poldruhalineárnu formu na V ; jej hodnotu na vektoroch x, y V budeme značiť opäť x, y . Komplexný vektorový priestor V vybavený skalárnym súčinom nazývame unitárny priestor. Nezávisle na znalosti uvedených pojmov možno skalárny súčin na V definovať ako binárnu operáciu V × V C, ktorá každej dvojici (x, y) vektorov z V priradí komplexné číslo x, y také, že pre všetky x, y, x1, x2 V a ľubovoľné c C platí: x1 + x2, y = x1, y + x2, y (aditivita), cx, y = c x, y (homogenita), x, y = y, x (kosá symetria), x = 0 x, x > 0 (kladná definitnosť). Spojenie aditivity a homogenity skalárneho súčinu dáva jeho linearitu ako funkcie prvej premennej (pri pevnej druhej premennej). Vďaka kosej symetrii z toho vyplýva semilinearita skalárneho súčinu ako funkcie druhej premennej (pri pevnej prvej premennej), t. j. rovnosti x, y1 + y2 = x, y2 + x, y2 , x, cy = c x, y , pre všetky x, y1, y2 V a c C. Rovnako z kosej symetrie vyplýva reálnosť výrazu x, x = x, x pre každé x V , čo teprv dáva zmysel podmienke kladnej definitnosti; z poldruhalinearity potom vyplýva jej nasledujúci podrobnejší rozpis x, x 0 & x, x = 0 x = 0 pre každé x V . 17. UNITÁRNE PRIESTORY 5 Ako sme naznačili predchádzajúcimi dvoma odstavcami, ktoré verne sledujú formulácie prvých dvoch odstavcov z paragrafu 13.1, teória konečnorozmerných unitárnych priestorov je pomerne priamočiarym zovšeobecnením teórie euklidovských priestorov. Väčšinu pojmov, ktoré sme definovali pre euklidovské priestory, možno zaviesť aj pre (konečnorozmerné) unitárne priestory a väčšinu výsledkov o euklidovských priestoroch možno s malými modifikáciami dokázať aj pre (konečnorozmerné) unitárne priestory. S istou dávkou zjednodušenia možno povedať, že jediný formálny rozdiel spočíva v tom, že v komplexnom prípade si musíme dávať pozor na poradie činiteľov v skalárnom súčine, občas nad niektoré skaláry primaľovať pruh a rozlišovať medzi c2 a |c|2 . Z toho dôvodu nebudeme čitateľa unavovať systematickým budovaním teórie unitárnych priestorov; miesto toho sa obmedzíme len na zopár základných pojmov a výsledkov, a kde to bude možné, odvoláme sa na zodpovedajúce analógie z euklidovských priestorov. Keďže 0 x, x R, dĺžku alebo tiež normu vektora x v unitárnom priestore V možno definovať ako nezáporné reálne číslo x = x, x . Zrejme x je norma na vektorovom priestore VR pochádzajúca od reálneho skalárneho súčinu x, y 0 = Re x, y , teda sú pre ňu splnené všetky tri definujúce podmienky (trojuholníková nerovnosť, pozitívna homogenita, oddeliteľnosť) z paragrafu 13.3. Navyše podmienka pozitívnej homogenity cx = |c| x platí pre všetky x V , c C (a nielen pre c R). Naozaj, cx 2 = cx, cx = cc x, x = |c| 2 x 2 . Pozornejší čitateľ možno v tejto chvíli pojal podozrenie, že poldruhalineárne formy, ako modifikácia bilineárnych foriem, boli vymyslené len nato, aby nám v práve vykonanom výpočte prešiel trik so skalárom c. Až na časticu " len" mu toto podozrenie nehodláme vyvracať. Z Cauchyho-Schwartzovej nerovnosti (tvrdenie 13.2.3) pre reálny skalárny súčin dostávame nerovnosť |Re u, v | u v , z ktorej už vyplýva trojuholníková nerovnosť pre normu. S trochou úsilia však možno dokázať silnejší odhad. 17.3.1. Tvrdenie. (Cauchyho-Schwartzova nerovnosť) Nech V je unitárny priestor. Potom pre ľubovoľné vektory u, v V platí | u, v | u v , pričom rovnosť nastane práve vtedy, keď u, v sú lineárne závislé. Dôkaz. Označme si c = cos + i sin , kde u, v = | u, v | (cos + i sin ) je vyjadrenie čísla u, v C v goniometrickom tvare. Potom |c| = 1, c-1 = c a | u, v | = c-1 u, v = c u, v = u, cv = Re u, cv , 6 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA lebo ide o reálne číslo. Keďže Re u, v je kladne definitná bilineárna forma na VR, podľa reálnej verzie Cauchyho-Schwartzovej nerovnosti platí | u, v | = Re u, cv u cv = |c| u v = u v . Rovnosť nastane práve vtedy, keď vektory u, cv sú lineárne závislé nad R. Z toho zrejme vyplýva lineárna závislosť vektorov u, v nad C. Naopak, ak u, v sú lineárne závislé nad C, tak rovnosť | u, v | = u v možno jednoducho overiť priamym výpočtom. Pre nenulové vektory u, v V predstavuje výraz u, v / u v komplexné číslo s absolútnou hodnotou 1. Analógia s reálnym prípadom nás zvádza pokúsiť sa na jeho základe nejako zadefinovať uhol vektorov u, v. Núkajú sa nám tri možnosti: (1) Vychádzajúc z toho, že reálna časť Re u, v skalárneho súčinu u, v je skalárnym súčinom na reálnom zúžení VR unitárneho priestoru V , ktorý plne určuje jeho normu, môžeme sa sústrediť len na ňu a ignorovať imaginárnu časť. V takom prípade = arccos Re u, v u v predstavuje uhol, ktorý zvierajú vektory u, v v priestore VR. (2) Uhol vektorov u, v môžeme definovať ako uhol priamok [u], [v], t. j. ako reálne číslo = arccos | u, v | u v . V reálnom prípade by také niečo zodpovedalo nahradeniu odchýlky vektorov (u, v) odchýlkou priamok ([u], [v]); to znamená, že medzi odchýlkami dvojíc (u, v) a (u, -v) by sme nerozlišovali a z pôvodných uhlov (u, v), (u, -v) by sme vybrali ten menší. (Nezabúdajme však, že priamky [u], [v] v komplexnom vektorovom priestore V sú z reálneho hľadiska dvojrozmerné, t. j. sú to vlastne roviny vo VR.) (3) Prostriedkami teórie funkcií komplexnej premennej možno definičný obor reálnej funkcie arccos, t. j. interval -1, 1 , rozšíriť na jednotkový kruh {c C; |c| 1} (dokonca na celú komplexnú rovinu C). Potom odchýlka (u, v) by bola komplexné číslo = arccos u, v u v také, že cos = ei + e-i 2 = u, v u v . Tento spôsob by bol, samozrejme, matematicky najčistejší, hoci z geometrického hľadiska pre nás zatiaľ nie príliš názorný. Navyše by si vyžadoval istú znalosť teórie funkcií komplexnej premennej, ktorú u čitateľa nepredpokladáme. My sa však nebudeme rozhodovať medzi uvedenými troma alternatívami, teda uhol dvoch nenulových vektorov v unitárnom priestore vôbec nebudeme skúmať ani definovať. Najdôležitejšou interpretácia výrazu u, v / u v v unitárnom priestore 17. UNITÁRNE PRIESTORY 7 je totiž jeho interpretácia v kvantovej mechanike. Tou však nie je kosínus uhla, ale ­ akokoľek čudne to znie ­ " amplitúda pravdepodobnosti". K tejto otázke sa vrátime až v záverečnom paragrafe 17.7. I keď na uhol dvoch vektorov v unitárnom priestore sme rezignovali, nemienime rezignovať na vzťah ortogonality (kolmosti) x y x, y = 0 pre vektory x, y V a operáciu ortokomplementu X = {y V ; ( x X)(x y)} množiny X V , ktoré majú rovnaké vlastnosti ako v reálnom prípade. Aj pojmy ortogonálnej či ortonormálnej množiny alebo usporiadanej k-tice vektorov, a najmä ortogonálnej a ortonormálnej bázy sú definované rovnako. Gramovým-Schmidtovým ortogonalizačným procesom ­ či už ho vykonáme podľa vety 13.4.5 alebo diagonalizáciou Gramovej matice G() = uj, uk nejakej bázy = (u1, . . . , un) priestoru V ­ možno dokázať, že konečnorozmerný unitárny priestor V má ortonormálnu bázu. Vzhľadom na takúto bázu = (v1, . . . , vn) nadobúda skalárny súčin na V tvar tzv. štandardného komplexného skalárneho súčinu na Cn , t. j. pre ľubovoľné vektory x, y V so súradnicami (x) = (x1, . . . , xn)T , (y) = (y1, . . . , yn)T platí x, y = (x)T (y) = n j=1 xjyj = n j=1 x, vj vj, y , keďže jednotlivé zložky súradníc vektorov x, y sú xj = x, vj , yj = y, vj . Špeciálne pre x = y dostávame Parsevalovu rovnosť x 2 = (x)T (x) = n j=1 |xj| 2 = n j=1 | x, vj | 2 (porovnaj s vetou 13.4.4). 17.4. Unitárne matice Unitárne matice sú komplexnou analógiou ortogonálnych matíc. Matica A Cn×n sa nazýva unitárna, ak platí A A = In, t. j. A-1 = A . Prvá podmienka je zrejme ekvivalentná s rovnosťou AT A = In, ktorá opäť hovorí, že stĺpce matice A tvoria ortonormálnu bázu unitárneho priestoru Cn so štandardným skalárnym súčinom. Potom rovnako A A = In, teda aj riadky matice A tvoria ortonormálnu bázu v Cn . Podobne ako ortogonálne matice, aj unitárne matice možno charakterizovať jednak ako matice prechodu medzi ortonormálnymi bázami v konečnorozmerných unitárnych priestoroch, jednak ako matice, násobenie ktorými zachováva štandardný skalárny súčin resp. dĺžku v Cn . Dôkaz nasledujúcej vety možno dostať nepatrnou modifikáciou dôkazu vety 13.5.1. 8 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 17.4.1. Veta. Nech V je n-rozmerný unitárny priestor, je ortonormálna a je ľubovoľná báza priestoru V . Potom báza je ortonormálna práve vtedy, keď matica prechodu P, z bázy do bázy je unitárna. 17.4.2. Veta. Nech Cn je stĺpcový unitárny priestor so štandardným skalárnym súčinom a A Cn . Potom nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) A je unitárna matica; (ii) pre všetky x, y Cn platí A x, A y = x, y ; (iii) pre všetky x Cn platí A x = x . Dôkaz. Implikácie (i) (ii) a (ii) (i) možno dokázať (takmer) rovnako ako v dôkaze vety 13.5.2 a implikácia (ii) (iii) je opäť triviálna. Stačí teda dokázať (iii) (ii). Keďže x je zároveň norma na zreálnení unitárneho priestoru Cn pochádzajúca od reálneho skalárneho súčinu Re x, y , pre ľubovoľné x, y Cn platí Re x, y = 1 2 x + y 2 - x 2 - y 2 , a podľa tvrdenia 17.2.1 tiež Im x, y = Re x, iy . Teda z podmienky (iii) vyplýva Re A x, A y = 1 2 A x + A y 2 - A x 2 - A y 2 = 1 2 A (x + y) 2 - A x 2 - A y 2 = 1 2 x + y 2 - x 2 - y 2 = Re x, y . V dôsledku toho Im A x, A y = Re A x, i(A y) = Re A x, A (iy) = Re x, iy = Im x, y , teda A y, A y = x, y . Podrobnejší popis štruktúry unitárnych matíc opäť podáme len pre rády n 2. Unitárne matice rozmeru 1 × 1 zrejme splývajú s komplexnými číslami s absolútnou hodnotou 1. 17.4.3. Veta. Matica A C2×2 je unitárna práve vtedy, keď má tvar A = a b -bu au = ei cos ei sin - ei(-) sin ei(-) cos , kde čísla a, b, u C vyhovujú podmienkam |a|2 + |b|2 = |u| = 1, resp. , , , R sú ľubovoľné. Dôkaz. Priamym výpočtom sa možno presvedčiť, že každá matica v ľubovoľnom z uvedených dvoch tvarov vyhovuje podmienke A A = I2, teda je unitárna. Nech naopak A = a b c d je unitárna. Potom matica A A = I2 má na mieste (1, 1) prvok |a|2 +|b|2 = 1. Označme u = det A. Ľahko možno overiť, že |u| = 1, preto 17. UNITÁRNE PRIESTORY 9 aj matice diag(1, u) a B = diag(1, u) A = a b cu du sú unitárne (pozri cvičenie ...). Potom det B = 1, preto B-1 = du -b -cu a a B = a cu b du . Keďže B-1 = B , porovnaním príslušných zložiek oboch matíc dostávame c = -bu, d = au. Ak čísla a, b, u zapíšeme v goniometrickom tvare a = |a| ei , b = |b| ei , u = ei , kde , , R, a uvedomíme si, že z podmienky |a|2 + |b|2 = 1 vyplýva existencia 0, /2 takého, že |a| = cos , |b| = sin , vidíme, že maticu A možno vyjadriť aj v druhom z uvedených tvarov. 17.5. Stavové priestory v klasickej mechanike Cieľom tohto paragrafu nie je systematický výklad klasickej mechaniky. Hodláme len zbežne zaviesť a motivovať pojem stavového priestoru a stručne naznačiť prednosti v ňom fungujúceho Hamiltonovho formalizmu. Hlavne nám však ide o vybudovanie aspoň akej-takej názornej predstavy, či aspoň analógie, o ktorú by sme sa mohli oprieť v poslednom paragrafe, kde sa chystáme zaviesť stavové priestory v kvantovej mechanike, čo je oblasť, kde naša intuícia z viacerých dôvodov zlyháva. Uvažujme hmotný bod pohybujúci sa vo fyzikálnom priestore, ktorý prostredníctvom voľby nejakej pravouhlej súradnicovej sústavy zvykneme stotožňovať s euklidovským priestorom R3 . Priestorové súradnice (rádius-vektora) jeho polohy v čase t označme x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)). Jeho okamžitá rýchlosť v čase t je potom daná ako derivácia v(t) = dx dt = dx1 dt , dx2 dt , dx3 dt . Ak navyše poznáme jeho hmotnosť m, tak jeho pohybový stav v čase t je jednoznačne určený dvoma vektormi: polohovým vektorom x(t) a vektorom hybnosti p(t) = mv(t), t. j. jednotlivé zložky vj rýchlosti a pj hybnosti v smere súradných osí sú zviazané vzťahmi pj = mvj = m(dxj/ dt) pre j = 1, 2, 3. Inak povedané, okamžitý pohybový stav hmotnej častice je jednoznačne určený jediným v čase premenným vektorom (bodom) (x, p) v stavovom priestore R6 . Tento priestor chápeme ako priamy súčin R3 × R3 dvoch exemplárov euklidovského priestoru R3 (so štandardným skalárnym súčinom), z ktorých prvý slúži na zaznamenávanie polohy a druhý hybnosti. Kvôli jednoduchosti ďalej predpokladajme, že pohyb nášho hmotného bodu sa odohráva v tzv. konzervatívnom silovom poli, t. j. potenciálna energia U = U(x) hmotného bodu v ňom je iba funkciou jeho polohy x a nezávisí od času. Sila pôsobiaca na časticu v danom mieste teda je F = - gradU = - U x1 , U x2 , U x3 . S využitím Newtonovej pohybovej rovnice F = d(mv) dt = dp dt 10 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA dostávame dp dt = - gradU, dx dt = v = 1 m p. Celková energia hmotného bodu v danom mieste a čase je súčtom jeho kinetickej a potenciálnej energie H = 1 2 m v 2 + U(x) = 1 2m p 2 + U(x). Výraz H = H(x, p) nazývame Hamiltonovou funkciou príslušnej pohybujúcej sa sústavy. Jednoduchý výpočet dáva H xj = U xj = - dpj dt , H pj = 1 2m p 2 pj = 1 2m (p2 1 + p2 2 + p2 3) pj = 1 m pj = dxj dt , pre j = 1, 2, 3. Ak si ešte zavedieme skrátené označenie H x1 , H x2 , H x3 = H x , H p1 , H p2 , H p3 = H p , dostávame parciálne diferenciálne rovnice, popisujúce pohyb hmotného bodu, v tzv. Hamiltonovom tvare dx dt = H p , dp dt = - H x , ktorý vyniká mimoriadnou eleganciou, symetriou a jednoduchosťou. Podobne, okamžitý stav sústavy pohybujúcich sa n hmotných bodov je jednoznačne určený dvoma usporiadanými n-ticami: (x1, . . . , xn) ich polohových vektorov a (p1, . . . , pn) ich hybností, ktoré možno výhodne reprezentovať ako blokovú maticu (X, P ) = x1 p1 ... ... xn pn = x11 x12 x13 p11 p12 p13 ... ... ... ... ... ... xn1 xn2 xn3 pn1 pn2 pn3 Rn×6 , pričom jednotlivé zložky xij = xij(t) matice X = X(t), resp. pij = pij(t) matice P = P (t) predstavujú j-tu súradnicu polohy resp. hybnosti i-tej častice a sú zviazané vzťahom pij = mi(dxij/ dt), kde mi je jej hmotnosť. Teda okamžitý pohybový stav sústavy n hmotných bodov sme zachytili ako jediný od času závislý bod či vektor (X, P ) v 6n-rozmernom stavovom priestore Rn×6 , chápanom ako priamy súčin 2n exemplárov euklidovského priestoru R3 , zodpovedajúcich zložkám matice (xi, pi) (R3 )n×2 , nazývaným tiež zovšeobecnené súradnice a zovšeobecnené hybnosti sústavy. 17. UNITÁRNE PRIESTORY 11 Celkom analogicky ako v prípade jedinej častice, i pre n hmotných bodov v konzervatívnom silovom poli (dokonca aj za podstatne všeobecnejších predpokladov) možno odvodiť, že ich pohyb sa riadi parciálnymi diferenciálnymi rovnicami dX dt = H P , dP dt = - H X . ktoré nazývame Hamiltonovými rovnicami. Uvedené výrazy označujú matice dX dt = dxij dt n×3 , H X = H xij n×3 , dP dt = dpij dt n×3 , H P = H pij n×3 , a H = H(X, P ) je opäť Hamiltonova funkcia, vyjadrujúca celkovú energiu sústavy. Jej explicitný tvar je H = n i=1 1 2mi pi 2 + n i=1 Ui(xi) + i